裂项相消法求和-导学案

数列求和 —— 裂项相消法

班级：_____________ 小组：_____________ 姓名：___________

一、导学目标：

1 理解裂项相消法思想。

2 使用裂项相消法解决特殊数列求和问题。

3 在自学与探究中体验数学方法的形成过程。

二、复习导入

1 等差数列通项公式和求和公式：

2 问题：（1）你能计算6121+= ; 1216121++= ; ……么？

（2）那么990011216121++++ = 呢？即100991431321211⨯++⨯+⨯+⨯ = ；

（3）事实上，教材里有更一般的问题：P47 B 组 第4题 数列⎭⎬⎫⎩⎨

⎧+)1(1n n 的前n 项和)

1(1431321211+⨯++⨯+⨯+⨯=n n S n ，你能否求和（化简），并作一些推广？

三、自学探究一

1 为解决上述问题，我们不妨先看看几个有趣的计算：

（1）计算=-211 ；=-3121 ；=-4131 ；……=-1001991 ；

（2）思考：=+-111n n

（3）反之，

=+)1(1n n 2 求数列⎭⎬⎫⎩⎨

⎧+)1(1n n 的前n 项和)1(1431321211+⨯++⨯+⨯+⨯=n n S n 解：=+=)1(1n n a n

n n n a a a a a S +++++=∴-1321

)

1(1)1(1431321211++-++⨯+⨯+⨯=n n n n = =

四、思考与讨论：

1 如何裂项？裂项和通分的关系？

2 如何相消？你能发现其中的规律吗？

3 哪些项是不能消去的？

4 什么数列可用裂项相消法求和？

5 利用裂项相消法求和的一般步骤是什么？

五、自学探究二

（1）()n 12

S n n a n ，求已知+=

（2）n n S n n a 求已知,)2(1

+=

六、能力提升

1、若n a 是等差数列，则d a a n n +=+1，所以________

)

(11

1=+=+d a a a a n n n n 进而，________111

13221=++⨯+⨯=-n

n n a a a a a a S

2、 数列{a n }的通项公式是a n ＝1

n ＋n ＋1，若前n 项和为10，则项数为(

) A ．11 B ．99

C ．120

D ．121

七、课堂小结

裂项相消法求和：

对于通项公式可拆成两项的数列，我们通常采用裂项相消法逐项消去前后项求数列的和。

裂项相消法求和的一般步骤：求通项——裂项——相消——求和。

八、练习与检测

1、________,)12)(12(1=+-=

n n S n n a 已知

2、

()()________32121751531=++++⨯+⨯n n

3、

_______)2(1751641531=+++⨯+⨯+⨯n n

4、已知()*56N n n a n ∈-=，1

3+=

n n n a a b ，求n n b b b T +++= 21

5、已知数列{}n a 的各项如下：1，211+，3211++，…………，n ++++ 3211。 求它的前n 项和n S =________________。

6设正数数列的前n 项和n S 满足()214

1+=n n a S 。 ○1求数列{}n a 的通项公式； ○2设11+⋅=

n n n a a b ，记数列{}n b 的前n 项和n T 。