线性系统的根轨迹法
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自动控制原理第第四章 线性系统的根轨迹法
2
自动控制原理
§4.1 根轨迹的基本概念
例：开环传递函数
Gs
k1
ss
a
开环系统两个极点为：P1 0, P2 a R(s)
闭环传递函数为:
GB s
s2
k1 as
k1
-
k1
C(s)
ss a
闭环特征方程： s2 as k1 0
闭环特征根：s1,2
a 2
a 2
2
k1
（闭环极点）
3
自动控制原理
在p5附近取一实验点sd， 则∠sd-p5可以认为是p5点的出射角 Sd Z Sd P1 Sd P2 Sd P3 Sd P4 Sd P5 1800
近似为 P5 Z P5 P1 P5 P2 P5 P3 P5 P4 p 1800
p Sd P5 1800
法则4 实轴上存在根轨迹的条件——
这些段右边开环零极点个数之和为奇
数。
m
n
证明：根据相角条件 S Z j S Pi 18002q 1
j 1
i 1
p4
j s平面
例：sd为实验点
p3
z2 sd
p2 z1 p1
p5
① 实验点sd右侧实 轴上零极点提供 1800相角
③ 共轭复零点，复极点提供的相角和为 3600。
2
s1=-1.172，s2＝-6.828
33
自动控制原理
法则6 开环复数极点处根轨迹出射角为
p 1800
开环复数零点处根轨迹入射角为：
Z 1800
其中 z p（不包括本点）
34
自动控制原理
j p5
p5
p3 p3
p2
第四章 线性系统的根轨迹法
j 1 m
n
j
s
lim s
s i
nm
nm
sz
i 1
开环传递函数中，若令 s 当 m<n 时， G(s)H(s) =0
称 s （ m<n），是 G(s)H(s) 的无限零点 (n-m个)。
• 法则2. 根轨迹的分支数、对称性和连续性： 根轨迹的分支数与开环有限零点数 m、开环有 限极点数 n 中的大者相等，连续对称于实轴。
d 2.3
4)确定起始角。量测各向量相角，算得起始 角=-71. 6°
5)确定根轨迹与虚袖交点。闭环特征方程式 为：
s 5s 8s 6 s K 0
4 3 2
将s j代入，得实部方程为： 8 K 0
4 2
虚部方程为： 5 6 0
3
解得： 1.1 K 8.16 ，
2
试绘制闭环系统的概略根轨迹。 解 按下述步骤绘制概略根轨迹： 1)确定实轴上的根轨迹。实轴上[0，-3]区域必 为根轨迹。 2)确定根轨迹的渐近线。由于n-m=4，故有四条 根轨迹渐近线，其： a 1.25
a 45 ,135
3)确定分离点。
1 d 1 d 3 1 d 1 j 1 d 1 j 0
三、n-m条渐近线；
四、根轨迹的出射角、入射角； 五、根轨迹与虚轴的交点； 六、根轨迹的分离点、会合点； 结合根轨迹的连续性、对称性、根轨迹的 支数、起始点和终点，闭环极点与闭环极点之 和及之积等性质画出根轨迹。
例4—4 设系统开环传递函数为设系统开 环传递函数为： K
G( s) s( s 3)( s 2s 2)
d 3.414 ，d 0.586（舍去）
n
j
s
lim s
s i
nm
nm
sz
i 1
开环传递函数中，若令 s 当 m<n 时， G(s)H(s) =0
称 s （ m<n），是 G(s)H(s) 的无限零点 (n-m个)。
• 法则2. 根轨迹的分支数、对称性和连续性： 根轨迹的分支数与开环有限零点数 m、开环有 限极点数 n 中的大者相等，连续对称于实轴。
d 2.3
4)确定起始角。量测各向量相角，算得起始 角=-71. 6°
5)确定根轨迹与虚袖交点。闭环特征方程式 为：
s 5s 8s 6 s K 0
4 3 2
将s j代入，得实部方程为： 8 K 0
4 2
虚部方程为： 5 6 0
3
解得： 1.1 K 8.16 ，
2
试绘制闭环系统的概略根轨迹。 解 按下述步骤绘制概略根轨迹： 1)确定实轴上的根轨迹。实轴上[0，-3]区域必 为根轨迹。 2)确定根轨迹的渐近线。由于n-m=4，故有四条 根轨迹渐近线，其： a 1.25
a 45 ,135
3)确定分离点。
1 d 1 d 3 1 d 1 j 1 d 1 j 0
三、n-m条渐近线；
四、根轨迹的出射角、入射角； 五、根轨迹与虚轴的交点； 六、根轨迹的分离点、会合点； 结合根轨迹的连续性、对称性、根轨迹的 支数、起始点和终点，闭环极点与闭环极点之 和及之积等性质画出根轨迹。
例4—4 设系统开环传递函数为设系统开 环传递函数为： K
G( s) s( s 3)( s 2s 2)
d 3.414 ，d 0.586（舍去）
《自动控制原理》第4章 线性系统的根轨迹法
s=-2 分离角=±90。 o 与虚轴的交点
68
4.5 广义根轨迹
根轨迹部分是个半圆,半径是 k *
证明：根轨迹上一点S满足相角条件
s (s j2) (s j2)
代入s j
( j) ( j( 2)) ( j( 2))
arctan arctan 2 arctan 2
K* G(s)
s(s 2)(s 1)
26
法则五：根轨迹的分离点与分离角
分离点：几条根轨迹在[s]某一点相遇后又分开 的点。
说明有重根
27
实轴上的分离点（常见）
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环极点之间， 其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至 少存在一个分离点；
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间， 其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间至 少存在一个分离点；
开环极点：
p1 0 p2 0 p3 2 p4 5
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
59
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.75
60
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
法则二：根轨迹的分支数，对称性和 连续性
• 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限 极点数n中的大者相等，它们是连续的并且 对称于实轴。
22
法则三：根轨迹的渐近线(n>m)
• 当开环有限零点数m小于有限极点数n时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点 ，
68
4.5 广义根轨迹
根轨迹部分是个半圆,半径是 k *
证明：根轨迹上一点S满足相角条件
s (s j2) (s j2)
代入s j
( j) ( j( 2)) ( j( 2))
arctan arctan 2 arctan 2
K* G(s)
s(s 2)(s 1)
26
法则五：根轨迹的分离点与分离角
分离点：几条根轨迹在[s]某一点相遇后又分开 的点。
说明有重根
27
实轴上的分离点（常见）
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环极点之间， 其中一个可以是无限极点，则在这两个极点之间至 少存在一个分离点；
如果根轨迹位于实轴上相邻的两个开环零点之间， 其中一个可以是无限零点，则在这两个零点之间至 少存在一个分离点；
开环极点：
p1 0 p2 0 p3 2 p4 5
（2）实轴上的根轨迹 （3）根轨迹分支数
4
59
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
5)
（4）渐近线
4条
渐近线与实轴的夹角
a
4
3
4
3
4
4
渐近线与实轴的交点（σa ， 0）
4
pi
a
i 1
4
1.75
60
G0 ( s)
s2(s
k* 2)(s
法则二：根轨迹的分支数，对称性和 连续性
• 根轨迹的分支数与开环有限零点数m和有限 极点数n中的大者相等，它们是连续的并且 对称于实轴。
22
法则三：根轨迹的渐近线(n>m)
• 当开环有限零点数m小于有限极点数n时， 有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交点 ，
线性系统的根轨迹法实验报告
线性系统的根轨迹法实验报告实验二线性系统的根轨迹法一,实验目的1，掌握matlab绘制根轨迹的方法。
2，观察k值变化对系统稳定性的影响。
3，掌握系统临界稳定情况下k值得求取。
4，了解增设零点对系统稳定的影响以及改善系统稳定性的方法。
二，实验原理根轨迹的概念:所谓根轨迹就是当开环系统某一参数从零变到无穷大时，闭环系统特征方程式的根在s平面上变化的轨迹。
根轨迹与系统性能:有了根轨迹就可以分析系统的各种性能了，稳定性的判定，当开环增益从零变到无穷大时，根轨迹不会越过虚轴进入s平面的右半平面，此时K的范围为系统稳定的范围，根轨迹与虚轴的交点处的K值，为系统的临界开环增益，开根轨迹进入s平面的右半平面时所对应的K值为系统不稳定的情况。
三，实验内容A、设单位负反馈系统的开环传递函数为G(s)=K/(s*(s+1)(s+5)) (1) 绘制系统的根轨迹，并将手工绘制结果与实验绘制结果比较; (2) 从实验结果上观察系统稳定的K 值范围;(3) 用simulink 环境观察系统临界稳定时的单位阶跃响应分析:绘制根轨迹的matlab文本为clfnum=1;den=conv([1 1 0],[1 5]); rlocus(num,den) %绘制系统根轨迹1,得到如图的根轨迹图:2,用鼠标点击根轨迹与虚轴处的交点可得到临界稳定的开环增益K=30,所以系统稳定的K值范围为0―30。
3，在simulink环境下按下图连接电路:取增益为30的时候在示波器下观察单位节约响应，输出波形为:由图可以看出单位阶跃响应的输出为等幅的震荡输出，所以此时系统为临界稳定状态。
当改变开环增益为50和20时观察示波器，得到输出波形分别为:由图可知当增益K为50时输出为不稳定的震荡输出，此时系统不稳定，当增益K为20时输出的波形震荡越来越缓慢，最后趋于稳定，所以此时的系统是稳定的。
B，设单位反馈控制系统的开环传递函数为G(S)=K(s+3)/s(s+1)(s+2)(1) 仿照上题绘制系统的根轨迹，并判断系统的稳定性; 参照第一题得到matlab命令文本为:clfnum=1;den=conv([1 1 0],[1 2]); rlocus(num,den) %绘制系统根轨迹得到如图的根轨迹图:1，由图可知根轨迹没有进入s平面右半平面，所以系统在K=0到K=?都是稳定的。
第4章 线性系统的根轨迹法(《自动控制原理》课件)
如果用试凑的方法由相角条件来绘制根轨迹, 如果用试凑的方法由相角条件来绘制根轨迹 将会非常不方 人们利用前面介绍的几个式子, 便. 人们利用前面介绍的几个式子 导出一些绘制根轨迹的法则 利用导出的法则, 可方便地绘制出根轨迹的大至形状, 利用导出的法则 可方便地绘制出根轨迹的大至形状 叫概略根 轨迹, 轨迹 这在利用根轨迹对系统进行初步分析和设计时已基本可用 了.
(2) 当0<K<=0.25时, 一个根的绝对值随 的增大而增大 另 的增大而增大, 时 一个根的绝对值随K的增大而增大 一个根的绝对值随K的增大而减小 两根的变化轨迹如下图所示: 的增大而减小, 一个根的绝对值随 的增大而减小 两根的变化轨迹如下图所示 jω ω σ -2 -1.5 -1 0
当K=0.25时, 两根相等 均为 时 两根相等, 均为-1.5 (3) 0.25<K<+∞ 时, 两根为共軛复根 且其实部均为 两根为共軛复根, 且其实部均为-1.5 , 而 +∞ 虚部的绝对值随K的增大而增大 两根的变化轨迹如下图所示: 的增大而增大, 虚部的绝对值随 的增大而增大 两根的变化轨迹如下图所示 jω ω σ
4-2 根轨迹绘制的基本法则
本节通过一个例子, 介绍绘制根轨迹的七条法则, 本节通过一个例子 介绍绘制根轨迹的七条法则 但对法则 不予推导和证明. 不予推导和证明 需指出的是, 需指出的是 绘制根轨迹的前提是必须已知闭环系统的开环 传递函数的零点和极点的具体数值, 一般以K’为参变量 为参变量. 传递函数的零点和极点的具体数值 一般以 为参变量 某闭环系统的开环传递函数为: 例: 某闭环系统的开环传递函数为
阶数. 阶数 K叫开环系统的增益 K’叫开环系统的根轨迹增益 叫开环系统的增益, 叫开环系统的根轨迹增益, 叫开环系统的增益 叫开环系统的根轨迹增益 K与K’的本质相同 仅它们间的值有一系数关系, 即: 与 的本质相同, 仅它们间的值有一系数关系 的本质相同
自动控制原理-线性系统的根轨迹法1
16
规则4：实轴上的根轨迹 规则 若实轴的某一个区域是一部分根轨迹，则必有：其右边 （开环实数零点数+开环实数极点数）为奇数。 这个结论可以用相角条件证明。 由相角条件
∑ ∠(s − z ) −∑ ∠(s − p ) = (2k +1)π
j =1 j i =1 i
m
n
jω
× × × ×
σ
17
规则5：根轨迹渐近线 规则 当 n>m 时，则有（n-m) 条根轨迹分支终止于无限零点。 这些根轨迹分支趋向无穷远的渐近线由与实轴的夹角和 交点来确定。 与实轴夹角
jω
K →∞
K = 2.5
2
稳态性能 开环传递函数在坐标原点有
一个极点，系统为1型系统，根轨迹上 的K值就是静态速度误差系数。如果给 定系统的稳态误差要求，则由根轨迹图 可以确定闭环极点位置的容许位置。 由开环传递函数绘制根轨迹，通常 采用根轨迹增益 根轨迹增益，根轨迹增益与开环增 根轨迹增益 益之间有一个转换关系。
o o
与实轴交点
σa =
i =1
∑ pi − ∑ z j
j =1
n
m
n−m
( 0 − 4 − 1 + j − 1 − j ) − ( − 1) = = − 1 .67 4 −1
23
24
规则6：根轨迹分离点和会合点 规则 两条或两条以上的根轨迹分支在 s 平面上相遇又立即 分开的点称为分离点（会合点）。 分离点（会合点）的坐标 d 由下列方程所决定：
K =1
1
K =0
−2
−1
0
σ
K = 0.5
−1
−2
动态性能
由K值变化所对应的闭环极 点分布来估计。
线性系统的根轨迹法
法则7. 根轨迹与虚轴的交点
交点和临界根轨迹增益的求法：
解： 方法一
例8.
，试求根轨迹与虚轴的交点。
K*=0 w =0 舍去(根轨迹的起点)
与虚轴的交点:
闭环系统的特征方程为：
s=jw
劳斯表：
01
s2的辅助方程：
02
K* =30
03
当s1行等于0时，特征方程可能出现纯虚根。
04
等效的开环传递函数为：
参数根轨迹簇
二、附加开环零、极点的作用
试验点s1点
例1.设系统的开环传递函数为： 试求实轴上的根轨迹。
解：
零极点分布如下：
p1=0，p2=-3，p3=-4，z1=-1，z2=-2
实轴上根轨迹为：[-1，0]、[-3，-2]和 (- ∞ ，-4]
jw
-2
-1
1
2
-1
-2
s
.
.
.
.
.
.
.
.
三、闭环零极点与开环零极点的关系
反馈通路传函：
前向通路传函：
典型闭环系统结构图
KG*--前向通路根轨迹增益 KH*--反馈通路根轨迹增益
K*--开环系统根轨迹增益
1
闭环传递函数：
2
开环传递函数：
01
04
02
03
闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路根轨迹增益。 对于单位反馈系统，闭环系统根轨迹增益等于开环系统根轨迹益。
(5)用(s-s1)去除Q(s)，得到余数R2 ；
(6)计算s2 =s1-R1/R2 ；
(7)将s2 作为新的试探点重复步骤(4)~(6)。
例4.试用牛顿余数定理法确定例3的分离点。
第四章线性系统的根轨迹法
2. 零度根轨迹： 1 实轴上根轨迹区间右侧开环零极点数目之和为偶数 2 实轴与渐近线正方向夹角2kπ/n-m 3 求出射角和入射角时2kπ
4 分离角不变
1-G(S)H(S)=0 G(K)=1 例题：开环传递函数：
绘制系统的根轨迹。
解：①n=3.所以根轨迹有三条。 ②极点： ③渐近线： 5 分离点：
令 1． 闭环零极点由前向通道的零点和反馈通道的极点构成，对于单 位负反馈系统的闭环零点就是开环零点。 2． 闭环极点与开环极点，开环零极点及根轨迹都有关系。
4）.根轨迹方程：
幅值条件： 相角条件： ①满足相角条件的点肯定是根轨迹上的点，相角条件是确定根轨迹 的充要条件。 ②幅值条件是用来确定根轨迹上的点所对应的根轨迹增益。 5）.绘制更轨迹的法则： ①根轨迹的连续性：根轨迹是连续变化的直线或曲线。 ②根轨迹的对称性：根轨迹位于幅平面的实轴上或对称的实轴上。 ③根轨迹的条数;等于系统的阶次。即：闭环特征根最高次幂。 ④根轨迹的起点和终点：起源于n个开环极点，终止于m个开环零点。 以及n-m个无穷远零点。
闭环极点。
解 （1）系统的开环极点为，，是根轨迹各分支的起点。由于 系统没有有限开环零点，三条根轨迹分支均趋向于无穷远处。 （2）系统的根轨迹有条渐进线
渐进线的倾斜角为 取式中的K=0，1，2，得=π/3，π，5π/3。
渐进线与实轴的交点为
三条渐近线如图的虚线所示。 （3）实轴上的根轨迹位于原点与－1点之间以及－2点的左边，如图中 的粗实线所示。 （4）确定分离点：系统的特征方程式为 即
所以 即： ②分离点： 证明：
②除以①式
无零点 分离点重根 ③分离角：指根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向之 间的夹角。当l条根轨迹进入并立即离开分离点时 8）根轨迹的出射角和入射角： 出射角：起始于开环极点的根轨迹在起点处，切线方向与正实轴的夹 角。 入射角：终止于开环零点的根轨迹在终点处切线方向与正实轴的夹角。
4 分离角不变
1-G(S)H(S)=0 G(K)=1 例题：开环传递函数：
绘制系统的根轨迹。
解：①n=3.所以根轨迹有三条。 ②极点： ③渐近线： 5 分离点：
令 1． 闭环零极点由前向通道的零点和反馈通道的极点构成，对于单 位负反馈系统的闭环零点就是开环零点。 2． 闭环极点与开环极点，开环零极点及根轨迹都有关系。
4）.根轨迹方程：
幅值条件： 相角条件： ①满足相角条件的点肯定是根轨迹上的点，相角条件是确定根轨迹 的充要条件。 ②幅值条件是用来确定根轨迹上的点所对应的根轨迹增益。 5）.绘制更轨迹的法则： ①根轨迹的连续性：根轨迹是连续变化的直线或曲线。 ②根轨迹的对称性：根轨迹位于幅平面的实轴上或对称的实轴上。 ③根轨迹的条数;等于系统的阶次。即：闭环特征根最高次幂。 ④根轨迹的起点和终点：起源于n个开环极点，终止于m个开环零点。 以及n-m个无穷远零点。
闭环极点。
解 （1）系统的开环极点为，，是根轨迹各分支的起点。由于 系统没有有限开环零点，三条根轨迹分支均趋向于无穷远处。 （2）系统的根轨迹有条渐进线
渐进线的倾斜角为 取式中的K=0，1，2，得=π/3，π，5π/3。
渐进线与实轴的交点为
三条渐近线如图的虚线所示。 （3）实轴上的根轨迹位于原点与－1点之间以及－2点的左边，如图中 的粗实线所示。 （4）确定分离点：系统的特征方程式为 即
所以 即： ②分离点： 证明：
②除以①式
无零点 分离点重根 ③分离角：指根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向之 间的夹角。当l条根轨迹进入并立即离开分离点时 8）根轨迹的出射角和入射角： 出射角：起始于开环极点的根轨迹在起点处，切线方向与正实轴的夹 角。 入射角：终止于开环零点的根轨迹在终点处切线方向与正实轴的夹角。
线性系统的根轨迹法
利用根轨迹分析系统的稳态性能
在根轨迹图上画出 ξ = 0.5 的径向直4线
Root Locus
Imaginary Axis
2
与根轨迹的交点
0
s1,2 = −1± j 3
-2
由法则8可求出第三个极点
-4
-4 -3 -2 -1
0
1
s3 = (−2 − 2 − 2) − (−1+ j 3 −1− j 3) = −4
Imaginary Axis
Root Locus 4
Root Locus 4
Root Locus 4
2
2
2
0
0
0
-2
-2
-2
-4 -3 -2 -1 0
1
-4 -3 -2 -1
0
1
-4 -3 -2 -1 0
1
Real Axis
Real Axis
Real Axis
自自 动 控 制 原 理
小结
p 根轨迹的概念（开环绘制à分析闭环） p 绘制根轨迹的基本法则 ☆ p 特殊根轨迹的绘制 p 基于根轨迹的系统性能分析
自自 动 控 制 原 理
利用根轨迹估计系统的动态特性
jω
ωd
β
−σ
0
等σ%线
−πξ
σ % = e 1−ξ 2 ×100%
= e−π tan−1 β ×100%
σ
等ts线 Δ = 0.05
−ωd
ts
=
3.5
ξωn
=
3.5
σ
等tp线
tp
=
π ωd
自自 动 控 制 原 理
利用根轨迹估计系统的动态特性
s4 - 线性系统的根轨迹法
再看例4.2
例4.2 已知某负反馈系统的开环传递函数为 : G ( s ) H ( s ) = 概略绘制 K*从0→∞变化时的根轨迹。 解： 首先判断其属于1800根轨迹。 ① ②
n
K* s ( s + 1)( s + 2)
–
Im 2 1 Re 0
③
–
④ 求重根点：
m 1 1 = ∑ ∑ d − p j =1 i =1 d − z i j
—
-3
-2
×
—
-1
×
—
- 0.42
●
×
–
1 1 1 有： + + = 0 ⇒ 3d 2 + 6d + 2 = 0 d d +1 d + 2
⎧− 0.42 − 6 ± 36 − 24 d= = −1 ± 0.58 = ⎨ 6 ⎩− 1.58(舍去)
标在图上. 那这两条根轨迹沿什么方向离开重根点、趋向于渐近线呢?
规则 2: 根轨迹的每一条分支都是连续的；根轨迹对称于实轴。
3. 根轨迹的起点和终点
起点： K * = 0 时， 特征根 S = ? i 终点： K * → ∞ 时，特征根 S i = ?
n
根轨迹起始 于开环极点
j
根轨迹终止 于开环零点
整理特征方程可得：K = −
*
∏ (s − p ) ∏ (s − z )
i =1 n j j =1
K * ∏ s − zi
m
∏ (s − z )
i =1 j
m
∏ (s − p
j =1
n
=1
0°根轨迹 相角条件
)
模值条件
i
自动控制原理-胡寿松-第四章
过阻尼系统；
当K＝0. 5时：
临界阻尼系统；
当K＞0. 5时：
欠阻尼系统。
(s)
s2
2K 2s
2K
11
4-1 根轨迹法的基本概念
2. 根轨迹与系统性能
上述分析表明：根轨迹与系统性能之间有 着比较密切的联系。
对于高阶系统而言，用解析的方法绘制系 统的根轨迹图，显然是不适用的。希望能有简 便的图解方法，可根据已知的开环传递函数迅 速绘出闭环系统的根轨迹。为此，需要研究闭 环零、极点与开环零、极点之间的关系。
（2）稳态性能：由开环系统 在坐标原点处的极点数可判断 出系统的型别，而此时的K值 就是相应的静态误差系数。如 果给定系统的稳态误差要求， 则由根轨迹图可以确定闭环极 点位置的容许范围。
G(s) K s(0.5s 1)
10
4-1 根轨迹法的基本概念
2. 根轨迹与系统性能
（3）动态性能：
当0＜K＜0. 5时：
12
3. 闭环零、极点与 开环零、极点之间的关系
一般情况下，前向通路传递函数G(s)可表示为：
f
G(s)
KG
(1s
1)(
2 2
s2
2
1
2
s
1)L
sv (T1s 1)(T22s2 2 2T2s 1)L
KG*
(s zi )
i 1 q
(s pi )
i 1
KG
为前向通路增益；K
* G
为前向通路根轨迹增益。
m
(s zj)
等价为：
K * j1 n
1
(s pi )
2
第四章 线性系统的根轨迹法
4-1 根轨迹法的基本概念
天津大学812 自动控制原理课件 第4章 线性系统的根轨迹法
二、根轨迹方程
根轨迹：当系统某一参数由0变化到无穷大时，闭环系统特征根在s平面上 的轨迹。 由（4-1）可得闭环系统的特征方程为 1 G(s) H (s) 0 由（4-3）式得
(s z )
j
m
K*
(s p )
i i
m
j n
1 1e j ( 2 k 1)
( k 0,1,2,
n m n * i j i i 1 j 1 i 1
例：要求系统闭环主导极点的阻尼比为0.5，试确定系统的根轨迹增益K*、 闭环主导极点和系统开环增益K。
K* G( s) H ( s) , s(s 3)(s 2 2s 2)
ξ =0.5
解：过原点作ξ=0.5的等阻尼线， 等阻尼线与根轨迹分支的交点 即为待求的一个闭环极点 0.41 j 0.71 ，另一共轭闭环极点为 0.41 j 0.71 ； 由根轨迹增益公式，可得2.63,； 由开环传函可得开环增益为 K K * 1 0;.44
j 1
m
z j pi
j 1, j i
n
Pj Pi
Pi 180o
同理可证终止角公式。
例4-3 P148 设系统的开环传递函数为
K * (s 1.5)(s 2 j )(s 2 j ) G( s) s(s 2.5)(s 0.5 j1.5)(s 0.5 1.5 j )
连续变化，则根轨迹连续变化；由于代数方程的根关于 实轴对称，根轨迹也关于实轴对称。
法则3：根轨迹的渐近线：当开环极点数n大于开环零数m时，有n-m条根 轨迹分支沿着与实轴交角为 a 、交点为 a 的一组渐近线趋向无 穷远处，其中：
自动控制原理_第4章_线性系统的根轨迹法
4.2 绘制根轨迹的依据--根轨迹方程
R(s)
G ( s) H ( s)
C(s)
一、闭环零极点与开环零极点的关系
* KG
* KH d
G( s)
Π ( s z j )
j 1
a
( s pi ) Π i 1
* a
b
* KG A( s)
B( s)
c
H ( s)
Π ( s zl )
K* G( s) s( s 1)(s 2)
试绘制系统的概略根轨迹。 解：开环极点 p1=0， p2=-1， p3=-2，无开环零点。
实轴上的根轨迹 (-∞，-2]， [-1，0]。 渐进线 n=3，m=0，有三条渐进线。
0 1 2 1 交点 a nm 3
i 1
pi
1/4<K<∞时，s1,s2为一对共轭复根； K=1/2时，s1,2=－1/2±j0.5。
注意：一组根对应同一个K；K 一变，一组根变；K一停， 一组根停；
K=0.5 K=0 -1
jω
j0.5 0
σ
-j0.5 根轨迹：简称根迹，它是指系统中某一 K=0.1875 K=0.25
参数在可能的取值范围内连续变化时， 闭环系统特征根在s平面上的变化轨迹。
a
pi z j
i 1 j 1
n
m
nm
a
(2k 1) nm
k 0,1,2,, 直到获得(n m)个夹角为止 .
开环传递函数
G ( s) H (s) K * Π ( s z j )
j 1 m
( s pi ) Π i 1
n
K*
自动控制原理 第4章 线性系统的根轨迹法：根轨迹法的基本概念 绘制的基本法则
-1.5
相角条件：92.49o- 66.27o- 78.8o- 127.53o= –180o 模值条件 K*= 2.26×2.11×2.61 = 6 2.072
k* 6 k 4 1.5 1.5
k * (s 1) G (s )H (s ) (s 0.5)( s 1.5)( s 2)
根轨迹的模值条件与相角条件 没有零点的相角条件和模值条件你会推吗？ 相角条件: (P140) n m
∑ ∠ (s-z ) － ∑ ∠ (s-p ) = (2k+1) π j i j=1 i=1
m 绘制根轨迹的充要条件
k=0, ±1, ±2, …
模值条件:
1+K Kn =
i=1
) ∏︱ ( s - zn ︱ j p s ︱ ︱ ∏ j=1 i * *
规则6：根轨迹的起始角（出射角）和终止角 （入射角）
起始角（出射角）：根轨迹离开复平面上开环极点处的
切线与实轴的夹角
pi
。
m n o pi 1 8 0 zj p p p i j i 1 j 1 j j i
终止角（入射角）：根轨迹进入复平面上开环零点处的
j
-2
-1
0
综上所述： （1）k*从0 ~ ∞ 时，系统的根轨迹是连续变化。可见：
系统的参量变化对系统闭环极点分布的影响。
（2）由根轨迹图，可得系统动、静态性能的信息： 1）稳定性 无论k*值如何变化（ k*>0），闭环极点不出现
在s的右半平面，所以系统是稳定的。
2）稳态误差
I型系统，K为静态速度误差系数。
2019/2/17
特征方程：
S2+2s+2k=0
第四章 线性系统的根轨迹法解析
根轨迹法由开环传递函数间接判断闭环特征根 的概略图，避免了直接求解系统闭环特征根的困难。
本章目录
4-1 根轨迹的基本概念 4-2 根轨迹绘制的基本法则 4-3 广义根轨迹 4-4 系统性能的分析 4-5 控制系统复域设计
4-1 根轨迹法的基本概念
1、定义 根轨迹法: 开环系统的某一参数从零到无穷变
D(s) s(s 1) K *(s 2) s2 (1 K * )s 2K *
(1 K * ) (1 K * )2 8K *
s1,2
2
(1 K * )
j
8K * (1 K * )2 j
2
2
(1 K * ) K * 2 1
2
2 8K * (1 K * )2 8(2 1) 4 2 2 4 2
根轨迹增益与前向通道增益的转换关系
K*
K
1
2 2
T1T22
系统结构图如图所示，确定闭环零点
闭环零点=前向通道零点+反馈通道极点 闭环极点与开环零点、开环极点及 K* 均有关
结论： （1）闭环系统根轨迹增益等于开环系统前向通道根 轨迹增益。对于单位反馈系统，闭环系统根轨迹增益 就等于开环系统根轨迹增益。 （2）闭环零点由开环前向通路的零点和反馈通路的 极点所组成。对于单位反馈系统，闭环零点就是开环 零点。 （3）闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增 益K* 均有关系。
K : 开环增益 K*: 根轨迹增益
(s)
C(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ) R(s)
s2
K* 2s
K*
D(s) s2 2s K * 0
l1,2 1 1 K *
D(s) s2 2s K * 0
l1,2 1 1 K *
本章目录
4-1 根轨迹的基本概念 4-2 根轨迹绘制的基本法则 4-3 广义根轨迹 4-4 系统性能的分析 4-5 控制系统复域设计
4-1 根轨迹法的基本概念
1、定义 根轨迹法: 开环系统的某一参数从零到无穷变
D(s) s(s 1) K *(s 2) s2 (1 K * )s 2K *
(1 K * ) (1 K * )2 8K *
s1,2
2
(1 K * )
j
8K * (1 K * )2 j
2
2
(1 K * ) K * 2 1
2
2 8K * (1 K * )2 8(2 1) 4 2 2 4 2
根轨迹增益与前向通道增益的转换关系
K*
K
1
2 2
T1T22
系统结构图如图所示，确定闭环零点
闭环零点=前向通道零点+反馈通道极点 闭环极点与开环零点、开环极点及 K* 均有关
结论： （1）闭环系统根轨迹增益等于开环系统前向通道根 轨迹增益。对于单位反馈系统，闭环系统根轨迹增益 就等于开环系统根轨迹增益。 （2）闭环零点由开环前向通路的零点和反馈通路的 极点所组成。对于单位反馈系统，闭环零点就是开环 零点。 （3）闭环极点与开环零点、开环极点以及根轨迹增 益K* 均有关系。
K : 开环增益 K*: 根轨迹增益
(s)
C(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ) R(s)
s2
K* 2s
K*
D(s) s2 2s K * 0
l1,2 1 1 K *
D(s) s2 2s K * 0
l1,2 1 1 K *
线性系统的根轨迹法
第4章 线性系统 的根轨迹法
➢根轨迹的基本概念 ➢绘制根轨迹的基本法则 ➢控制系统的根轨迹分析
▪ 对高阶系统而言，采用因式分解求取系统的闭环特征方程根 （即闭环极点）一般是极为困难的。
▪ 在控制系统的设计中，经常需要考察系统某一参数（如开环根 增益）改变时，闭环极点的位置改变情况，以便于根据控制系 统的性能要求，确定这些参数。
是恒包络,而且当码组的变化为0→1,或者 1→0时, 会产生π的最大相位跳变。这种相 位跳变会引起带限滤波后的数字调相信号 包络起伏,甚至出现“0”包络现象,如图9 －1所示。为了消除 π的相位跳变,在 QPSK 的基础上提出 OQPSK。
▪ 图9－1 QPSK 信号限带滤波前、后的波形
每个码元的前一比特为同相分量I(t),后一 比特 为正交分量Q(t),然后利用同相分量和 正交分量分别对两个正交的载波进行2PSK 调制, 最后将两路调制结果叠加,得到 QPSK 信号。在当前任意相位,下一时刻的 相位均有四种 可能取值,因而相位跳变量 可能为0,±π/2或π,如图9－ 2(a)所示,当两 个比特同时发生 极性翻转时,将产生π的相 移,经过带通滤波器之后所形成的包络起伏 必然达到最大。
数字高清晰度电视的图像信息速率接 近1GB/s,要在实际信道中传输,除应采用高 效 的信源压缩编码技术、先进的信道编码 技术之外,采用高效的数字调制技术来提高 单位频 带的数据传送速率也是极为重要的。
地提 高数字电视覆盖率,根据数字电视信 道的特点,要进行地面信道、卫星信道、有 线信道的编 码调制后,才能进行传输。由 于数字电视系统中传送的是数字电视信号, 因此必须采用高 速数字调制技术来提高频 谱利用率,从而进一步提高抗干扰能力,以 满足数字高清晰度电 视系统的传输要求。
➢根轨迹的基本概念 ➢绘制根轨迹的基本法则 ➢控制系统的根轨迹分析
▪ 对高阶系统而言，采用因式分解求取系统的闭环特征方程根 （即闭环极点）一般是极为困难的。
▪ 在控制系统的设计中，经常需要考察系统某一参数（如开环根 增益）改变时，闭环极点的位置改变情况，以便于根据控制系 统的性能要求，确定这些参数。
是恒包络,而且当码组的变化为0→1,或者 1→0时, 会产生π的最大相位跳变。这种相 位跳变会引起带限滤波后的数字调相信号 包络起伏,甚至出现“0”包络现象,如图9 －1所示。为了消除 π的相位跳变,在 QPSK 的基础上提出 OQPSK。
▪ 图9－1 QPSK 信号限带滤波前、后的波形
每个码元的前一比特为同相分量I(t),后一 比特 为正交分量Q(t),然后利用同相分量和 正交分量分别对两个正交的载波进行2PSK 调制, 最后将两路调制结果叠加,得到 QPSK 信号。在当前任意相位,下一时刻的 相位均有四种 可能取值,因而相位跳变量 可能为0,±π/2或π,如图9－ 2(a)所示,当两 个比特同时发生 极性翻转时,将产生π的相 移,经过带通滤波器之后所形成的包络起伏 必然达到最大。
数字高清晰度电视的图像信息速率接 近1GB/s,要在实际信道中传输,除应采用高 效 的信源压缩编码技术、先进的信道编码 技术之外,采用高效的数字调制技术来提高 单位频 带的数据传送速率也是极为重要的。
地提 高数字电视覆盖率,根据数字电视信 道的特点,要进行地面信道、卫星信道、有 线信道的编 码调制后,才能进行传输。由 于数字电视系统中传送的是数字电视信号, 因此必须采用高 速数字调制技术来提高频 谱利用率,从而进一步提高抗干扰能力,以 满足数字高清晰度电 视系统的传输要求。
线性系统的根轨迹法
g
i
3）若n>m,另(n-m)条根轨迹的终点？？
由
kg
(s p )
j 1 m j
n
同理，若m>n, (s p ) s 则有 (m-n) 条根轨迹起于无穷远处。 lim lim lim s 当 s 时，
i 1 i
(s z )
s
可知， k
n j 1 m j
Kg= 0 2
Kg=1 1
Kg
Kg= 0 0
当 k g 1 时，闭环两个实极点重合，系统为 临界阻尼系统，单位阶跃响应为非周期过程。
当 k g 1 时，闭环极点为一对共轭复数极点， 系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡 过程。
3. 根轨迹的条件方程
系统的结构如图所示：
开环传函：
1.根轨迹的定义
当某一参数从0变化时，系统闭环特征 方程的根在s 平面上的变化轨迹，称为根轨 迹。 当闭环系统没有零、极点相消时，闭环特 征根就是闭环传递函数的极点，即闭环极点。
引例：
已知系统的结构图所示，分 析 0 K 时，闭环特征根在 s平面上变化的轨迹。 解：系统的开环传递函数为
pj zi
s-zi
矢量的模：
s zi
s pj
矢量的相角：
（矢量与正实轴的夹角）
( s zi )
( s p j )
Kg
( s z
i 1 n j 1
m
i
) 1 )
——根轨迹的条件方程
( s p
j
• 根轨迹方程可看成一个矢量方程，因此可分 解出以下的模值条件和相角条件方程：
g
时，左边=∞
n
n m
i
3）若n>m,另(n-m)条根轨迹的终点？？
由
kg
(s p )
j 1 m j
n
同理，若m>n, (s p ) s 则有 (m-n) 条根轨迹起于无穷远处。 lim lim lim s 当 s 时，
i 1 i
(s z )
s
可知， k
n j 1 m j
Kg= 0 2
Kg=1 1
Kg
Kg= 0 0
当 k g 1 时，闭环两个实极点重合，系统为 临界阻尼系统，单位阶跃响应为非周期过程。
当 k g 1 时，闭环极点为一对共轭复数极点， 系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡 过程。
3. 根轨迹的条件方程
系统的结构如图所示：
开环传函：
1.根轨迹的定义
当某一参数从0变化时，系统闭环特征 方程的根在s 平面上的变化轨迹，称为根轨 迹。 当闭环系统没有零、极点相消时，闭环特 征根就是闭环传递函数的极点，即闭环极点。
引例：
已知系统的结构图所示，分 析 0 K 时，闭环特征根在 s平面上变化的轨迹。 解：系统的开环传递函数为
pj zi
s-zi
矢量的模：
s zi
s pj
矢量的相角：
（矢量与正实轴的夹角）
( s zi )
( s p j )
Kg
( s z
i 1 n j 1
m
i
) 1 )
——根轨迹的条件方程
( s p
j
• 根轨迹方程可看成一个矢量方程，因此可分 解出以下的模值条件和相角条件方程：
g
时，左边=∞
n
n m
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➢当 kg 1 时，闭环极点为一对共轭复数极点， 系统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼振荡 过程。
3. 根轨迹的条件方程
R(s) E(s)
C(s)
G(s)
系统的结构如图所示：
H(s)
开➢根环G根轨(传s轨)迹H函迹(条：s )上件 K的方g 点i程nm1 必(，s 满而zi 足)满 足根轨迹方程的(点s 必pj 然)
一定要写 成零极点 的形式
K——系统的开环增益， Kg = 2K——为系统的开环根轨迹增益
闭环传递函数：
(s)
Kg
s2 2s K g
闭环特征方程： 1 Gk s 0
s2 2s Kg 0
闭环特征根： s1,2 1 1 K g
(1) Kg= 0时，s1 = 0、s2 = 2 （对应两个开环极点，称为根 轨迹的起点，用×表示）。
迹。 ➢当闭环系统没有零、极点相消时，闭环特 征根就是闭环传递函数的极点，即闭环极点。
引例：
R(s)
➢已知系统的结构图所示，分 析 0 K 时，闭环特征根在
s平面上变化的轨迹。
解：系统的开环传递函数为
Gk s
K s( 0.5s
1)
s(
2K s2
)
s(
Kg s2
)
K C(s) s(0.5s+1)
Kg j
（1） 稳定性
Kg= 0
Kg=1 Kg= 0
➢当Kg从0 变化时，如系 2
1 0
统的根轨迹不会越过虚轴进
入右半s平面，则该系统对所
Kg
有的Kg值都是稳定的。
➢如果系统的根轨迹有可能进 入右半s 平面，此时根迹与虚 轴交点处的Kg 值，称为临界 开环增益。
（2）稳态性能
➢由原点处的开环极点数 可确定系统的型别，如果 给定系统对稳态误差的要
闭在环根传轨函迹：上。j1
式中，
zi、p j——开环零、极点
K g ——根轨迹增益
m、n ——开环零、极点数
( s ) C( s ) G( s )
R( s ) 1 G( s )H ( s )
一定要写成
闭环特征方程: 1 G( s )H( s ) 0
零极点的标 准形式
m
( s zi )
K i1 gn
1 ——根轨迹的条件方程
(s pj )
j1
矢量运算复习
s=σ+jω +j s-pj
图中，
s—复平面上任意一点
pj —系统的开环极点 · zi —系统的开环零点
pj s-zi
zi
矢量的模：
s zi
s pj
矢量的相角：
（矢量与正实轴的夹角）
( s zi ) ( s p j )
➢复平面上任意一点，都可用 一个矢量表示，如图所示。
4-2 常规根轨迹的绘制法则
m
模值条件方程：
s zi
i 1
n
s pj
1
Kg
j 1
m
n
相角条件方程： ( s zi ) ( s p j ) ( 2k 1 )
——相角条件方程
➢相角条件是确定s平面上根轨迹的充要条件，
绘制根轨迹时，只需要使用相角条件；而当需要
确定根轨迹上各点的Kg值时，才使用模值条件。
➢下面看看怎样按上式表示的幅值条件和相角条件绘制系统
的根轨迹图。
j
➢系统开环零极点分布如图。
p2
➢在s平面找一点s1，画出各开环 零、极点到s1点的矢量。
第四章 线性系统的根轨迹法
4-1 根轨迹的基本概念 4-2 常规根轨迹的绘制法则 4-3 广义根轨迹 4-4 系统性能的分析 4-5 根轨迹分析的MATLAB方法
4-1 根轨迹的基本概念
➢由上一章的分析可知，系统的稳定性由闭 环极点唯一确定，而系统的稳态性能和动态 性能又由闭环零、极点的分布确定。
求，则对Kg（K）有要求，
由根迹图可以确定闭环极 点位置的容许范围。
Kg= 0
2
j
Kg
Kg=1
1
Kg= 0
0
Kg
（3） 动态性能
Kg j
➢当 0 kg 1 时，闭环极点均 位于负实轴上，系统为过阻尼
Kg= 0 2
Kg=1 Kg= 0
1 0
系统，单位阶跃响应为非周期
过程。
Kg
➢ 当kg 1 时，闭环两个实极点重合，系统为 临界阻尼系统，单位阶跃响应为非周期过程。
——特征根的分布随着
Kg的改变而变化。
j
Kg
(2) 0 < Kg< 1时，为两个不相等
的负实根。 Kg s1 ，s2 。。
(3) Kg= 1时， s1 = s2 = 1， 为两个相等的负实根。
Kg= 0
2
Kg=1 Kg= 0
1 0
(4) Kg >1时，s1,2 1 j K g 1 为一对实部为-1的共轭复数根。
➢闭环零点一般较容易确定，而闭环极点较 难确定。根轨迹法为我们提供了一种确定闭 环极点简便的图解方法。
➢根轨迹法是根据开环零、极点的分布，用 作图的方法来确定闭环极点的一种图解方法。 由于它简便、直观，在工程实践中得到了广 泛的应用。
1.根轨迹的定义
➢当某一参数从0变化时，系统闭环特征
方程的根在s 平面上的变化轨迹，称为根轨
➢根据矢量的运算法则 s-pj——表示从开环极点pj 指向s的矢量；
s-zi——表示从开环零点zi 指向s的矢量；
m
( s zi )
K i1 gn
1
(s pj )
j1
——根轨迹的条件方程
• 根轨迹方程可看成一个矢量方程，因此可分 解出以下的模值条件和相角条件方程：
m
s zi
K i1 gn
1
Kg
结 论：
Gk s
Kg s( s 2 )
（1）n阶系统有n个根，有n条根轨迹分支；
（2）每条根轨迹的起点(Kg= 0)位于开环极点处；
（3）每条根轨迹的终点(Kg )
或为开环零点处或为无穷远
处。
（4）重根点，称为分离点 或汇合点。
Kg= 0
2
j
Kg
Kg=1 Kg与系统性能
s pj
j1
——模值条件方程
m
n
( s zi ) ( s p j ) ( 2k 1 ) ( k 0 ,1,2 )
i1
j1
——相角条件方程
m
s zi
K i1 gn
1
s pj
j1
——模值条件方程
m
n
( s zi ) ( s p j ) ( 2k 1 )
i1
j1
( k 0 ,1,2 )
➢检验s1是否满足幅角条件： z1
2 1
s1
1
p1 0
( s z1 ) ( s p1 ) ( s p2 ) ( s p3 )
1 1 2 3 ( 2k 1 )
p3
3
➢如果s1点满足相角条件，则是
根轨迹上的一点。
➢寻找在s 平面内满足相角条件的所有点，将这些点连成
光滑曲线，即是闭环系统根轨迹图。
3. 根轨迹的条件方程
R(s) E(s)
C(s)
G(s)
系统的结构如图所示：
H(s)
开➢根环G根轨(传s轨)迹H函迹(条：s )上件 K的方g 点i程nm1 必(，s 满而zi 足)满 足根轨迹方程的(点s 必pj 然)
一定要写 成零极点 的形式
K——系统的开环增益， Kg = 2K——为系统的开环根轨迹增益
闭环传递函数：
(s)
Kg
s2 2s K g
闭环特征方程： 1 Gk s 0
s2 2s Kg 0
闭环特征根： s1,2 1 1 K g
(1) Kg= 0时，s1 = 0、s2 = 2 （对应两个开环极点，称为根 轨迹的起点，用×表示）。
迹。 ➢当闭环系统没有零、极点相消时，闭环特 征根就是闭环传递函数的极点，即闭环极点。
引例：
R(s)
➢已知系统的结构图所示，分 析 0 K 时，闭环特征根在
s平面上变化的轨迹。
解：系统的开环传递函数为
Gk s
K s( 0.5s
1)
s(
2K s2
)
s(
Kg s2
)
K C(s) s(0.5s+1)
Kg j
（1） 稳定性
Kg= 0
Kg=1 Kg= 0
➢当Kg从0 变化时，如系 2
1 0
统的根轨迹不会越过虚轴进
入右半s平面，则该系统对所
Kg
有的Kg值都是稳定的。
➢如果系统的根轨迹有可能进 入右半s 平面，此时根迹与虚 轴交点处的Kg 值，称为临界 开环增益。
（2）稳态性能
➢由原点处的开环极点数 可确定系统的型别，如果 给定系统对稳态误差的要
闭在环根传轨函迹：上。j1
式中，
zi、p j——开环零、极点
K g ——根轨迹增益
m、n ——开环零、极点数
( s ) C( s ) G( s )
R( s ) 1 G( s )H ( s )
一定要写成
闭环特征方程: 1 G( s )H( s ) 0
零极点的标 准形式
m
( s zi )
K i1 gn
1 ——根轨迹的条件方程
(s pj )
j1
矢量运算复习
s=σ+jω +j s-pj
图中，
s—复平面上任意一点
pj —系统的开环极点 · zi —系统的开环零点
pj s-zi
zi
矢量的模：
s zi
s pj
矢量的相角：
（矢量与正实轴的夹角）
( s zi ) ( s p j )
➢复平面上任意一点，都可用 一个矢量表示，如图所示。
4-2 常规根轨迹的绘制法则
m
模值条件方程：
s zi
i 1
n
s pj
1
Kg
j 1
m
n
相角条件方程： ( s zi ) ( s p j ) ( 2k 1 )
——相角条件方程
➢相角条件是确定s平面上根轨迹的充要条件，
绘制根轨迹时，只需要使用相角条件；而当需要
确定根轨迹上各点的Kg值时，才使用模值条件。
➢下面看看怎样按上式表示的幅值条件和相角条件绘制系统
的根轨迹图。
j
➢系统开环零极点分布如图。
p2
➢在s平面找一点s1，画出各开环 零、极点到s1点的矢量。
第四章 线性系统的根轨迹法
4-1 根轨迹的基本概念 4-2 常规根轨迹的绘制法则 4-3 广义根轨迹 4-4 系统性能的分析 4-5 根轨迹分析的MATLAB方法
4-1 根轨迹的基本概念
➢由上一章的分析可知，系统的稳定性由闭 环极点唯一确定，而系统的稳态性能和动态 性能又由闭环零、极点的分布确定。
求，则对Kg（K）有要求，
由根迹图可以确定闭环极 点位置的容许范围。
Kg= 0
2
j
Kg
Kg=1
1
Kg= 0
0
Kg
（3） 动态性能
Kg j
➢当 0 kg 1 时，闭环极点均 位于负实轴上，系统为过阻尼
Kg= 0 2
Kg=1 Kg= 0
1 0
系统，单位阶跃响应为非周期
过程。
Kg
➢ 当kg 1 时，闭环两个实极点重合，系统为 临界阻尼系统，单位阶跃响应为非周期过程。
——特征根的分布随着
Kg的改变而变化。
j
Kg
(2) 0 < Kg< 1时，为两个不相等
的负实根。 Kg s1 ，s2 。。
(3) Kg= 1时， s1 = s2 = 1， 为两个相等的负实根。
Kg= 0
2
Kg=1 Kg= 0
1 0
(4) Kg >1时，s1,2 1 j K g 1 为一对实部为-1的共轭复数根。
➢闭环零点一般较容易确定，而闭环极点较 难确定。根轨迹法为我们提供了一种确定闭 环极点简便的图解方法。
➢根轨迹法是根据开环零、极点的分布，用 作图的方法来确定闭环极点的一种图解方法。 由于它简便、直观，在工程实践中得到了广 泛的应用。
1.根轨迹的定义
➢当某一参数从0变化时，系统闭环特征
方程的根在s 平面上的变化轨迹，称为根轨
➢根据矢量的运算法则 s-pj——表示从开环极点pj 指向s的矢量；
s-zi——表示从开环零点zi 指向s的矢量；
m
( s zi )
K i1 gn
1
(s pj )
j1
——根轨迹的条件方程
• 根轨迹方程可看成一个矢量方程，因此可分 解出以下的模值条件和相角条件方程：
m
s zi
K i1 gn
1
Kg
结 论：
Gk s
Kg s( s 2 )
（1）n阶系统有n个根，有n条根轨迹分支；
（2）每条根轨迹的起点(Kg= 0)位于开环极点处；
（3）每条根轨迹的终点(Kg )
或为开环零点处或为无穷远
处。
（4）重根点，称为分离点 或汇合点。
Kg= 0
2
j
Kg
Kg=1 Kg与系统性能
s pj
j1
——模值条件方程
m
n
( s zi ) ( s p j ) ( 2k 1 ) ( k 0 ,1,2 )
i1
j1
——相角条件方程
m
s zi
K i1 gn
1
s pj
j1
——模值条件方程
m
n
( s zi ) ( s p j ) ( 2k 1 )
i1
j1
( k 0 ,1,2 )
➢检验s1是否满足幅角条件： z1
2 1
s1
1
p1 0
( s z1 ) ( s p1 ) ( s p2 ) ( s p3 )
1 1 2 3 ( 2k 1 )
p3
3
➢如果s1点满足相角条件，则是
根轨迹上的一点。
➢寻找在s 平面内满足相角条件的所有点，将这些点连成
光滑曲线，即是闭环系统根轨迹图。