第1章章末复习课

题型一 集合间的基本关系
解答与集合有关的问题时，应首先认清集合中的元素是什么，是数集还是点集，再进行相关的运算，以免混淆集合中元素的属性．
分清集合中的两种隶属关系，即元素与集合、集合与集合的关系是解答集合问题的先决条件，也是正确使用集合有关术语和符号的基础．应明确：元素与集合的关系是“个体与集体的关系”，而集合与集合的关系是“集体与集体的关系”．
例1 若集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，求由a 的可能取值组成的集合．
解 由题意得，P ＝{－3,2}．
当a ＝0时，S ＝∅，满足S ⊆P ；
当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解为x ＝－1a
， 为满足S ⊆P ，可使－1a ＝－3，或－1a
＝2， 即a ＝13，或a ＝－12
.
故所求集合为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫0，13，－12. 跟踪训练1 已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a )，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是(c ，＋∞)，其中c ＝______.
答案 4
解析 由log 2x ≤2，得0<x ≤4，
即A ＝{x |0<x ≤4}，
而B ＝(－∞，a )，
由于A ⊆B ，如图所示，则a >4，即c ＝4.
题型二 集合的交、并、补运算
集合与集合之间的交集、并集和补集有如下性质：(1)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A .(2)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A .(3)A ∩(B ∪C )＝(A ∩B )∪(A ∩C )．(4)A ∪(B ∩C )＝(A ∪B )∩(A ∪C )．(5)A ∩∁U A ＝∅，A ∪∁U A ＝U .(6)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A .(7)∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．(其中集合A 与集合B 为全集U 的子集)． 例2 设集合A ＝{x |x ＋1≤0或x －4≥0}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋2}．
(1)若A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围；
(2)若A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．
解 A ＝{x |x ≤－1或x ≥4}．
(1)∵A ∩B ≠∅，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ≤a ＋2，a ＋2≥4或⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ≤a ＋2，2a ≤－1，
∴⎩⎨⎧ a ≤2，a ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧
a ≤2，a ≤－12.∴a ＝2或a ≤－12. 故a 的取值范围是{a |a ≤－12
}∪{2}． (2)∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，有三种情况：
①⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ≤a ＋2，
a ＋2≤－1，
得a ≤－3； ②⎩⎪⎨⎪⎧
2a ≤a ＋2，
2a ≥4，
得a ＝2； ③B ＝∅，得2a >a ＋2，a >2.
∴a 的取值范围是(－∞，－3]∪[2，＋∞)．
跟踪训练2 已知集合U ＝{x |0≤x ≤6，x ∈Z }，A ＝{1,3,6}，B ＝{1,4,5}，则A ∩(∁U B )＝________.
答案 {3,6}
解析 ∵U ＝{0,1,2,3,4,5,6}，B ＝{1,4,5}，
∴∁U B ＝{0,2,3,6}，又∵A ＝{1,3,6}，
∴A ∩(∁U B )＝{3,6}．
题型三 数形结合思想的应用
集合的运算有交、并、补这三种常见的运算，它是集合这一单元的核心内容之一．在进行集合的交集、并集、补集运算时，往往由于运算能力差或考虑不全面而极易出错，此时，数轴分析(或Venn 图)是个好帮手，能将复杂问题直观化，是数形结合思想具体应用之一．在具体应用时要注意检验端点值是否适合题意，以免增解或漏解．
例3 已知集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}．
(1)若(∁R A )∪B ＝R ，求a 的取值范围．
(2)是否存在a 使(∁R A )∪B ＝R 且A ∩B ＝∅？
解 (1)A ＝{x |0≤x ≤2}，
∴∁R A ＝{x |x <0或x >2}．
∵(∁R A )∪B ＝R .
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ≤0，
a ＋3≥2，
∴－1≤a ≤0. (2)由(1)知(∁R A )∪B ＝R 时，
－1≤a ≤0，而a ＋3∈[2,3]，
∴A ⊆B ，这与A ∩B ＝∅矛盾．即这样的a 不存在．
跟踪训练3 若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}∪{x |x ≤0}，则∁U A ＝________.
答案 {x |0<x <1}
解析 在数轴上表示出集合A ，如图所示．
则∁U A ＝{x |0<x <1}．
题型四 转化与化归思想的应用 转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时思维受阻或寻求简单方法，从一种情况转化为另一种情况，也就是转化到另一种情境，使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式．
例4 已知集合A ＝{x ∈R |mx 2－2x ＋1＝0}，在下列条件下分别求实数m 的取值范围．
(1)A ＝∅；(2)A 恰有两个子集；(3)A ∩⎝⎛⎭⎫12，2≠∅.
解 (1)若A ＝∅，则关于x 的方程mx 2－2x ＋1＝0没有实数解，
所以m ≠0，且Δ＝4－4m <0，所以m >1.
(2)若A 恰有两个子集，则A 为单元素集，所以关于x 的方程mx 2－2x ＋1＝0恰有一个实数解，讨论：
①当m ＝0时，x ＝12
，满足题意； ②当m ≠0时，Δ＝4－4m ＝0，所以m ＝1.
综上所述，m 的集合为{0,1}．
(3)若A ∩⎝⎛⎭⎫12，2≠∅，
则关于x 的方程mx 2＝2x －1在区间⎝⎛⎭⎫12，2内有解，
这等价于当x ∈⎝⎛⎭⎫12，2时，求m ＝2x －1x
2＝1－⎝⎛⎭⎫1x －12的值域，所以m ∈(0,1]． 跟踪训练4 已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－12＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，是否存在实数a ，使得集合A ，B 同时满足下列三个条件：①A ≠B ；②A ∪B ＝B ；③∅
(A ∩B )？若存在，求出
a 的值；若不存在，试说明理由．
解 B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，
由A ∪B ＝B ⇒A ⊆B ⇒A ∩B ＝A ，
又∅(A ∩B )，即∅A ⇒A ≠∅，
而A ≠B ，所以A ＝{2}(经验证A ≠{3})．
所以方程x 2－ax ＋a 2－12＝0有两个相等的实根2. 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋2＝a 2×2＝a 2－12⇒⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝4a 2＝16⇒a ＝4，
此时A＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}符合题意，故存在实数a＝4同时满足题设中的三个条件．。