吉林省榆树市第一高级中学2020-2021学年高三10月月考数学(文)试题

吉林省榆树市第一高级中学2020-2021学年高三10月月考数
学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若{}1,2,3,4A =，{}2,4,5,6N =，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）
A ．{1,3,6}
B ．5,6
C ．{2,4}
D ．{1,2,3,4,5,6}
2．下列命题中是真命题的是（ ） A ．2x >是1x >的必要不充分条件 B ．x ∀∈R ，(
)
2
lg 10x +≥ C ．若p q ∨是真命题，则p 是真命题
D ．若x y <，则22x y <的逆否命题
3．已知双曲线2
221,(0)x y a a
-=>的焦距为4，则该双曲线的离心率为（ ）
A ．
2
B ．
3
C D 4．设0,
2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，若()22
sin ()cos 212πθπθ+++=，则θ=（ ） A ．
,
64ππ
B ．
,
24ππ
C ．
,63
ππ
D ．
,62
ππ 5．某校200名学生数学竞赛成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：
[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则该次数学成绩在[50,60)内的人数为（ ）
A ．20
B ．15
C ．10
D ．5
6．已知向量,a b 满足||1a =，||2b =
，且a 与b 的夹角为
4
π
，则|2|a b -=（ ）
A B ．C ．1
D ．
2
7．函数ln 1
()x f x x
+=
的图像可能（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
8．已知方程ln 62x x =-的根为0x ，且*
0(,1),x k k k N ∈+∈，则k =（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
9．若函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，则
()6
f π
-的值为（ ）
A ．1
B ．1-
C
D ．
10．已知
1
a e π=，log
b π=
c =a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．a c b >>
B ．b a c >>
C ．c a b >>
D ．a b c >>
11．风雨桥是侗族最具特色的建筑之一．风雨桥由桥、塔、亭组成．其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．如图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影．其正六边形的边长计算方法如下：110001A B A B B B =-，221112A B A B B B =-，
332223A B A B B B =-，…，111n n n n n n A B A B B B ---=-，其中*1231201,N n n B B B B B B B B n -=
===∈．根据每层边长间的规律．建筑师通过推算，
可初步估计需要多少材料．所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关．某一风雨桥亭、塔共5层，若006A B =，011B B =．则这五层正六边形的周长总和为（ ）
A ．100
B ．110
C ．120
D ．130
12．已知奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x -
=+，若当[]0,1x ∈时，()2f x x =，且
1
(2021)(01)2
f a a -=<<，则实数a =（ ）
A ．
12
B ．
13
C ．
23
D ．
34
二、填空题
13．已知函数()42,1
3,1x x f x x x +<⎧=⎨-+≥⎩
，则()3f 的值为_____________.
14．一张方桌有四个座位，A 先坐在如图所示的座位上，,,B C D 三人随机坐到其他三个位置上，则C 与D 不相邻的概率为________．
15．如图，在△ABC 中，90A ︒∠=，AB =D 在斜边BC 上，且2BD DC =，
则AB AD ⋅的值为_____.
16．设()f x '是函数()f x 的导函数，若对任意实数x ，都有
()()()0x f x f x f x '-+>⎡⎤⎣⎦，且()12020f e =，则不等式()20200x
xf x e -≥的解
集为_______.
三、解答题 17．已知函数()
a
f x x 经过点(2,4)P ，2()x
e g x x
=.
（Ⅰ）求函数()f x 的解析式;
（Ⅱ）设函数()()()F x f x g x =⋅，求()F x 在点(1,(1))Q F 处的切线方程.
18．已知在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且21cos 2cos 20B C +-=. （Ⅰ）求sin :sin B C 的值 （Ⅱ
）若a =
3
A π
=
，求b 的值.
19．已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，若22a +，31a +，4a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1
1
n n n b a a +=
⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ．
20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，平面PAC ⊥底面ABCD ，PA PC AC ==.
（Ⅰ）证明:AC PB ⊥
（Ⅱ）若PB 与底面所成的角为45︒，2PA =，求P ABCD -的体积
.
21．已知函数32
11()ln 2()32
f x x x x ax a R =-
++∈. （Ⅰ）当1
2
a =-
时，求函数()f x 的单调区间 （Ⅱ）设3211()()232g x f x x x =+
-+，若函数()g x 在221,x e e
⎡⎤∈⎦⎢⎣有两个零点，求a 的取值范围
22．在平面直角坐标系xoy 中，直线l
的参数方程为1122x t y t ⎧
=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）以坐标原
点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
2
2
3sin 12ρρθ+=.
（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程
（Ⅱ）若(1,0)P ，直线l 与曲线C 交于,M N ，求PN PM +的值
参考答案
1．C 【解析】 【分析】
图中阴影部分表示集合公共部分，即交集. 【详解】
图中阴影部分表示集合的交集，得{}2,4A B =.
故选：C. 2．B 【解析】 【分析】
分别根据充分不必要条件的定义，函数lg y x =的值域，复合命题的真假判断，不等式的性质可逐项判断得出答案. 【详解】
A. 2x >⇒1x >，1x >不一定得到2x >，如=1.5x ，所以2x >是1x >的充分不必要条件，错误；
B. x ∀∈R ，则211x +≥，所以(
)
2
lg 10x +≥，正确；
C. 若p q ∨是真命题，则p 真q 假、p 假q 真，或p 真q 真，错误；
D. 若2,1x y =-=，则22x y >，原命题错误，所以逆否命题错误. 【点睛】
（1）充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；
（2）复合p q ∨命题真假的判断，若p q ∨是真命题，则p 真q 假、p 假q 真，或p 真q 真；若p q ∨是假命题，则p 假q 假. 3．C 【解析】 【分析】
由双曲线焦距求得c ，根据222c a b =+求得a 的值，由此得到离心率. 【详解】
由已知得2,1c b ==，由222c a b =+，解得222413a c b =-=-=，所以e =故选：C . 【点睛】
关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是由已知双曲线方程和焦距找到关于
a b c 、、的等量关系.
4．D 【解析】 【分析】 由()2
2sin (
)cos 212
π
θπθ+++=，得22cos cos 21θθ+=，从而可得cos2sin θθ=或
cos2sin θθ=-，得212sin sin θθ-=或212sin sin θθ-=-，然后再结合0,
2πθ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
可求出答案 【详解】 解：由()2
2sin (
)cos 212
π
θπθ+++=，得22cos cos 21θθ+=，
所以22cos 2sin θθ=，所以cos2sin θθ=或cos2sin θθ=-，
212sin sin θθ-=或212sin sin θθ-=-，
由212sin sin θθ-=，得(sin 1)(2sin 1)0θθ+-=， 解得sin 1θ=-或1
sin 2
θ=， 因为0,
2πθ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，所以1sin 2θ=，得6πθ=， 由212sin sin θθ-=-，得(sin 1)(2sin 1)0θθ-+=， 解得sin 1θ=或1
sin 2
θ=-， 因为0,2πθ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 1θ=，得2πθ=， 综上，6
π
θ=或2
πθ=
故选：D
5．C 【解析】 【分析】
由频率分布直方图，先求出该次数学成绩在[)50,60内的频率，由此能求出该次数学成绩在
[)50,60内的人数.
【详解】
由频率分布直方图得，
该次数学成绩在[)50,60内的频率为：
()1
10.040.030.02100.052
---⨯=， ∴该次数学成绩在[)50,60内的人数为2000.0510⨯=， 故选：C 6．A 【解析】 【分析】 由于22
|2|(2)44a b a b a a b b -=-=-⋅+
【详解】
解：因为||1a =，||2b =
，且a 与b 的夹角为
4
π， 所以2
2
|2|(2)44a b a b a a b b -=
-=-⋅+2
2
4cos
a a
b b π
=-+
== 故选：A 7．D 【解析】 【分析】
根据函数是奇函数可排除AB ，取特殊值可排除C. 【详解】
可知()f x 的定义域为{}
0x x ≠关于原点对称，
()()ln 1ln 1
x x f x f x
x x
-++-==-=--，
()f x ∴是奇函数，图象关于原点对称，故AB 错误； ()ln 31
303
f +=
>，故C 错误，故D 正确. 故选：D. 8．A 【解析】 【分析】
将方程的根转化为函数的零点，用零点存在性定理判断零点所在的区间. 【详解】
方程ln 62x x =-的根为0x
函数()ln 26f x x x =+-的零点为0x 当2k =时，区间为()2,3
而()2ln 2226ln 22f =+⨯-=-，又2ln 2ln 2e <= 所以()2ln 220f =-<
而()3ln3236ln3ln10f =+⨯-=>=，即()30f > 由零点存在性定理知，在区间()2,3内有零点 故选：A. 【点睛】
方程的根即为对应函数的零点，也为函数与x 轴交点的横坐标，故求方程的根可转化为函数的零点问题.判断零点所在的区间，用到零点的存在性定理. 9．B 【解析】 【分析】
由振幅求A ，由图中
3
4
T 求ω，最后将一个特殊点代入求ϕ.
由图可知振幅A=2 311341264
T πππ=-= T π∴=
又2T π
ω∴=
2ω∴=
∴()2sin(2)f x x ϕ=+
将点,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭
代入得22sin()3πϕ=+且0ϕπ<< 6π
ϕ∴= ()2sin(2)6
πf x x ∴=+ ()2sin()2sin 16366f ππππ⎛⎫∴-=-+=-=- ⎪⎝⎭
故选：B.
10．A
【解析】
【分析】
根据指数函数及对数函数的性质分别判断a ,b .c 的范围,即可得解.
【详解】
因为101a e e π=>=，121log log ()log 2b e e πππ===，1ln 2c π==， 又log 1log 1e og ππππ<<，即1
(0,)2b ∈，
由2ln ln ln e e π<<，即1(,1)2
c ∈，
所以a c b >>，
故选：A
11．C
【分析】
根据等差数列的定义，结合已知可以判断数列{}(N ,15)n n n n A B *
∈≤≤是等差数列，利用等差数列前n 项和公式进行求解即可.
【详解】
由已知得：111n n n n n n A B A B B B ---=-，12312011n n B B B B B B B B -=⋅⋅⋅====，
因此数列{}(N ,15)n n n n A B *∈≤≤是以1006a A B ==为首项，公差为1d =-的等差数列，
设数列{}(N ,15)n n n n A B *
∈≤≤前5项和为5S ， 因此有5111554565412022
S a d =+⨯⨯⋅=⨯-⨯⨯⨯=， 所以这五层正六边形的周长总和为56620120S =⨯=.
故选：C.
12．D
【解析】
【分析】
由函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，知函数关于1x =对称，又函数是奇函数，即关于(0,0)对称，从而函数()f x 的周期是4，可知(2021)(1)f a f a -=-，代入即可得出答案.
【详解】
由函数是奇函数，则函数关于(0,0)对称，
又函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，所以函数关于1x =对称，
所以函数()f x 的周期是4，
(2021)(4505+1)(1)f a f a f a ∴-=⨯-=-
又01a <<，011a ∴<-<
1(1)2(1)2
f a a ∴-=-=，解得34a = 故选：D.
【点睛】 结论点睛：函数对称性常用结论：
若函数()f x 满足()()f a x f a x =-+，则函数的图像关于直线x a =对称；
（2）若函数()f x 满足()()f x b f x b -=+-+，则函数的图像关于点(,0)b 中心对称． 函数周期性常用结论：设函数()y f x =，0x a ∈>R ，
①若()()f x a f x a +=-，则函数的T =2a ；
②若()()f x a f x +=-，则函数的T =2a ； ③若1()()f x a f x +=，则函数的T =2a ；
④函数()f x 关于直线x a =与x b =对称，那么函数()f x 的T =2||b a - ； ⑤若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的T =2||b a -； ⑥若函数()f x 关于直线x a =对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的T =4||b a -. 13．0
【解析】
【分析】
代入解析式计算()3f 即可.
【详解】
()3330f =-+=.
故答案为：0
14．13
【解析】
【分析】
易知,,B C D 三人随机坐到其他三个位置上，共有6种坐法，而C 与D 不相邻的坐法有2种，根据古典概型的概率公式，计算即可.
【详解】
由题意，,,B C D 三人随机坐到其他三个位置上，有6种坐法，
其中C 与D 不相邻的坐法有2种，即C 与D 分别坐在A 的两边，
所以C 与D 不相邻的概率为
2163=. 故答案为：
13
15．1
【解析】
【分析】 以,AC AB 为基底，表示出AD ，进而可求出AB AD ⋅.
【详解】
由2BD DC =，可知13
CD CB =， 所以()
11213333AC CD AC AC AD CB C A A A AB C B =+=+++=+=， 由90A ︒∠=，可知0AB AC ⋅=
，由AB =2
3AB =， 所以221021131333
33AB AD AB AC AB AC A A B B ⎛⎫⨯= ⎪⎝⋅=⋅+=⋅+=+⎭. 故答案为：1.
16．[)1,+∞
【解析】
【分析】
首先设()()x xf x g x e
=，利用导数求出()g x 的单调性，再将不等式()20200x xf x e -≥转化为()()1g x g ≥，即可得到答案。

【详解】
设()()x
xf x g x e =， ()()()()()
()()()2x x x x f x xf x e xf x e f x f x f x x g x e e ''+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦'==， 因为()()()0x f x f x f x '-+>⎡⎤⎣⎦，所以()0g x '>，
即()g x 在R 上为增函数，且()()112020f g e
==。

所以不等式()()()()2020020201x x xf x xf x e g x g e -≥⇔
≥⇔≥， 解得1≥x 。

故答案为：[
)1,+∞
【点睛】 关键点点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题，根据题意构造函数
()()x xf x g x e
=为解题的关键，考查了学生分析问题的能力。

17．（Ⅰ）2()f x x =；（Ⅱ）0ex y -=.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）将(2,4)P 代入可得2a =，即得()f x 的解析式；
（Ⅱ）可得()x F x e =，求出()F x 在1x =处的导数值即切线斜率，求出()1F ，即可求出
切线方程.
【详解】
（Ⅰ）函数()a f x x 经过点(2,4)P ，
24a ∴=，解得2a =，
2()f x x ∴=；
（Ⅱ）2
2()()()x
x e F x f x g x x e x =⋅=⋅=， ()x F x e '∴=，()1F e '∴=，
()1F e =，
则切线方程为()1y e e x -=-，即0ex y -=.
18．（Ⅰ）sin :sin 2B C =；（Ⅱ）2b =.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据二倍角公式和同角三角函数的关系化简可得22sin 4sin B C =，即得
sin 2sin B C =；
（Ⅱ）由正弦定理得2b c =，结合余弦定理即可求出b .
【详解】
（Ⅰ）21cos 2cos 20B C +-=，
()()2211sin 212sin 0B C ∴+---=，
即22sin 4sin B C =，
sin 0,sin 0B C >>，
sin 2sin B C ∴=，即sin :sin 2B C =；
（Ⅱ）由（Ⅰ）sin :sin 2B C =，
根据正弦定理:2b c =，即2b c =，
则由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 即2
2132222b b b b ⎛⎫=+-⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得2b =. 19．（Ⅰ）n a n =；（Ⅱ）1
n n S n =
+. 【解析】
【分析】 （Ⅰ）根据等差数列的通项公式与等比中项定义，求得数列{}n a 的通项公式． （Ⅱ）将数列{n a }的通项公式带入，根据裂项法求数列{}n b 的前n 项和．
【详解】
（Ⅰ）因为{}n a 是首项为1的等差数列，所以设()11n a n d =+-，
因为42321a a a ++，，成等比数列，所以()()42
3212a a a +=+， ()()()222313d d d +=++，
解得1d =，于是n a n =． （Ⅱ）111(1)1n b n n n n ，
111111112234
13n S n n =-+-+-++-+ 111n =-+=1
n n +， 1
n n S n ∴=+． 【点睛】
关键点睛：本题的解题关键在于设出等差数列的基本量列方程求出通项和利用裂项求和的方法进行求解，本题难度属于中等
20．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）2.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）连接BD 与AC 相交于点O ，连接OP ，PA PC AC ==，得到PO AC ⊥，再由,AC BD BD OP O ⊥⋂=，利用线面垂直的判定定理证明即可.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知PO AC ⊥，结合平面PAC ⊥底面ABCD ，易得PO ⊥平面ABCD ，得到PB 与底面所成的角为45PBO ∠=︒，然后根据2PA =，求得四棱锥P ABCD -的底面积和高，代入体积公式求解.
【详解】
（Ⅰ）如图所示：
连接BD 与AC 相交于点O ，连接OP ，
因为PA PC AC ==，
所以PO AC ⊥，
又,AC BD BD OP O ⊥⋂=，
所以AC ⊥平面PBD ，又PB ⊂平面PBD ，
所以AC PB ⊥.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知PO AC ⊥，又平面PAC ⊥底面ABCD ，平面PAC
底面ABCD AC =， 所以PO ⊥平面ABCD ，
所以PB 与底面所成的角为45PBO ∠=︒，
因为2PA =，
所以PO OB ==
所以菱形ABCD 的面积为： 11222
S AC BD =
⋅=⨯⨯=，
所以四棱锥P ABCD -的体积是11233P ABCD V S PO -=⋅=⨯=. 【点睛】
方法点睛：1、证明直线和平面垂直的常用方法：①线面垂直的定义；②判定定理；③垂直于平面的传递性(a ∥b ，a ⊥α⇒b ⊥α)；④面面平行的性质(a ⊥α，α∥β⇒a ⊥β)；⑤面面垂直的性质．
2、求线面角常用方法：（1）几何法：找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解；（2）向量法：①分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；②通过平面的法向量，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角． 21．（Ⅰ）在(0,1)单调递增，在(1,)+∞单调递减；（Ⅱ）22,2e a e ⎛⎤∈-
- ⎥⎝⎦. 【解析】
【分析】
（Ⅰ）求导函数，利用导函数的正负得函数的增减区间.
（Ⅱ）分离常数转化为两个函数图像的交点个数，再利用求导求函数的值域，最后得参数范围.
【详解】 （Ⅰ）当12a =-时, 3211()ln ()32
f x x x x x a R =-+-∈
则32211()1x x x f x x x x x
-+-+'=-+-= ()f x 定义域为()0,∞+
∴()0f x '>时，得3210x x x -+-+>，解得01x <<
∴()f x 的单调增区间为(0,1)
()0f x '<时，得3210x x x -+-+<，解得1x >
∴()f x 的单调减区间为(1,)+∞ （Ⅱ）3211()()2ln 2232g x f x x x x ax =+
-+=++ 因为函数()g x 在221,x e e
⎡⎤∈⎦⎢⎣有两个零点 所以ln 220x ax ++=在221,x e e ⎡⎤∈⎦⎢
⎣有两个实根 即ln 22x a x +=-在221,x e e
⎡⎤∈⎦⎢⎣有两个实根 所以函数ln 2()x h x x
+=
与2y a =-图象有两个交点 2
ln 1()x h x x +'=- 令2ln 1()=0x h x x +'=-解得1=x e 当211,x e e ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭时，()0h x '>，()h x 单调递增； 当21
,x e e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减 所以1=x e 为极大值点，()h x 取得极大值，也是最大值max 1()h x h e e ⎛⎫== ⎪⎝⎭
又210h e ⎛⎫== ⎪⎝⎭
，()224h e e = 因为函数ln 2()x h x x
+=与2y a =-图象有两个交点
所以242[
,)a e e -∈ 所以22,2e a e ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦
.
【点睛】
本题求函数的单调区间和最值问题，都是利用导函数来解决.
利用导数求单调区间和极值一般步骤为：
求函数的定义域
求导
令导函数大于0.解得对应x 范围即为增区间；令导函数小于0.解得对应x 范围即为减区间 最后判断极值点求出极值
求出特定区间的端点对应的函数值，与极值比较得最值.
22．（Ⅰ）0l y -，22
:143
x y C +=；（Ⅱ）165PN PM +=. 【解析】
【分析】
（1）根据直线l 的参数方程消去参数，即可得出直线l 的普通方程；根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可得出曲线的直角坐标方程；
（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，根据点(1,0)P 在曲线C 的内部，得到PN PM MN +=，利用参数的方法求出弦长MN ，即可得出结果.
【详解】
（1
）由1122x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
消去参数t
，可得13x y -=
0y --=，即直线l 的
0y --=；
由2223sin 12ρρθ+=，化为直角坐标方程可得222
3312x y y ++=，整理得22
143x y +=，即曲线C 的直角坐标方程为22
143
x y +=； （2）
将1122x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22143x y +=
得2213141222t ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得254120t t +-=， 由t 的几何意义知，不妨记1PN t =，2PM t =，则1245t t +=-，12125
t t =-， 又22
10143
+<，则点()1,0P 在椭圆22143x y +=内， 因此
12165PA PM MN t t +==-=
==. 【点睛】
方法点睛：极坐标方程与直角坐标方程互化的方法，即四个公式：tan y x ρθ==，cos ,sin x y ρθρθ==
利用直线的参数方程求直线与圆锥曲线相交的弦长，方法是：
（1）将直线参数方程代入圆锥曲线方程，得到关于参数t 的一元二次方程；
（2）利用韦达定理写出12t t +，12t t ； （3
）利用弦长公式12AB t t =-=.。