矢量的基本代数运算

《微分几何简介》笔记

Ch.1 矢量代数及其在解析几何中的简单应用 §1 矢量代数

定义：矢量即既有大小，又有方向的量（数学量、物理量等）。

1.1 直角坐标系-点的坐标与矢的分量

在三维空间中，取任意一点O 和任意彼此垂直的三个右旋的（即构成右手系的）单位矢量1e ，2e ，3e ，构成一个直角坐标系（或标架）。用],,;[321e e e O =σ表示；O 称为σ的原点，1e ，2e ，3e 称为σ的基矢(或底矢)。

若P 为空间任意一点，以O 为始点，P 为终点的矢量OP =r 称为P 点在标架σ里的径矢。P 点在σ里的坐标1x ，2x ，3x 就是r 径矢在σ里的分量：

332211e e e r x x x ++=

若P 、Q 为空间两点，它们在σ里的径矢依次为

332211e e e r x x x ++=，332211e e e s y y y ++=

则矢量

333222111)()()(e e e r s x y x y x y OP OQ PQ -+-+-=-=-=

其中)3,2,1(=-i x y i i 就是该矢量在σ里的分量。各分量均为0的矢量称为零矢。

在同一标架里，两个矢量相等的充要条件是它们的分量依次相等。 矢量332211e e e αa a a ++=的长为

2

32221a a a ++=α

若1=α，α为单位矢量（幺矢）。0≠α，则

α/i a

叫做α在σ里的方向余弦，它们是α和1e 间的角],0[π之间的余弦。零矢没有方向余弦。

1.2 矢量的基本代数运算

现有矢量332211e e e αa a a ++=和332211e e e βb b b ++=，则

1） 矢量和：矢量加法按照平行四边形（或三角形）法则。

333222111)()()(e e e βαb a b a b a +++++=+

2） 矢量差：矢量减法同样按照平行四边形（或三角形）法则，为加法的逆运算。

333222111)()()(e e e βαb a b a b a -+-+-=-

3） 纯量（或数量）乘矢量：若λ为纯量，则

332211e e e αa a a λλλλ++=

4） 数积（点乘）：矢量α，β的数积是纯量

θcos 332211βαβα=++=⋅b a b a b a

其中],0[πθ∈是α，β之间的角。

矢量α，β相互垂直的充要条件是它们的数积等于零。零矢与任意矢量垂直。 矢量α和单位矢量e 的数积等于α在e 的方向的垂直投影。 5） 矢积（叉乘）：矢量α，β的矢积是矢量

n βαe e e βαθsin 3

2

1

321

3

21

==⨯b b b a a a 其中n 为α，β不平行时，同时垂直于α，β的幺矢，且α，β，n 按此次序构成右手系。

αβα⊥⨯，ββα⊥⨯

矢量α，β相互平行的充要条件是它们的矢积等于零。零矢与任意矢量平行。 运算规律一览

若α，β，γ是任意矢量，λ，μ是任意纯量，则 1） 结合律：

αα)()(λμμλ=

)()(γβαγβα++=++ )()(βαβα⋅=⋅λλ )()(βαβα⨯=⨯λλ

2） 交换律：

αββα+=+

αββα⋅=⋅

必须注意：αββα⨯-=⨯

3） 分配律：

αααμλμλ+=+)(

βαβαλλλ+=+)(

γαβαγβα⋅+⋅=+⋅)( γαβαγβα⨯+⨯=+⨯)(

1.3 混合积、三矢矢积、拉格朗日恒等式

1） 混合积：已给三个矢量α，β，γ，则βα⨯是矢量，γβα⋅⨯)(是纯量。若i a ，i b ，

i c 依此是α，β，γ的分量，则其混合积为

3

2

1

321

321

),,()(c c c b b b a a a ==⋅⨯γβαγβα 根据行列式性质，有

),,(),,(),,(),,(),,(),,(αβγγαββγαβαγαγβγβα-=-=-===

混合积),,(γβα的绝对值表示以α，β，γ为棱的平行六面体的体积。 三个矢量α，β，γ共面的充要调价是它们的混合积等于零。

若三个矢量α，β，γ共面，且α，β不平行，则γ是α，β的线性组合：

βαγμλ+=

2） 三矢矢积： 若α，β，γ是矢量，则三矢矢积为

αγββγαγβα)()()(⋅-⋅=⨯⨯

3) 拉格朗日（Lagrange ）恒等式：

))(())(()()(γβδαδβγαδγβα⋅⋅-⋅⋅=⨯⋅⨯

特殊地

2222)()(βαβαβα⋅-=⨯

可以证明：只有零矢量同时垂直于三个不共面的矢量。

1.4 对于空间的点、直线和平面的简单应用

不妨在标架],,;[321e e e O =σ中来考察空间的点、直线和平面。 显然，空间的任意一点P 可用其径矢=r 来表示。

1) 令空间任意一直线经过某固定点0r ，它与一单位矢量v 平行，r 为直线上任意点，则该直线可表示为

v r r t +=0

其中t 是纯量。

以上方程称为直线的矢方程，其中t 是参数，因而也叫做参数矢方程。

2) 令空间任意一平面经过某固定点0r ，它与一单位矢量n 垂直，r 为平面上任意点，则该平面的矢方程为

0)(0=-⋅r r n

注意：通常平面具有方向性，与n 同向的一侧称为正侧。

另外，两点确定一条直线，三个不共线的点、两条相交直线、两条平行直线也可以确定一个平面。

3) 过点1r ，作直线v r r t +=0的垂线，其垂足

v v r r r r ])[(0101⋅-+='

点到直线的距离

11r r '-=d

4) 点1r 到平面0)(0=-⋅r r n 的距离

)(01r r n -⋅=d

点到平面的垂足

n n r r r r ])[(0111⋅--='

5) 两相错直线11101αr r t +=与22202αr r t +=的公垂线单位矢量

2

12

1ααααn ⨯⨯=

它们间的最短距离

2

1211020)

,,(ααααr r ⨯-=

d