2013年中考攻略专题17：动态几何之面积问题探讨(含答案)

【2013年中考攻略】专题17：动态几何之面积问题探讨

动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和图形存在问题等。前面我们已经对最值问题进行了探讨，本专题对面积问题行探讨。

结合2011年和2012年全国各地中考的实例，我们从四方面进行动态几何之面积问题的探讨：（1）静态面积问题；（2）点动形成的动态面积问题；（3）线动形成的动态面积问题；（4）面动形成的动态面积问题。

一、静态面积问题： 典型例题：

例1：（2012山西省2分）如图是某公园的一角，∠AOB =90°，弧AB 的半径OA 长是6米，C 是OA 的中点，点D 在弧AB 上，CD ∥OB ，则图中休闲区（阴影部分）的面积是【 】

A ．91032π⎛

⎫-

⎪⎝⎭米2 B ．932π⎛⎫

-

⎪⎝

⎭米2

C ．9632π⎛

⎫- ⎪⎝⎭

米2 D ．()

693π-米2

【答案】 C 。

【考点】扇形面积的计算，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 【分析】连接OD ，则DOC AOD S S S ∆=-扇形影阴。

∵弧AB 的半径OA 长是6米，C 是OA 的中点，∴OC =12OA =1

2

×6=3。 ∵∠AOB =90°，CD ∥OB ，∴CD ⊥OA 。

在Rt △OCD 中，∵OD =6，OC =3，∴2222CD=OD OC 6333-=-=。

又∵

CD333

sin DOC==

OD62

∠=，∴∠DOC=60°。

∴

2

DOC

AOD

60619

S S S=333=63

36022

π

π

∆

⋅⋅

=--⋅⋅-

扇形

影

阴

（米2）。故选C。

例2：（2012湖北恩施3分）如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，则图中阴影部分的面积是【】

A．3B．2 C．3 D．2

例3：（2012湖北随州4分）如图，直线l与反比例函数

2

y=

x

的图象在第一象限内交于A、

B两点，交x轴的正半轴于C点,若AB：BC=(m一l)：1(m>l)则△OAB的面积(用m表示)为【】

A .2m 12m -

B . 2m 1

m

- C . ()23m 1m - D . ()

23m 12m -

【答案】B 。

【考点】反比例函数的应用，曲线上点的坐标与方程式关系，相似三角形的判定和性质，代数式化简。

【分析】如图，过点A 作AD ⊥OC 于点D ，过点B 作BE ⊥OC 于点E , 设A (ｘA ，ｙA )，B (ｘB ，ｙB )，C （c ¸0）。 ∵AB ：BC =(m 一l )：1(m >l )，∴AC ：BC =m ：1。

又∵△ADC ∽△BEC ，∴AD ：BE =DC ：EC = AC ：BC =m ：1。 又∵AD =ｙA ，BE =ｙB ，DC = c －ｘA ，EC = c －ｘB ， ∴ｙA ：ｙB = m ：1，即ｙA = m ｙB 。 ∵直线l 与反比例函数2

y=

x

的图象在第一象限内交于A 、B 两点， ∴A A 2y =

x ，B B

2y =x 。 ∴

A B 22m =x x ，A B 1x =x m

。 将

又由AC ：BC =m ：1得（c －ｘA ）：（c －ｘB ）=m ：1，即

()

B B 1c x :c x m:1m ⎛⎫

--= ⎪⎝

⎭，解得()B x m+1c=m 。

∴()()()B OAB OCB OBC A B A B B B x m+11111S =S S =c y c y c y y my y 2222m

∆∆∆-⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-=⋅⋅-

()()()()22

2B B B B x y m 12m 1x y m+1m 11m 1

2m 2m 2m m

----=⋅===

。 故选B 。

例4：（2012贵州贵阳12分）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．

（1）三角形有 条面积等分线，平行四边形有 条面积等分线；

（2）如图①所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线； （3）如图②，四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，AB ≠CD ，且S △ABC ＜S △ACD ，过点A 画出四边形ABCD 的面积等分线，并写出理由．

【答案】解：（1）6；无数。

（2）这个图形的一条面积等分线如图：

连接2个矩形的对角线的交点的直线即把这个图形分成2个相等的部

分．即OO ′为这个图形的一条面积等分线。

（3）四边形ABCD 的面积等分线如图所示：

理由如下：

过点B 作BE ∥AC 交DC 的延长线于点E ，连接AE 。

∵BE ∥AC ，∴△ABC 和△AEC 的公共边AC 上的高也相等，∴

S △ABC =S △AEC 。

∴ACD ABC ACD AEC AED ABCD S S S S S S ∆∆∆∆∆=+=+=四形边。 ∵S △ACD ＞S △ABC ，

∴面积等分线必与CD 相交，取DE 中点F ，则直线AF 即为要求作的

四边形ABCD 的面积等分线。

【考点】面积及等积变换，平行线之间的距离，三角形的面积，平行四边形的性质，矩形的性质。

【分析】（1）读懂面积等分线的定义，不难得出：三角形的面积等分线是三角形的中线所在的直线；过两条对角线的交点的直线都可以把平行四边形的面积分成2个相等的部分；从而三角形有3条面积等分线，平行四边形有无数条面积等分线。

（2）由（1）知，矩形的一条对角线所在的直线就是矩形的一条面积等分线； （3）过点B 作BE ∥AC 交DC 的延长线于点E ，连接AE ．根据△ABC 和△AEC 的

公共边AC 上的高也相等推知S △ABC =S △AEC ；由“割补法”可以求得

ACD ABC ACD AEC AED ABCD S S S S S S ∆∆∆∆∆=+=+=四形边。

例5：（2012贵州毕节3分）如图，在正方形ABCD 中，以A 为顶点作等边△AEF ，交BC

边于E ，交DC 边于F ；又以A 为圆心，AE 的长为半径作 EF

。若△AEF 的边长为2，则阴影部分的面积约是【 】

（参考数据：2 1.4143 1.732≈≈ ，

，π取3.14）

A . 0.64

B . 1.64

C . 1.68

D . 0.36 【答案】A 。

【考点】正方形和等边三角形的性质，勾股定理，扇形和三角形面积。

【分析】由图知，AEF CEF AEF S S S S ∆∆=+-扇形影部分阴。因此，由已知，根据正方形、等边