余弦定理ppt课件

所以a≈41(cm).
由余弦定理得 cosC
=
a2
+ b2 - c2 2ab
0.8ຫໍສະໝຸດ Baidu84
所以利用计算器可得C≈33°，
B=180o-(A+C)≈180o-(41o+33o)=106°.
【变式练习】
在△ABC 中，AB＝4，BC＝3，B＝60°，则 AC 等于 ____1_3___．
【解析】 由条件已知三角形的两边及其夹角，故可 以直接利用余弦定理求得边 AC，即 AC2＝AB2＋BC2－ 2AB·BCcosB＝16＋9－2×4×3×12＝13.
所以a≈41(cm).
由正弦定理得，
sinC
=
csinA a
34×sin41° 41
34×0.656 41
0.5440.
因为c不是三角形中最大的边，所以C是锐角，利 用计算器可得： C≈33°，B=180o-(A+C)≈180o(41o+33o)=106°.
方法二根：据余弦定理， a²=b²+c²-2bccosA =60²+34²-2×60×34×cos41o ≈1 677，
③已知三角形两边及其一边对角，可求其他 的角和第三条边.
例1 在△ABC中，已知b=60 cm，c=34 cm， A=41° ，解三角形（角度精确到1°，边长精确到 1 cm）.
【解析】方法一： 根据余弦定理， a²=b²+c²-2bccosA =60²+34²-2×60×34×cos41o ≈1 677，
得
2
5
=b2+22-2b×2×cosA,即
3b2-8b-3=0,
1
解得 b=- 3 (舍)或 b=3.
余弦定理的推论：
cos
A=
b2
c2 2bc
a2
cos
B=
a2
c2 2ac
b2
cosC= a2 + b2 - c2 2ab
用途: 由上述推论, 可以由三角形的三条边求 出三角形的三个角.
【即时练习】
边长为 5，7，8 的三角形的最大角与最小角的和
是（ ）
A．90°
B．120°
C．135°
D．150°
【解析】 B ，设中间角为 ，则
cos
52 82 72 258
1 ,
2
600,1800
600
1200 为所求。
思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之 间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边 平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？
因为
uur AB
2
=
uur CB
uur CA
2
=CuuBr 2
uur 2CB
•
uur CA
uur CA
2
=
uur CB
2
2
uur CB
uur CA
cos C+
uur CA
2
A
r2 r2 r r
r2
所以 c = a - 2 a b cosC + b ，
b
c
即c2 =a2 + b2 - 2abcosC
同理可得a2 =b2 c2 2bc cos A C
所以 AC＝ 13.
思考:在解三角形的过程中，求某一个角时既 可用正弦定理也可用余弦定理，两种方法有什 么利弊呢？ 注意：一般地，在“知三边及一角”要求剩下的 两个角时，应先求最小的边所对的角.
例2 在△ABC中，已知a=134.6 cm，b=87.8 cm， c=161.7 cm，解三角形（角度精确到1′）.
a
B
b2 =a2 c2 2ac cos B
余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的 和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即
a2 b2 c2 2bc cos A； b2 a2 c2 2ac cos B； c2 a2 b2 2ab cos C.
用途：利用余弦定理，可以从已知的两边及其夹 角求出三角形的第三条边.
【解析】由余弦定理的推论得：
cosA = b2 + c2 - a2 2bc
= 87.82 + 161.72 - 134.62 2×87.8×161.7
0.554
提示: 若在ABC中，C=90，则cos 90=0，这时 c2 =a2 + b2 - 2abcosC=a2 + b2. 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定
理是余弦定理的特例.
微课2 余弦定理及其推论的基本作用 ①已知三角形的任意两边及它们的夹角可以求出 第三边；
②已知三角形的三条边就可以求出角.
【即时练习】
已知△ABC 中，a＝1，b＝1，C＝120°，则边 c＝ _____3___.
【解析】由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋1 －2×1×1×(－12)＝3，∴c＝ 3.
这个式子中有几个量？从方程的角度看已知 其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求 出一角？ 提示:
式子中共有4个量.已知其中三个量，可以求出 第四个量，称之为“知三求一”当然能由三边求出 一角.
【即时训练】
(2016·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为
2
a,b,c.已知 a= 5 ,c=2,cosA= 3 ,则 b=( D )
A. 2 B. 3 C.2 D.3 【解析】选 D.由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA,
问题2 如果已知三角形的两边及其夹角，能 解这个三角形吗？ 提示:
根据三角形全等的判定方法，“边角边” 这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.
从量化的角度来看，如何从已知的两边和 它们的夹角求三角形的另一边和两个角？
这就是我们这节课要学习的内容.
1. 掌握余弦定理的两种表示形式； （重点） 2. 证明余弦定理的向量方法； 3. 运用余弦定理解决两类基本的解三角形问 题．(难点)
微课1 余弦定理及其推论
如图，在△ABC中，设BC=a, AC=b, AB=c.已
知a, b和C，求边c.
A
提示:
b
c
用正弦定理试求，发现因A、
B均未知，所以较难求边c.
C
a
B
由于涉及边长问题，从而可
以考虑用向量来研究这个问题.
uur r uur r uur r uur uur uur 依条件可知，CB=a，CA=b，AB=c.AB=CB CA
余弦定理
问题1 运用正弦定理能解怎样的三角形？ 提示: ①已知三角形的任意两角及其一边；
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角.
甲乙两位同学均住在世博园的附近，已知甲同学家距离
世博园入口处300米，乙同学家距离世博园入口处400米， 某天，甲乙两位同学相约一同参观世博园，请问，你能求 出甲乙两同学家相距多少米吗？