线性系统的根轨迹法
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➢闭环零点一般较容易确定，而闭环极点较 难确定。根轨迹法为我们提供了一种确定闭 环极点简便的图解方法。
➢根轨迹法是根据开环零、极点的分布，用 作图的方法来确定闭环极点的一种图解方法。 由于它简便、直观，在工程实践中得到了广 泛的应用。
1.根轨迹的定义
➢当某一参数从0变化时，系统闭环特征
方程的根在s 平面上的变化轨迹，称为根轨
——特征根的分布随着
Kg的改变而变化。
j
Kg
(2) 0 < Kg< 1时，为两个不相等
的负实根。 Kg s1 ，s2 。。
(3) Kg= 1时， s1 = s2 = 1， 为两个相等的负实根。
Kg= 0
2
Kg=1 Kg= 0
1 0
(4) Kg >1时，s1,2 1 j K g 1 为一对实部为-1的共轭复数根。
s pj
j1
——模值条件方程
m
n
( s zi ) ( s p j ) ( 2k 1 ) ( k 0 ,1,2 )
i1
j1
——相角条件方程
m
s zi
K i1 gn
1
s pj
j1
——模值条件方程
m
n
( s zi ) ( s p j ) ( 2k 1 )
i1
j1
( k 0 ,1,2 )
➢检验s1是否满足幅角条件： z1
2 1
s1
1
p1 0
( s z1 ) ( s p1 ) ( s p2 ) ( s p3 )
1 1 2 3 ( 2k 1 )
p3
3
➢如果s1点满足相角条件，则是
根轨迹上的一点。
➢寻找在s 平面内满足相角条件的所有点，将这些点连成
光滑曲线，即是闭环系统根轨迹图。
一定要写 成零极点 的形式
K——系统的开环增益， Kg = 2K——为系统的开环根轨迹增益
闭环传递函数：
(s)
Kg
s2 2s K g
闭环特征方程： 1 Gk s 0
s2 2s Kg 0
闭环特征根： s1,2 1 1 K g
(1) Kg= 0时，s1 = 0、s2 = 2 （对应两个开环极点，称为根 轨迹的起点，用×表示）。
Kg j
（1） 稳定性
Kg= 0
Kg=1 Kg= 0
➢当Kg从0 变化时，如系 2
1 0
统的根轨迹不会越过虚轴进
入右半s平面，则该系统对所
Kg
有的Kg值都是稳定的。
➢如果系统的根轨迹有可能进 入右半s 平面，此时根迹与虚 轴交点处的Kg 值，称为临界 开环增益。
（2）稳态性能
➢由原点处的开环极点数 可确定系统的型别，如果 给定系统对稳态误差的要
——相角条件方程
➢相角条件是确定s平面上根轨迹的充要条件，
绘制根轨迹时，只需要使用相角条件；而当需要
确定根轨迹上各点的Kg值时，才使用模值条件。
➢下面看看怎样按上式表示的幅值条件和相角条件绘制系统
的根轨迹图。
j
➢系统开环零极点分布如图。
p2
➢在s平面找一点s1，画出各开环 零、极点到s1点的矢量。
➢根据矢量的运算法则 s-pj——表示从开环极点pj 指向s的矢量；
s-zi——表示从开环零点zi 指向s的矢量；
m
( s zi )
K i1 gn
1
(s pj )
j1
——根轨迹的条件方程
• 根轨迹方程可看成一个矢量方程，因此可分 解出以下的模值条件和相角条件方程：
m
s zi
K i1 gn
1
求，则对Kg（K）有要求，
由根迹图可以确定闭环极 点位置的容许范围。
Kg= 0
2
j
Kg
Kg=1
1
Kg= 0
0
Kg
（3） 动态性能
Kg j
➢当 0 kg 1 时，闭环极点均 位于负实轴上，系统为过阻尼
Kg= 0 2
Kg=1 Kg= 0
1 0
系统，单位阶跃响应为非周期
过程。
Kg
➢ 当kg 1 时，闭环两个实极点重合，系统为 临界阻尼系统，单位阶跃响应为非周期过程。
➢当 kg 1 时，闭环极点为一对共轭复数极点， 系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡 过程。
3. 根轨迹的条件方程
R(s) E(s)
C(s)
G(s)
系统的结构如图所示：
H(s)
开➢根环G根轨(传s轨)迹H函迹(条：s )上件 K的方g 点i程nm1 必(，s 满而zi 足)满 足根轨迹方程的(点s 必pj 然)
Kg
结 论：
Gk s
Kg s( s 2 )
（1）n阶系统有n个根，有n条根轨迹分支；
（2）每条根轨迹的起点(Kg= 0)位于开环极点处；
（3）每条根轨迹的终点(Kg )
或为开环零点处或为无穷远
处。
（4）重根点，称为分离点 或汇合点。
Kg= 0
2
j
Kg
Kg=1 Kg= 0
1
0
Kg
2.根轨迹与系统性能
4-2 常规根轨迹的绘制法则
m
模值条件方程：
s zi
i 1
n
s pj
1
Kg
j 1
m
n
相角条件方程： ( s zi ) ( s p j ) ( 2k 1 )
第四章 线性系统的根轨迹法
4-1 根轨迹的基本概念 4-2 常规根轨迹的绘制法则 4-3 广义根轨迹 4-4 系统性能的分析 4-5 根轨迹分析的MATLAB方法
4-1 根轨迹的基本概念
➢由上一章的分析可知，系统的稳定性由闭 环极点唯一确定，而系统的稳态性能和动态 性能又由闭环零、极点的分布确定。
迹。 ➢当闭环系统没有零、极点相消时，闭环特 征根就是闭环传递函数的极点，即闭环极点。
引例：
R(s)
➢已知系统的结构图所示，分 析 0 K 时，闭环特征根在
s平面上变化的轨迹。
解：系统的开环传递函数为
Gk s
K s( 0.5s
1)
s(
2K s2
Biblioteka Baidu
)
s(
Kg s2
)
K C(s) s(0.5s+1)
1 ——根轨迹的条件方程
(s pj )
j1
矢量运算复习
s=σ+jω +j s-pj
图中，
s—复平面上任意一点
pj —系统的开环极点 · zi —系统的开环零点
pj s-zi
zi
矢量的模：
s zi
s pj
矢量的相角：
（矢量与正实轴的夹角）
( s zi ) ( s p j )
➢复平面上任意一点，都可用 一个矢量表示，如图所示。
闭在环根传轨函迹：上。j1
式中，
zi、p j——开环零、极点
K g ——根轨迹增益
m、n ——开环零、极点数
( s ) C( s ) G( s )
R( s ) 1 G( s )H ( s )
一定要写成
闭环特征方程: 1 G( s )H( s ) 0
零极点的标 准形式
m
( s zi )
K i1 gn
➢根轨迹法是根据开环零、极点的分布，用 作图的方法来确定闭环极点的一种图解方法。 由于它简便、直观，在工程实践中得到了广 泛的应用。
1.根轨迹的定义
➢当某一参数从0变化时，系统闭环特征
方程的根在s 平面上的变化轨迹，称为根轨
——特征根的分布随着
Kg的改变而变化。
j
Kg
(2) 0 < Kg< 1时，为两个不相等
的负实根。 Kg s1 ，s2 。。
(3) Kg= 1时， s1 = s2 = 1， 为两个相等的负实根。
Kg= 0
2
Kg=1 Kg= 0
1 0
(4) Kg >1时，s1,2 1 j K g 1 为一对实部为-1的共轭复数根。
s pj
j1
——模值条件方程
m
n
( s zi ) ( s p j ) ( 2k 1 ) ( k 0 ,1,2 )
i1
j1
——相角条件方程
m
s zi
K i1 gn
1
s pj
j1
——模值条件方程
m
n
( s zi ) ( s p j ) ( 2k 1 )
i1
j1
( k 0 ,1,2 )
➢检验s1是否满足幅角条件： z1
2 1
s1
1
p1 0
( s z1 ) ( s p1 ) ( s p2 ) ( s p3 )
1 1 2 3 ( 2k 1 )
p3
3
➢如果s1点满足相角条件，则是
根轨迹上的一点。
➢寻找在s 平面内满足相角条件的所有点，将这些点连成
光滑曲线，即是闭环系统根轨迹图。
一定要写 成零极点 的形式
K——系统的开环增益， Kg = 2K——为系统的开环根轨迹增益
闭环传递函数：
(s)
Kg
s2 2s K g
闭环特征方程： 1 Gk s 0
s2 2s Kg 0
闭环特征根： s1,2 1 1 K g
(1) Kg= 0时，s1 = 0、s2 = 2 （对应两个开环极点，称为根 轨迹的起点，用×表示）。
Kg j
（1） 稳定性
Kg= 0
Kg=1 Kg= 0
➢当Kg从0 变化时，如系 2
1 0
统的根轨迹不会越过虚轴进
入右半s平面，则该系统对所
Kg
有的Kg值都是稳定的。
➢如果系统的根轨迹有可能进 入右半s 平面，此时根迹与虚 轴交点处的Kg 值，称为临界 开环增益。
（2）稳态性能
➢由原点处的开环极点数 可确定系统的型别，如果 给定系统对稳态误差的要
——相角条件方程
➢相角条件是确定s平面上根轨迹的充要条件，
绘制根轨迹时，只需要使用相角条件；而当需要
确定根轨迹上各点的Kg值时，才使用模值条件。
➢下面看看怎样按上式表示的幅值条件和相角条件绘制系统
的根轨迹图。
j
➢系统开环零极点分布如图。
p2
➢在s平面找一点s1，画出各开环 零、极点到s1点的矢量。
➢根据矢量的运算法则 s-pj——表示从开环极点pj 指向s的矢量；
s-zi——表示从开环零点zi 指向s的矢量；
m
( s zi )
K i1 gn
1
(s pj )
j1
——根轨迹的条件方程
• 根轨迹方程可看成一个矢量方程，因此可分 解出以下的模值条件和相角条件方程：
m
s zi
K i1 gn
1
求，则对Kg（K）有要求，
由根迹图可以确定闭环极 点位置的容许范围。
Kg= 0
2
j
Kg
Kg=1
1
Kg= 0
0
Kg
（3） 动态性能
Kg j
➢当 0 kg 1 时，闭环极点均 位于负实轴上，系统为过阻尼
Kg= 0 2
Kg=1 Kg= 0
1 0
系统，单位阶跃响应为非周期
过程。
Kg
➢ 当kg 1 时，闭环两个实极点重合，系统为 临界阻尼系统，单位阶跃响应为非周期过程。
➢当 kg 1 时，闭环极点为一对共轭复数极点， 系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡 过程。
3. 根轨迹的条件方程
R(s) E(s)
C(s)
G(s)
系统的结构如图所示：
H(s)
开➢根环G根轨(传s轨)迹H函迹(条：s )上件 K的方g 点i程nm1 必(，s 满而zi 足)满 足根轨迹方程的(点s 必pj 然)
Kg
结 论：
Gk s
Kg s( s 2 )
（1）n阶系统有n个根，有n条根轨迹分支；
（2）每条根轨迹的起点(Kg= 0)位于开环极点处；
（3）每条根轨迹的终点(Kg )
或为开环零点处或为无穷远
处。
（4）重根点，称为分离点 或汇合点。
Kg= 0
2
j
Kg
Kg=1 Kg= 0
1
0
Kg
2.根轨迹与系统性能
4-2 常规根轨迹的绘制法则
m
模值条件方程：
s zi
i 1
n
s pj
1
Kg
j 1
m
n
相角条件方程： ( s zi ) ( s p j ) ( 2k 1 )
第四章 线性系统的根轨迹法
4-1 根轨迹的基本概念 4-2 常规根轨迹的绘制法则 4-3 广义根轨迹 4-4 系统性能的分析 4-5 根轨迹分析的MATLAB方法
4-1 根轨迹的基本概念
➢由上一章的分析可知，系统的稳定性由闭 环极点唯一确定，而系统的稳态性能和动态 性能又由闭环零、极点的分布确定。
迹。 ➢当闭环系统没有零、极点相消时，闭环特 征根就是闭环传递函数的极点，即闭环极点。
引例：
R(s)
➢已知系统的结构图所示，分 析 0 K 时，闭环特征根在
s平面上变化的轨迹。
解：系统的开环传递函数为
Gk s
K s( 0.5s
1)
s(
2K s2
Biblioteka Baidu
)
s(
Kg s2
)
K C(s) s(0.5s+1)
1 ——根轨迹的条件方程
(s pj )
j1
矢量运算复习
s=σ+jω +j s-pj
图中，
s—复平面上任意一点
pj —系统的开环极点 · zi —系统的开环零点
pj s-zi
zi
矢量的模：
s zi
s pj
矢量的相角：
（矢量与正实轴的夹角）
( s zi ) ( s p j )
➢复平面上任意一点，都可用 一个矢量表示，如图所示。
闭在环根传轨函迹：上。j1
式中，
zi、p j——开环零、极点
K g ——根轨迹增益
m、n ——开环零、极点数
( s ) C( s ) G( s )
R( s ) 1 G( s )H ( s )
一定要写成
闭环特征方程: 1 G( s )H( s ) 0
零极点的标 准形式
m
( s zi )
K i1 gn