24.3 正多边形和圆.ppt
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《24.3-正多边形和圆》课件
..O
D
rR
∴亭子的周长 L=6×4=24(m) B P C
在RtOPC中，OC 4，PC BC 4 2 22
根据勾股定理，可得边 心距r 42 22 2 3
亭子的面积 S 1 Lr 1 24 2 22
3 41.6(m2)
小练习
已知点A、B、C、D、E是⊙O 的5等分点， 画出⊙O的内接正五边形和外切正五边形.
A
B C
E O
D
外切正多边形
把圆分成 n（n≥3）等份： 经过各分点作圆的切线，以相邻 切线的交点为顶点的多边形是这个圆 的外切正多边形.
定理证明
证明：连结OA、OB、OC，则：
∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB ∵TP、PQ、QR分别是以A、B、C
P
为切点的⊙O的切线
∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ B
2S小弓形 S弓形AOC SAOC
O
(S扇形OAOC SAOC ) SAOC
S扇形OAOC 2SAOC
B
C
S阴影
6S小弓形
3(S扇形OAOC
2SAOC )
(
3
3 )a2 2
10. A是半径为2的⊙O外的一点,OA=4,AB
是⊙O的切线,点B是切点,弦BC∥OA,边结AC,
则图中阴影部分的面积等于 ( A )
等分点，则作出正六边形.
B
C
先作出正六边形，则可
作正三角形，正十二边形，
正二十四边形………
例题
有一个亭子它的地基是半径为4m的正六边形，
求地基的周长和面积（精确到0.1平方米）.
F
解: 由于ABCDEF是正六边形，所以
E
它的中心角等于360 60，
人教版数学九年级上册24.3正多边形和圆课件(36张PPT)
24.3 正多边形和圆
人教版·九年级上册
学习目标
（1）理解正多边形及其半径、边长、边心距、中心 角等概念. （2）会进行特殊的与正多边形有关的计算，会画某 些正多边形.
新课导入
问题1：观察下面多边形，它们的边、角有什么特点?
都是各边相等，各内角相等的多边形
问题2：观看这些美丽的图案，都是在日常生活中我们 经常能看到的.你能从这些图案中找出类似的图形吗?
动手操作
操作一：自己动手试一试，你能画出什么正多边 形？你是怎么画的？ 操作二：画一个半径是1.5cm的圆，并画出它的正 六边形。
解：方法 1 （1）作一个半径是1.5cm的圆⊙O ； （2）用量角器依次作∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝ ∠DOE＝∠EOF＝∠FOA＝ 360 ＝60°，将360°圆心角六
想一想
有没有对称轴？
正多边形都是 轴对称 图形，一个正n边形共有
n 条对称轴，每条对称轴都通过n边形的 中心 .
边数3是条偶数的正4多条边形还是 5中条心对称图形6条，它的中 心就是对称中心.
你知道正多边形与圆的关系吗？
把一个圆分成相等的弧？依次连接各等分点，得到一个什 么图形？ 如果五、六、七…等分？如果将圆n等分呢？
思考 什么叫正多边形？图中有哪些正多边形？ 正多边形与圆有哪些关系？
探索新知
图形 ……
名称 正三角形 正四角形 正五角形 正六角形
……
边的关系
角的关系
三条边相等 三个角相等（60°）
四条边相等 四个角相等（90°）
五条边相等 五个角相等（108°）
六条边相等 六个角相等（120°）
……
……
正多边形的概念：
< 针对训练 >
人教版·九年级上册
学习目标
（1）理解正多边形及其半径、边长、边心距、中心 角等概念. （2）会进行特殊的与正多边形有关的计算，会画某 些正多边形.
新课导入
问题1：观察下面多边形，它们的边、角有什么特点?
都是各边相等，各内角相等的多边形
问题2：观看这些美丽的图案，都是在日常生活中我们 经常能看到的.你能从这些图案中找出类似的图形吗?
动手操作
操作一：自己动手试一试，你能画出什么正多边 形？你是怎么画的？ 操作二：画一个半径是1.5cm的圆，并画出它的正 六边形。
解：方法 1 （1）作一个半径是1.5cm的圆⊙O ； （2）用量角器依次作∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝ ∠DOE＝∠EOF＝∠FOA＝ 360 ＝60°，将360°圆心角六
想一想
有没有对称轴？
正多边形都是 轴对称 图形，一个正n边形共有
n 条对称轴，每条对称轴都通过n边形的 中心 .
边数3是条偶数的正4多条边形还是 5中条心对称图形6条，它的中 心就是对称中心.
你知道正多边形与圆的关系吗？
把一个圆分成相等的弧？依次连接各等分点，得到一个什 么图形？ 如果五、六、七…等分？如果将圆n等分呢？
思考 什么叫正多边形？图中有哪些正多边形？ 正多边形与圆有哪些关系？
探索新知
图形 ……
名称 正三角形 正四角形 正五角形 正六角形
……
边的关系
角的关系
三条边相等 三个角相等（60°）
四条边相等 四个角相等（90°）
五条边相等 五个角相等（108°）
六条边相等 六个角相等（120°）
……
……
正多边形的概念：
< 针对训练 >
《24.3正多边形和圆》.ppt
正多边形和圆
正多边形：
各边相等，各角
E
也相等的多边形叫做
正多边形。
A
D
正n边形：
如果一个正多边
形有n条边，那么这个 正多边形叫做正n边形。
B
C
想一想：菱形是正多边形吗？矩形和正 方形 呢?为什么？
正多边形与圆到底 有什么样的关系呢? 以正五边形为例,你能证 B 2
A
1
5E
明吗?
3
4
C
D
弦相等（多边形的边相等）
弧相等—
圆周角相等（多边形的角相等）
这个正多边形就是这个圆的内接正多边形, 这个圆叫做这个正多边形的外接圆.
请同学们设法画出一个正五边形.
正多边形的中心:
一个正多边形的外接圆的圆心.
A
正多边形的半径:
外接圆的半径 正多边形的中心角:
B
正多边形的每一条边所对的圆心角.
·O
E
正多边形的边心距：
E
中心到正多边形的一边的距离. C
解：作等边△ABC的BC边上的高AD,垂足为D
连接OB，则OB=R 在Rt△OBD中,∠OBD=30°,
边心距＝OD=
1 2
R.
A
在Rt△ABD中,∠BAD=30°,
AD OA OD R 1 R 3 R，
22
·O
∴AB= 3R
∴S△ABC=
3R
•
3 2
R
3
B
3R2
2
4
D
C
解：连接OB，OC 作OE⊥BC垂足为E，
5.正多边形一定是 轴 对称图形,一个正n边 形共有 n 条对称轴,每条对称轴都通 过 中心 ;如果一个正n边形是中心对称图 形,n一定是 偶 数.
正多边形：
各边相等，各角
E
也相等的多边形叫做
正多边形。
A
D
正n边形：
如果一个正多边
形有n条边，那么这个 正多边形叫做正n边形。
B
C
想一想：菱形是正多边形吗？矩形和正 方形 呢?为什么？
正多边形与圆到底 有什么样的关系呢? 以正五边形为例,你能证 B 2
A
1
5E
明吗?
3
4
C
D
弦相等（多边形的边相等）
弧相等—
圆周角相等（多边形的角相等）
这个正多边形就是这个圆的内接正多边形, 这个圆叫做这个正多边形的外接圆.
请同学们设法画出一个正五边形.
正多边形的中心:
一个正多边形的外接圆的圆心.
A
正多边形的半径:
外接圆的半径 正多边形的中心角:
B
正多边形的每一条边所对的圆心角.
·O
E
正多边形的边心距：
E
中心到正多边形的一边的距离. C
解：作等边△ABC的BC边上的高AD,垂足为D
连接OB，则OB=R 在Rt△OBD中,∠OBD=30°,
边心距＝OD=
1 2
R.
A
在Rt△ABD中,∠BAD=30°,
AD OA OD R 1 R 3 R，
22
·O
∴AB= 3R
∴S△ABC=
3R
•
3 2
R
3
B
3R2
2
4
D
C
解：连接OB，OC 作OE⊥BC垂足为E，
5.正多边形一定是 轴 对称图形,一个正n边 形共有 n 条对称轴,每条对称轴都通 过 中心 ;如果一个正n边形是中心对称图 形,n一定是 偶 数.
人教版数学九年级上册第二十四章《24.3 正多边形和圆》课件(共19张PPT)
对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作图. 再如，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，就可以把圆四等分，从而作 出正方形.
用尺规等分圆： 用尺规作图的方法等分圆周，然后依次连接圆上各分点得到正多边形，这 种方法有局限性，不是任意正多边形都能用此法作图，这种方法从理论上 讲是一种准确方法．
2.如图，正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于点M. 求证：(1) AC//ED；(2) ME=AE.
如图，正五边形ABCDE的对角线AC和BE相交于点M. 求证：(1) AC//ED；(2) ME=AE.
归纳新知
正多边形 的画法
用量角器等分圆 用尺规等分圆
此方法可将圆任意n等分，所以用 该方法可作出任意正多边形，但边 数很大时，容易产生较大的误差.
度量法③：
用圆规在⊙O 上顺次截取6条长度等于半径(2 cm)的弦，连接其中的 AB， BC，CA 即可．
B
O
A
C
对于一些特殊的正多边形，还可以用圆规和直尺来作图. 例如，我们也可以这样来作正六边形.由于正六边形的边长等于半径，所以 在半径为R的圆上依次截取等于R的弦，就可以把圆六等分，顺次连接各分 点即可得到半径为R的正六边形.
课堂练习
1.画一个半径为2 cm的正五边形，再作出这个正五边形的各条对角线，画 出一个五角星.
2.面积相等的正三角形与正六边形的边长之比为
.
中考实题
1.已知⊙O如图所示. (1) 求作⊙O的内接正方形(要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； (2) 若⊙O的半径为4，求它的内接正方形的边长.
此方法是一种比较准确的等分圆的方 法，但有局限性，不能将圆任意等分.
再见
合作探究
已知⊙O 的半径为 2 cm，画圆的内接正三角形． 度量法①： 用量角器或 30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°．
正多边形和圆ppt课件
解:(1)如图所示,正八边形ABCDEFGH即为所求.
图24-3-4
探
究
与
应
用
(2)求出地基的中心角和面积.(结果保留根号)
(2)如图,连接OA,OB,过点A作AM⊥OB于点M.
∵八边形ABCDEFGH是正八边形,
360°
∴地基的中心角∠O=
=45°,
8
∴△OAM是等腰直角三角形.
∵OA=OB=4 m,∴AM=OM=2 2 m,
解:如图.
(1)画半径为1 cm的☉O;
(2)用量角器把☉O九等分(依次画40°的圆心角);
(3)依次连接各分点,即得☉O的内接正九边形ABCDEFGHI.
谢 谢 观 看！
1
1
∴S△OAB= OB·AM= ×4×2
2
2
2=4 2(m2),
∴地基的面积=8S△OAB=8×4 2=32 2(m2).
探
究
与
应
用
学 方法
等分圆周画正多边形的工具和方法
①只用量角器:用量角器把360°的圆心角n等分,相应的圆周
也被n等分,顺次连接各分点得到正n边形.
1
②用量角器和圆规:先用量角器画出360°的圆心角的 ,相应
1
得到圆周的 ;再用圆规顺次截取,便得到圆周的n等分点,顺
次连接各分点得到正n边形.
③用圆规和直尺:用尺规等分圆周,可以作正六边形、正方
形等特殊正多边形.
课
堂
小
结
与
检
测
[检测]
1.如果一个正多边形的中心角为72°,那么这个正多边形的边
数是
( B )
A.4
B.5
C.6
图24-3-4
探
究
与
应
用
(2)求出地基的中心角和面积.(结果保留根号)
(2)如图,连接OA,OB,过点A作AM⊥OB于点M.
∵八边形ABCDEFGH是正八边形,
360°
∴地基的中心角∠O=
=45°,
8
∴△OAM是等腰直角三角形.
∵OA=OB=4 m,∴AM=OM=2 2 m,
解:如图.
(1)画半径为1 cm的☉O;
(2)用量角器把☉O九等分(依次画40°的圆心角);
(3)依次连接各分点,即得☉O的内接正九边形ABCDEFGHI.
谢 谢 观 看！
1
1
∴S△OAB= OB·AM= ×4×2
2
2
2=4 2(m2),
∴地基的面积=8S△OAB=8×4 2=32 2(m2).
探
究
与
应
用
学 方法
等分圆周画正多边形的工具和方法
①只用量角器:用量角器把360°的圆心角n等分,相应的圆周
也被n等分,顺次连接各分点得到正n边形.
1
②用量角器和圆规:先用量角器画出360°的圆心角的 ,相应
1
得到圆周的 ;再用圆规顺次截取,便得到圆周的n等分点,顺
次连接各分点得到正n边形.
③用圆规和直尺:用尺规等分圆周,可以作正六边形、正方
形等特殊正多边形.
课
堂
小
结
与
检
测
[检测]
1.如果一个正多边形的中心角为72°,那么这个正多边形的边
数是
( B )
A.4
B.5
C.6
24.3.正多边形和圆课件PPT(共22张)
24.3 正多边形(zhèngduōbiānxíng) 和圆
点击页面即可演示
第1页，共22页。
观察下列图形它们有什么(shén 特 me) 点？
第2页，共22页。
三条边相等,
四条边相等,四
正三 三个角相等 角形 (60°).
正方形 个角相等 (90°).
一、正多边形的定义
各边相等,各角也相等的多边形叫做(jiàozuò)正多边 形.
边形ABCDE的 内切圆的半径(bànjìng). D
7.∠AOB叫做正五边形
ABCDE的 中心角,
它的度数是 72°.
E
C
.O
AF
B
第12页，共22页。
8.图中正(zhōnɡ zhènɡ)六边形ABCDEF的中心角∠是AOB
它的度数是 60°
9.你发现正六边形
ABCDEF的半径
与边长具有什么
数量关系?
第5页，共22页。
A
D
B
C
弧相等
弦相等 (多边形的边相等 ) (xiāngděng)
(xiāngděng)
圆周角相等(多边形的角相等)
—多边形是正多边形
第6页，共22页。
A
E B
H D
G
C
弧相等
F
全等三角形
边相等
(xiāngděng)
角相等
多边形是正多边形
第7页，共22页。
定理：
把圆分成n(n≥3)等份： ⑴依次连接各分点所得(suǒ dé)的多边形是这个圆 的
相等
E F
D
.O
C
A
B
第13页，共22页。
判断题
①各边都相等的多边形是正多边形.( ) ×
点击页面即可演示
第1页，共22页。
观察下列图形它们有什么(shén 特 me) 点？
第2页，共22页。
三条边相等,
四条边相等,四
正三 三个角相等 角形 (60°).
正方形 个角相等 (90°).
一、正多边形的定义
各边相等,各角也相等的多边形叫做(jiàozuò)正多边 形.
边形ABCDE的 内切圆的半径(bànjìng). D
7.∠AOB叫做正五边形
ABCDE的 中心角,
它的度数是 72°.
E
C
.O
AF
B
第12页，共22页。
8.图中正(zhōnɡ zhènɡ)六边形ABCDEF的中心角∠是AOB
它的度数是 60°
9.你发现正六边形
ABCDEF的半径
与边长具有什么
数量关系?
第5页，共22页。
A
D
B
C
弧相等
弦相等 (多边形的边相等 ) (xiāngděng)
(xiāngděng)
圆周角相等(多边形的角相等)
—多边形是正多边形
第6页，共22页。
A
E B
H D
G
C
弧相等
F
全等三角形
边相等
(xiāngděng)
角相等
多边形是正多边形
第7页，共22页。
定理：
把圆分成n(n≥3)等份： ⑴依次连接各分点所得(suǒ dé)的多边形是这个圆 的
相等
E F
D
.O
C
A
B
第13页，共22页。
判断题
①各边都相等的多边形是正多边形.( ) ×
24.3正多边形和圆 课件 人教版数学九年级上册
因此，亭子地基的周长l=6×4=24（m）.
作OP⊥BC,垂足为P.
在Rt△OPC中，OC=4 m，
PC=
=2（m）,利用勾股定理，
可得边心距r=
亭子地基的面积S=
感悟新知
1.连半径，得中心角； 2.作边心距，构造直角三角形.
感悟新知
思考1 正n边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？ 正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？ 互补
教学目标解析
本节课首先复习正多边形的有关概念，为本课学习作铺垫.引导学生画正多边形 的外接圆,通过动手操作，感知数形结合思想，为探讨正多边形与圆的关系服务,也为 接下来计算正多边形与圆提供基本图形，再通过问题的探讨，让学生认识到正多边形 与圆的关系密切，并为接下来可利用圆与正多边形的知识进行连线，实现计算的目的. 数学学习的过程是一个思维展现的过程，通过例题的计算，并让学生说出解题经验小 结，培养学生学会反思的学习习惯，从而形成举一反三，触类旁通的高效学习意识.
思考2 正n边形的半径R、边心距r和边长a有什么关系？
思考3 正n边形的面积怎么计算？
跟踪练习
1、完成下表中有关正多边形的计算：
正多边 形边数
3
4 6
内角
60° 90° 120°
中心角 半径R
120°
2
90°
60°
2
边长a 边心距r 周长
1
2
1
8
2
12
面积
16
跟踪练习
2、一元钱硬币的直径约为24 mm，则用它能完全覆盖
弧 弦相等（多边形的边相等） 相 等 圆周角相等（多边形的角相等）
感悟新知
半径 中心角 中心
边心距
正多边形和圆ppt课件
D．60°或120°
随堂练习
2. 如图，点O是正五边形ABCDE的中心，求∠BAO的度数．
解：连接OB，则OB=OA，
∴∠BAO=∠ABO，
∵点O是正五边形ABCDE的中心，
∴∠AOB=360°÷5=72°，
∴∠BAO= （180°﹣72°）=54°.
随堂练习
3. 如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，
(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
知识讲解
知识点1 正多边形及有关概念
【例1】矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？
解析：矩形不是正多边形，因为矩形不符合各边相
等；菱形不是正多边形，因为菱形不符合各角相等.
显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点.
知识讲解
知识点3 正多边形的画法
②正六、三、十二边形的作法.
同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分…….
知识讲解
知识点3 正多边形的画法
【例 4】如图，已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内
接正三角形．
点拨：【度量法】用量角器量出圆心角是120度
而作出正四边形. 再逐次平分各边所对的弧就可作出正八边形、正十六
边形等，边数逐次倍增的正多边形.
知识讲解
知识点3 正多边形的画法
②正六、三、十二边形的作法.
通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，
任画一条直径AB， 分别以A、 B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O
相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点.
人教版数学九年级上册24.正多边形和圆经典课件
6
A
OBC是等边三角形，从而正
六边形的边长等于它的半径. B
∴亭子的周长 L=6×4=24(m)
E
.. O
D
r R=4
PC
在RtOPC中，OC 4，PC BC 4 2 22
根据勾股定理，可得边 心距r 42 22 2 3
亭子的面积 S 1 Lr 1 24 2 22
3 41.6(m2)
正多边形对称性
1、正多边形都是轴对称图形，一个正n边 形共有n条对称轴，每条对称轴都通过n边 形的中心。
2、边数是偶数的正多边形还是中心 对称图形，它的中心就是对称中心。
两个正六边形的边 长分别是3和4，这 两个正六边形的面 积之比等于_______
圆内接正方形的 半径与边长的比 值是________
下列图形中：①正五边形；②等 腰三角形；③正八边形；④正 2n（n为自然数）边形；⑤任意 的平行四边形。是轴对称图形的
有①__②__③__④____,是中心对称图形 的有③__④__⑤____,既是中心对称图
形，又是轴对称图形的有
__③__④___。
已知正三角形ABC的边长为 4，则它的内切圆和外接圆 组成的圆环面积是多C 少？
D
O
A
B
A、B、C在⊙O上，且B在弧AC 上，AB、AC分别是正九边形和 正六边形的一边。请问：BC是 此圆内接正几边形的一边？
A
B
O
C
B.互补
C.互余或互补 D.不能确定
正多边形的性质
各边相等，各角相等
圆的内接正n边形的各个顶点把圆分成n等分 圆的外切正n边形的各边与圆的n个切点把圆分成n
等分
每个正多边形都有一个内切圆和外接圆，这两个圆 是同心圆，圆心就是正多边形的中心