微积分基本定理(课堂PPT)
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微积分基本定理
惠水民中 曾凡礼
1
一、教材分析
2
⒈教材的地位及作用：
本节课是学生学习了导数和定积分这两个概念后的 学习，它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时 也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了 基础。因此它在教材中处于极其重要的地位。它曾被恩格 斯誉为“人类精神的最高胜利”的微积分学.
21
六、课后反思：
微积分基本定理的推导是本节课的难点，如果直 接讲那样学生理解起来会很困难，而是采用了创设情 景问题，由特殊到一般，由感性认识上升到理性认识 的规律，推导出了定理公式．虽然这不是非常严格的 证明，但这反映出微积分基本定理的基本思想，而且 降低了教材的难度，便于学生的理解掌握．在教学过 程中介绍有关牛顿和莱布尼兹既丰富学生的数学历史 知识，激发学生的学习兴趣，又使枯燥的数学课堂充 满人文气息，有利于学生对定理的掌握，使学生对定 理的理解更立体．例题和练习的安排，没有人为的增 加难度，有利于本节课重点地落实。
——在这里我插入关于牛顿和莱布尼兹的个人背景材
料，以及他们的学术成果在整个社会乃至全世界的Biblioteka Baidu响1，4 有利于丰富课堂内容。
（二）.活学活用： 利用微积分基本定理解决前面的问题
1 x 3 dx 0
2 1 dx
1x
——以学生练习、讨论为主，让学生与上一节例
题比较，得出结论：结果相同，但比用定义计算定积分 简单。教师给出书写规范的格式初步展示利用微积分基 本定理求定积分的优越性。
3
2.教学目标：
(1)知识目标：了解微积分基本定理的含义和几何意义，并理解导
数与定积分的互逆关系.
(2)能力目标： 让学生能够体会微积分运动与静态变化地思维方
式，并且培养学生在探索过程中善于变通的思想，敢于挑战陈规的 精神!
(3)情感目标：
A 揭示寻求计算定积分新方法的必要性, 激发学生的求知欲 B 体会“以直代曲”——临渊羡鱼，不如退而结网的思想. C 运用近似、无限接近巧妙的方法.
5
4xdx
10
5(x2 2x)dx
20
3
2 (x 1 )dx
1
x
2
4
(
1
x sinx)dx
（五）学生通过探究了解定积分基本定理特性：
（1）求定积分比较方便.
（2）若F'(x) f (x，) 且 f ( x ) 在区间 I 可积，
则 F ( x ) 叫做 f ( x )原函数.
17
（3）利用定积分基本定理求定积分的关键找到被积函 数的原函数，也就是说要找到一个函数，使它的导函 数等于被积函数
——在这一过程中体现了定积分的基本思想，突出了导数的几 何意义，体现了数形结合这一数学中最基本的思想方法。
10
（四）讨论归纳
1、问题：由以上探究同学们得出什么结论？
引导学生讨论后，归纳并得出基本定理的特例
物体在区间[a, b]上的位移就是V (t)=s′(t)在区间[a, b]上的定积分等于函数s(t)在区间端点b，a处的函数值 之差s(b)－s(a)， 即
⒉如果做变速直线运动的物体的运动规律是s=s(t)，那么
它在时刻t的速度是什么？
复习位移与速度之间的关系：s(t)v(t)
3.如何用V (t)表示物体在[a, b]内的位移S？
在上一节“汽车行驶的路程”中，学生知道了位移就 b
是对速度函数v(t)的定积分S a V (t)dt ，已知路程函数
s(t), 因此关键在于建立v(t)与s(t)的关系
5 、教具: 多媒体课件（增强课堂的趣味性）
6
二、教学过程
7
（一）温故知新
1.导数公式及几何意义
2.回顾计算 1 x 3 dx 的过程 0
(分割、近似代替、求和、取极限）
（二）创设问题情境
2
问题1、同学们能否用定积分的定义来求
1
dx
的值
1x
问题2、加法逆运算是减法，那么定积分运算有没有逆
运算，它的逆运算我们如何去定义？
b
b
s av (t)d t as'(t)d t s (b ) s (a )
——进一步突出重点，突破难点，并巩固和深化所
学知识，形成基本技能，培养学生学习的主动性。
11
三、微积分基本定理
12
（一）微积分基本定理
连续函数 f(x),若 f(x)F(x)，则abf(x)dxF(b)F(a)
即牛顿——莱布尼兹公式（Newton—Leibniz Formula）
15
（三）.典型例题：
例1 计算下列定积分：
（1）
3
(2x
1
1 x2
)dx
教师给出规范的书写格式
解：因为 (x2 )' 2x,
(1 x
)'
1 x2
所以 13(2xx 12)dx132xdx13x 12dx
2 2
x2
3
1
3 (91)(1 1)
3 1 x 1
3
16
（四）.巩固练习，强化提高 ：
（4）求导运算与求原函数(定积分）运算互为逆运算。
—这一过程主要体现学生通过观察、探索等
方法对知识的总结。培养学生学习的主动性
（六）归纳总结：1.微积分基本定理及应用.
2.求导数运算与求积分运 算是互为逆运算
18
（七）课后作业： P 62 习 题 A 组 1.(1 ),(3 ),(4)
（八）.学生课后思考：通过计 算下列定积分 得到定积分的几何意义？
2
sin xdx
2
0 sin xdx
19
四 、板书设计 １．６ 微积分基本定理及应用
一１．温故知新 ２．微积分基本定理 ３．导数与定积分运算关系 二．用v(t)与s(t)来表示物体位移s
三.例题 四.巩固练习
五.作业
20
五、教学评价设计：
温
引
归
故
导
纳
知
探
总
新
索
结
整个是由特殊到一般，由局部到整体，直观到抽 象，这样一个合情推理的过程。让学生感知定积分的 基本思想。正是体现了新课标对学生现有认知结构的 深刻认识，打破了传统概念上由抽象到具体、严格推 理论证的模式。
问题3、求导和求定积分运算是否具有互逆关系呢？
8
（三）探究分析： 请同学们看教材第57页的探究，说说探究的基
本思路？解决教学重点和化解教学难点 引导学生把探究的基本思路分解成以下3个内容：
9
⒈如何用s(t)表示物体在[a, b]内的位移S?
引导学生观察s= s(t)的图像探索发现并得出 ：
ss(b)s(a)
5
⒋教法和学法：
(1)、教法：采用类比、启发、引导、探索式相结合的方法，启
发、引导学生积极思考本节课所遇到的问题，引导学生联想旧知识 来解决和探索新知识，从而使学生产生浓厚的学习兴趣和求知欲， 体现了学生的主体地位。
(2) 、学法：突出自主学习，研讨发现，主动探索。学生在教师
的引导下通过观察、讨论、交流、合作探究等活动来对知识、方法 和规律进行总结，在课堂活动中注重引导学生并让学生体会从局部 到整体，特殊到一般和用数形结合的方法获取知识的过程，培养学 生学习的主动性。
4
3．教学重点、难点分析： 重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的
关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确 运用基本定理计算简单的定积分.（根据教材内容特点及 教学目标的要求）
难点：微积分基本定理的含义. （根据学生的年龄
结构特征和心理认知特点）
——以学生现有的知识对于微积分基本定理的严密证明是存在着一定难度 的，而突破难点的关键在于让学生主动利用已学的知识去探索，这样才能使学生 从真正意义上把握该定理的含义，提高自身的能力，体现其主体地位。
简记：bf(x)dxF (b)F (a)F (x)b
a
a
其中 F ( x ) 叫做 f ( x )
一个原函数
由 于 [F ( x ) + C ] '＝ f(x)， F ( x ) + C 也 是 f(x)的 原 函 数 ，
其 中 c 为 常 数 。
13
（1642－1727）
（1646－1716）
22
再见 ！
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惠水民中 曾凡礼
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一、教材分析
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⒈教材的地位及作用：
本节课是学生学习了导数和定积分这两个概念后的 学习，它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时 也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了 基础。因此它在教材中处于极其重要的地位。它曾被恩格 斯誉为“人类精神的最高胜利”的微积分学.
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六、课后反思：
微积分基本定理的推导是本节课的难点，如果直 接讲那样学生理解起来会很困难，而是采用了创设情 景问题，由特殊到一般，由感性认识上升到理性认识 的规律，推导出了定理公式．虽然这不是非常严格的 证明，但这反映出微积分基本定理的基本思想，而且 降低了教材的难度，便于学生的理解掌握．在教学过 程中介绍有关牛顿和莱布尼兹既丰富学生的数学历史 知识，激发学生的学习兴趣，又使枯燥的数学课堂充 满人文气息，有利于学生对定理的掌握，使学生对定 理的理解更立体．例题和练习的安排，没有人为的增 加难度，有利于本节课重点地落实。
——在这里我插入关于牛顿和莱布尼兹的个人背景材
料，以及他们的学术成果在整个社会乃至全世界的Biblioteka Baidu响1，4 有利于丰富课堂内容。
（二）.活学活用： 利用微积分基本定理解决前面的问题
1 x 3 dx 0
2 1 dx
1x
——以学生练习、讨论为主，让学生与上一节例
题比较，得出结论：结果相同，但比用定义计算定积分 简单。教师给出书写规范的格式初步展示利用微积分基 本定理求定积分的优越性。
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2.教学目标：
(1)知识目标：了解微积分基本定理的含义和几何意义，并理解导
数与定积分的互逆关系.
(2)能力目标： 让学生能够体会微积分运动与静态变化地思维方
式，并且培养学生在探索过程中善于变通的思想，敢于挑战陈规的 精神!
(3)情感目标：
A 揭示寻求计算定积分新方法的必要性, 激发学生的求知欲 B 体会“以直代曲”——临渊羡鱼，不如退而结网的思想. C 运用近似、无限接近巧妙的方法.
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4xdx
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5(x2 2x)dx
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3
2 (x 1 )dx
1
x
2
4
(
1
x sinx)dx
（五）学生通过探究了解定积分基本定理特性：
（1）求定积分比较方便.
（2）若F'(x) f (x，) 且 f ( x ) 在区间 I 可积，
则 F ( x ) 叫做 f ( x )原函数.
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（3）利用定积分基本定理求定积分的关键找到被积函 数的原函数，也就是说要找到一个函数，使它的导函 数等于被积函数
——在这一过程中体现了定积分的基本思想，突出了导数的几 何意义，体现了数形结合这一数学中最基本的思想方法。
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（四）讨论归纳
1、问题：由以上探究同学们得出什么结论？
引导学生讨论后，归纳并得出基本定理的特例
物体在区间[a, b]上的位移就是V (t)=s′(t)在区间[a, b]上的定积分等于函数s(t)在区间端点b，a处的函数值 之差s(b)－s(a)， 即
⒉如果做变速直线运动的物体的运动规律是s=s(t)，那么
它在时刻t的速度是什么？
复习位移与速度之间的关系：s(t)v(t)
3.如何用V (t)表示物体在[a, b]内的位移S？
在上一节“汽车行驶的路程”中，学生知道了位移就 b
是对速度函数v(t)的定积分S a V (t)dt ，已知路程函数
s(t), 因此关键在于建立v(t)与s(t)的关系
5 、教具: 多媒体课件（增强课堂的趣味性）
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二、教学过程
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（一）温故知新
1.导数公式及几何意义
2.回顾计算 1 x 3 dx 的过程 0
(分割、近似代替、求和、取极限）
（二）创设问题情境
2
问题1、同学们能否用定积分的定义来求
1
dx
的值
1x
问题2、加法逆运算是减法，那么定积分运算有没有逆
运算，它的逆运算我们如何去定义？
b
b
s av (t)d t as'(t)d t s (b ) s (a )
——进一步突出重点，突破难点，并巩固和深化所
学知识，形成基本技能，培养学生学习的主动性。
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三、微积分基本定理
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（一）微积分基本定理
连续函数 f(x),若 f(x)F(x)，则abf(x)dxF(b)F(a)
即牛顿——莱布尼兹公式（Newton—Leibniz Formula）
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（三）.典型例题：
例1 计算下列定积分：
（1）
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(2x
1
1 x2
)dx
教师给出规范的书写格式
解：因为 (x2 )' 2x,
(1 x
)'
1 x2
所以 13(2xx 12)dx132xdx13x 12dx
2 2
x2
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1
3 (91)(1 1)
3 1 x 1
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（四）.巩固练习，强化提高 ：
（4）求导运算与求原函数(定积分）运算互为逆运算。
—这一过程主要体现学生通过观察、探索等
方法对知识的总结。培养学生学习的主动性
（六）归纳总结：1.微积分基本定理及应用.
2.求导数运算与求积分运 算是互为逆运算
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（七）课后作业： P 62 习 题 A 组 1.(1 ),(3 ),(4)
（八）.学生课后思考：通过计 算下列定积分 得到定积分的几何意义？
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sin xdx
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0 sin xdx
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四 、板书设计 １．６ 微积分基本定理及应用
一１．温故知新 ２．微积分基本定理 ３．导数与定积分运算关系 二．用v(t)与s(t)来表示物体位移s
三.例题 四.巩固练习
五.作业
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五、教学评价设计：
温
引
归
故
导
纳
知
探
总
新
索
结
整个是由特殊到一般，由局部到整体，直观到抽 象，这样一个合情推理的过程。让学生感知定积分的 基本思想。正是体现了新课标对学生现有认知结构的 深刻认识，打破了传统概念上由抽象到具体、严格推 理论证的模式。
问题3、求导和求定积分运算是否具有互逆关系呢？
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（三）探究分析： 请同学们看教材第57页的探究，说说探究的基
本思路？解决教学重点和化解教学难点 引导学生把探究的基本思路分解成以下3个内容：
9
⒈如何用s(t)表示物体在[a, b]内的位移S?
引导学生观察s= s(t)的图像探索发现并得出 ：
ss(b)s(a)
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⒋教法和学法：
(1)、教法：采用类比、启发、引导、探索式相结合的方法，启
发、引导学生积极思考本节课所遇到的问题，引导学生联想旧知识 来解决和探索新知识，从而使学生产生浓厚的学习兴趣和求知欲， 体现了学生的主体地位。
(2) 、学法：突出自主学习，研讨发现，主动探索。学生在教师
的引导下通过观察、讨论、交流、合作探究等活动来对知识、方法 和规律进行总结，在课堂活动中注重引导学生并让学生体会从局部 到整体，特殊到一般和用数形结合的方法获取知识的过程，培养学 生学习的主动性。
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3．教学重点、难点分析： 重点：通过探究变速直线运动物体的速度与位移的
关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确 运用基本定理计算简单的定积分.（根据教材内容特点及 教学目标的要求）
难点：微积分基本定理的含义. （根据学生的年龄
结构特征和心理认知特点）
——以学生现有的知识对于微积分基本定理的严密证明是存在着一定难度 的，而突破难点的关键在于让学生主动利用已学的知识去探索，这样才能使学生 从真正意义上把握该定理的含义，提高自身的能力，体现其主体地位。
简记：bf(x)dxF (b)F (a)F (x)b
a
a
其中 F ( x ) 叫做 f ( x )
一个原函数
由 于 [F ( x ) + C ] '＝ f(x)， F ( x ) + C 也 是 f(x)的 原 函 数 ，
其 中 c 为 常 数 。
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