2013年中考攻略专题17：动态几何之面积问题探讨(含答案)

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专题20：动态几何之存在性问题探讨

1 (x 2) 2 3 ，即 y 4
1 x2 x 2。 4
（ 2）设存在符合条件的点 P，其坐标为（ p， 0），则
PA 2 = ( 2 p) 2 32 ，PB= p2 22 ， AB 2 = (3 2)2 22 5
当 PA=PB 时， ( 2 p) 2 32 = p2 22 ，解得 p
9 ；
4
当 PA=PB 时， ( 2 p) 2 32 =5，方程无实数解；
（ 1）求点 C 的坐标；（ 2）求过 A 、 B、 C 三点的抛物线的解析式和对称轴；（ 3）设点 P（ m， n）是抛物线在第一象限部分上的点，△ PAC 的面积为 S，求 S 关于 m 的函数关系式，并求使 S 最大时点 P 的坐标；
（ 4）在抛物线对称轴上，是否存在这样的点 M ，使得△ MPC （P 为上述（ 3）问中使 S 最大时点）为等腰三角形？若存在，请直接写出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由。
2 ，将 m
2代入 n=
1 m+2 得 n=3 。
2
∴当 S 最大时点 P 的坐标为（ 2， 3）。
（ 4）设点 M （ 3 , h ）， 2
∵ C（4， 0） , P（ 2， 3） ,
∴ PC=
4
2
2
32
13 ,
PM=
2
3 2
2
2
3h
h 2 6h 37 , 4
CM=
2
43
h2
2
分三种情况讨论：
h2 25 。 4
OB ，从而求出点 C 的坐标。
OC OA
（ 2）设抛物线的交点式，用待定系数法求出抛物线的解析式；化为顶点式可得抛物线的对称轴。

中考数学压轴专题训练——动态(动点)几何问题的解题技巧(含答案)

．
点的坐标
为．……
一次函数的解读式
为．
(3) 两点在直线上，的坐标分别是．
，．
过点作，垂足为点．
，
又，点坐标为．
3．(1)解方程，得．
由m＜n，知m=1，n=5．
∴A(1，0)，B(0，5)．………………………1分
∴ 解之，得
所求抛物线的解读式为 ……3分
(2)由得故C的坐标为(-5，0)．………4分
（1）如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为_______
和位置关系为_____；
（2）如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；
（2）如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，（1）中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明.
（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．
4、（1）如图1所示，在四边形中， = ，与相交于点，分别是的中点，联结，分别交、于点，试判断的形状，并加以证明；
（2）如图2，在四边形中，若，分别是的中点，联结FE并延长，分别与的延长线交于点，请在图2中画图并观察，图中是否有相等的角，若有，请直接写出结论：；
(3)如图③，当∠DAB＝90°，∠B与∠D互补时，线段AB、AD、AC有怎样的数量关系?写出你的猜想，并给予证明．
7.设点E是平行四边形ABCD的边AB的中点，F是BC边上一点，线段DE和AF相交于点P，点Q在线段DE上，且AQ∥PC．

2013中考数学压轴题动态几何题型精选解析(二)

新世纪教育网优选资料版权全部@新世纪教育网2013 中考数学压轴题动向几何题型优选分析（二）例题如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y=﹣ 2x+b（ b≥ 0）的地点随 b 的不一样取值而变化．（1）已知⊙ M的圆心坐标为（4， 2），半径为2．当 b=时，直线l ：y=﹣ 2x+b（ b≥ 0）经过圆心M；当 b=时，直线l ：y=﹣ 2x+b（ b≥ 0）与⊙ M相切；（2）若把⊙ M换成矩形 ABCD，其三个极点坐标分别为： A（ 2，0）、B（ 6，0）、C（6，2）．设直线 l 扫过矩形 ABCD的面积为 S，当 b 由小到大变化时，恳求出 S 与 b 的函数关系式．思路剖析：（1）①当直线经过圆心M（ 4， 2）时，将圆心坐标代入直线分析式，即可求得 b 的值；②当若直线与⊙M相切，如答图 1 所示，应有两条切合条件的切线，不要遗漏．欲求此时 b 的值，能够先求出切点P 的坐标，代入分析式即可；欲求切点P 的坐标，能够构造相像三角形△PMN∽△ BAO，求得 PN=2MN，而后在Rt △ PMN中利用勾股定理求出MN和 PN，最后求出P 点坐标；（2）本问重点是弄清直线扫过矩形 ABCD的运动过程，能够分为五个阶段，分别求出每一阶段S 的表达式，如答图 2﹣ 4 所示．解：（1）①直线l ： y=﹣ 2x+b（ b≥ 0）经过圆心M（4，2）时，则有： 2=﹣2× 4+b，∴ b=10；②若直线l ： y=﹣ 2x+b（ b≥ 0）与⊙ M相切，如答图1 所示，应有两条切合条件的切线．设直线与x 轴、 y 轴交于 A、B 点，则 A（，0）、B（0，b），∴ OB=2OA．由题意，可知⊙M与 x 轴相切，设切点为D，连结 MD；设直线与⊙ M的一个切点为 P，连结 MP并延伸交 x 轴于点 G；过 P 点作 PN⊥MD于点 N， PH⊥x 轴于点 H．易证△ PMN∽△ BAO，∴ PN： MN=OB： OA=2： 1，∴ PN=2MN．在 Rt △ PMN中，由勾股定理得：222， PN=，PM=PN+MN，解得： MN=∴PH=ND=MD﹣ MN=2﹣，OH=OD﹣HD=OD﹣PN=4﹣，∴P（ 4﹣，2﹣），代入直线分析式求得：b=10﹣ 2；同理，当切线位于此外一侧时，可求得：b=10+2．（2）由题意，可知矩形ABCD极点 D 的坐标为（ 2， 2）．由一次函数的性质可知，当 b 由小到大变化时，直线l ： y=﹣ 2x+b（b≥ 0）向右平移，挨次扫过矩形ABCD的不一样部分．可适当直线经过A（ 2， 0）时， b=4；当直线经过D（ 2， 2）时， b=6；当直线经过B（ 6， 0）时， b=12；当直线经过C（ 6， 0）时， b=14．①当 0≤ b≤ 4 时， S=0；②当 4＜ b≤ 6 时，如答图 2 所示．设直线 l ：y=﹣ 2x+b 与 x 轴交于点P，与 AD交于点 Q．令 y=0，可得 x= ，∴ AP= ﹣2；令 x=2，可得 y=b﹣ 4，∴ AQ=b﹣ 4．∴S=S△APQ= AP?AQ= （﹣ 2）（ b﹣ 4） = b2﹣ 2b+4；③当 6＜ b≤ 12 时，如答图 3 所示．设直线 l ：y=﹣ 2x+b 与 x 轴交于点P，与 CD交于点 Q．令 y=0，可得 x= ，∴ AP= ﹣2；令 y=2，可得 x= ﹣ 1，∴ DQ= ﹣ 3．S=S梯形APQD= （ DQ+AP）?AD=b﹣ 5；④当 12＜ b≤ 14 时，如答图 4 所示．设直线 l ：y=﹣ 2x+b 与 BC交于点 P，与 CD交于点 Q．令x=6，可得y=b﹣12，∴BP=b﹣12，CP=14﹣b；令 y=2，可得 x= ﹣ 1，∴ DQ= ﹣ 3， CQ=7﹣．S=S矩形ABCD﹣ S△PQC=8﹣CP?CQ=b2+7b﹣ 41；⑤当 b＞ 14 时， S=S矩形ABCD=8．综上所述，当 b 由小到大变化时，S 与 b 的函数关系式为：．评论：此题是动线型压轴题，综合考察了一次函数的图象与性质、圆的切线性质、相像三角形、矩形、梯形、勾股定理以及图形面积等重要知识点，波及的考点许多，难度较大，对同学们的解题能力提出了很高的要求．此题的难点在于：（ I ）第（ 1）②问中，圆的切线有两条，简单遗漏．求切点坐标时候，注意运用相像关系化简运算；（ II ）第（ 2）问中，动直线的运动过程剖析是难点，注意区分为五个阶段，分别求出每个阶段S 的表达式．。

2013年中考攻略专题19：动态几何之定值问题探讨(含答案)

【2013年中考攻略】专题19：动态几何之定值问题探讨动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。

常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。

前面我们已经对最值问题、面积问题、和差问题进行了探讨，本专题对定值问题进行探讨。

结合2011年和2012年全国各地中考的实例，我们从三方面进行动态几何之定值问题的探讨：（1）线段（和差）为定值问题；（2）面积（和差）为定值问题；（3）其它定值问题。

一、线段（和差）为定值问题：典型例题：例1：（2012黑龙江绥化8分）如图，点E 是矩形ABCD 的对角线BD 上的一点，且BE =BC ，AB =3，BC =4，点P 为直线EC 上的一点，且PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BD 于点R ．（1）如图1，当点P 为线段EC 中点时，易证：PR +PQ =512（不需证明）．（2）如图2，当点P 为线段EC 上的任意一点（不与点E 、点C 重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．（3）如图3，当点P 为线段EC 延长线上的任意一点时，其它条件不变，则PR 与PQ 之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．【答案】解：（2）图2中结论PR ＋PQ =125仍成立。

证明如下：连接BP ，过C 点作CK ⊥BD 于点K 。

∵四边形ABCD 为矩形，∴∠BCD =90°。

又∵CD =AB =3，BC =4，∴2 222BD CD BC345=+=+=。

∵S△BCD =12BC•CD=12BD•CK，∴3×4=5CK，∴CK=125。

∵S△BCE =12BE•CK，S△BEP=12PR•BE，S△BCP=12PQ•BC，且S△BCE=S△BEP＋S△BCP，∴12BE•CK=12PR•BE＋12PQ•BC。

中考数学专题复习动态图形面积问题

专题复习动态图形面积问题1．（09山东聊城）如图，已知正方形ABCD 的边长与Rt △PQR 的直角边PQ 的长均为4厘米，QR ＝8厘米，AB 与QR 在同一条直线l 上．开始时点Q 与点B 重合，让△PQR 以1厘米/秒速度在直线l 上向左匀速运动，直至点R 与点A 重合为止，t 秒时△PQR 与正方形ABCD 重叠部分的面积记为S 平方厘米．（1）当t ＝3秒时，求S 的值．（2）求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．（3）写出t 为何值时，重叠部分的面积S 有最大值，最大值是多少？2．（09吉林长春）如图，直线y ＝－43x ＋6分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点；直线y ＝45x 与AB 交于点C ，与过点A 且平行于y 轴的直线交于点D ．点E 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿x 轴向左运动．过点E 作x 轴的垂线，分别交直线AB 、OD 于P 、Q 两点，以PQ 为边向右作正方形PQMN ，设正方形PQMN 与△ACD 重叠部分（阴影部分）的面积为S （平方单位），点E 的运动时间为t （秒）．（1）求点C 的坐标；（2）当0＜t ＜5时，求S 与t 之间的函数关系式；（3）求（2）中S 的最大值；（4）当t ＞0时，直接写出点（4，29）在正方形PQMN 内部时t 的取值范围．A B Q P R CD l3．（09山西省）如图，已知直线l 1：y ＝32x ＋38与直线l 2：y ＝－2x ＋16相交于点C ，l 1、l 2分别交x 轴于A 、B 两点．矩形DEFG 的顶点D 、E 分别在直线l 1、l 2上，顶点F 、G 都在x 轴上，且点G 与点B 重合．（1）求△ABC 的面积；（2）求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；（3）若矩形DEFG 从原地出发，沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t （0≤t ≤12）秒，矩形DEFG 与△ABC 重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围；（4）S 是否存在最大值？若存在，请直接写出最大值及相应的t 值，若不存在，请说明理由．4．（09湖南邵阳）如图，直线l 的解析式为y ＝－x ＋4，它与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点．平行于直线l 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x 轴、y 轴分别相交于M 、N 两点，运动时间为t 秒（0＜t≤4）．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）用含t 的代数式表示△MON 的面积S 1；（3）以MN 为对角线作矩形OMPN ，记△MPN 和△OAB 重合部分的面积为S 2，①当2＜ t≤4时，试探究S 2与t 之间的函数关系式； ②在直线m 的运动过程中，当t 为何值时，S 2为△OAB 的面积的165？答案部分：1．解：（1）当t ＝3秒时，如图①所示．设PR 与BC 交于点M ，则QB ＝3，BR ＝QR －QB ＝5∵Rt △MBR ∽Rt △PQR ，∴BR BM ＝QR QP ，即5BM ＝84∴BM＝25． ······································· 2分∴S ＝21(QP ＋BM )· QB ＝21×(4＋25)×3＝439(平方厘米)． ································· 3分（2）①当0≤t ≤4时，如图①所示，则QB ＝t ，BR ＝8－t ．由（1）知BR BM ＝QR QP ，即t BM -8＝84，∴BM ＝28t -． ∴S ＝21(QP ＋BM )· QB ＝21×(4＋28t -)· t ＝－41t2＋4t ······················································ 5分 ②当4＜t ≤8时，如图②所示．设PR 分别与DA 、CB 交于点M 、N ，则QB ＝t ，BR ＝8－t ，QA ＝t －4，AR ＝QR －QA ＝8－(t －4)＝12－t ．∵Rt △MAR ∽Rt △PQR ，∴AR AM ＝QR QP ，即t AM -12＝84，∴AM ＝212t-． ∵Rt △NBR ∽Rt △PQR ，∴BR BN ＝QR QP ，即t BN -8＝84，∴BN ＝28t-． ∴S ＝21(AM ＋BN )· AB ＝21×(212t -＋28t-)×4＝20－2t ． ··································· 8分 ③当8＜t ≤12时，如图③所示．设PR 交DA 于点M ，则QB ＝t ，RB ＝t －8，AR ＝AB －RB ＝4－(t －8)＝12－t ∵Rt △MAR ∽Rt △PQR ，∴AR AM＝QR QP ．即t AM -12＝84，∴AM ＝212t -． ∴S ＝21AM· AR ＝21×212t -×(12－t )＝41t2－6t ＋36． ······································· 10分综上所述，S ＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--+-3664122044122t t t t t（3）当t ＝4时，重叠部分的面积S 有最大值，最大值是12平方厘米． ·················· 12分图①图②图③2．解：（1）由题意，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧x x y y 45643＝＋＝－解得⎪⎩⎪⎨⎧4153＝＝ y x∴点C 的坐标为（3，415）． ············································································· 1分（2）根据题意，得AE ＝t ，OE ＝8－t ． ∴点Q 的纵坐标为45(8－t )，点P 的纵坐标为43t ． ∴PQ ＝45(8－t )－43t ＝10－2t 当MN 在AD 上时，10－2t ＝t ，∴t ＝310． ··························································· 3分当0＜t ≤310时，S＝t (10－2t )，即S ＝－2t 2＋10t 当310≤t ＜5时，S＝(10－2t )2，即S ＝4t 2－40t ＋100． ··········································· 5分（3）当0＜t ≤310时，S＝－2t 2＋10t ＝－2(t －25)2＋225当t ＝25时，S 最大值＝225；当310≤t ＜5时，S＝4t 2－40t ＋100＝4(t －5)2，S 随t 的增大而减小 ∴t ＝310时，S 最大值＝4(310－5)2＝9100∵225＞9100，∴S 的最大值为225． ··································································· 7分（4）4＜t ＜522． ························································································· 10分3．解：（1）将y ＝0代入y ＝32x ＋38，得x ＝－4，∴点A 的坐标为（－4，0），∴OA ＝4．将y ＝0代入y ＝－2x ＋16，得x ＝8，∴点B 的坐标为（8，0），∴OB ＝8．∴AB ＝OA ＋OB ＝4＋8＝12 ········································································ 1分联立⎪⎩⎪⎨⎧1623832＋＝＋＝－x x y y ，解得⎩⎨⎧65＝＝ y x ，∴点C 的坐标为（5，6）． ·························· 2分 ∴S △ABC ＝AB 21·y C ＝21×12×6＝36 ··························································· 3分（2）∵点D 在直线l 1上且x D ＝x B ＝8，∴y D ＝32×8＋38＝8． ∴点D 的坐标为（8，8）． ········································································ 4分又∵点E 在直线l 2上且y E ＝y D ＝8，∴－2x E ＋16＝8，∴x E ＝4．∴点E 的坐标为（4，8）． ········································································· 5分 ∴DE ＝8－4＝4，EF ＝8． ········································································· 6分（3）过点C 作CM ⊥AB 于M ．∵C （5，6），∴OM ＝5，CM ＝6，∴MB ＝OB －OM ＝8－5＝3，∴AM ＝AB －MB ＝12－3＝9，AB －FG ＝12－4＝8，AG ＝AB －GB ＝12－t ，AF ＝AG －FG ＝12－t －4＝8－t ．①当0≤t ＜3时，如图1，矩形DEFG 与△ABC 重叠部分为五边形CHFGR （t ＝0时，为四边形CHFG ）．∵Rt △RGB ∽Rt △CMB ，∴GB RG ＝MB CM ，即t RG ＝36，∴RG ＝2t ．∵Rt △AFH ∽Rt △AMC ，∴AF HF＝AMCM ．即t HF －8＝96，∴HF ＝32(8－t )． ∴S ＝S △ABC －S △BRG －S △AFH ＝36－21×t ×2t －21(8－t )×32(8－t ) ＝－34t2＋316t ＋344 即S ＝－34t2＋316t ＋344（0≤t ＜3）． ····················································· 8分 ②当3≤t ＜8时，如图2，矩形DEFG 与△ABC 重叠部分为梯形HFGR ． ∵Rt △AGR ∽Rt △AMC ．∴AG RG＝AM CM ，即t RG －12＝96，∴RG ＝2(12－t )．＝21(HF ＋RG )·FG ＝21[32(8－t )＋32(12－t )]×4 ＝－38t ＋380即S ＝－38t ＋380（3≤t ＜8）． ························ 10分③当8≤t ＜12时，如图3，矩形DEFG 与△ABC 重叠部分为Rt △AGR ． ∴S ＝S Rt △AGR ＝21AG ·RG ＝21(12－t )×32(12－t ) ＝31t2－8t ＋48 图1图3图2即S ＝31t2－8t ＋48（8≤t ＜12）． ···················· 12分（4）存在，当t ＝2时，S 最大＝20． ························ 14分 4．解：（1）当x ＝0时，y ＝4；当y ＝0时，x ＝4． ∴A (4，0)，B (0，4)； ····································2分（2）∵MN ∥AB ，∴ON OM ＝OBOA＝1．∴OM ＝ON ＝t ． ∴S 1＝21OM ·ON ＝21t 2； ································4分（3）①当2＜t≤4时，易知点P 在△OAB 的外面，且点P 的坐标为(t ，t )．设PN 、PM 与直线l 分别相交于E 、F 两点，如图2．则F 点的坐标满足⎩⎨⎧+4t tx y －＝＝即F (t ，4－t )．同理可得E (4－t ，t )，则PF ＝PE ＝|t －(4－t )|＝2t －4． ······································· 6分 ∴S 2＝S △PNM－S △PEF ＝S △MON －S △PEF＝21t 2－21PE ·PF ＝21t 2－21(2t －4)2＝－23t 2＋8t －8； 8分 ②S △OAB ＝21×4×4＝8当＜t≤2时，S 2＝21t 2．由题意，得21t 2＝165×8＝25．解得t 1＝－5＜0，t 1＝5＞2，均不合题意，舍去； ········································· 10分当2＜t≤4时，S 2＝－23t 2＋8t －8＝25．解得t 3＝37，t 4＝3．综上所述，当t ＝37或t ＝3时，S 2为△OAB 的面积的165． ···································· 12分。

2013年全国中考试卷几何动态题组卷

中考几何动态题1．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．（1）若E是线段AC的中点，如图1，易证：BE=EF（不需证明）；（2）若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE、EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明．2.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，若点D在线段BC上，以AD为边长作正方形ADEF，如图1，易证：∠AFC=∠ACB+∠DAC；（1）若点D在BC延长线上，其他条件不变，写出∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系，并结合图2给出证明；（2）若点D在CB延长线上，其他条件不变，直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系式．3．已知四边形ABCD是正方形，O为正方形对角线的交点，一动点P从B开始，沿射线BC运动，连接DP，作CN⊥DP于点M，且交直线AB于点N，连接OP，ON．（当P在线段BC上时，如图1：当P在BC的延长线上时，如图2）（1）请从图1，图2中任选一图证明下面结论：①BN=CP；②OP=ON，且OP⊥ON；（2）设AB=4，BP=x，试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系．4．探究问题：（1）方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD﹣∠EAF=90°﹣45°=45°．∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°．即∠GAF=∠_________．又AG=AE，AF=AF∴△GAF≌_________．∴_________=EF，故DE+BF=EF．（2）方法迁移：如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠EAF=∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．5．（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF 的度数．（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由．（3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=3，求AG，MN的长．6．已知菱形ABCD的边长为5，∠DAB=60°．将菱形ABCD绕着A逆时针旋转得到菱形AEFG，设∠EAB=α，且0°＜α＜90°，连接DG、BE、CE、CF．（1）如图（1），求证：△AGD≌△AEB；（2）当α=60°时，在图（2）中画出图形并求出线段CF的长；（3）若∠CEF=90°，在图（3）中画出图形并求出△CEF的面积．7．Rt△ABC与Rt△FED是两块全等的含30°、60°角的三角板，按如图（一）所示拼在一起，CB与DE重合．（1）求证：四边形ABFC为平行四边形；（2）取BC中点O，将△ABC绕点O顺时钟方向旋转到如图（二）中△A′B′C′位置，直线B'C'与AB、CF分别相交于P、Q两点，猜想OQ、OP长度的大小关系，并证明你的猜想；（3）在（2）的条件下，指出当旋转角至少为多少度时，四边形PCQB为菱形？（不要求证明）8．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断；（2）将原题中正方形改为矩形（如图4﹣6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb（a≠b，k＞0），第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由；（3）在第（2）题图5中，连接DG、BE，且a=3，b=2，k=，求BE2+DG2的值．9．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．（1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；（2）当0°＜α≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决；小颖的想法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF（如图2）小亮的想法：将△ABD绕点A顺时针旋转90°得到△ACG，连接EG（如图3）；小敏继续旋转三角板，在探究中得出当45°＜α＜135°且α≠90°时，等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立，先请你继续研究：当135°＜α＜180°时（如图4）等量关系BD2+CE2=DE2是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．10.如图1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AE⊥EF，BE=2．（1）求EC：CF的值；（2）延长EF交正方形外角平分线CP于点P（如图2），试判断AE与EP的大小关系，并说明理由；（3）在图2的AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．11．已知，在△ABC中，AB=AC．过A点的直线a从与边AC重合的位置开始绕点A按顺时针方向旋转角θ，直线a交BC边于点P（点P不与点B、点C重合），△BMN的边MN始终在直线a上（点M在点N的上方），且BM=BN，连接CN．（1）当∠BAC=∠MBN=90°时，①如图a，当θ=45°时，∠ANC的度数为_________；②如图b，当θ≠45°时，①中的结论是否发生变化？说明理由；（2）如图c，当∠BAC=∠MBN≠90°时，请直接写出∠ANC与∠BAC之间的数量关系，不必证明．12．在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE=∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）当点P与点C重合时（如图1）．求证：△BOG≌△POE；（2）通过观察、测量、猜想：=_________，并结合图2证明你的猜想；（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=α，求的值．（用含α的式子表示）13.如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O．（1）如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形；（2）如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点；（3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长．14．如图1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=2，AC，BD相交于点O．（1）求边AB的长；（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF与AC相交于点G．①判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由；②旋转过程中，当点E为边BC的四等分点时（BE＞CE），求CG的长．15．已知△ABC是等边三角形．（1）将△ABC绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O．①如图a，当θ=20°时，△ABD与△ACE是否全等？_________（填“是”或“否”），∠BOE=_________度；②当△ABC旋转到如图b所在位置时，求∠BOE的度数；（2）如图c，在AB和AC上分别截取点B′和C′，使AB=AB′，AC=AC′，连接B′C′，将△AB′C′绕点A 逆时针旋转角（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O，请利用图c探索∠BOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．16．感知：如图①，点E在正方形ABCD的边BC上，BF⊥AE于点F，DG⊥AE于点G，可知△ADG≌△BAF．（不要求证明）拓展：如图②，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC，求证：△ABE≌△CAF．应用：如图③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为9，则△ABE与△CDF的面积之和为_________．17．如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN=45°，易证MN=AM+CN（1）如图2，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC=CD，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN=∠ABC，试探究线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．（2）如图3，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN=∠ABC，试探究线段MN、AM、CN又有怎样的数量关系？请直接写出猜想，不需证明．18．如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，长方形AEFG的宽AE=，长EF=．将长方形AEFG绕点A顺时针旋转15°得到长方形AMNH（如图），这时BD与MN相交于点O．（1）求∠DOM的度数；（2）在图中，求D、N两点间的距离；（3）若把长方形AMNH绕点A再顺时针旋转15°得到长方形ARTZ，请问此时点B在矩形ARTZ的内部、外部、还是边上？并说明理由．19．（1）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．①当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．（2）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由．甲：AB：AC=AD：AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°；乙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°；丙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°．20．（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC 上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．21．如图，点E是线段BC的中点，分别以BC为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰三角形，且在BC同侧．（1）AE和ED的数量关系为_________；AE和ED的位置关系为_________；（2）在图1中，以点E为位似中心，作△EGF与△EAB位似，点H是BC所在直线上的一点，连接GH，HD．分别得到图2和图3．①在图2中，点F在BE上，△EGF与△EAB的相似比1：2，H是EC的中点．求证：GH=HD，GH⊥HD．②在图3中，点F在的BE延长线上，△EGF与△EAB的相似比是k：1，若BC=2，请直接写CH的长为多少时，恰好使GH=HD且GH⊥HD（用含k的代数式表示）．22．如图①，有一张矩形纸片，将它沿对角线AC剪开，得到△ACD和△A′BC′．（1）如图②，将△ACD沿A′C′边向上平移，使点A与点C′重合，连接A′D和BC，四边形A′BCD是_________形；（2）如图③，将△ACD的顶点A与A′点重合，然后绕点A沿逆时针方向旋转，使点D、A、B在同一直线上，则旋转角为_________度；连接CC′，四边形CDBC′是_________形；（3）如图④，将AC边与A′C′边重合，并使顶点B和D在AC边的同一侧，设AB、CD相交于E，连接BD，四边形ADBC是什么特殊四边形？请说明你的理由．23．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，D为BC的中点．（1）若E、F分别是AB、AC上的点，且AE=CF，求证：△AED≌△CFD；（2）当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停止；设△DEF的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式．24．如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．25．如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=a，CQ=时，P、Q两点间的距离（用含a的代数式表示）．26．在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．27．如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF 成立．（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．①求证：BD⊥CF；②当AB=4，AD=时，求线段BG的长．28．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点G；E、F分别是C′D和BD上的点，线段EF交AD于点H，把△FDE沿EF折叠，使点D落在D′处，点D′恰好与点A重合．（1）求证：△ABG≌△C′DG；（2）求tan∠ABG的值；（3）求EF的长．29．课本中，把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸．请思考解决下列问题：（1）将一张标准纸ABCD（AB＜BC）对开，如图1所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸．请给予证明．（2）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD（AB＜BC）进行如下操作：第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上点F处，折痕为AE（如图2甲）；第二步：沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上点N处，折痕为DG（如图2乙），此时E点恰好落在AE边上的点M处；第三步：沿直线DM折叠（如图2丙），此时点G恰好与N点重合．请你探究：矩形纸片ABCD是否是一张标准纸？请说明理由．（3）不难发现：将一张标准纸按如图3一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸．现有一张标准纸ABCD，AB=1，BC=，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少？探索直接写出第2012次对开后所得标准纸的周长．…2013年全国中考试卷几何动态题组卷参考答案与试题解析1．（2012•佳木斯）在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．（1）若E是线段AC的中点，如图1，易证：BE=EF（不需证明）；（2）若E是线段AC或AC延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段BE、EF有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明．∠1，易证：∠AFC=∠ACB+∠DAC；（1）若点D在BC延长线上，其他条件不变，写出∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系，并结合图2给出证明；（2）若点D在CB延长线上，其他条件不变，直接写出∠AFC、∠ACB、∠DAC的关系式．，连接DP，作CN⊥DP于点M，且交直线AB于点N，连接OP，ON．（当P在线段BC上时，如图1：当P在BC的延长线上时，如图2）（1）请从图1，图2中任选一图证明下面结论：①BN=CP；②OP=ON，且OP⊥ON；（2）设AB=4，BP=x，试确定以O、P、B、N为顶点的四边形的面积y与x的函数关系．×的函数关系是：4．（2011•永州）探究问题：（1）方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD﹣∠EAF=90°﹣45°=45°．∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°．即∠GAF=∠FAE．又AG=AE，AF=AF∴△GAF≌△EAF．∴GF=EF，故DE+BF=EF．（2）方法迁移：如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠EAF=∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．EAF=长相等，求∠EAF的度数．（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN=45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由．（3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=3，求AG，MN的长．∴∴﹣）∴∠EAB=α，且0°＜α＜90°，连接DG、BE、CE、CF．（1）如图（1），求证：△AGD≌△AEB；（2）当α=60°时，在图（2）中画出图形并求出线段CF的长；（3）若∠CEF=90°，在图（3）中画出图形并求出△CEF的面积．∠CF×=CF=2CH=5DAO=AC=2AO=5．FC=AC=5，．AC=5MC==ME=（）•．重合．（1）求证：四边形ABFC为平行四边形；（2）取BC中点O，将△ABC绕点O顺时钟方向旋转到如图（二）中△A′B′C′位置，直线B'C'与AB、CF分别相交于P、Q两点，猜想OQ、OP长度的大小关系，并证明你的猜想；（3）在（2）的条件下，指出当旋转角至少为多少度时，四边形PCQB为菱形？（不要求证明）一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连接BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断；（2）将原题中正方形改为矩形（如图4﹣6），且AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb（a≠b，k＞0），第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由；（3）在第（2）题图5中，连接DG、BE，且a=3，b=2，k=，求BE2+DG2的值．∴，∴，∴如图1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．（1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；（2）当0°＜α≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决；小颖的想法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF（如图2）小亮的想法：将△ABD绕点A顺时针旋转90°得到△ACG，连接EG（如图3）；小敏继续旋转三角板，在探究中得出当45°＜α＜135°且α≠90°时，等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立，先请你继续研究：当135°＜α＜180°时（如图4）等量关系BD2+CE2=DE2是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．∵（1）求EC：CF的值；（2）延长EF交正方形外角平分线CP于点P（如图2），试判断AE与EP的大小关系，并说明理由；（3）在图2的AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．11．（2012•本溪）已知，在△ABC中，AB=AC．过A点的直线a从与边AC重合的位置开始绕点A按顺时针方向旋转角θ，直线a交BC边于点P（点P不与点B、点C重合），△BMN的边MN始终在直线a上（点M在点N的上方），且BM=BN，连接CN．（1）当∠BAC=∠MBN=90°时，①如图a，当θ=45°时，∠ANC的度数为45°；②如图b，当θ≠45°时，①中的结论是否发生变化？说明理由；（2）如图c，当∠BAC=∠MBN≠90°时，请直接写出∠ANC与∠BAC之间的数量关系，不必证明．∴，∠BNP=∴，ABC=∠12．（2012•三明）在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE=∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G．（1）当点P与点C重合时（如图1）．求证：△BOG≌△POE；（2）通过观察、测量、猜想：=，并结合图2证明你的猜想；（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若∠ACB=α，求的值．（用含α的式子表示）∵∵PE∴，∴∴tanACB=ααBPE=tan=，tan，tan==，tan）tan，tan22）tan，∴∠ααα，BP=，EPN=，cos，NPB=，cos=BPcos=•∴痕FG分别与AB，CD交于点G，F，AE与FG交于点O．（1）如图1，求证：A，G，E，F四点围成的四边形是菱形；（2）如图2，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点；（3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长．MO=x ﹣，﹣x=∴，，FG=2FO=的长是．（1）求边AB的长；（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD相交于点E，F，连接EF与AC相交于点G．①判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由；②旋转过程中，当点E为边BC的四等分点时（BE＞CE），求CG的长．OA=BD=．=∵CE=BE=CF=BE=．∵∴CG=（1）将△ABC绕点A逆时针旋转角θ（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O．①如图a，当θ=20°时，△ABD与△ACE是否全等？是（填“是”或“否”），∠BOE=120度；②当△ABC旋转到如图b所在位置时，求∠BOE的度数；（2）如图c，在AB和AC上分别截取点B′和C′，使AB=AB′，AC=AC′，连接B′C′，将△AB′C′绕点A 逆时针旋转角（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直线相交于点O，请利用图c探索∠BOE的度数，直接写出结果，不必说明理由．中，（AB AC ∴=，中，要求证明）拓展：如图②，点B、C分别在∠MAN的边AM、AN上，点E、F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC，求证：△ABE≌△CAF．应用：如图③，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为9，则△ABE与△CDF的面积之和为6．∴∴（1）如图2，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC=CD，点M、N分别在AD、CD上，若∠MBN=∠ABC，试探究线段MN、AM、CN有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明．（2）如图3，在四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点M、N分别在DA、CD的延长线上，若∠MBN=∠ABC，试探究线段MN、AM、CN又有怎样的数量关系？请直接写出猜想，不需证明．MBN=∠MBN=∵中，MBN=∠∠∵18．（2012•怀化）如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，长方形AEFG的宽AE=，长EF=．将长方形AEFG绕点A顺时针旋转15°得到长方形AMNH（如图），这时BD与MN相交于点O．（1）求∠DOM的度数；（2）在图中，求D、N两点间的距离；（3）若把长方形AMNH绕点A再顺时针旋转15°得到长方形ARTZ，请问此时点B在矩形ARTZ的内部、外部、还是边上？并说明理由．NH=，HAN==，AD=CD=3，DI=AI=AR=AK==AB=3＞①当点D在AC上时，如图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；②将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图2，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．（2）当△ABC和△ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在（1）中的位置关系仍然成立？不必说明理由．甲：AB：AC=AD：AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°；乙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°；丙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°．∵为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．BC同侧．（1）AE和ED的数量关系为AE=ED；AE和ED的位置关系为AE⊥ED；（2）在图1中，以点E为位似中心，作△EGF与△EAB位似，点H是BC所在直线上的一点，连接GH，HD．分别得到图2和图3．①在图2中，点F在BE上，△EGF与△EAB的相似比1：2，H是EC的中点．求证：GH=HD，GH⊥HD．②在图3中，点F在的BE延长线上，△EGF与△EAB的相似比是k：1，若BC=2，请直接写CH的长为多少时，恰好使GH=HD且GH⊥HD（用含k的代数式表示）．EF=EH=HC=ECEB+EC=BC=EC=CD∴（1）如图②，将△ACD沿A′C′边向上平移，使点A与点C′重合，连接A′D和BC，四边形A′BCD是平行四边形；（2）如图③，将△ACD的顶点A与A′点重合，然后绕点A沿逆时针方向旋转，使点D、A、B在同一直线上，则旋转角为90度；连接CC′，四边形CDBC′是直角梯形；（3）如图④，将AC边与A′C′边重合，并使顶点B和D在AC边的同一侧，设AB、CD相交于E，连接BD，四边形ADBC是什么特殊四边形？请说明你的理由．（1）若E、F分别是AB、AC上的点，且AE=CF，求证：△AED≌△CFD；（2）当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停止；设△DEF的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式．∴∴；∴．点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．，．∴∴．配方得，25．（2012•成都）如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC 的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA 相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=a，CQ=时，P、Q两点间的距离（用含a的代数式表示）．∵∴a∴BE=CE=BC=3AC=PQ==a11（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．∴，∠∴BE=BD=CF，BD⊥CF成立．（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G．①求证：BD⊥CF；②当AB=4，AD=时，求线段BG的长．AD=DE=AE==2AN=FN=AE=1=4=．ABM=FCN= AM=AB=．﹣，BM==∴∴CG=BG=。

2013年中考数学压轴题全面突破之一：动态几何(含答案)

中考数学压轴题全面突破之一•动态几何题型特点动态几何问题，是在几何知识和具体的几何图形背景下，通过点、线、形的运动，图形的平移、旋转、对称等来探究图形有关性质和图形之间的数量关系、位置关系的问题．常结合图形面积、存在性问题等考查．处理原则①研究基本图形，分析运动状态，确定分段；②画图，表达线段长；③借助几何特征建等式．难点拆解解决动态几何问题需要注意分段和线段长表达．①分段关键是找状态转折点．动点问题状态转折点通常是折线转折处或动点相遇处；图形运动问题状态转折点通常是边与顶点的交点．②线段长表达的方法有：s vt，线段和差、边角关系、勾股定理及相似．对于复杂的动态几何问题，如：起始时刻不同、往返运动、运动过程中速度变化等类型，需注意：表达线段长时找准对应的速度和时间．1.（2011山西太原改编）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，直线l经过O，C两点，点A的坐标为(8，0)，点B的坐标为(11，4)．动点P 在线段OA 上从点O 出发以每秒1个单位长度的速度向点A 运动，同时动点Q 从点A 出发以每秒2个单位长度的速度沿A →B →C 的方向向点C 运动．过点P 作PM 垂直于x 轴，与折线OC ﹣CB 相交于点M ，当P ，Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P ，Q 运动的时间为t 秒（t >0），△MPQ 的面积为S ．（1）点C 的坐标为________，直线l 的解析式为__________．（2）试求点Q 与点M 相遇前S 与t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．（3）随着P ，Q 两点的运动，当点M 在线段CB 上运动时，设PM 的延长线与直线l 相交于点N ．试探究：当t 为何值时，△QMN 为等腰三角形？lyxC B AQ M PO lyO A BC lyO A BClyO A BC2. （2012重庆）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，AD =2，BC =6，AB =3．E 为BC 边上一点，以BE 为边作正方形BEFG ，使正方形BEFG 和梯形ABCD 在BC 的同侧．（1）当正方形的顶点F 恰好落在对角线AC 上时，求线段BE 的长．（2）将（1）问中的正方形BEFG 沿BC 向右平移，记平移中的正方形BEFG 为正方形B 'EFG ，当点E 与点C 重合时停止平移．设平移的距离为t ，正方形B 'EFG 的边EF 与AC 交于点M ，连接B 'D ，B 'M ，DM ，是否存在这样的t ，使△B 'DM 是直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B 'EFG 与△ADC 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式以及自变量t 的取值范围．DCB A(E )DCB AA B CDDCB A3. （2008河北）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =50，AC =30，D ，E ，F 分别是AC ，AB ，BC 的中点．点P 从点D 出发，沿折线DE ﹣EF ﹣FC ﹣CD 以每秒7个单位长度的速度匀速运动；点Q 从点B 出发，沿BA 方向以每秒4个单位长度的速度匀速运动．过点Q 作射线QK ⊥AB ，交折线BC ﹣CA 于点G ．点P ，Q 同时出发，当点P 绕行一周回到点D 时，P ，Q 两点都停止运动，设点P ，Q 运动的时间是t 秒（t >0）．（1）D ，F 两点间的距离是__________________．（2）射线QK 能否把四边形CDEF 分成面积相等的两部分？若能，求出相应的t 值；若不能，说明理由．（3）当点P 运动到折线EF -FC 上，且点P 又恰好落在射线QK 上时，求t 的值．（4）连接PG ，当PG ∥AB 时，请直接写出t 的值．QKG FEDC BAPABCDEFABC D EFABC D EFABC D EF4. （2012江苏无锡）如图，菱形ABCD 的边长为2c m ，∠BAD =60°．点P 从点A 出发，以错误！未找到引用源。

2013动态几何中考考点分析版

临沂市2006--2013年中考数学(动态几何)高频考点透析动态几何压轴题透析内容子维度能力维度答题技巧了解理解掌握灵活运用真题对照答题要点详细解析（1）三角形全等（2）线段的数量关系问题（和、差、倍、积问题）（3）线段的位置关系问题（平行与垂直）（3）三角函数问题√√√2011年第（1）题、（2）题2010年第（1）题、（2）题、（3）题2009年第（1）题、（2）题、（3）题2008年第（1）题、（2）题、（3）题2007年第（1）题、（2）题、（3）题2006年第（1）题、（2）题、（3）题考点（1）：三角形全等的判定方法：SSS/SAS/ASA/AAS/HL的综合运用考点（2）：动态几何的综合运用、通过图形的平移、旋转、翻转、滚动等图形的变化、得到不同的动态图形，从而加大题目的思考含量。

解题思路：转动为静，结合“葫芦与瓢”的解题原理从而巧妙的达到解决问题的目的。

考点（3）：在解决问题的过程中经常遇见“存在不存在”问题、“成立不成立问题”、一般解决方案为正确的方向发展，几乎近90%问题是存在、成立的、很少存在否定的情况。

但在2012年却发生了那10%的结果。

考点（4）：特殊情况的具体对待：2010年第（3）问的线段问题、2008年第（3）问的三角函数问题、2006年第（3）考查的位置关系重点关注考点平移到相似的问题临沂市从2006年-----2010年一直采用三角形全等与平行四边形的结合，但从2011年开始启动与相似的结合点的雏形（见2011年第（3）题），到2012年动态几何全部采用相似三角形与平行四边形的结合，在2013年以后的解题思路上一定引起高度重视。

（1）相似三角形判定（2）维达定理的应用√√√2012年第（1）题、（2）题、（3）题考点（1）：三角形相似的判定方法：SSS/SAS/AA三种判断方法的综合运用考点（2）：动态几何的综合运用、通过图形的平移、旋转、翻转、滚动等图形的变化、得到不同的动态图形，从而加大题目的思考含量。

2013年全国各地中考数学试卷分类汇编：动态问题

动态问题一、选择题1．（2013江苏苏州，10，3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为（3），点C 的坐标为（12，0），点P 为斜边OB 上的一动点，则P A ＋PC 的最小值为（）．A B C D ．【答案】B ．【解析】如图，作A 关于OB 的对称点D ，连接CD 交OB 于P ，连接AP ，过D 作DN ⊥OA 于N ，则此时P A ＋PC 的值最小，求出AM ，求出AD ，求出DN 、CN ，根据勾股定理求出CD ，即可得出答案．解：如图，作A 关于OB 的对称点D ，连接CD 交OB 于P ，连接AP ，过D 作DN ⊥OA 于N ，则此时P A ＋PC 的值最小．∵DP =P A ，∴P A ＋PC =PD ＋PC =CD ．∵B （3，∴AB ，OA =3，∠B =60°．由勾股定理得：OB ．由三角形面积公式得：12×OA ×AB =12×OB ×AM ，即12×3=12×AM ．∴AM =32．∴AD =2×32=3．∵∠AMB =90°，∠B =60°， ∴∠BAM =30°，∵∠BAO =90°，∴∠OAM =60°． ∵DN ⊥OA ，∴∠NDA =30°，∴AN =12×AD =32．由勾股定理得：DN=2． ∵C （12，0），∴CN =3－12－32=1．在Rt △DNC 中，由勾股定理得：DC 2．即P A ＋PC 所以应选B ．【方法指导】本题考查了三角形的内角和定理，轴对称的最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P 点的位置，题目比较好，难度适中．【易错警示】弄不清楚最小值问题，赵不到最短距离而出错．2．（2013山东临沂，14，3分）如图，正方形ABCD 中，AB ＝8cm ，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 分别从B ，C 两点同时出发，以1cm/s 的速度沿BC ，CD 运动，到点C ，D 时停止运动．设运动时间为t (s )，△OEF 的面积为S (cm 2)，则S (cm 2)与t (s )的函数关系可用图象表示为（）【答案】：B ．3（2013四川南充，10，3分）如图1，点E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P ，点Q 同时从点B 出发，点P 沿BE →ED →DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到点C 停止，它们的运动速度都是1cm/s ．设P ，Q 出发秒时，△BPQ 的面积为y cm 2，已知y 与的函数关系的图象如图2（曲线OM 为抛物线的一部分）．则下列结论： ①AD=BE=5cm ；②当0＜≤5时，252t y =；③直线NH 的解析式为2725+-=t y ； ④若△ABE 与△QBP 相似，则429=t 秒．其中正确结论的个数为（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】：B ．【解析】据图（2）可以判断三角形的面积变化分为三段，可以判断出当点P 到达点E 时点Q 到达点C ，从而得到BC 、BE 的长度，再根据M 、N 是从5秒到7秒，可得ED 的长度，然后表示出AE 的长度，根据勾股定理求出AB 的长度，然后针对各小题分析解答即可．【方法指导】本题考查了二次函数的综合应用及动点问题的函数图象，根据图（2）判断出A ．D ．DF点P 到达点E 时，点Q 到达点C 是解题的关键，也是本题的突破口，难度较大．4．(2013湖北荆门，12，3分)如图所示，已知等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，若动直线l 垂直于BC ，且向右匀速(注：“匀速”二字为录入者所添加)平移，设扫过的阴影部分的面积为S ，BP 为x ，则S 关于x 的函数图象大致是()【答案】A【解析】为计算的方便，不妨设AB ＝CD ，AD ＝1，∠ABC ＝45°．分别过点A ，D 向BC 作垂线，垂足依次为E ，F ，如图3，设动直线l 移动的速度为x ．①当0≤x ＜1时，S ＝12x 2，其图象是开口向上的抛物线的一部分；②当1≤x ＜2时，S ＝12＋1×(x －1)＝x －12，其图象是直线的一部分；③当2≤x ≤3时，S ＝2－12(3－x )2，其图象是开口向下的抛物线的一部分．综上所述，选A ．【方法指导】判断函数大致图象的试题，一般应先确立函数关系解析式，再根据函数图象及性质做出合理的判断．解答分段函数的图象问题一般遵循以下步骤：①根据自变量的取值范围对函数进行分段；②求出每段的解析式；③由每段的解析式确定每段图象的形状． 5 (2013山东烟台，12,3分)如图1．E 为矩形ABCD 边AD 上一点，点P 从点B 沿折线BE-—ED —DC 运动到点C 时停止，点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止．它们的运动速度都是1cm /s .若点P ,Q 同时开始运动，设运动时间为t (s )，⊿BPQ 的面积y (cm 2).已知y 与t 的函数关系图像如图2，则下面结论错误的是（）A . cm AE 6=B . 54sin =∠EBC C . 当100≤<t 时，252t y =D .当s t 12=时，PBQ ∆是等腰三角形A ．B ．C ．D ． (第12题)图3【答案】A【考点解剖】本题是一道典型的动点问题，主要考查了三角函数、等腰三角形的判定、二次函数的解析式、三角形的面积公式，解决本题的关键是能够根据图形中点的位置与相应线段、面积的变化来理解函数图象表达的意义，数形结合，化静为动，从而正确的解决问题. 【解析】如图：利用数形结合思想方法，结合图1、图2分别求出BE =BC =10cm ，DE =4cm ，AE =6cm ；然后利用勾股定理求出AB ，即可求出sin ∠EBC =54；当100≤<t 时，根据△BPF ∽△EBA 可求出BQ 边上的高PF t 54=，然后利用三角形面积公式即可求出y 与t 的函数关系式y =⨯t 21t 54252t =，最后利用排除法即可选D .【方法指导】点的运动问题，主要表现在运动路径与时间之间的图象关系.解决动点问题时，对题意的理解要清晰，关键是正确获取或处理题中的信息，明确哪些是变化的量，哪些是不变的量.二、填空题1. （2013杭州4分）射线QN 与等边△ABC 的两边AB ，BC 分别交于点M ，N ，且AC ∥QN ，AM =MB =2cm ，QM =4cm ．动点P 从点Q 出发，沿射线QN 以每秒1cm 的速度向右移动，经过t 秒，以点P 为圆心，cm 为半径的圆与△ABC 的边相切（切点在边上），请写出t 可取的一切值（单位：秒）【思路分析】求出AB=AC=BC=4cm，MN=AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，分为三种情况：画出图形，结合图形求出即可；【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=AM+MB=4cm，∠A=∠C=∠B=60°，∵QN∥AC，AM=BM．∴N为BC中点，∴MN=AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，分为三种情况：①如图1，当⊙P切AB于M′时，连接PM′，则PM′=cm，∠PM′M=90°，∵∠PMM′=∠BMN=60°，∴M′M=1cm，PM=2MM′=2cm，∴QP=4cm﹣2cm=2cm，即t=2；②如图2，当⊙P于AC切于A点时，连接P A，则∠CAP=∠APM=90°，∠PMA=∠BMN=60°，AP=cm，∴PM=1cm，∴QP=4cm﹣1cm=3cm，即t=3，当当⊙P于AC切于C点时，连接PC，则∠CP′N=∠ACP′=90°，∠P′NC=∠BNM=60°，CP′=cm，∴P′N=1cm，∴QP=4cm+2cm+1cm=7cm，即当3≤t≤7时，⊙P和AC边相切；③如图1，当⊙P切BC于N′时，连接PN′3则PN′=cm，∠PM\N′N=90°，∵∠PNN′=∠BNM=60°，∴N′N=1cm，PN=2NN′=2cm，∴QP=4cm+2cm+2cm=8cm，即t=8；故答案为：t=2或3≤t≤7或t=8．【方法指导】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，切线的性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行计算的能力，注意要进行分类讨论啊．．2(2013浙江湖州,16,4分)如图，已知点A是第一象限内横坐标为AC⊥x =-于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB＝30°，BA⊥PA，轴于点M，交直线y x则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动，求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是__▲__．【答案】【解析】（1）首先，需要证明线段B0B n就是点B运动的路径（或轨迹），如答图②所示．利用相似三角形可以证明；（2）其次，如答图①所示，利用相似三角形△AB0B n∽△AON，求出线段B0B n的长度，即点B运动的路径长．OM=N在直线y=-x上，AC⊥x轴于点M，则△OMN为等腰直角三角形，×=．如答图①所示，设动点P在O点（起点）时，点B的位置为B0，动点P在N点（起点）时，点B的位置为B n，连接B0B n．∵AO⊥AB0，AN⊥AB n，∴∠OAC=∠B0AB n，又∵AB0=AO•tan30°，AB n=AN•tan30°，∴AB0：AO=AB n：AN=tan30°，∴△AB0B n∽△AON，且相似比为tan30°，∴B0B n=ON•tan30°=B0B n就是点B运动的路径（或轨迹）．如答图②所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为B i，连接AP，AB i，B0B i．∵AO⊥AB0，AP⊥AB i，∴∠OAP=∠B0AB i，又∵AB0=AO•tan30°，AB i=AP•tan30°，∴AB0：AO=AB i：AP，∴△AB0B i∽△AOP，∴∠AB0B i=∠AOP．又∵△AB0B n∽△AON，∴∠AB0B n=∠AOP，∴∠AB0B i=∠AB0B n，∴点B i在线段B0B n上，即线段B0B n就是点B运动的路径（或轨迹）．综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段B0B n，其长度为．【方法指导】本题考查坐标平面内由相似关系确定的点的运动轨迹，难度很大．本题的要点有两个：首先，确定点B 的运动路径是本题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力；其次，由相似关系求出点B 运动路径的长度，可以大幅简化计算，避免陷入坐标关系的复杂运算之中3．（2013山东菏泽，14，3分）如图所示，在△ABC 中，BC =6，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，动点P 在射线EF 上，BP 交CE 于点D ，∠CBP 的平分线交CE 于Q ，当CQ =13CE时， EP +BP =____________.【答案】12．【解析】延长BQ 角射线EF 于M.∵E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴EF//BC ，即EM//BC.∴△EQM ∽△EQB ，∴123132===CE CECQ EQ BC EM ，即26=EM ，∴EM=12.∵∠CBP 的平分线交CE 于Q ，∴∠PBM=∠CBM ， ∵EM//BC ，∴∠EMB=∠CBM ，∴∠PBM=∠EMB ，∴PB=PM ，所以EP +BP =EM=12.【方法指导】本题考查三角形相似、三角形中位线性质、角平分线意义等.本题是一道动点型问题，解题时要善于从“动中求静，联想关联知识”.三、解答题1. （2013杭州4分）射线QN 与等边△ABC 的两边AB ，BC 分别交于点M ，N ，且AC ∥QN ，AM =MB =2cm ，QM =4cm ．动点P 从点Q 出发，沿射线QN 以每秒1cm的速度向右移动，B（第14题）经过t秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值（单位：秒）【思路分析】求出AB=AC=BC=4cm，MN=AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，分为三种情况：画出图形，结合图形求出即可；【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=AM+MB=4cm，∠A=∠C=∠B=60°，∵QN∥AC，AM=BM．∴N为BC中点，∴MN=AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，分为三种情况：①如图1，当⊙P切AB于M′时，连接PM′，则PM′=cm，∠PM′M=90°，∵∠PMM′=∠BMN=60°，∴M′M=1cm，PM=2MM′=2cm，∴QP=4cm﹣2cm=2cm，即t=2；②如图2，当⊙P于AC切于A点时，连接P A，则∠CAP=∠APM=90°，∠PMA=∠BMN=60°，AP=cm，∴PM=1cm，∴QP=4cm﹣1cm=3cm，即t=3，当当⊙P于AC切于C点时，连接PC，则∠CP′N=∠ACP′=90°，∠P′NC=∠BNM=60°，CP′=cm，∴P′N=1cm，∴QP=4cm+2cm+1cm=7cm，即当3≤t≤7时，⊙P和AC边相切；③如图1，当⊙P切BC于N′时，连接PN′3则PN′=cm，∠PM\N′N=90°，∵∠PNN′=∠BNM=60°，∴N′N=1cm，PN=2NN′=2cm，∴QP=4cm+2cm+2cm=8cm，即t=8；故答案为：t=2或3≤t≤7或t=8．【方法指导】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，切线的性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行计算的能力，注意要进行分类讨论啊．2．（2013湖北孝感，25，12分）如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）．①AE=EF是否总成立？请给出证明；②在如图2的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y=﹣x2+x+1上，求此时点F的坐标．，的坐标为3（2013·济宁，23，?分）如图，直线y=－x＋4与坐标轴分别交于点A、B，与直线y=x交于点C．在线段OA上，动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，同时动点P从点A出发向点O做匀速运动，当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动．分别过点P、Q作x轴的垂线，交直线AB、OC于点E、F，连接EF．若运动时间为t秒，在运动过程中四边形PEFQ总为矩形（点P、Q重合除外）．（1）求点P运动的速度是多少？（2）当t为多少秒时，矩形PEFQ为正方形？（3）当t为多少秒时，矩形PEFQ的面积S最大？并求出最大值．考点：一次函数综合题．（1）根据直线y=－x＋4与坐标轴分别交于点A、B，得出A，B点的坐标，再利用EP∥BO，分析：得出==，据此可以求得点P的运动速度；（2）当PQ=PE时，以及当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，分别求出即可；（3）根据（2）中所求得出s与t的函数关系式，进而利用二次函数性质求出即可．解答：解：（1）∵直线y=－x＋4与坐标轴分别交于点A、B，∴x=0时，y=4，y=0时，x=8，∴==，当t秒时，QO=FQ=t，则EP=t，∵EP∥BO，∴==，∴AP=2t，∵动点Q以每秒1个单位长度的速度从点O出发向点A做匀速运动，∴点P运动的速度是每秒2个单位长度；（2）如图1，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，则OQ=FQ=t，P A=2t，∴QP=8－t－2t=8－3t，∴8－3t=t，解得：t=2，如图2，当PQ=PE时，矩形PEFQ为正方形，∵OQ=t，P A=2t，∴OP=8－2t，∴QP=t－（8－2t）=3t－8，∴t=3t－8，解得：t=4；（3）如图1，当Q在P点的左边时，∵OQ=t，P A=2t，∴QP=8－t－2t=8－3t，当t=－=时，S矩形PEFQ的最大值为：=4，如图2，当Q在P点的右边时，∵OQ=t，P A=2t，∴QP=t－（8－2t）=3t－8，∴S矩形PEFQ=QP•QE=（3t－8）•t=3t2－8t，∵当点P、Q其中一点停止运动时，另一点也停止运动，∴0≤t≤4，当t=－=时，S矩形PEFQ的最小，∴t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：3×42－8×4=16，综上所述，当t=4时，S矩形PEFQ的最大值为：16．点评：此题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，得出P ，Q 不同的位置进行分类讨论得出是解题关键．4．（2013·潍坊，24，13分）如图，抛物线c bx ax y ++=2关于直线1=x 对称，与坐标轴交于C B A 、、三点，且4=AB ，点⎪⎭⎫ ⎝⎛232，D 在抛物线上，直线是一次函数()02≠-=k kx y 的图象，点O 是坐标原点．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线平分四边形OBDC 的面积，求k 的值．（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于N M 、两点，问在y 轴正半轴上是否存在一定点P ，使得不论k 取何值，直线PM 与PN 总是关于y 轴对称？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．答案：（1）因为抛物线关于直线x ＝1对称，AB ＝4，所以A(－1，0)，B(3，0)，由点D(2，1．5)在抛物线上，所以⎩⎨⎧=++=+-5.1240c b a c b a ，所以3a ＋3b ＝1．5，即a ＋b ＝0．5，又12=-a b，即b ＝－2a ，代入上式解得a ＝－0．5，b ＝1，从而c ＝1．5，所以23212++-=x x y ．（2）由（1）知23212++-=x x y ，令x ＝0，得c(0，1．5)，所以CD//AB ，令kx －2＝1．5，得l 与CD 的交点F(23,27k )，令kx －2＝0，得l 与x 轴的交点E(0,2k)，根据S 四边形OEFC ＝S 四边形EBDF 得：OE ＋CF ＝DF ＋BE ，即,511),272()23(272=-+-=+k k k k k 解得（3）由（1）知,2)1(21232122+--=++-=x x x y所以把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为221x y -=假设在y 轴上存在一点P(0，t)，t ＞0，使直线PM 与PN 关于y 轴对称，过点M 、N 分别向y 轴作垂线MM 1、NN 1，垂足分别为M 1、N 1，因为∠MPO ＝∠NPO ，所以Rt △MPM 1∽Rt △NPN 1，所以1111PN PM NN MM =，………………(1) 不妨设M(x M ，y M )在点N(x N ，y N )的左侧，因为P 点在y 轴正半轴上，则（1）式变为NMN M y t y t x x --=-，又y M ＝k x M －2， y N ＝k x N －2，所以（t ＋2）(x M ＋x N )＝2k x M x N ，……(2) 把y ＝kx －2(k ≠0)代入221x y -=中，整理得x 2＋2kx －4＝0，所以x M ＋x N ＝－2k ， x M x N ＝－4，代入（2）得t ＝2，符合条件，故在y 轴上存在一点P （0，2），使直线PM 与PN 总是关于y 轴对称．考点：本题是一道与二次函数相关的压轴题，综合考查了考查了二次函数解析式的确定，函数图象交点及图形面积的求法，三角形的相似，函数图象的平移，一元二次方程的解法等知识，难度较大．点评：本题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三角形的条件与性质以及质点运动问题、分类讨论思想于一体的综合题，能够较好地考查了同学们灵活应用所学知识，解决实际问题的能力。

中考数学专题动态几何之线动形成的面积问题(含解析)

、专题29动态几何之线动形成的面积问题数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。

动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。

解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。

以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。

动态几何形成的面积问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的面积问题，双（多）动点形成的面积问题，线动形成的面积问题，面动形成的面积问题。

本专题原创编写双（多）动点形成的面积问题模拟题。

在中考压轴题中，线动形成的面积问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。

1.如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上的一个动点，过点P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点．设AC＝2，BD＝1，AP＝△x，AMN的面积为y，则y关于x的函数图象大致形状是【】【答案】C【解析】△AMN的面积=12AP×MN，通过题干已知条件，用x分别表示出AP、MN，根据所得的函数，利用其图象，可分两种情况解答：（1）0＜x≤1；（2）1＜x＜2；解：（1）当0＜x≤1时，如图，在菱形ABCD中，AC=2，BD=1，AO=1，且AC⊥BD；同理证得，△CDB ∽ △C N M ， CP NM（2）当 1＜x ＜2，如图，MN= ，OC BD即 2 - x = ，MN=2-x ；1 11∴y=2A P×MN= 12x×（2-x ），y=- 12x 2+x ；1∵- ＜0，2∴函数图象开口向下；综上答案 C 的图象大致符合．故选：C ．本题考查了二次函数的图象，考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力，体现了分类讨论的思想．2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y = -2x 2 经过平移得到抛物线 y = -2x 2 + 4x ，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为【】A．2B．4C．8D．16【答案】B。

2013中考数学专题攻略-专题17 动态几何之面积问题探讨.

【2013年中考攻略】专题17：动态几何之面积问题探讨动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、线动和面动三大类，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。

常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和图形存在问题等。

前面我们已经对最值问题进行了探讨，本专题对面积问题行探讨。

结合2011年和2012年全国各地中考的实例，我们从四方面进行动态几何之面积问题的探讨：（1）静态面积问题；（2）点动形成的动态面积问题；（3）线动形成的动态面积问题；（4）面动形成的动态面积问题。

一、静态面积问题：典型例题：例1：（2012山西省2分）如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB 的半径OA 长是6米，C 是OA 的中点，点D 在弧AB 上，CD ∥OB ，则图中休闲区（阴影部分）的面积是【】A．10π⎛ ⎝米2 B．π⎛- ⎝米2 C．6π⎛ ⎝米2D．(6π-米2【答案】 C 。

【考点】扇形面积的计算，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】连接OD ，则DOC AOD S S S ∆=-扇形影阴。

∵弧AB 的半径OA 长是6米，C 是OA 的中点，∴OC=12OA=12×6=3。

∵∠AOB=90°，CD∥OB，∴CD⊥OA。

在Rt△OCD 中，∵OD=6，OC=3，∴=又∵CD sin DOC OD ∠=，∴∠DOC=60°。

∴2DOC AOD 6061S S S =33602ππ∆⋅⋅=--⋅⋅扇形影阴2）。

故选C 。

例2：（2012湖北恩施3分）如图，菱形ABCD 和菱形ECGF 的边长分别为2和3，∠A=120°，则图中阴影部分的面积是【】A．2 C ．3 D例3：（2012湖北随州4分）如图，直线l 与反比例函数2y=x的图象在第一象限内交于A 、B 两点，交x 轴的正半轴于C 点,若AB ：BC=(m 一l)：1(m>l)则△OAB 的面积(用m 表示)为【】A.2m 12m -B. 2m 1m -C. ()23m 1m -D. ()23m 12m-【答案】B 。

因动点产生的面积问题

1.6 因动点产生的面积问题例1 2013年苏州市中考第29题如图1，已知抛物线212y x bx c =++（b 、c 是常数，且c ＜0）与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴的负半轴交于点C ，点A 的坐标为(－1,0)．（1）b ＝______，点B 的横坐标为_______（上述结果均用含c 的代数式表示）；（2）连结BC ，过点A 作直线AE //BC ，与抛物线交于点E ．点D 是x 轴上一点，坐标为(2,0)，当C 、D 、E 三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P 是x 轴下方的抛物线上的一动点，连结PB 、PC ．设△PBC 的面积为S ． ①求S 的取值范围；②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有_____个．图1动感体验请打开几何画板文件名“13苏州29”，拖动点C 在y 轴负半轴上运动，可以体验到，△EHA 与△COB 保持相似．点击按钮“C 、D 、E 三点共线”，此时△EHD ∽△COD ．拖动点P 从A 经过C 到达B ，数一数面积的正整数值共有11个．请打开超级画板文件名“13苏州29”，拖动点C 在y 轴负半轴上运动，可以体验到，△EHA 与△COB 保持相似．点击按钮“C 、D 、E 三点共线”，此时△EHD ∽△COD ．拖动点P 从A 经过C 到达B ，数一数面积的正整数值共有11个．思路点拨1．用c 表示b 以后，把抛物线的一般式改写为两点式，会发现OB ＝2OC ． 2．当C 、D 、E 三点共线时，△EHA ∽△COB ，△EHD ∽△COD ．3．求△PBC 面积的取值范围，要分两种情况计算，P 在BC 上方或下方．4．求得了S 的取值范围，然后罗列P 从A 经过C 运动到B 的过程中，面积的正整数值，再数一数个数．注意排除点A 、C 、B 三个时刻的值．满分解答（1）b ＝12c +，点B 的横坐标为－2c ．（2）由2111()(1)(2)222y x c x c x x c =+++=++，设E 1(,(1)(2))2x x x c ++．过点E 作EH ⊥x 轴于H ．由于OB ＝2OC ，当AE //BC 时，AH ＝2EH ．所以1(1)(2)x x x c +=++．因此12x c =-．所以(12,1)E c c --．当C 、D 、E 三点在同一直线上时，EH CO DH DO =．所以1212c cc --=--．整理，得2c 2＋3c －2＝0．解得c ＝－2或12c =（舍去）．所以抛物线的解析式为213222y x x =--．（3）①当P 在BC 下方时，过点P 作x 轴的垂线交BC 于F ．直线BC 的解析式为122y x =-．设213(,2)22P m m m --，那么1(,2)2F m m -，2122FP m m =-+．所以S △PBC ＝S △PBF ＋S △PCF ＝221()24(2)42B C FP x x FP m m m -==-+=--+．因此当P 在BC 下方时，△PBC 的最大值为4．当P 在BC 上方时，因为S △ABC ＝5，所以S △PBC ＜5．综上所述，0＜S ＜5．②若△PBC 的面积S 为正整数，则这样的△PBC 共有11个．考点伸展点P 沿抛物线从A 经过C 到达B 的过程中，△PBC 的面积为整数，依次为（5），4，3，2，1，（0），1，2，3，4，3，2，1，（0）．当P 在BC 下方，S ＝4时，点P 在BC 的中点的正下方，F 是BC 的中点．例 2 2012年菏泽市中考第21题如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A (0, 1)、B (2, 0)、O (0, 0)，将此三角板绕原点O 逆时针旋转90°，得到三角形A ′B ′O ．（1）一抛物线经过点A ′、B ′、B ，求该抛物线的解析式；（2）设点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P ，使四边形PB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB ′A ′B 是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．图1动感体验请打开几何画板文件名“12菏泽21”，拖动点P 在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，当四边形PB ′A ′B 是等腰梯形时，四边形PB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍．请打开超级画板文件名“12菏泽21”，拖动点P 在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，当四边形PB ′A ′B 是等腰梯形时，四边形PB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍．思路点拨1．四边形PB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍，可以转化为四边形PB ′OB 的面积是 △A ′B ′O 面积的3倍．2．联结PO ，四边形PB ′OB 可以分割为两个三角形．3．过点向x 轴作垂线，四边形PB ′OB 也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形．满分解答（1）△AOB 绕着原点O 逆时针旋转90°，点A ′、B ′的坐标分别为(－1, 0) 、(0, 2)．因为抛物线与x 轴交于A ′(－1, 0)、B (2, 0)，设解析式为y ＝a (x ＋1)(x －2)，代入B ′(0, 2)，得a ＝1．所以该抛物线的解析式为y ＝－(x ＋1)(x －2) ＝－x 2＋x ＋2．（2）S △A ′B ′O ＝1．如果S 四边形PB ′A ′B ＝4 S △A ′B ′O ＝4，那么S 四边形PB ′OB ＝3 S △A ′B ′O ＝3．如图2，作PD ⊥OB ，垂足为D ．设点P 的坐标为 (x ，－x 2＋x ＋2)．232'1111(')(22)22222PB OD S DO B O PD x x x x x x =+=-++=-++梯形． 2321113(2)(2)22222PDBS DB PD x x x x x ∆=⨯=--++=-+．所以2'''2+2PDB PB A D PB OD S S S x x ∆=+=-+四边形梯形．解方程－x 2＋2x ＋2＝3，得x 1＝x 2＝1．所以点P 的坐标为(1，2)．图2 图3 图4（3）如图3，四边形PB ′A ′B 是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线．考点伸展第（2）题求四边形PB ′OB 的面积，也可以如图4那样分割图形，这样运算过程更简单．'11'222PB O P S B O x x x ∆=⋅=⨯=． 22112(2)222PBOP S BO y x x x x ∆=⋅=⨯-++=-++．所以2'''2+2PB O PBO PB A D S S S x x ∆∆=+=-+四边形．甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点P ：作△A ′OB ′关于抛物线的对称轴对称的△BOE ，那么点E 的坐标为(1，2)．而矩形EB ′OD 与△A ′OB ′、△BOP 是等底等高的，所以四边形EB ′A ′B 的面积是△A ′B ′O 面积的4倍．因此点E 就是要探求的点P ．例 3 2012年河南省中考第23题如图1，在平面直角坐标系中，直线112y x =+与抛物线y ＝ax 2＋bx －3交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为3．点P 是直线AB 下方的抛物线上的一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D ．（1）求a 、b 及sin ∠ACP 的值；（2）设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值；②连结PB ，线段PC 把△PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“12河南23”，拖动点P 在直线AB 下方的抛物线上运动，可以体验到，PD 随点P 运动的图象是开口向下的抛物线的一部分，当C 是AB 的中点时，PD 达到最大值．观察面积比的度量值，可以体验到，左右两个三角形的面积比可以是9∶10，也可以是10∶9．思路点拨1．第（1）题由于CP //y 轴，把∠ACP 转化为它的同位角．2．第（2）题中，PD ＝PC sin ∠ACP ，第（1）题已经做好了铺垫．3．△PCD 与△PCB 是同底边PC 的两个三角形，面积比等于对应高DN 与BM 的比． 4．两个三角形的面积比为9∶10，要分两种情况讨论．满分解答（1）设直线112y x =+与y 轴交于点E ，那么A (－2,0)，B (4,3)，E (0,1)．在Rt △AEO 中，OA ＝2，OE ＝1，所以5AE =．所以25sin AEO ∠=．因为PC //EO ，所以∠ACP ＝∠AEO ．因此25sin ACP ∠=．将A (－2,0)、B (4,3)分别代入y ＝ax 2＋bx －3，得4230,1643 3.a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得12a =，12b =-．（2）由211(,3)22P m m m --，1(,1)2C m m +，得221111(1)(3)42222PC m m m m m =+---=-++．所以2225251595sin (4)(1)2PD PC ACP PC m m m =∠==-++=--+．所以PD 的最大值为95．（3）当S △PCD ∶S △PCB ＝9∶10时，52m =；当S △PCD ∶S △PCB ＝10∶9时，329m =．图2考点伸展第（3）题的思路是：△PCD 与△PCB 是同底边PC 的两个三角形，面积比等于对应高DN 与BM 的比．而252511cos cos 4)(2)(4)25DN PD PDN PD ACP m m m m =∠=∠=-++=-+-， BM ＝4－m ．①当S △PCD ∶S △PCB ＝9∶10时，19(2)(4)(4)510m m m -+-=-．解得52m =．②当S △PCD ∶S △PCB ＝10∶9时，110(2)(4)(4)59m m m -+-=-．解得329m =．例 4 2011年南通市中考第28题如图1，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线myx=(x＞0)交于点B(2，1)．过点(,1)P p p-(p＞1)作x轴的平行线分别交曲线myx=(x＞0)和myx=-(x＜0)于M、N两点．（1）求m的值及直线l的解析式；（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“11南通28”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，当直线MN经过（0，2）点时，图形中的三角形都是等腰直角三角形；△AMN和△AMP是两个同高的三角形，MN＝4MP存在两种情况．思路点拨1．第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中．2．第（3）题把S△AMN＝4S△AMP转化为MN＝4MP，按照点M与线段NP的位置关系分两种情况讨论．满分解答（1）因为点B(2，1)在双曲线myx=上，所以m＝2．设直线l的解析式为y kx b=+，代入点A(1，0)和点B(2，1)，得0,2 1.k bk b+=⎧⎨+=⎩解得1,1.kb=⎧⎨=-⎩所以直线l的解析式为1y x=-．（2）由点(,1)P p p-(p＞1)的坐标可知，点P在直线1y x=-上x轴的上方．如图2，当y＝2时，点P的坐标为(3，2)．此时点M的坐标为(1，2)，点N的坐标为(－1，2)．由P(3，2)、M(1，2)、B(2，1)三点的位置关系，可知△PMB为等腰直角三角形．由P(3，2)、N(－1，2)、A(1，0)三点的位置关系，可知△PNA为等腰直角三角形．所以△PMB∽△PNA．图2 图3 图4（3）△AMN 和△AMP 是两个同高的三角形，底边MN 和MP 在同一条直线上．当S △AMN ＝4S △AMP 时，MN ＝4MP ．①如图3，当M 在NP 上时，x M －x N ＝4(x P －x M )．因此222()4(1)x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得113x +=或113x -=（此时点P 在x 轴下方，舍去）．此时113p +=． ②如图4，当M 在NP 的延长线上时，x M －x N ＝4(x M －x P )．因此222()4(1)x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得15x +=或15x -=（此时点P 在x 轴下方，舍去）．此时15p +=．考点伸展在本题情景下，△AMN 能否成为直角三角形？情形一，如图5，∠AMN ＝90°，此时点M 的坐标为（1，2），点P 的坐标为（3，2）．情形二，如图6，∠MAN ＝90°，此时斜边MN 上的中线等于斜边的一半．不存在∠ANM ＝90°的情况．图5 图6例5 2010年广州市中考第25题如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线12y x b=-+交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“10广州25”，拖动点D由C向B运动，观察S随b变化的函数图象，可以体验到，E在OA上时，S随b的增大而增大；E在AB上时，S随b的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点D由C向B运动，可以观察到，E在OA上时，重叠部分的形状是菱形，面积不变．双击按钮“第（2）题”可以切换．思路点拨1．数形结合，用b表示线段OE、CD、AE、BE的长．2．求△ODE的面积，要分两种情况．当E在OA上时，OE边对应的高等于OC；当E在AB边上时，要利用割补法求△ODE的面积．3．第（3）题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形．4．图形翻着、旋转等运动中，计算菱形的边长一般用勾股定理．满分解答(1)①如图2，当E在OA上时，由12y x b=-+可知，点E的坐标为(2b,0)，OE＝2b．此时S＝S△ODE＝112122OE OC b b⋅=⨯⨯=．②如图3，当E在AB上时，把y＝1代入12y x b=-+可知，点D的坐标为(2b－2,1)，CD＝2b－2，BD＝5－2b．把x＝3代入12y x b=-+可知，点E的坐标为3(3,)2b-，AE＝32b-，BE＝52b-．此时S＝S矩形OABC－S△OAE－S△BDE－S△OCD＝1315133()()(52)1(22) 22222b b b b-⨯-----⨯⨯-252b b=-+．(2)如图4，因为四边形O1A1B1C1与矩形OABC关于直线DE对称，因此DM＝DN，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN是菱形．作DH⊥OA，垂足为H．由于CD＝2b－2，OE＝2b，所以EH＝2．设菱形DMEN的边长为m．在Rt△DEH中，DH＝1，NH＝2－m，DN＝m，所以12＋(2－m)2＝m2．解得54m=．所以重叠部分菱形DMEN的面积为54．图2 图3 图4考点伸展把本题中的矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5），那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为53，如图7所示．图5 图6 图7例 6 2010年扬州市中考第28题如图1，在△ABC 中，∠C ＝90°，A C ＝3，BC ＝4，CD 是斜边AB 上的高，点E 在斜边AB 上，过点E 作直线与△ABC 的直角边相交于点F ，设AE ＝x ，△AEF 的面积为y ．（1）求线段AD 的长；（2）若EF ⊥AB ，当点E 在斜边AB 上移动时，①求y 与x 的函数关系式（写出自变量x 的取值范围）； ②当x 取何值时，y 有最大值？并求出最大值．（3）若点F 在直角边AC 上（点F 与A 、C 不重合），点E 在斜边AB 上移动，试问，是否存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分？若存在直线EF ，求出x 的值；若不存在直线EF ，请说明理由．图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“10扬州28”，拖动点E 在AB 上运动，从y 随x 变化的图象可以体验到，当F 在AC 上时，y 随x 的增大而增大；当F 在BC 上时，y 随x 变化的图象是开口向下的抛物线的一部分，y 的最大值对应抛物线的顶点．双击按钮“第（3）题”，我们已经设定好了EF 平分△ABC 的周长，拖动点E ，观察图象，可以体验到，“面积AEF ”的值可以等于3，也就是说，存在直线EF 将△ABC 的周长和面积同时平分．双击按钮“第（2）题”可以切换。

动态几何之线动形成的面积问题

动态几何之线动形成的面积问题一、选择题1. （2013年湖北荆门3分）如下图所示，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，若动直线l垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是【】A．B．C．D．2. （2013年山东聊城3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为【】A．2 B．4 C．8 D．163. （2012湖北十堰3分）如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论：①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到；②点O与O′的距离为4；③∠AOB=150°；④；⑤．其中正确的结论是【】A．①②③⑤B．①②③④C．①②③④⑤D．①②③【答案】A。

【考点】旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理。

4. （2011年重庆潼南4分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点C的坐标为（4，0），∠AOC=60°，垂直于轴的直线l从轴出发，沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M，N（点M在点N的上方），若△OMN的面积为S，直线l的运动时间为t秒（0≤t≤4），则能大致反映S与t的函数关系的图象是【】【答案】C。

二、填空题1. （2013年黑龙江绥化3分）直角三角形两直角边长是3cm和4cm，以该三角形的边所在直线为轴旋转一周所得到的几何体的表面积是▲ cm2．（结果保留π）2. （2012四川广安3分）如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（﹣6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为▲ ．三、解答题1. （2013年湖南湘潭10分）如图，在坐标系xOy中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，A（1，0），B（0，2），抛物线的图象过C点．（1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l．当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分？（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形P ACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．（2）在Rt△AOB中，OA=1，OB=2，由勾股定理得：AB=。

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常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和图形存在问题等。

前面我们已经对最值问题进行了探讨，本专题对面积问题行探讨。

一、静态面积问题：典型例题：例1：（2012山西省2分）如图是某公园的一角，∠AOB =90°，弧AB 的半径OA 长是6米，C 是OA 的中点，点D 在弧AB 上，CD ∥OB ，则图中休闲区（阴影部分）的面积是【】A ．91032π⎛⎫-⎪⎝⎭米2 B ．932π⎛⎫-⎪⎝⎭米2C ．9632π⎛⎫- ⎪⎝⎭米2 D ．()693π-米2【答案】 C 。

【考点】扇形面积的计算，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】连接OD ，则DOC AOD S S S ∆=-扇形影阴。

∵弧AB 的半径OA 长是6米，C 是OA 的中点，∴OC =12OA =12×6=3。

∵∠AOB =90°，CD ∥OB ，∴CD ⊥OA 。

在Rt △OCD 中，∵OD =6，OC =3，∴2222CD=OD OC 6333-=-=。

又∵CD333sin DOC==OD62∠=，∴∠DOC=60°。

∴2DOCAOD60619S S S=333=6336022ππ∆⋅⋅=--⋅⋅-扇形影阴（米2）。

故选C。

例2：（2012湖北恩施3分）如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A=120°，则图中阴影部分的面积是【】A．3B．2 C．3 D．2例3：（2012湖北随州4分）如图，直线l与反比例函数2y=x的图象在第一象限内交于A、B两点，交x轴的正半轴于C点,若AB：BC=(m一l)：1(m>l)则△OAB的面积(用m表示)为【】A .2m 12m -B . 2m 1m- C . ()23m 1m - D . ()23m 12m -【答案】B 。

【考点】反比例函数的应用，曲线上点的坐标与方程式关系，相似三角形的判定和性质，代数式化简。

【分析】如图，过点A 作AD ⊥OC 于点D ，过点B 作BE ⊥OC 于点E , 设A (ｘA ，ｙA )，B (ｘB ，ｙB )，C （c ¸0）。

∵AB ：BC =(m 一l )：1(m >l )，∴AC ：BC =m ：1。

又∵△ADC ∽△BEC ，∴AD ：BE =DC ：EC = AC ：BC =m ：1。

又∵AD =ｙA ，BE =ｙB ，DC = c －ｘA ，EC = c －ｘB ， ∴ｙA ：ｙB = m ：1，即ｙA = m ｙB 。

∵直线l 与反比例函数2y=x的图象在第一象限内交于A 、B 两点， ∴A A 2y =x ，B B2y =x 。

∴A B 22m =x x ，A B 1x =x m。

将又由AC ：BC =m ：1得（c －ｘA ）：（c －ｘB ）=m ：1，即()B B 1c x :c x m:1m ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得()B x m+1c=m 。

∴()()()B OAB OCB OBC A B A B B B x m+11111S =S S =c y c y c y y my y 2222m∆∆∆-⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-=⋅⋅-()()()()222B B B B x y m 12m 1x y m+1m 11m 12m 2m 2m m----=⋅===。

故选B 。

例4：（2012贵州贵阳12分）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．（1）三角形有条面积等分线，平行四边形有条面积等分线；（2）如图①所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线；（3）如图②，四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，AB ≠CD ，且S △ABC ＜S △ACD ，过点A 画出四边形ABCD 的面积等分线，并写出理由．【答案】解：（1）6；无数。

（2）这个图形的一条面积等分线如图：连接2个矩形的对角线的交点的直线即把这个图形分成2个相等的部分．即OO ′为这个图形的一条面积等分线。

（3）四边形ABCD 的面积等分线如图所示：理由如下：过点B 作BE ∥AC 交DC 的延长线于点E ，连接AE 。

∵BE ∥AC ，∴△ABC 和△AEC 的公共边AC 上的高也相等，∴S △ABC =S △AEC 。

∴ACD ABC ACD AEC AED ABCD S S S S S S ∆∆∆∆∆=+=+=四形边。

∵S △ACD ＞S △ABC ，∴面积等分线必与CD 相交，取DE 中点F ，则直线AF 即为要求作的四边形ABCD 的面积等分线。

【考点】面积及等积变换，平行线之间的距离，三角形的面积，平行四边形的性质，矩形的性质。

【分析】（1）读懂面积等分线的定义，不难得出：三角形的面积等分线是三角形的中线所在的直线；过两条对角线的交点的直线都可以把平行四边形的面积分成2个相等的部分；从而三角形有3条面积等分线，平行四边形有无数条面积等分线。

（2）由（1）知，矩形的一条对角线所在的直线就是矩形的一条面积等分线；（3）过点B 作BE ∥AC 交DC 的延长线于点E ，连接AE ．根据△ABC 和△AEC 的公共边AC 上的高也相等推知S △ABC =S △AEC ；由“割补法”可以求得ACD ABC ACD AEC AED ABCD S S S S S S ∆∆∆∆∆=+=+=四形边。

例5：（2012贵州毕节3分）如图，在正方形ABCD 中，以A 为顶点作等边△AEF ，交BC边于E ，交DC 边于F ；又以A 为圆心，AE 的长为半径作 EF。

若△AEF 的边长为2，则阴影部分的面积约是【】（参考数据：2 1.4143 1.732≈≈ ，，π取3.14）A . 0.64B . 1.64C . 1.68D . 0.36 【答案】A 。

【考点】正方形和等边三角形的性质，勾股定理，扇形和三角形面积。

【分析】由图知，AEF CEF AEF S S S S ∆∆=+-扇形影部分阴。

因此，由已知，根据正方形、等边三角形的性质和勾股定理，可得等边△AEF的边长为2，高为3；Rt△AEF的两直角边长为2；扇形AEF的半径为2圆心角为600。

∴2AEF CEF AEF116022S S S S=2322=3+10.64223603ππ∆∆⋅⋅=-⋅⋅+⋅⋅--≈扇形影部分阴。

故选A。

例6：（2012山东德州3分）如图，两个反比例函数1y=x和2y=x-的图象分别是l1和l2．设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则三角形P AB的面积为【】A．3 B．4 C．92D．5【答案】C。

【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形的面积。

例7：（2012内蒙古赤峰3分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，以点C为圆心，CD为半径的弧与BC交于点E，四边形ABED是平行四边形，AB=3，则扇形CDE（阴影部分）的面积是【】A．32πB．2πC．πD．3π【答案】A。

【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算。

【分析】∵四边形ABCD是等腰梯形，且AD∥BC，∴AB=CD。

又∵四边形ABED是平行四边形，∴AB=DE（平行四边形的对边相等）。

∴DE=DC=AB=3。

∵CE=CD，∴CE=CD=DE=3，即△DCE是等边三角形。

∴∠C=60°。

∴扇形CDE（阴影部分）的面积为：26033=3602ππ⋅⋅。

故选A。

例8：（2012黑龙江绥化3分）如图，在平行四边形ABCD中，E是CD上的一点，DE：EC=2：3，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则S△DEF：S△EBF：S△ABF=【】A．2：5：25 B．4：9：25 C．2：3：5 D．4：10：25【答案】D。

【考点】平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质。

【分析】由DE：EC=2：3得DE：DC=2：5，根据平行四边形对边相等的性质，得DE：AB=2：5由平行四边形对边平行的性质易得△DFE∽△BFA∴DF：FB= DE：AB=2：5，S△DEF：S△ABF=4：25。

又∵S△DEF和S△EBF是等高三角形，且DF：FB =2：5，∴S△DEF：S△EBF =2：5=4：10。

∴S△DEF：S△EBF：S△ABF =4：10：25。

故选D。

例9：（2012安徽省5分）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论：①S1+S2=S3+S4②S2+S4= S1+ S3③若S3=2 S1，则S4=2 S2④若S1= S2，则P点在矩形的对角线上其中正确的结论的序号是 ▲ （把所有正确结论的序号都填在横线上）. 【答案】②④。

【考点】矩形的性质，相似【分析】如图，过点P 分别作四个三角形的高，∵△APD 以AD 为底边，△PBC 以BC 为底边， ∴此时两三角形的高的和为AB ，∴S 1+S 3=12S 矩形ABCD ；同理可得出S 2+S 4=12S 矩形ABCD 。

∴②S 2+S 4= S 1+ S 3正确，则①S 1+S 2=S 3+S 4错误。

若S 3=2 S 1，只能得出△APD 与△PBC 高度之比，S 4不一定等于2S 2；故结论③错误。

如图，若S 1=S 2，则12×PF ×AD =12×PE ×AB ， ∴△APD 与△PBA 高度之比为：PF ：PE =AB ：AD 。

∵∠DAE =∠PEA =∠PF A =90°，∴四边形AEPF 是矩形， ∴矩形AEPF ∽矩形ABCD 。

连接AC 。

∴PF ：CD =PE ：BC =AP ：AC ，即PF ：CD =AF ：AD =AP ：AC 。

∴△APF ∽△ACD 。

∴∠P AF =∠CAD 。

∴点A 、P 、C 共线。

∴P 点在矩形的对角线上。

故结论④正确。

综上所述，结论②和④正确。

例10：（2012福建宁德3分）如图，点M 是反比例函数y ＝错误!在第一象限内图象上的点，作MB ⊥x 轴于点．过点M 的第一条直线交y 轴于点A 1，交反比例函数图象于点C 1，且A 1C 1＝ 12A 1M ，△A 1C 1B 的面积记为S 1；过点M 的第二条直线交y 轴于点A 2，交反比例函数图象于点C 2，且A 2C 2＝ 14A 2M ，△A 2C 2B 的面积记为S 2；过点M 的第三条直线交y 轴于点A 3，交反比例函数图象于点C 3，且A 3C 3＝ 18A 3M ，△A 3C 3B 的面积记为S 3；依次类推…；则S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 8＝ ▲ ．【答案】255512。