吉林省榆树市第一高级中学2020-2021学年高三10月月考数学(文)试题
2021学年吉林省吉林市某校高三(上)10月月考数学(文)试卷(有答案)
2020-2021学年吉林省吉林市某校高三（上）10月月考数学（文）试卷一、选择题1. 已知集合A ={x|x 2−x −6≤0}，B ={x|x ∈N }，则A ∩B =( )A.{1,2}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3}2. 下列函数中最小正周期为π的函数的个数是( )①y =|sin x|；②y =cos (2x +π3)；③y =tan 2x .A.0B.1C.2D.33. 下列向量中不是单位向量的是( )A.(1,0)B.(1,1)C.(cos α,sin α)D.a →|a →|(|a →|≠0)4. 为了得到函数y =cos (12x +π4)的图象，可将函数y =cos 12x 的图象( )A.向左平移π4个单位B.向右平移π4个单位C.向左平移π2个单位D.向右平移π2个单位5. 设角α的始边为x 轴非负半轴，则“角α的终边在第二、三象限”是“cos α<0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6. 等差数列{a n }中，a 5+a 10+a 15=30，则a 22−2a 16的值为( )A.−10B.−20C.10D.207. 已知定义在实数集R 上的偶函数f (x )在区间[0,+∞）是单调增函数，若f (1−a )<f (2)，则实数a 的取值范围是( )A.−1<a <3B.a <−1或a >3C.−3<a <1D.a <−3或a >18. 已知e 1→，e 2→是夹角为60∘的单位向量，若a →=e 1→+λe 2→，b →=2e 1→−3e 2→，且a →⊥b →，则λ=( )A.−32B.23C.14D.789. 已知某函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )A.y =(e x −1e x +1)cos x B.y =2|x|−x 2−2C.y =2|x|−|x|+2D.y =(x 2−1)cos x10. 某兴趣小组对函数f (x )的性质进行研究，发现函数f (x )是偶函数，在定义域R 上满足f (x +1)=f (x −1)+f (1)，且在区间[−1,0]为减函数．则f (−3)与f (−52)的关系为( )A.f (−3)≥f (−52)B.f (−3)>f (−52)C.f (−3)≤f (−52)D.f (−3)<f (−52)11. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图（如图）是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形面积之比为1：25，则cos (α−β)的值为( )A.2425B.1C.725D.012. 已知函数f (x )={ln x,x ≥1,x e x ,x <1,g (x )=kx +f ′(2)，对∀x 1∈R ，∃x 2∈[−3,3]，使得f (x 1)≥g (x 2)成立，则k 的取值范围是( )A.(−∞,−13e −16] B.[13e+16,+∞)C.[−13e −16,13e+16] D.(−∞,−13e−16]∪[13e+16,+∞)二、填空题已知复数z=2−3i，则|z+1|=________.已知函数f(x)=a1−x(a>0且a≠1），若f(2021)>f(2020)，则实数a的取值范围是________.有一个数阵排列如下：则第40行从左至右第6个数字为________.如图所示，滨江公园内有一块三角形形状的草坪ABC，经测量得AB=30m，AC= 40m，BC=10√13m，在保护草坪的同时，为了方便游人行走，现打算铺设一条小路DE（其中点D在边AB上，点E在边AC上），若DE恰好将该草坪的面积平分，则D，E两点间的最小距离为________m．三、解答题已知数列{b n}满足b1=1，b n+1=12b n.(1)求{b n}的通项公式；(2)求b2+b4+b6+⋯+b2n的值．已知函数f(x)=2sin x cos(x−π3)，x∈R.(1)求函数f(x)的对称中心；(2)若存在x0∈[π4,3π4]，使不等式f(x0)<m成立，求实数m的取值范围．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，√3a=c sin B+√3b cos C.(1)求角B的大小；(2)若b=4，且△ABC的面积等于4√3，求a，c的值．已知函数f(x)=13ax3+2a+12x2+3x.(1)当a=2时，求函数f(x)的单调区间与极值；(2)是否存在正实数a，使得函数f(x)在区间[−1,1]上为减函数？若存在，请求a的取值范围；若不存在，请说明理由．已知数列{a n}的首项a1=3，且满足a n+1=2a n+2n+1−1.(1)设b n=a n−12n，证明{b n}是等差数列；(2)求数列{a n−1}的前n项和S n.设函数f(x)=m ln x−2x.(1)当m=2时，求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线；(2)当m=1时，曲线y=f(x)上的点(x0,y0)(x0>0)处的切线与y=x2相切，求满足条件的x0的个数．参考答案与试题解析2020-2021学年吉林省吉林市某校高三（上）10月月考数学（文）试卷一、选择题1.【答案】D【考点】一元二次不等式的解法交集及其运算【解析】先求出集合A，再利用交集运算求解即可.【解答】解：∵A={x|x2−x−6≤0}={x|−2≤x≤3}，B={x|x∈N}，∴A∩B={0,1,2,3}.故选D.2.【答案】C【考点】三角函数的周期性及其求法【解析】根据三角函数性质求各自的最小正周期即可.【解答】解：①y=|sin x|的周期为y=sin x的周期的一半，故y=|sin x|的最小正周期为T=2π2=π；②y=cos(2x+π3)的最小正周期为T=2π2=π；③y=tan2x的最小正周期为T=π2，故最小正周期为π的函数有2个.故选C．3.【答案】B【考点】单位向量向量的模同角三角函数基本关系的运用【解析】分别计算各个选项向量的模,看是否为1即可.【解答】解：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量.由题意可知，选项A，C，D中向量的模均为1，所以均为单位向量；选项B中向量的模为√12+12=√2，不是单位向量.故选B.4.【答案】C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】利用三角函数的图象变换得解.【解答】解：∵y=cos(12x+π4)=cos12(x+π2)，∴将函数y=cos12x向左平移π2个单位即可得到函数y=cos(12x+π4)的图象.故选C.5.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断三角函数值的符号【解析】利用余弦函数在各象限的符号得解.【解答】解：由角α的终边在第二、三象限，可以得到cosα<0，而当cosα<0时，角α的终边可能在x轴的负半轴上，不一定在第二、三象限，所以“角α的终边在第二、三象限”是“cosα<0”的充分不必要条件.故选A.6.【答案】A【考点】等差中项等差数列的性质【解析】利用等差数列的性质求出a10，再次利用性质化简求值即可.【解答】解：由等差数列的性质可知：a5+a10+a15=3a10=30，∴a10=10，∴a22−2a16=a22−(a10+a22)=−a10=−10.7.【答案】A【考点】奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】直接利用函数的奇偶性及单调性，构造不等式即可.【解答】解：由函数f (x )为偶函数，且f (1−a )<f (2)，得：f(|1−a |)<f(2).又因为函数f (x )在区间[0,+∞)是单调增函数，所以|1−a |<2，解得−1<a <3.故选A .8.【答案】C【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系平面向量数量积的运算【解析】根据条件便可以得到|e 1→|=1，|e 2→|=1，e 1→⋅e 2→=12，而根据a →=e 1→+λe 2→与b →=2e 1→−3e 2→垂直，从而有(e 1→+λe 2→)⋅(2e 1→−3e 2→)=0，进行数量积的运算即可得出关于λ的方程，解方程便可得出λ的值．【解答】解：根据题意，得|e 1→|=|e 2→|=1，e 1→⋅e 2→=12.∵ a →⊥b →，∴ (e 1→+λe 2→)⊥(2e 1→−3e 2→)，∴ (e 1→+λe 2→)⋅(2e 1→−3e 2→)=2e 1→2+(2λ−3)e 1→⋅e 2→−3λe 2→2=2+12(2λ−3)−3λ=0，解得：λ=14．故选C ．9.【答案】B函数的图象【解析】利用特殊得函数值，排除即可.【解答】解：由图象可知：f (0)<0，A ，当x =0时，y =1−11+1×cos 0=0，故A 错误；C ，当x =0时，y =20−0+2>0，故C 错误；D ，令y =(x 2−1)cos x =0，解得x =±1，或cos x =0，即x =±1或x =π2+kπ，k ∈Z ，即该函数的零点个数大于2，故D 错误.故选B .10.【答案】B【考点】函数的周期性奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】首先求出f (1)，再判断函数的周期，再结合单调性即可比较大小.【解答】解：令x =0，则f(1)=f(−1)+f(1)，又因为f (x )是偶函数，则f (1)=f (−1)，所以f (1)=0，所以f(x +1)=f(x −1)，即f(x +2)=f(x)，故函数f (x )为周期函数，且周期为2，所以f (−3)=f (−1)，f (−52)=f (−12).又函数f (x )在区间[−1,0]为减函数，则f (−1)>f (−12)，即f(−3)>f (−52). 故选B .11.【答案】A【考点】诱导公式两角和与差的余弦公式同角三角函数基本关系的运用【解析】设出大正方形边长，由面积比得到小正方形边长，再结合边长关系，用三角函数表示，再利用三角恒等变化化简，即可求出.【解答】解：设大正方形的边长为1，由于面积之比为1：25，可得小正方形的边长为15， 则cos α−sin α=15， sin β−cos β=15， 由图可得cos α=sin β，sin α=cos β，∴ (cos α−sin α)(sin β−cos β)=cos αsin β−sin αsin β−cos αcos β+sin αcos β=sin 2β+cos 2β−cos (α−β)=1−cos (α−β)=125，∴ cos (α−β)=2425.故选A ．12.【答案】D【考点】利用导数研究函数的最值函数恒成立问题【解析】首先根据题意将问题转化为f(x)min ≥g(x)min ，利用导数求出f(x)min ，再对k 讨论求出g(x)min ，代入不等式即可求解.【解答】解：由题意可知，f(x)min ≥g(x)min .因为f(x)={ln x,x ≥1,x e x ,x <1.所以当x ≥1时，f(x)≥0，当x <1时，f ′(x)=(x +1)e x ，若x <−1时，f ′(x)<0，f (x )为减函数；若−1<x <1时，f ′(x)>0，f (x )为增函数，所以f(x)min =f(−1)=−1e <0， 所以f(x)min =−1e . 当x >1时，f ′(x)=1x ，f ′(2)=12，所以g(x)=kx +12.若k ≥0时，g(x)min =g(−3)=−3k +12≤−1e ，解得k ≥13e +16；若k <0时，g(x)min =g(3)=3k +12≤−1e ，解得k ≤−13e −16，所以k的取值范围是(−∞,−13e −16]∪[13e+16,+∞).故选D.二、填空题【答案】3√2【考点】复数的模【解析】先求出z+1，再利用复数的模的运算求解即可.【解答】解：∵z=2−3i，∴|z+1|=|3−3i|=√32+(−3)2=3√2.故答案为：3√2.【答案】(0,1)【考点】指数函数单调性的应用【解析】先由f(2021)>f(2020)确定函数的单调性，然后对函数进行变形，最终确定a的取值范围.【解答】解：∵f(2021)>f(2020)，∴函数f(x)=a1−x=(1a )x−1为增函数，∴1a>1，即0<a<1.故答案为：(0,1).【答案】1030【考点】数列的应用数列的求和等差数列的前n项和【解析】根据已知寻找规律，第一行第6个数是16，第二行第6个数是23，从而确定第40行的第6个数.【解答】解：观察每行的第6个数可知：第一行的第6个数是16，第二行的第6个数是23，通过计算第三行的第6个数是31，则第40行的第6个数为：16+7+8+9+10+⋯+45=16+39(7+45)2=1030.故答案为：1030.【答案】10√6基本不等式在最值问题中的应用 余弦定理 正弦定理【解析】先利用余弦定理求出A 的余弦值，再利用面积相等求出AD ⋅AE ，最后再利用余弦定理以及重要不等式计算D,E 之间的最小距离即可. 【解答】解：在三角形ABC 中，由余弦定理得： cos A =AB 2+AC 2−BC 22AB ⋅AC=302+402−(10√13)22×30×40=12.由题意知：S △ABC =12AB ⋅BC sin A =2S △DAE =2×12AD ⋅AE sin A ，所以AD ⋅AE =12AB ⋅AC =12×30×40=600. 在三角形ADE 中，由余弦定理得： cos A =AD 2+AE 2−DE 22AD⋅AE=12，所以DE 2=AD 2+AE 2−600≥2AD ⋅AE −600=1200−600=600， 当且仅当AD =AE 时等号成立， 所以DE ≥√600=10√6.故D ，E 两点间的最小距离为10√6m . 故答案为：10√6. 三、解答题 【答案】解：(1)由b n+1=12b n ，得b n+1b n=12，∴ {b n }为等比数列，且首项b 1=1，公比q =12， ∴ {b n }的通项公式为b n =(12)n−1.(2)设a n =b 2n ， 则a n+1a n=b n+2b 2n=(12)2n+1(12)2n−1=(12)2=14 ，∴ {b 2n }是首项为12，公比为14的等比数列， ∴ b 2+b 4+b 6+⋯+b n =12[1−(14)n ]1−14=23[1−(14)n].数列递推式等比数列的前n 项和 等比数列的通项公式 【解析】 【解答】解：(1)由b n+1=12b n ，得b n+1b n=12，∴ {b n }为等比数列，且首项b 1=1，公比q =12， ∴ {b n }的通项公式为b n =(12)n−1.(2)设a n =b 2n ， 则a n+1a n=b n+2b 2n=(12)2n+1(12)2n−1=(12)2=14 ，∴ {b 2n }是首项为12，公比为14的等比数列， ∴ b 2+b 4+b 6+⋯+b n =12[1−(14)n ]1−14=23[1−(14)n]. 【答案】解：(1)f(x)=2sin x (cos x cos π3+sin x sin π3)=sin x cos x +√3sin 2x =12sin 2x +√32(1−cos 2x) =12sin 2x −√32cos 2x +√32 =sin (2x −π3)+√32. 令2x −π3=kπ(k ∈Z )，得x =kπ2+π6(k ∈Z )，所以函数f(x)的对称中心为(kπ2+π6,√32)(k ∈Z ) .(2)因为存在x 0∈[π4,3π4]，使不等式f(x 0)<m 成立，所以m 大于f(x)的最小值， 由π4≤x ≤3π4，得π6≤2x −π3≤7π6，当2x −π3=7π6，即x =3π4时，f(x)取最小值√3−12，所以m >√3−12，则m 的取值范围为(√3−12,+∞) . 【考点】二倍角的正弦公式 二倍角的余弦公式 两角和与差的正弦公式 函数恒成立问题 正弦函数的对称性 正弦函数的定义域和值域 【解析】 【解答】解：(1)f(x)=2sin x (cos x cos π3+sin x sin π3) =sin x cos x +√3sin 2x =12sin 2x +√32(1−cos 2x) =12sin 2x −√32cos 2x +√32 =sin (2x −π3)+√32. 令2x −π3=kπ(k ∈Z )，得x =kπ2+π6(k ∈Z )，所以函数f(x)的对称中心为(kπ2+π6,√32)(k ∈Z ) .(2)因为存在x 0∈[π4,3π4]，使不等式f(x 0)<m 成立，所以m 大于f(x)的最小值， 由π4≤x ≤3π4，得π6≤2x −π3≤7π6，当2x −π3=7π6，即x =3π4时，f(x)取最小值√3−12， 所以m >√3−12，则m 的取值范围为(√3−12,+∞) . 【答案】解：(2)由正弦定理得√3sin A =sin C sin B +√3sin B cos C .因为A +B +C =π，所以√3sin (B +C )=sin C sin B +√3sin B cos C ，即√3(sin B cos C +cos B sin C )=sin C sin B +√3sin B cos C ， 化简，得√3cos B =sin B . 因为B ∈(0,π)， 所以B =π3.(2)由(1)知B=π.3因为b=4，所以由余弦定理得b2=a2+c2−2ac cos B，，即42=a2+c2−2ac cosπ3化简得a2+c2−ac=16.①因为该三角形面积为4√3，ac sin B=4√3，即ac=16.②所以12联立①②，解得a=c=4．【考点】两角和与差的正弦公式余弦定理正弦定理三角函数的恒等变换及化简求值【解析】【解答】解：(2)由正弦定理得√3sin A=sin C sin B+√3sin B cos C. 因为A+B+C=π，所以√3sin(B+C)=sin C sin B+√3sin B cos C，即√3(sin B cos C+cos B sin C)=sin C sin B+√3sin B cos C，化简，得√3cos B=sin B.因为B∈(0,π)，.所以B=π3(2)由(1)知B=π.3因为b=4，所以由余弦定理得b2=a2+c2−2ac cos B，，即42=a2+c2−2ac cosπ3化简得a2+c2−ac=16.①因为该三角形面积为4√3，ac sin B=4√3，即ac=16.②所以12联立①②，解得a=c=4．【答案】解：(1)当a=2时，f′(x)=2x2+5x+3=(x+1)(2x+3).，令f′(x)=0，解得x=−1或−32所以f (x )的单调递增区间为(−∞,−32)，(−1,+∞)， f (x )的单调递减区间为(−32,−1) ，f (x )的极大值为f (−32)=−98， f (x )的极小值为f (−1)=−76．(2)依题意： f ′(x )=ax 2+(2a +1)x +3≤0在[−1,1]上恒成立， 又因为a >0， 所以{a >0,f ′(−1)≤0,f ′(1)≤0,即{ a >0，a ≥2，a ≤−43，无解， 故不存在正实数a ，使得函数f (x )在区间[−1,1]上为减函数. 【考点】已知函数的单调性求参数问题 利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 【解析】 无 无【解答】解：(1)当a =2时，f ′(x )=2x 2+5x +3=(x +1)(2x +3). 令f ′(x )=0，解得x =−1或−32， 所以f (x )的单调递增区间为(−∞,−32)，(−1,+∞)， f (x )的单调递减区间为(−32,−1) ， f (x )的极大值为f (−32)=−98，f (x )的极小值为f (−1)=−76．(2)依题意： f ′(x )=ax 2+(2a +1)x +3≤0在[−1,1]上恒成立， 又因为a >0， 所以{a >0,f ′(−1)≤0,f ′(1)≤0,即{ a >0，a ≥2，a ≤−43，无解， 故不存在正实数a ，使得函数f (x )在区间[−1,1]上为减函数. 【答案】 解：(1)由b n =a n −12n，得b n+1=a n+1−12n+1，将a n+1=2a n +2n+1−1代入上式， 得b n+1=2a n +2n+1−22n+1=a n +2n −12n=a n −12n+1，所以b n+1−b n =1，且b 1=a 1−12=1，所以{b n }是首项为1，公差为1的等差数列. (2)由(1)知b n =n ， 所以b n =a n −12n=n ，a n =n ⋅2n +1，所以a n −1=n ⋅2n ，则S n =1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+n ⋅2n ，① 2S n =1⋅22+2⋅23+3⋅24+⋯+n ⋅2n+1，②由①−②，得−S n =2+22+23+⋯+2n −n ⋅2n+1， 即−S n =2(2n −1)−n ⋅2n+1=(1−n )2n+1−2. 所以S n =(n −1)2n+1+2. 【考点】 数列的求和 等差数列 【解析】 【解答】 解：(1)由b n =a n −12n，得b n+1=a n+1−12n+1，将a n+1=2a n +2n+1−1代入上式， 得b n+1=2a n +2n+1−22n+1=a n +2n −12n=a n −12n+1，所以b n+1−b n =1，且b 1=a 1−12=1，所以{b n }是首项为1，公差为1的等差数列. (2)由(1)知b n =n ， 所以b n =a n −12n=n ，a n =n ⋅2n +1，所以a n −1=n ⋅2n ，则S n =1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+n ⋅2n ，① 2S n =1⋅22+2⋅23+3⋅24+⋯+n ⋅2n+1，②由①−②，得−S n =2+22+23+⋯+2n −n ⋅2n+1， 即−S n =2(2n −1)−n ⋅2n+1=(1−n )2n+1−2. 所以S n =(n −1)2n+1+2. 【答案】解：(1)当m =2时，f ′(x)=2x −2， k =f ′(1)=0，即切线方程为y =−2． (2)当m =1时， f ′(x )=1x −2=1−2x x，则曲线y =f (x )上的点(x 0,y 0)(x 0>0)处的切线方程为 y −(ln x 0−2x 0)=1−2x 0x 0(x −x 0)，即y =1−2x 0x 0x +ln x 0−1.设直线l 与y =x 2相切于点(x 1,x 12)， 即切线方程为y =2x 1x −x 12，即 {1−2x 0x 0=2x 1,ln x 0−1=−x 12,即1−ln x 0=(1−2x 02x 0)2，即4x 02ln x 0−4x 0+1=0. 令g (x )=4x 2ln x −4x +1，则g ′(x )=8x ln x +4x −4，g ′′(x )=8ln x +12.令g ′′(x )=0得x =e −32，即g ′(x )在(0,e −32)上单调递减，在(e −32,+∞)上单调递增， 即g ′(x )min =g ′(e −32)=−8e −32−4<0. 当x ∈(0,e −32)时，8ln x +12<0， 即g ′(x )<x (8ln x +12)−4<−4. 当x =1时，g ′(x )=0，所以当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0；当x ∈(1,+∞)时，g ′(x )>0， 即g (x )在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递减增， 即g (x )min =g (1)=−3<0. 又因为g (1e 2)=−8e 4−4e 2+1=e 4−4e 2−8e 4=e 2(e 2−4)−8e 4>0，且g (e )=4e 2−4e +1>0，所以g (x )=0在(1e 2,1)和(1,e )上各有1个零点，即g (x )=0在(0,1)和(1,+∞)上各有1个零点，即4x 02ln x 0−4x 0+1=0有两个实根，即满足条件的x 0有两个． 【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题 利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)当m =2时，f ′(x)=2x −2， k =f ′(1)=0，即切线方程为y =−2． (2)当m =1时， f ′(x )=1x −2=1−2x x，则曲线y =f (x )上的点(x 0,y 0)(x 0>0)处的切线方程为 y −(ln x 0−2x 0)=1−2x 0x 0(x −x 0)，即y =1−2x 0x 0x +ln x 0−1.设直线l 与y =x 2相切于点(x 1,x 12)， 即切线方程为y =2x 1x −x 12，即 {1−2x 0x 0=2x 1,ln x 0−1=−x 12,即1−ln x 0=(1−2x 02x 0)2，即4x 02ln x 0−4x 0+1=0. 令g (x )=4x 2ln x −4x +1，则g ′(x )=8x ln x +4x −4，g ′′(x )=8ln x +12.令g ′′(x )=0得x =e −32，即g ′(x )在(0,e −32)上单调递减，在(e −32,+∞)上单调递增， 即g ′(x )min =g ′(e −32)=−8e −32−4<0. 当x ∈(0,e −32)时，8ln x +12<0， 即g ′(x )<x (8ln x +12)−4<−4.当x=1时，g′(x)=0，所以当x∈(0,1)时，g′(x)<0；当x∈(1,+∞)时，g′(x)>0，即g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递减增，即g(x)min=g(1)=−3<0.又因为g(1e2)=−8e4−4e2+1=e4−4e2−8e4=e2(e2−4)−8e4>0，且g(e)=4e2−4e+1>0，所以g(x)=0在(1e2,1)和(1,e)上各有1个零点，即g(x)=0在(0,1)和(1,+∞)上各有1个零点，即4x02ln x0−4x0+1=0有两个实根，即满足条件的x0有两个．。
吉林省榆树市第一高级中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学试卷
榆树一中2019—2020学年度高二上学期第一次月考数学试题第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1、数列 的一个通项公式是 （ ） A.B. C. D. 2、在中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，如果12=a ，0030,45==C A ,那么c 等于 （ ）A ．B ．C ．212D ．263、在数列{}n b 中，31-=n b n ， 则13b b -的值为 （ ） A ．34 B ．32 C ．31 D ．1 4、已知实数c b a ,, 满足0>>>c b a ，则下列不等式正确的是 ( )A ．b a 11>B ．c a 11>C ．c b b a +<+11D ．ca cb +<+11 5、在等比数列中，且 4,142==a a ，则数列前3项的和是 （ ）A ．3B ．27 C ．314 D ． 6 6、在中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，其面积)(41222b a c S --=， 则角C 的大小是 （ ）A ．2πB ．32πC ．4π D ． 43π 7、等差数列中，是其前n 项和， 111-=a ，27979=-S S ， 则=12S ( )1,3,5,7,9,()21n n N +-∈()1n n N +-∈()n n N+∈()33n n N +-∈{}n a )(0*N n a n ∈>{}n a {}n a n SA ．－11B ．0C ．2D ．－48、在中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，其中 54sin ,9,10===B b a ， 则 不同形状的个数有 （ ）A ．二个B ．一个C ． 0个D ．以上都有可能 9、已知实数,,y x 若实数m 既是 23323与的等差中项，又是x 9与y 3的等比中项，则y x +2的值为 （ ）A ．3B ．4C ．1D ．210、已知等差数列{}n b 中，是它的前项和，若001312><S S 且 则当最小时的值为 （ ）A ．8B ．6C ．13D ．12 11、已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，若322cos =C ，23=a 33cos cos =+B a A b ，则边b 的值为 （ ）A ． 7B ． 8C ． 10D ． 912、已知等差数列的前项和分别为，若对于任意的自然数， 都有131-+=n n T S n n ，则=++++82673115)(2b b a b b a a （ ） A ．137 B ．1315 C ． D ．1516 第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上）13、已知在数列中，若=1，，则=3a14、如图所示,已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于km 2（千米）,灯塔A 在观察站C 的北偏东,灯塔B 在观察站C 的南偏东,则灯塔A 与灯塔B 的距离为 n S n n S n {}{},n n a b n ,n n S T n 715{}n a 1a 123(1)n n a a n +=+≥020040（ 14题图） （ 15题图） 15、如图,在ABC ∆中，030=B ,D 是边BC 上一点, 7,5,3,AC AD DC ===则AB 的长为16、已知数列满足13)1(1+=--+n a a n n n ，则的前40项和为 ．三、解答题：（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）.17、（本题满分10分）已知等差数列中，7,141==a a ．( Ⅰ )求数列的通项公式； （本小题满分5分） ( Ⅱ )若数列的前项和100=kS ，求的值．（本小题满分5分） 18、（本小题满分12分）在中，角A ，B ，C 所对的边分别为，且，. （Ⅰ）若，求的值； （本小题满分6分） （Ⅱ）若的面积，求b 的值. （本小题满分6分）19、（本小题满分12分）若数列满足11=a ，n a a n n +=+1 ，( Ⅰ ) 求42a a 与的值 （本小题满分6分）( Ⅱ )设111-=+n n a b ，且{}n b 前n 项和n S ，若使1019>n S 恒成立， 求n 的最小值 （本小题满分6分）20、（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，若,3π=B{}n a {}n a {}n a {}n a {}n a k k ABC ∆c b a ,,2=a 54cos =B 3=b A sin ABC ∆3=∆ABC S且边c b a ,,成等比数列，( Ⅰ ) 求角A 的大小； （本小题满分6分）( Ⅱ ) 若3=a ，求△ABC 外接圆面积． （本小题满分6分）21、（本小题满分12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，且bc a c b +=+222 ( Ⅰ ) 若A C B 2sin sin sin =⋅,判断ABC ∆的形状 （本小题满分6分）( Ⅱ ) 若c b ,是函数4013)(2+-=x x x f 的零点，求a 的值（本小题满分6分）22、（本题满分12分）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足231(*)=-∈n n S a n N ，数列{}n b 满足112a b =．231+=+n n b b（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （本小题满分6分）（Ⅱ）设)1(3log+⋅=n b n n a c ，求数列{}n c 的前n 项和n T ．（本小题满分6分。
2020-2021学年吉林吉林高三上数学月考试卷
2020-2021学年吉林吉林高三上数学月考试卷一、选择题1. 已知集合A ={x|x 2−x −6≤0}，B ={x|x ∈N }，则A ∩B =( ) A.{1,2} B.{0,1,2} C.{1,2,3} D.{0,1,2,3}2. 下列函数中最小正周期为π的函数的个数是( ) ①y =|sin x|；②y =cos (2x +π3)；③y =tan 2x .A.0B.1C.2D.33. 下列向量中不是单位向量的是( ) A.(1,0) B.(1,1)C.(cos α,sin α)D.a→|a →|(|a →|≠0)4. 为了得到函数y =cos (12x +π4)的图象，可将函数y =cos 12x 的图象( )A.向左平移π4个单位 B.向右平移π4个单位 C.向左平移π2个单位D.向右平移π2个单位5. 设角α的始边为x 轴非负半轴，则“角α的终边在第二、三象限”是“cos α<0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6. 等差数列{a n }中，a 5+a 10+a 15=30，则a 22−2a 16的值为( ) A.−10 B.−20C.10D.207. 已知定义在实数集R 上的偶函数f (x )在区间[0,+∞）是单调增函数，若f (1−a )<f (2)，则实数a 的取值范围是( ) A.−1<a <3 B.a <−1或a >3 C.−3<a <1D.a <−3或a >18. 已知e 1→，e 2→是夹角为60∘的单位向量，若a →=e 1→+λe 2→，b →=2e 1→−3e 2→，且a →⊥b →，则λ=( ) A.−32 B.23C.14D.789. 已知某函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是( )A.y =(e x −1e x +1)cos x B.y =2|x|−x 2−2 C.y =2|x|−|x|+2D.y =(x 2−1)cos x10. 某兴趣小组对函数f (x )的性质进行研究，发现函数f (x )是偶函数，在定义域R 上满足f (x +1)=f (x −1)+f (1)，且在区间[−1,0]为减函数．则f (−3)与f (−52)的关系为( )A.f (−3)≥f (−52) B.f (−3)>f (−52) C.f (−3)≤f (−52) D.f (−3)<f (−52)11. 《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图（如图）是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形面积之比为1：25，则cos (α−β)的值为( )A.2425 B.1C.725D.012. 已知函数f (x )={ln x,x ≥1,x e x ,x <1,g (x )=kx +f ′(2)，对∀x 1∈R ，∃x 2∈[−3,3]，使得f (x 1)≥g (x 2)成立，则k 的取值范围是( )A.(−∞,−13e −16] B.[13e +16,+∞)C.[−13e−16,13e+16]D.(−∞,−13e −16]∪[13e +16,+∞)二、填空题已知复数z =2−3i ，则|z +1|=________.已知函数f(x)=a 1−x (a >0且a ≠1），若f (2021)>f (2020)，则实数a 的取值范围是________.有一个数阵排列如下：则第40行从左至右第6个数字为________.如图所示，滨江公园内有一块三角形形状的草坪ABC ，经测量得AB =30m ，AC =40m ，BC =10√13m ，在保护草坪的同时，为了方便游人行走，现打算铺设一条小路DE （其中点D 在边AB 上，点E 在边AC 上），若DE 恰好将该草坪的面积平分，则D ，E 两点间的最小距离为________m ．三、解答题已知数列{b n }满足b 1=1，b n+1=12b n . (1)求{b n }的通项公式；(2)求b 2+b 4+b 6+⋯+b 2n 的值．已知函数f (x )=2sin x cos (x −π3)，x ∈R .(1)求函数f (x )的对称中心；(2)若存在x 0∈[π4,3π4]，使不等式f (x 0)<m 成立，求实数m 的取值范围．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边， √3a =c sin B +√3b cos C . (1)求角B 的大小；(2)若b =4，且△ABC 的面积等于4√3，求a ，c 的值．已知函数f (x )=13ax 3+2a+12x 2+3x .(1)当a =2时，求函数f (x )的单调区间与极值；(2)是否存在正实数a ，使得函数f (x )在区间[−1,1]上为减函数？若存在，请求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．已知数列{a n }的首项a 1=3，且满足a n+1=2a n +2n+1−1. (1)设b n =a n −12n，证明{b n }是等差数列；(2)求数列{a n −1}的前n 项和S n .设函数f (x )=m ln x −2x .(1)当m =2时，求函数f (x )在点(1,f (1))处的切线；(2)当m =1时，曲线y =f (x )上的点(x 0,y 0)(x 0>0)处的切线与y =x 2相切，求满足条件的x 0的个数．参考答案与试题解析2020-2021学年吉林吉林高三上数学月考试卷一、选择题1.【答案】D【考点】一元二次不等式的解法交集及其运算【解析】先求出集合A，再利用交集运算求解即可.【解答】解：∵A={x|x2−x−6≤0}={x|−2≤x≤3}，B={x|x∈N}，∴A∩B={0,1,2,3}.故选D.2.【答案】C【考点】三角函数的周期性及其求法【解析】根据三角函数性质求各自的最小正周期即可.【解答】解：①y=|sin x|的周期为y=sin x的周期的一半，故y=|sin x|的最小正周期为T=2π2=π；②y=cos(2x+π3)的最小正周期为T=2π2=π；③y=tan2x的最小正周期为T=π2，故最小正周期为π的函数有2个.故选C．3.【答案】B【考点】单位向量向量的模同角三角函数基本关系的运用【解析】分别计算各个选项向量的模,看是否为1即可. 【解答】解：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量.由题意可知，选项A，C，D中向量的模均为1，所以均为单位向量；选项B中向量的模为2+12=√2，不是单位向量.故选B.4.【答案】C【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】利用三角函数的图象变换得解.【解答】解：∵y=cos(12x+π4)=cos12(x+π2)，∴将函数y=cos12x向左平移π2个单位即可得到函数y=cos(12x+π4)的图象.故选C.5.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断三角函数值的符号【解析】利用余弦函数在各象限的符号得解.【解答】解：由角α的终边在第二、三象限，可以得到cosα<0，而当cosα<0时，角α的终边可能在x轴的负半轴上，不一定在第二、三象限，所以“角α的终边在第二、三象限”是“cosα<0”的充分不必要条件.故选A.6.【答案】A【考点】等差中项等差数列的性质【解析】利用等差数列的性质求出a10，再次利用性质化简求值即可.【解答】解：由等差数列的性质可知：a5+a10+a15=3a10=30，∴a10=10，∴ a 22−2a 16=a 22−(a 10+a 22)=−a 10=−10. 故选A . 7.【答案】 A【考点】奇偶性与单调性的综合 函数奇偶性的性质 函数单调性的性质【解析】直接利用函数的奇偶性及单调性，构造不等式即可. 【解答】解：由函数f (x )为偶函数，且f (1−a )<f (2)，得：f(|1−a |)<f(2). 又因为函数f (x )在区间[0,+∞)是单调增函数， 所以|1−a |<2，解得−1<a <3. 故选A . 8.【答案】 C【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 平面向量数量积的运算 【解析】根据条件便可以得到|e 1→|=1，|e 2→|=1，e 1→⋅e 2→=12，而根据a →=e 1→+λe 2→与b→=2e 1→−3e 2→垂直，从而有(e 1→+λe 2→)⋅(2e 1→−3e 2→)=0，进行数量积的运算即可得出关于λ的方程，解方程便可得出λ的值．【解答】解：根据题意，得|e 1→|=|e 2→|=1，e 1→⋅e 2→=12. ∵ a →⊥b →，∴ (e 1→+λe 2→)⊥(2e 1→−3e 2→)， ∴ (e 1→+λe 2→)⋅(2e 1→−3e 2→) =2e 1→2+(2λ−3)e 1→⋅e 2→−3λe 2→2=2+12(2λ−3)−3λ=0， 解得：λ=14． 故选C ． 9.【答案】 B【考点】 函数的图象 【解析】利用特殊得函数值，排除即可. 【解答】解：由图象可知：f (0)<0，A ，当x =0时，y =1−11+1×cos 0=0，故A 错误； C ，当x =0时，y =20−0+2>0，故C 错误； D ，令y =(x 2−1)cos x =0， 解得x =±1，或cos x =0， 即x =±1或x =π2+kπ，k ∈Z ， 即该函数的零点个数大于2，故D 错误. 故选B . 10.【答案】 B【考点】 函数的周期性奇偶性与单调性的综合 函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】首先求出f (1)，再判断函数的周期，再结合单调性即可比较大小. 【解答】解：令x =0，则f(1)=f(−1)+f(1)， 又因为f (x )是偶函数，则f (1)=f (−1)， 所以f (1)=0，所以f(x +1)=f(x −1)，即f(x +2)=f(x)， 故函数f (x )为周期函数，且周期为2， 所以f (−3)=f (−1)，f (−52)=f (−12). 又函数f (x )在区间[−1,0]为减函数， 则f (−1)>f (−12)，即f(−3)>f (−52). 故选B . 11. 【答案】 A 【考点】 诱导公式两角和与差的余弦公式 同角三角函数基本关系的运用【解析】设出大正方形边长，由面积比得到小正方形边长，再结合边长关系，用三角函数表示，再利用三角恒等变化化简，即可求出. 【解答】解：设大正方形的边长为1，由于面积之比为1：25， 可得小正方形的边长为15，则cos α−sin α=15， sin β−cos β=15， 由图可得cos α=sin β，sin α=cos β， ∴ (cos α−sin α)(sin β−cos β)=cos αsin β−sin αsin β−cos αcos β+sin αcos β =sin 2β+cos 2β−cos (α−β) =1−cos (α−β)=125，∴ cos (α−β)=2425. 故选A ． 12.【答案】 D【考点】利用导数研究函数的最值 函数恒成立问题【解析】首先根据题意将问题转化为f(x)min ≥g(x)min ，利用导数求出f(x)min ，再对k 讨论求出g(x)min ，代入不等式即可求解. 【解答】解：由题意可知，f(x)min ≥g(x)min . 因为f(x)={ln x,x ≥1,x e x ,x <1.所以当x ≥1时，f(x)≥0， 当x <1时，f ′(x)=(x +1)e x ，若x <−1时，f ′(x)<0，f (x )为减函数； 若−1<x <1时，f ′(x)>0，f (x )为增函数， 所以f(x)min =f(−1)=−1e <0， 所以f(x)min =−1e .当x >1时，f ′(x)=1x ，f ′(2)=12，所以g(x)=kx +12.若k ≥0时，g(x)min =g(−3)=−3k +12≤−1e，解得k ≥13e+16；若k <0时，g(x)min =g(3)=3k +12≤−1e ，解得k ≤−13e −16， 所以k 的取值范围是(−∞,−13e −16]∪[13e +16,+∞). 故选D .二、填空题【答案】3√2【考点】 复数的模 【解析】先求出z +1，再利用复数的模的运算求解即可. 【解答】解：∵ z =2−3i ，∴ |z +1|=|3−3i |=√32+(−3)2=3√2. 故答案为：3√2. 【答案】 (0,1) 【考点】指数函数单调性的应用 【解析】先由f (2021)>f (2020)确定函数的单调性，然后对函数进行变形，最终确定a 的取值范围. 【解答】解：∵ f (2021)>f (2020)， ∴ 函数f (x )=a 1−x =(1a )x−1为增函数，∴ 1a >1，即0<a <1. 故答案为：(0,1). 【答案】 1030 【考点】 数列的应用 数列的求和等差数列的前n 项和【解析】根据已知寻找规律，第一行第6个数是16，第二行第6个数是23，从而确定第40行的第6个数. 【解答】解：观察每行的第6个数可知：第一行的第6个数是16，第二行的第6个数是23，通过计算第三行的第6个数是31， 则第40行的第6个数为：16+7+8+9+10+⋯+45 =16+39(7+45)2=1030.故答案为：1030.【答案】10√6 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 余弦定理 正弦定理【解析】先利用余弦定理求出A 的余弦值，再利用面积相等求出AD ⋅AE ，最后再利用余弦定理以及重要不等式计算D,E 之间的最小距离即可. 【解答】解：在三角形ABC 中，由余弦定理得： cos A =AB 2+AC 2−BC 22AB ⋅AC=302+402−(10√13)22×30×40=12.由题意知：S △ABC =12AB ⋅BC sin A =2S △DAE =2×12AD ⋅AE sin A ，所以AD ⋅AE =12AB ⋅AC =12×30×40=600.在三角形ADE 中，由余弦定理得： cos A =AD 2+AE 2−DE 22AD⋅AE=12，所以DE 2=AD 2+AE 2−600≥2AD ⋅AE −600=1200−600=600， 当且仅当AD =AE 时等号成立， 所以DE ≥√600=10√6.故D ，E 两点间的最小距离为10√6m . 故答案为：10√6. 三、解答题 【答案】解：(1)由b n+1=12b n ，得b n+1b n=12，∴ {b n }为等比数列，且首项b 1=1，公比q =12， ∴ {b n }的通项公式为b n =(12)n−1.(2)设a n =b 2n ，则a n+1a n=b n+2b 2n=(12)2n+1(12)2n−1=(12)2=14，∴ {b 2n }是首项为12，公比为14的等比数列， ∴ b 2+b 4+b 6+⋯+b n =12[1−(14)n ]1−14=23[1−(14)n]. 【考点】 数列递推式等比数列的前n 项和 等比数列的通项公式 【解析】 【解答】解：(1)由b n+1=12b n ，得b n+1b n=12，∴ {b n }为等比数列，且首项b 1=1，公比q =12， ∴ {b n }的通项公式为b n =(12)n−1.(2)设a n =b 2n ， 则a n+1a n=b n+2b 2n=(12)2n+1(12)2n−1=(12)2=14 ，∴ {b 2n }是首项为12，公比为14的等比数列，∴ b 2+b 4+b 6+⋯+b n =12[1−(14)n]1−14=23[1−(14)n]. 【答案】解：(1)f(x)=2sin x (cos x cos π3+sin x sin π3) =sin x cos x +√3sin 2x =12sin 2x +√32(1−cos 2x) =12sin 2x −√32cos 2x +√32 =sin (2x −π3)+√32.令2x −π3=kπ(k ∈Z )，得x =kπ2+π6(k ∈Z )，所以函数f(x)的对称中心为(kπ2+π6,√32)(k ∈Z ) . (2)因为存在x 0∈[π4,3π4]，使不等式f(x 0)<m 成立，所以m 大于f(x)的最小值， 由π4≤x ≤3π4，得π6≤2x −π3≤7π6，当2x −π3=7π6，即x =3π4时，f(x)取最小值√3−12， 所以m >√3−12，则m 的取值范围为(√3−12,+∞) . 【考点】二倍角的正弦公式 二倍角的余弦公式 两角和与差的正弦公式 函数恒成立问题 正弦函数的对称性 正弦函数的定义域和值域 【解析】 【解答】解：(1)f(x)=2sin x (cos x cos π3+sin x sin π3) =sin x cos x +√3sin 2x =12sin 2x +√32(1−cos 2x) =12sin 2x −√32cos 2x +√32 =sin (2x −π3)+√32. 令2x −π3=kπ(k ∈Z )，得x =kπ2+π6(k ∈Z )，所以函数f(x)的对称中心为(kπ2+π6,√32)(k ∈Z ) .(2)因为存在x 0∈[π4,3π4]，使不等式f(x 0)<m 成立，所以m 大于f(x)的最小值， 由π4≤x ≤3π4，得π6≤2x −π3≤7π6，当2x −π3=7π6，即x =3π4时，f(x)取最小值√3−12， 所以m >√3−12，则m 的取值范围为(√3−12,+∞) . 【答案】解：(2)由正弦定理得√3sin A =sin C sin B +√3sin B cos C .因为A +B +C =π，所以√3sin (B +C )=sin C sin B +√3sin B cos C ，即√3(sin B cos C +cos B sin C )=sin C sin B +√3sin B cos C ，化简，得√3cos B =sin B . 因为B ∈(0,π)， 所以B =π3.(2)由(1)知B =π3.因为b =4，所以由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2ac cos B ， 即42=a 2+c 2−2ac cos π3， 化简得a 2+c 2−ac =16.① 因为该三角形面积为4√3， 所以12ac sin B =4√3，即ac =16.②联立①②，解得a =c =4． 【考点】两角和与差的正弦公式 余弦定理 正弦定理三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】 【解答】解：(2)由正弦定理得√3sin A =sin C sin B +√3sin B cos C .因为A +B +C =π，所以√3sin (B +C )=sin C sin B +√3sin B cos C ，即√3(sin B cos C +cos B sin C )=sin C sin B +√3sin B cos C ， 化简，得√3cos B =sin B . 因为B ∈(0,π)， 所以B =π3.(2)由(1)知B =π3.因为b =4，所以由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2ac cos B ， 即42=a 2+c 2−2ac cos π3， 化简得a 2+c 2−ac =16.① 因为该三角形面积为4√3， 所以12ac sin B =4√3，即ac =16.② 联立①②，解得a =c =4．【答案】解：(1)当a =2时，f ′(x )=2x 2+5x +3=(x +1)(2x +3). 令f ′(x )=0，解得x =−1或−32，所以f (x )的单调递增区间为(−∞,−32)，(−1,+∞)， f (x )的单调递减区间为(−32,−1) ， f (x )的极大值为f (−32)=−98，f (x )的极小值为f (−1)=−76．(2)依题意： f ′(x )=ax 2+(2a +1)x +3≤0在[−1,1]上恒成立，又因为a >0， 所以{a >0,f ′(−1)≤0,f ′(1)≤0,即{ a >0，a ≥2，a ≤−43，无解， 故不存在正实数a ，使得函数f (x )在区间[−1,1]上为减函数. 【考点】已知函数的单调性求参数问题 利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 【解析】 无无【解答】解：(1)当a =2时，f ′(x )=2x 2+5x +3=(x +1)(2x +3). 令f ′(x )=0，解得x =−1或−32，所以f (x )的单调递增区间为(−∞,−32)，(−1,+∞)，f (x )的单调递减区间为(−32,−1) ，f (x )的极大值为f (−32)=−98， f (x )的极小值为f (−1)=−76．(2)依题意： f ′(x )=ax 2+(2a +1)x +3≤0在[−1,1]上恒成立，又因为a >0， 所以{a >0,f ′(−1)≤0,f ′(1)≤0,即{ a >0，a ≥2，a ≤−43，无解， 故不存在正实数a ，使得函数f (x )在区间[−1,1]上为减函数. 【答案】 解：(1)由b n =a n −12n，得b n+1=a n+1−12n+1，将a n+1=2a n +2n+1−1代入上式， 得b n+1=2a n +2n+1−22n+1=a n +2n −12n=a n −12n+1，所以b n+1−b n =1，且b 1=a 1−12=1，所以{b n }是首项为1，公差为1的等差数列. (2)由(1)知b n =n ，所以b n =a n −12n=n ，a n =n ⋅2n +1， 所以a n −1=n ⋅2n ，则S n =1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+n ⋅2n ，① 2S n =1⋅22+2⋅23+3⋅24+⋯+n ⋅2n+1，②由①−②，得−S n =2+22+23+⋯+2n −n ⋅2n+1， 即−S n =2(2n −1)−n ⋅2n+1=(1−n )2n+1−2. 所以S n =(n −1)2n+1+2. 【考点】 数列的求和 等差数列 【解析】 【解答】 解：(1)由b n =a n −12n，得b n+1=a n+1−12n+1，将a n+1=2a n +2n+1−1代入上式， 得b n+1=2a n+2n+1−22n+1=a n +2n−12n=a n −12n+1，所以b n+1−b n =1，且b 1=a 1−12=1，所以{b n }是首项为1，公差为1的等差数列. (2)由(1)知b n =n ， 所以b n =a n −12n=n ，a n =n ⋅2n+1，所以a n −1=n ⋅2n ，则S n =1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋯+n ⋅2n ，① 2S n =1⋅22+2⋅23+3⋅24+⋯+n ⋅2n+1，②由①−②，得−S n =2+22+23+⋯+2n −n ⋅2n+1， 即−S n =2(2n −1)−n ⋅2n+1=(1−n )2n+1−2. 所以S n =(n −1)2n+1+2. 【答案】解：(1)当m =2时，f ′(x)=2x −2， k =f ′(1)=0，即切线方程为y =−2． (2)当m =1时， f ′(x )=1x −2=1−2x x，则曲线y =f (x )上的点(x 0,y 0)(x 0>0)处的切线方程为y −(ln x 0−2x 0)=1−2x 0x 0(x −x 0)，即y =1−2x 0x 0x +ln x 0−1.设直线l 与y =x 2相切于点(x 1,x 12)， 即切线方程为y =2x 1x −x 12，即 {1−2x 0x 0=2x 1,ln x 0−1=−x 12,即1−ln x 0=(1−2x 02x 0)2，即4x 02ln x 0−4x 0+1=0. 令g (x )=4x 2ln x −4x +1，则g ′(x )=8x ln x +4x −4，g ′′(x )=8ln x +12.令g ′′(x )=0得x =e −32，即g ′(x )在(0,e −32)上单调递减，在(e −32,+∞)上单调递增， 即g ′(x )min =g ′(e −32)=−8e−32−4<0.当x ∈(0,e −32)时，8ln x +12<0，即g ′(x )<x (8ln x +12)−4<−4. 当x =1时，g ′(x )=0，所以当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0；当x ∈(1,+∞)时，g ′(x )>0， 即g (x )在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递减增， 即g (x )min =g (1)=−3<0. 又因为g (1e 2)=−8e 4−4e 2+1=e 4−4e 2−8e 4=e 2(e 2−4)−8e 4>0，且g (e )=4e 2−4e +1>0，所以g (x )=0在(1e 2,1)和(1,e )上各有1个零点，即g (x )=0在(0,1)和(1,+∞)上各有1个零点，即4x 02ln x 0−4x 0+1=0有两个实根，即满足条件的x 0有两个． 【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题 利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)当m =2时，f ′(x)=2x −2，k =f ′(1)=0，即切线方程为y =−2．(2)当m =1时， f ′(x )=1x −2=1−2x x，则曲线y =f (x )上的点(x 0,y 0)(x 0>0)处的切线方程为 y −(ln x 0−2x 0)=1−2x 0x 0(x −x 0)，即y =1−2x 0x 0x +ln x 0−1.设直线l 与y =x 2相切于点(x 1,x 12)， 即切线方程为y =2x 1x −x 12，即 {1−2x 0x 0=2x 1,ln x 0−1=−x 12,即1−ln x 0=(1−2x 02x 0)2，即4x 02ln x 0−4x 0+1=0. 令g (x )=4x 2ln x −4x +1，则g ′(x )=8x ln x +4x −4，g ′′(x )=8ln x +12.令g ′′(x )=0得x =e −32，即g ′(x )在(0,e −32)上单调递减，在(e −32,+∞)上单调递增， 即g ′(x )min =g ′(e −32)=−8e −32−4<0. 当x ∈(0,e −32)时，8ln x +12<0，即g ′(x )<x (8ln x +12)−4<−4. 当x =1时，g ′(x )=0，所以当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0；当x ∈(1,+∞)时，g ′(x )>0， 即g (x )在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递减增， 即g (x )min =g (1)=−3<0. 又因为g (1e )=−8e −4e +1 =e 4−4e 2−8e 4=e 2(e 2−4)−8e 4>0，且g (e )=4e 2−4e +1>0，所以g (x )=0在(1e 2,1)和(1,e )上各有1个零点，即g (x )=0在(0,1)和(1,+∞)上各有1个零点，即4x 02ln x 0−4x 0+1=0有两个实根，即满足条件的x 0有两个．。
吉林省部分名校2021～2022学年高三上学期10月考文科数学试题参考答案
2021年高三10月份考试数学（文科）参考答案一、单选题1..已知集合A ={x |x ≤3,x ∈N *},B ={-1,0,1,2,3},则A ∩B =（ ） A..{0,1,2,3} B..{1,2,3} C..{0,1,2} D..{2,3}【答案】B【分析】首先列举法表示出集合A ,然后根据交集的概念即可求出结果. 【详解】由题意得,A ={1,2,3},所以A ∩B ={1,2,3}.故选：B . 2..设()212i z =-,则z =（ ） A..5 B..17 C..29 D..41【答案】A【分析】利用复数的乘法化简复数z ,利用复数的模长公式可求得z . 【详解】因为()2212i 14i 4i 34i z =-=-+=--,因此,()()22345z =-+-=.故选：A.3..三国时期赵爽所制的弦图由四个全等的直角三角形构成,该图可用来解释下列哪个不等式（ ）A..如果,a b b c >>,那么a c >；B..如果0a b >>,那么22a b >；C..对任意实数a 和b ,有222a b ab +≥,当且仅当a b =时等号成立；D..如果a b >,0c >,那么ac bc >.. 【答案】C【分析】设图中直角三角形的直角边长分别为,a b ,22a b +进而可表示出阴影面积以及外围正方形的面积,由图可得结果.【详解】设图中全等的直角三角形的直角边长分别为,a b ,22a b +图中四个直角三角形的面积和为1422a b ab ⨯⨯⨯=,外围正方形的面积为222a b =+.由图可知,四个直角三角形的面积之和不超过外围正方形的面积,所以222ab a b ≤+,当且仅当a b =时,等号成立.故选：C.4..袋子中有6个相同的球,分別标有数字1,2,3,4,5,6,从中随机取出两个球,则取出球的数字之和是8的概率为（ ） A..16B..536C..115D..215【答案】D【分析】列举出所有基本事件,分别求出总事件和所求基本事件的个数,再根据古典概型公式即可得解.【详解】基本事件共有：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共15种,其中数字和为8的基本事件有2种,所以取出球的数字之和是8的概率为215, 故选：D.5..对3个非零平面向量,,a b c ,下列选项中正确的是 A..若0a b λμ+=,则0λμ== B..若a b a c ⋅=⋅,则b c = C..若()()a b c a c b ⋅=⋅,则b c = D..,,a b c 两两之间的夹角可以都是钝角 【答案】D【分析】向量两个特殊情况：共线和零向量,可排除A,B ；向量不满足交换律所以C 错.. 【详解】(1) a 与b 在同一条直线上,故A 错 （2）a 可能为0向量,故B 错（3）向量运算不满足交换律,所以C 错（4）,,a b c 两两之间的夹角可以都是钝角,如都为120 故选D6..数列{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列,其前n 项和为n S .若11n n S ka +=-,则k =（ ） A..1 B..2 C..3 D..4【答案】D【分析】利用等比数列,求出通项n a ,利用求和公式求得1n S +,代入即可得解.【详解】由数列{}n a 是首项为1,公比为2的等比数列,12n na()1111122112n n n S +++⨯-=-=∴-由11n n S ka +=-,得112121n n k +--=⨯-,即1122n n k +-=⨯,11242n n k +-∴==, 故选：D.7..某四棱锥的三视图所示,已知该四棱锥的体积为433,则它的表面积为A..8B..12C..443+D..20【答案】B【分析】由三视图可知该四棱柱为正四棱柱,底面为正方形,根据三视图的数据即可求出该四棱柱的表面积.【详解】由三视图可知该四棱柱为正四棱柱,如图所示,底面边长为2,设四棱锥的高为h ,则依题意有143223V h =⨯⨯=所以3h =所以侧面的高为221142h h =+ 所以四棱锥的侧面积11=422=82S ⨯⨯⨯,所以该四棱锥的表面积为：2=8+22=12S ⨯.故选：B8..已知O 为坐标原点,抛物线2:8C y x =上一点A 到焦点F 的距离为6,若点P 为抛物线C 的准线上的动点,则PO PA +的最小值为（ ）A..4B..43C..46D..63【答案】C 【分析】求出坐标原点O 关于准线的对称点B 的坐标,由PO PB =,则PO PA PB PA AB +=+≥,根据两点间的距离公式即可求解. 【详解】解：由题意,抛物线28y x =的准线方程为2x =-, ∵6AF =,∴点A 到准线的距离为6,即点A 的横坐标为4,不妨设点A 在第一象限, 则点A 的坐标为()4,42,∵坐标原点O 关于准线的对称点B 的坐标为()4,0-, ∴PO PB =,∴PO PA +的最小值为()()22444246AB =++=.故选：C.9..某礼品店销售的一装饰摆件如图所示,由球和正三棱柱加工组合而成,球嵌入正三棱柱内一部分且与上底面三条棱均相切,正三棱柱的高为4,底面正三角形边长为6,球的体积为323π,则该几何体最高点到正三棱柱下底面的距离为（ ）A..5B..6C..7D..8【答案】C【分析】利用球的体积公式求出半径,求出正三角形内切圆半径,利用勾股定理求出球心到上底面距离即可得解【详解】设球的半径为R ,三棱柱上底面正三角形的内切圆半径为r ..由球的体积为323π可得343233R ππ=,解得2R =.. 因为正三棱柱的高为4,底面正三角形边长为6,所以底面正三角形的内切圆半径为316323r =⨯⨯=,正三棱柱的高为4,设球心为O ,正三角形的内切圆圆心为1O , 取11B C 的中点M ,并将这三点顺次连接,则由球的几何知识得1OO M △为直角三角形,所以()22221231OO R r =-=-=,于是该几何体最高点到正三棱柱下底面的距离为2147++=..故选：C10..已知函数21()xx f x e x e=++..则使不等式(21)()f m f m -<成立的实数m 的范围为（ ） A..1m < B..1mC..113m << D..13m <【答案】C【分析】根据函数表达式可得,函数为偶函数,当0x >时,可通过求导判断函数的单调性,从而确定整个函数的单调性,根据单调性求解参数的取值范围【详解】因为21()xx f x e x e =++,()21()x x f x e x ef x -=+=+,所以()f x 为R 上的偶函数,且'1()2xx f x e x e=+-,易得'()f x 单调递增且'(0)0f =,所以,当0x >时,'()0f x >恒成立,()f x 单调递增,根据偶函数的对称性得,0x <时,()f x 单调递减,若(21)()f m f m -<,则有21m m -<,两边同时平方得：()2221m m -<,解得：113m <<故选：C11..已知12,F F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左､右焦点,过1F 作b y x a=-的垂线分别交双曲线的左､右两支于,B C 两点(如图).若22CBF CF B ∠∠=,则双曲线的渐近线方程为（ ）A..3y x =±B..2y x =C..)31y x =±D..)31=±y x【答案】C【分析】根据已知条件和双曲线的定义可求得12BF a =,24BF a =,再在12BF F △中运用余弦定理建立关于a ,b ,c 的方程,可求得双曲线的渐近线方程得选项.【详解】由22CBF CF B ∠∠=,设2BC CF m ==,由122CF CF a -=得,12BF a =,所以24BF a =,2222221122121124416cos 28BF F F BF a c a BF F BF F F ac∠++-+-==⋅⋅,又112tan F C a k BF F b ∠==得12cos b BF F c∠=, 22244168a c a bac c+-∴=,令1a =,化简得：2220b b --=,得13b =所以渐近线方程为)31y x =±,故选：C.12..已知0a <,不等式1ln 0a x x e a x +⋅+≥对于任意(1,)x ∈+∞恒成立,则a 的取值范围（ ） A..[,1]e -- B..[,0)e - C..(,1)-∞- D..(,]e -∞-【答案】B【分析】变换得到(ln )ln ax a x xe x e --≥⋅,设()x f x xe =,等价于()(ln )a f x f x -≥,即min (),ln x a x -≤令()ln x g x x=,根据函数的单调性得到最值得到答案. 【详解】由1ln 0a x x e a x +⋅+≥得()ln x axe x a x -≥⋅-,即(ln )ln a x a x xe x e --≥⋅,设(),>1()xf x xe x =,则()()'()+1>0>1x f x x e x =，,所以函数()f x 在(1,)x ∈+∞上是增函数,所以不等式1ln 0a x x e a x +⋅+≥对于任意(1,)x ∈+∞恒成立,等价于()(ln )a f x f x -≥, 所以ln a x x -≥,即ln x a x ≥-对任意的1x >恒成立, 因为1x >,所以ln 0x >,即ln x a x-≤对任意的1x >恒成立,即min ()ln xa x -≤, 令()ln x g x x=,则'2ln 1()(ln )x g x x -=,由()0g x '=,得x e =, 所以当(1,)x e ∈时,()0g x '<,函数()g x 在区间(1,)e 为减函数,当(,)x e ∈+∞时,()>0g x ',函数()g x 在区间(,)e +∞为增函数,所以当x e =时,()g x 取得最小值()g e e =,所以a e -≤,所以a e ≥-,又由已知得0a <,所以a 的取值范围为[0)e -，.故选：B.方法点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题： （1）根据参变分离,转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若()0f x >就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值,最终转化为min ()0f x >,若()0f x <恒成立,转化为max ()0f x <.二、填空题13..已知角θ的终边过点(4,3)-,则sin (2θ)等于________.. 【答案】2425-【分析】根据终边上的点写出sin ,cos θθ,再由sin(2)2sin cos θθθ=求值即可. 【详解】由题设,34sin ,cos 55θθ=-=,∴24sin(2)2sin cos 25θθθ==-. 故答案为：2425-14..记n S 分别为等差数列{}n a 的前n 项和,若212n a n =-,则10S =__________. 【答案】100【分析】利用通项公式求得11019,1a a ==,结合等差数列求和公式求得结果. 【详解】11019,1a a ==,所以前10项的和为10S =191101002+⨯=. 故答案为：100.15..已知实数x ,y 满足不等式组40210330x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩,则221x y x +++的最大值为______..【答案】238【分析】画出可行域,22211x y y x x ++=+++,1yx +表示可行域内的点与定点()1,0-连线的斜率,数形结合可求得最大值. 【详解】画出如图可行域,因为22211x y yx x ++=+++,令1yt x =+,则t 表示可行域内的点(),P x y 与定点()1,0B -连线的斜率.. 由图可知,当点P 为点57,33A ⎛⎫⎪⎝⎭时,连线斜率最大,所以max7735813t ==+, 所以221x y x +++的最大值为238..故答案为：23816..在正方体1111ABCD A B C D -中,有下列结论： ①//BD 平面11CB D ；②异面直线AD 与1CB 所成的角为60︒；③三棱柱111ABD A B D -的体积是三棱锥1A ABD -的体积的四倍； ④在四面体11ACB D 中,分别连接三组对棱的中点的线段互相垂直平分. 其中正确的是________（填出所有正确结论的序号）. 【答案】①④【分析】根据正方体的几何特征,证明线面平行,求异面直线夹角,求体积关系,分析正四面体对棱连线特点. 【详解】因为11//BD B D ,11B D ⊂平面11CB D ,BD ⊄平面11CB D ,所以//BD 平面11CB D ,故①正确； 因为//AD BC ,所以异面直线AD 与1CB 所成的角等于1BCB ∠,在正方形11BCC B 中,145BCB ∠=︒,故②错误；三棱柱111ABD A B D -的体积是三棱锥1A ABD -的体积的三倍,故③错误； 由正方体的性质可知,正方体三条对面中心连线线段相互垂直平分.四面体11ACB D 是正四面体,其棱中点即正方体每个面的中心,对棱中点连线必经过正方体的中心,由对称性知,连接正四面体11ACB D 每组对棱中点的线段互相垂直平分,则④正确.故答案为：①④ 三、解答题17..已知a ,b ,c 分别为ABC 内角A ,B ,C 的对边,3a =,7b =,()tan 3B π+=- （1）求sin A 的值； （2）求ABC 的面积. 【答案】（1）33sin A =（2153. 【分析】（1）由()tan B π+可求出sin B ,利用正弦定理可求出sin A ；（2）由余弦定理可求出c ,再借助于三角形面积即可求出结果. 【详解】（1）()tan tan 3B B π+==-23B π=, 由正弦定理得372sin sin 3Aπ=,∴33sin A （2）由余弦定理得22222cos3b ac ac π=+-,整理得23400c c +-=,解得5c =或8-（舍去）,ABC 的面积113153sin 3522ABC S ac B ==⨯⨯=△. 18..某地从今年3月份正式启动新冠肺炎疫苗的接种工作,前4周的累计接种人数统计如下表： 前x 周12 3 4累计接种人数y （千人） 2.5 3 4 4.5 （1）求y 关于x 的线性回归方程；（2）政府部门要求在2个月内（按8周算）完成8千人的疫苗接种工作,根据（1）中所求的回归方程,预计接下来4周是否需要加快接种工作的速度..参考公式：线性回归方程y a bx =+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221,ni ii nii x ynxy b a y bx xnx==-==--∑∑..【答案】（1）0.7 1.5ˆ7y x =+；（2）需要加快接种工作的速度..【详解】（1）1234 2.534 4.52.5,3.544x y ++++++====, 2ˆ38.54 2.5 3.50.7, 3.50.7 2.5 1.75304 2.5ˆba -⨯⨯===-⨯=-⨯, 因此回归方程为0.7 1.5ˆ7yx =+.. （2）令8x =,得0.78 1.757ˆ.35y=⨯+=, 因为7.358<,所以接下来4周需要加快接种工作的速度..19..如图在三棱锥P -ABC 中,平面PAB ⊥平面PBC ,PB ⊥BC ,PD =DB =BC =AB =AD =2.（1）证明：PA ⊥平面ABC ； （2）求点B 到平面ACD 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2221【分析】（1）利用面面垂直的性质定理可得P A ⊥BC ,再由P A ⊥AB 利用线面垂直的判定定理即可证明,（2）利用三棱锥的体积公式得出1232D ABC P ABC V V --==,再由等体法13B ACD D ABC ACD V V Sd --==⋅=即可求解. 【详解】（1）侧面P AB ⊥底面PBC ,PB ⊥BC ,所以BC ⊥侧面P AB 又P A ⊂侧面P AB ,所以P A ⊥BC 又PD =DB =DA ,所以P A ⊥AB 又AB BC =B ,所以P A ⊥平面ABC （2）由（1）可知：P A ⊥平面ABC ,在直角三角形P AB 中,PA =D 是PB 的中点,所以三棱锥D -ABC 为三棱锥P -ABC 体积的12.故1126D ABC P ABC ABC V V SPA --==⋅=由已知：AC AD ==又AD =2,ACD △底边AD 上的高为h =故ACD △面积为：ACDS设点B 到平面ACD 的距离为d ,则13B ACD D ABC ACD V V Sd --==⋅==解得d =点B 到平面ACD 的距离为720..已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ,其长轴长为4,1F ,2F 为左右焦点,P 为椭圆C 上一动点,且21PF PF •最大值为1 . （1）求椭圆C 的方程.（2）若直线l 与椭圆C 相交于A,B 两点,且OB OA OP 21+=λ (O 为坐标原点,λ为负实数),已知41-=•OB OA k k , 求λ的值.【答案】（1）),(00y x P 设,则2202021c y x PF PF -+=•,长轴2a=4,即a=2.122221==-≤•b c a PF PF ,则椭圆方程为1422=+y x ————（5分） （2）设A(11,y x ),B （22,y x ）,则412121-==•x x y y k k OB OA ,即402121=+x x y y ——（6分）因为OB OA OP 21+=λ,则P 点坐标为（212121,21y y x x ++λλ）,把P 点代入椭圆1422=+y x ,则有1)21()21(41221221=+++y y x x λλ————（9分） 142121=+y x ,142222=+y x ,化简可得,1412=+λ,所以λ＜0——（11分） 则λ=23-——————（12分） 21..已知函数()()2ln 2x a x f x x =+-+.（1）当1a =-时,求函数()f x 的单调区间；（2）当0a >时,若()f x 的极大值点为1x ,求证：()112ln 22f x <-+. 【答案】（1）单调递增区间为()0,1,单调递减区间为()1,+∞；（2）证明见解析.【分析】（1）当1a =-时,可得()2ln 2f x x x x =-++,利用函数的单调性与导数的关系可求得函数()f x 的增区间和减区间； （2）分析可得8a >,1212x x +=,12102x x a=>,则12104x x <<<,21121ax ax =-,化简得出()()11113ln 2212f x x x =++-,构造函数()()13ln 2212g x x x =++-,其中104x <<,利用函数单调性得出()14g x g ⎛⎫< ⎪⎝⎭,即可证得结论成立.【详解】（1）当1a =-时,函数()2ln 2f x x x x =-++,()0,x ∈+∞.()()()221112121x x x x f x x x x x-+--++'=-+==, 当01x <<时,()0f x '>；当1x >时,()0f x '<.可得函数()f x 在()0,1上单调递增,在()1,+∞上单调递减. 因此函数()f x 的单调递增区间为()0,1,单调递减区间为()1,+∞； （2）当0a >时,()21212ax ax f x ax a x x-+'=+-=, 令2210ax ax -+=,28a a ∆=-.当0∆≤时,即当08a <≤,则()0f x '≥,函数()f x 在()0,∞+上单调递增,无极值,不满足题意,舍去；由0∆>,解得8a >,设方程2210ax ax -+=的两个实数根分别为1x 、2x 且12x x <. 当10x x <<或2x x >时,()0f x '>；当12x x x <<时,()0f x '<,故函数()f x 的极大值点为1x , 由韦达定理可得1212x x +=,12102x x a=>,则12104x x <<<,21121ax ax =-. ()2111111111121313ln 2ln 2ln ln 22242ax ax f x x ax ax x ax x x x -=+-+=+-+=-+=-+()11111313ln ln 12221242x x x x =-+=++-⎛⎫- ⎪⎝⎭,令()()13ln 2212g x x x =++-,其中104x <<,则()()()()()()()222221411110212121x x x x g x x x x x x x ----'=-==>---, 所以,函数()g x 在10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,故()1131ln 12ln 24422g x g ⎛⎫<=-+=- ⎪⎝⎭,因此,()112ln 22f x <-+.方法点睛：利用导数证明不等式问题,方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<）,进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数,稍作变形再构造,对原不等式同解变形,根据相似结构构造辅助函数.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22..[选修4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy 中,曲线1C的参数方程为os x y sin ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（其中ϕ为参数）,曲线222:20C x y y +-=,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,射线:l θα=（0ρ≥）与曲线1C ,2C 分别交于点A ,B （均异于原点O ）.（1）求曲线1C ,2C 的极坐标方程； （2）当02πα<<时,求22OA OB +的最小值.【详解】（1）1C 的普通方程为2231x y +=,代入cos ,sin x y ρθρθ==得1C 的极坐标方程为22123sin ρθ=+, ………………………………………………………………………（3分）2C 的极坐标方程为2sin ρθ=……………………………………………………（5分）（2）联立()0θαρ=≥与1C 的极坐标方程得22s n 312i OA α=+……………（6分）联立()0θαρ=≥与2C 的极坐标方程得224OB sin α=…………………………（7分）则()222222334sin 212sin 226212sin 12sin OA OB αααα+=+=++-≥-++ ∴2262OA OB +-最小值为2. ……………………………………………（10分）23..[选修4-5：不等式选讲]已知为正实数,且满足（1）求的最小值（2）求证：【答案】（1）；（2）证明详见解析.. 【解析】（1）（1）∵,∴,∴,∵,∴当时,的最小值为；（2）考点：配方法求函数最值、均值不等式..。
吉林省榆树市第一高级中学2021届高三上学期第三次模拟考试数学(理)试卷
榆树一中2020-2021学年度高三第三次模拟考试数学（理）试题第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1、. 设集合{}{}1,2,3,2,3,4A B ==,A B ⋃=( )A.{}1,2,3,4B.{}1,2,3C.{}2,3,4D.{}1,3,42、如图，在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是A 和B ，则21z z =( ) A.12i 55+ B.21i 55+ C.12i 55-- D.21i 55--3、以下有关命题的说法错误的是( )A ． 命题:若x 2-3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x 2-3x+2≠0”B ． 是“x 2-3x+2=0”的充分不必要条件C ． 若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ． 对于命题,01:2<++∈∃x x R x p 使得则01,:2≥++∈∀⌝x xR x p 均有 4、如图，四边形ABCD 是边长为4的菱形，060=∠ABC ，F E ,分别为CD BC ,的中点，则=⋅ （ ）A.-3B.-4C.-5D.-65、点A 从()1,0出发,沿单位圆按逆时针方向运动到点B ,若点B 的坐标是34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭, 记 B α∠=,则=-)22cos(απ（ ） A.125- B. 43- C. 2512- D. 2524-6、已知设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则正确的是（ ） A ．若，，则 B ．若，，，则 C ．若，，则 D ．若，，，则 7、若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是 ( )A. 320B. 317C. 6D. 215- 8、如图，在地面上共线的三点处测得一个建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且m BC AB 80==，则建筑物的高度为（ ）A. 20B. 620C. 40D. 640m n αβm α⊥n β⊂m n ⊥αβ⊥//αβm α⊥βn//m n ⊥αβ⊥m α⊥βn//m n ⊥αβ⊥m αβ=n m ⊥n β⊥,,A BC9、函数)sin()(ϕω+=x A x f 的图象如图所示，将)(x f 向右平移)(12x g 个单位得π，当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2.0πx 时，则与坐标轴)(x g 围成的 封闭图形的面积是 ( )A. 1B. 2C. 3D.410、已知函数⎩⎨⎧≥+-<+=)0(23)0(1)(2x x x x x x f ，函数恰有 三个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）A. B. C.⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,41 D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,4111、如图，过抛物线x y 42= 的焦点F 作倾斜角为α的直线l ，l 与抛物线及其准线从上到下依次交于C B A ,, 点.令 2121,λλλλ+==，CFAB AF BC 则当3πα=时， 212,λλλ+=时，BF BC 的值为（ ）A.2B.3C.4D.512、若函数的定义域为D ，),(,,y x f yD y x =∈∀函数的函数值与y x ,的取值无关，则称),(y x f y =为“常函数”，若{}1)1(22=-+=y x x S 4),(,,-++++=∈∀y x a y x y x f S y x 是“常函数”，则实数a 的取值范围是（ ）sin()0,0,||2y A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭()()g x f x a =-a 1,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦1,24⎛⎫- ⎪⎝⎭A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,41B. ()2,1C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,41 D. [)∞+.2 第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13、已知函数x x x f 12)(+= 则=)21(f __________. 14、曲线()2x f x x e =-在点(0,(0))f 处的切线方程为 15、函数，的单调递增区间是 . 16、已知向量a为单位向量，若32+=+，63≤则+ 的取值范围__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、（本题12分，每小题6分）已知在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且0cos sin =-A b B a （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若2,5==b a，求ABC ∆的面积．18、（本题12分，每小题6分）已知是等差数列，是等比数列，且，，，（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设,数列的前n 项和. 2,S S N n n ≤*∈∀λ恒成立,求λ的取值范围19、（本题12分，每小题6分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是直角梯形,AB 11CD ,F E ABCD PB AB CD CD AD ,,,2,且平面⊥=⊥分别为PC 和CD 的 中点21cos cos 2y x x x =⋅--[0,]2x π∈{}n a {}n b 23b =39b =11a b =144a b ={}n a n n n c a b =+{}n c n S（Ⅰ）证明：平面BEF 11平面PAD（Ⅱ）若AD CD PB 2==,求二面角C PD A --的余弦值20、（本题12分，每小题6分）已知椭圆：的右焦点为，右顶点为，设离心率为，且满足，其中为坐标原点（Ⅰ）求椭圆的方程：（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于，两点，求OMN ∆面积的最大值．21、（本题12分，每小题6分）已知函数)(,1)(,)1ln(1)(R a x m x g x x x f ∈+=++= （Ⅰ）判断函数)(x f 在),0(+∞ 的单调性（Ⅱ）若），在（∞+>0)()(x g x f 上恒成立，求实数m 的最大值22、（本题10分，每小题5分）某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室，C (22213x y a a +=>F A e 113e OF OA AF +=O C 0,1l C M N温室内沿左右两侧与后墙内侧各保留1米宽的通道，沿前侧内墙保留3米宽的空地．（Ⅰ）设矩形温室的一边长为米，请用表示蔬菜的种植面积，并求出的取值范围； （Ⅱ）当矩形温室的长、宽各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积为多少．x S x。
榆树市第一高级中学2021届高三第四次模拟考试数学(文)试卷及答案
绝密★启用前榆树一中高三数学（文）月考试题学校：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1、设复数z 满足i i z -=+33，则z为（ ）A ．4B ．3C ．5D ．22、已知集合{}022=-+=x x x A ，{}2-==ax x B ，若B B A =⋂,则=a （ ）A ．12-B ．1C ．－1D ．23、已知4sin 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则cos 3πα⎛⎫-=⎪⎝⎭（ ） A ．45 B ．35C ．45-D ．354、ABC ∆的内角C B A ,, 的对边分别为c b a ,,，已知,3,2==b a设命题 C N c p ,:*∈∃为钝角,关于命题p 有以下四个判断：①p 为真命题； ②C N c p ,*∈∀⌝：不是钝角 ③p 为假命题，④C N c p ,*∈∃⌝：不是钝角其中判断正确的序号是：（ ） A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④5、若向量 ,6)2(,2=⋅+=，则 在 方向上的投影为（ ）A ．1B ．21C ．21-D ．-16、设 20201202120202021,2ln ,log===c b a ，则c b a ,, 的大小关系是（ ）A ．c b a>> B ．b c a >> C ．b a c >> D ．a b c >>7、设双曲线144222=+-nn y x 的离心率为),(*N n a n ∈ ， 则数列{}n a 的前10项和为 （ ）A ．150B ．125C ．140D ．1208、函数 xx e e x x f -+=ln )( 的部分图像大致为 （ ）9、已知锐角 ϕ 满足1cos sin 3=-ϕϕ，若要得到函数)(sin 21)(2ϕ+-=x x f 的图像，则可将函数x x g 2sin 21)(=的图像 （ ） A ．向左平移127π 个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度C ．向右平移127π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度10、过点)0,2(M 的直线l 将圆18)3()3(:22=++-y x C 分成两段弧，当其中优弧最长时，直线l 的方程是 （ ） A ．063=-+y x B ．023=--y xC ．02=-xD ．0=y11、已知函数2ln )(+=x x f ,若2)(log 2≤af ,则a 的取值范围为 （ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,21B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21C ．(]2,11,31⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡D ．(]2,11,21⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡12、已知底面为矩形的四棱锥ABCD P -每个顶点都在球O 的球面上，22,2,,===⊥BC AB PB AB PA AD PA且,若球O 的体积为，332π则棱PB 的中点到平面PCD 的距离是 （ ）A ．26 B ．36 C ．23 D ．322第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上）13、某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有50名，高二年级有30名.现用分层抽样的方法在这80名学生中抽取一个样本，已知在高二年级的学生中抽取了6名，则在高一年级的学生中应抽取的人数为________. 14、已知曲线x x y 24-=与直线b x y +=2相切，则实数=b _____．15、已知ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为，若3π=B ,且2=c ,ABC ∆面积为34，则ABC ∆周长的是_______16、如图，点F 是抛物线2:4C x y =的焦点，点,A B 分别在抛物线C 和圆22(1)4x y +-=的实线部分上运动，且AB 总是平行于y 轴，则AFB △周长的取值范围是_______.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17、（本题12分，每小题6分） 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)(,12*N n a S n n∈-=（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式（Ⅱ） 不等式)(,62*N n S n∈>,求n 的最小值18、（本题12分，每小题4分）某中学一名数学老师对全班50名学生某次考试成绩分男女生进行了统计,其中120分(含120分)以上为优秀,绘制了如下的两个频率分布直方图:。
2021届吉林省榆树市第一高级中学高三10月月考数学(理)试卷
2021届吉林省榆树市第一高级中学高三10月月考数学（理）试卷第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1、若 {}4,3,2,1=A ,{}6,5,4,2=N 则图中阴影部分所表示的集合是 （ ）A ．{}1,3,6B ．{}6,5C ．{}2,4D ．{}1,2,3,4,5,62、下列命题中是真命题的是 （ ） A ．2>x 是1>x 的必要不充分条件 B ．x ∀∈R ，()2lg 10x +≥C ．若q p ∨是真命题，则p 是真命题D ．若x y <，则22x y <的逆否命题3.某班级从6名男生，3名女生中选派6人参加社区宣传活动，如果要求至少有1名女生参加，那么不同的选派方案种数为 （ ）A 83B 84C 72D 754.设[]==+++∈θθπθππθ，则）（若12cos )2(sin .2,022（ ）A4,6ππ B 2,6ππ C3,6ππ D4,2ππ5、某校200名学生数学竞赛成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，则该次数学成绩在[)50,60内的人数为 （ ）A ．20B ．15C ．10D ．56、已知向量,a b 满足||1,||3a b ==2，且a 与b 的夹角为4π，则|2|a b -=（ ） A ．2 B ．32 C ．1 D ．227、函数xx x f 1ln )(+=的图像可能 （ ）A B C D8、已知方程x x 26ln -=的根为0x ，且()0,1x k k ∈+，*k N ∈，则k =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．59、若函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，0ϕπ<<）的部分图象如图所示，则)6(π-f 的值为（ ）A 1B 3C -1 D-310、已知π1e a =，log e b π=ln πc =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．a b c >>11.风雨桥是侗族最具特色的建筑之一.风雨桥由桥、塔、亭组成.其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形.如图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影.其正六边形的边长计算方法如下：110001A B A B B B =-，221112A B A B B B =-，332223A B A B B B =-，…，111n n n n n nA B A B B B ---=-，其中1231201n n B B B B B B B B -=⋅⋅⋅===，*N n ∈.根据每层边长间的规律.建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料.所用材料中.横向梁所用木料与正六边形的周长有关.某一风雨桥亭、塔共5层，若600=B A ，110=B B .则这五层正六边形的周长总和为 ( )A ．100B ．130C ．110D ．12012、已知奇函数()f x 满足)1()1(x f x f +=-，若当(1,1)x ∈-时1()lg1x f x x +=-,且2)2021(=-a f (01)a <<，则实数a = （ ） A992 B 1012C 1032D 1052第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13、已知函数⎩⎨⎧≥+-<+=1,31,24)(x x x x x f , 则)3(f 的值为14、120(1)x dx -+⎰=___________15、已知双曲线与椭圆221166x y +=有相同的焦点，且双曲线的渐进线方程为x y 31±=，则此双曲线方程为_________16、函数[]x y = 称为取整函数，也称高斯函数 ，其中不超过实数x 的最大整数为x 的整数部分，例如[]13.1=，设函数x xe xf x-=)( ，则函数[])()(x f x g =在[]3,2∈x 的值域为_________其中806.20,398.7,71828.232≈≈≈e e e三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17、（10分）已知 函数ax x f =)(经过点)4,2(P ，2)(xbe x g x=（Ⅰ）求函数)(x f 的解析式;（Ⅱ）设函数)()()(x g x f x F ⋅=，若)(x F 的图像与直线ex y l =:相切，求b 值18、（12分）已知在ABC ∆中， 角C B A ,,的对边分别为c b a ,,且 02cos 2cos 12=-+C B （Ⅰ）求C B sin :sin 的值 （Ⅱ）若的值求b A a ,3,3π==19、（12分）已知数列是首项为1的等差数列，若432,1,2a a a ++成等比数列．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设11+⋅=n n n a a b ，求数列的前项和．20、（12分）如图,在四棱锥ABCD P - 中，底面ABCD 为菱形， 平面 ABCD PAC 底面⊥ ， AC PC PA == （Ⅰ）证明: PB AC ⊥（Ⅱ）若PB 与底面所成的角为045 , 求二面角A PC B --的余弦值21、（12分）已知：函数ax x ax x f -+=)ln()1()( （Ⅰ）当1=a 时， 讨论函数)(x f 的单调性（Ⅱ）若)(x f 在),0(+∞∈x 上单调递增，求实数a 的取值范围22、（12分）在平面直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 23211（t 为参数）以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为12sin 3222=+θρρ（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程（Ⅱ）若)0,1(P ，直线l 与曲线C 交于N M ,， 求PM PN + 的值答案。
吉林省榆树市第一高级中学2020届高三上学期期末考试数学(文)试卷+Word版含答案
数学（文）试题一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分。
（ ) 1. 若集合{|0}B x x =≥，且A B A =I ，则集合A 可以是A ．{1,2}B ．{|1}x x ≤C ．{1,0,1}-D ．R2． 已知复数1iz i=-（i 为虚数单位），则z 的虚部为（ )A.12i B. 12i - C. 12 D. 12-3． 设,x y 满足约束条件3002x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩, 则3z x y =+的最小值是（ )A. 5-B. 4C. 3-D. 114. 已知0.21.2512,,2log 22a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A. c b a <<B. b a c << C ． c a b << D. b c a << 5．若)(x f 是定义在[]2,2-上的偶函数，在[]0,2-为增函数，则)2()1(x f x f ≤-的解集为（ )A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-32,1B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,1 C.[]1,1- D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,316． 已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>与圆2222:C x y b +=，若椭圆1C 上存在点P ，使得由点P 所作的圆2C 的两条切线互相垂直，则椭圆1C 的离心率最小值为( )A ．33B ． 23C ．22D ． 217．ABC △的三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,其中3,2b c ==.O 为ABC △ 的外接圆圆心,则AO BC ⋅=u u u r u u u r( ) A. 132B.52 C. 52- D. 68. 执行如图所示的程序框图，当输出210S =时，则输入n 的值可以为( )A. 6B. 7C. 8D. 99． 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图, 则该几何体的体积为( )A.143πB.103πC.83π D.53π 10．已知锐角α满足cos()cos 24παα-=，则sin cos αα等于( )A.14B. 14-C.24D. 24-11．抛物线()02:2>=p py x C 焦点F 与双曲线12222=-x y 一个焦点重合，过点F 的直线交C 于点A 、B ，点A 处的切线与x 、y 轴分别交于M 、N ，若OMN ∆的面积为4，则AF 的长为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 12．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =-，数列{}n b 满足1sin2n n n b a π+=，记数列{}n b 的前n 项和为nT，则2017T =（ ） A ．2016B ．2017C ．2018D ．2019二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分。
2020-2021学年吉林省长春市榆树实验中学校高三数学文模拟试题含解析
2020-2021学年吉林省长春市榆树实验中学校高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在中，点D在线段BC的延长线上，且，点O在线段CD上（与点C、D 不重合），若的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：D略2. 已知圆的方程，若抛物线过点A(0，－1)，B(0,1)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是( )参考答案：C3. 在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论。
甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了。
”请问下列说法正确的是（）A. 甲说对了B. 甲做对了C. 乙说对了D. 乙做对了参考答案：A【分析】根据题意分析，分别假设甲、乙、丙做对了，由此推出结论．【详解】假设甲做对了，则乙和丙都做错了，乙和丙说的都对了，这不合题意；假设乙做对了，则甲和丙都说对了，也不合题意；假设丙做对了，则甲说对了，乙和丙都说错了，符合题意．所以做对的是丙，说对的是甲．故选：A【点睛】本题主要考查推理和证明，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.4. 对两个变量y和x进行回归分析，得到一组样本数据：则下列说法中不正确的是A．由样本数据得到回归方程为必过样本点的中心B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C．用相关指数R2来刻画回归效果，R2的值越小，说明模型的拟合效果越好D．若变量y和x之间的相关系数，则变量y和x之间具有线性相关关系参考答案：C5. 在等差数列中，，其前项和为，若，则的值等于A.2011B. -2012C.2014D. -2013参考答案：C6. 是数列的前项和，且对都有，则（）A．B．C．D．参考答案：A由，可知，两式相减，得，整理得由可得，则故选：A7. 设表示不大于实数x的最大整数，函数，若关于x的方程有且只有5个解，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据分段函数的解析式，先讨论当x＞0时，函数零点的个数为三个，再讨论当x≤0时，函数的零点的个数为2个，利用导数结合数形结合分析得解.【详解】首先，确定在x＞0上，方程f(x)=1的解.时，在，，所以由取整意义有[lnx]=-(n+1),又即在上，恒有取n=0,，令此时有一根，当n≥1时，恒有f(x)-1＞1，此时在上无根.在上，，，又所以在上，恒有，.n=1时，在上，有n=2时，在有即所以此时有两根，这样在有三根，在显然有一根所以在有且仅有一根，由“洛必达法则”是先增后减，得或a＞0.单调递增，即故选：A【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，难度较大.8. 对任意实数a、b、c，给出下列命题：①“a=b”是“ac=bc”的充要条件；②“b2=ac”是“a，b，c成等比数列”的充要条件；③“a＜5”是“a＜3”的必要条件；④“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件．其中真命题的个数是( )A．4 B．3 C．4 D．1参考答案：D考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．解答：解：①若c=0时，a=1，b=2．，满足ac=bc，但a=b不成立，则“a=b”是“ac=bc”的充要条件错误；②若a=b=v=c=0，满足b2=ac，但a，b，c成等比数列错误，故②错误；③“a＜5”是“a＜3”的必要条件，正确；④若a=2，b=﹣2满足a＞b，但“a2＞b2”不成立，故④错误．故正确命题是③，故选：D点评：本题主要考查命题的真假判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．9. 设的内角所对边的长分别为, 若且的面积为2，则（）A. B. C.D.参考答案：D10. 函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是( )A．B．C．D．参考答案：A【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x 轴的上方，在令x取特殊值，选出答案．【解答】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A【点评】对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若一个正方体的表面积为，其外接球的表面积为，则____________.参考答案：设正方体棱长为，则正方体表面积为，其外接球半径为正方体体对角线长的，即为，因此外接球表面积为，则. 12. 已知函数的图像在点处的切线方程是,则.参考答案：13.函数的值域为▲ ．参考答案：略14. 在（1+x+）10的展开式中，x2项的系数为 （结果用数值表示）．参考答案：45【考点】二项式系数的性质． 【专题】二项式定理．【分析】先把原式前两项结合展开，分析可知仅有展开后的第一项含有x 2项，然后写出第一项二项展开式的通项，由x 的指数为2求得r 值，则答案可求．【解答】解：∵（1+x+）10 =，∴仅在第一部分中出现x 2项的系数． 再由，令r=2，可得，x 2项的系数为．故答案为：45．【点评】本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．15. 的展开式中的系数是参考答案：2416. 已知参考答案： ．因为则。
吉林省长春市市榆树中学2020-2021学年高三数学文测试题含解析
吉林省长春市市榆树中学2020-2021学年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知等比数列{a n}满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7= ( )A.64B.81C.128D.243参考答案：A2. 若偶函数f(x)在(-∞,0)上单调递减，则不等式f(-1)＜f(lg x)的解集是( )(A)(0，10) (B)(,10)(C)(,+∞)(D)(0,)∪(10,+∞)参考答案：D略3. 若函数对任意实数都有，且，则实数的取值为（）A．-3或1 B．-1或3 C． D．参考答案：A略4. 已知关于X的方程的解集为P，则P中所有元素的和可能是（）A. 3,6,9B. 6,9,12C. 9,12,15D. 6,12,15参考答案：B略5. 焦点在x轴上的双曲线C的左焦点为F，右顶点为A，若线段FA的中垂线与双曲线C有公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是（）A．（1，3）B．（1，3] C．（3，+∞）D．[3，+∞）参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出左焦点F，右顶点的坐标，求得线段FA的中点的坐标，再利用线段FA的中垂线与双曲线C有公共点，列出不等式，即可求出离心率的范围．【解答】解：设双曲线的方程为（a＞0，b＞0），则左焦点F（﹣c，0），右顶点为A （a，0），线段FA的中点坐标为M（，0）∵线段FA的中垂线与双曲线C有公共点，∴≤﹣a，如图．则a﹣c≤﹣2a，∴3a≤c，∴e≥3．故选D．6. △ABC中，AB=，AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积等于( )A．B．C．D．参考答案：D【考点】解三角形．【专题】计算题．【分析】由AB，AC及cosB的值，利用余弦定理即可列出关于BC的方程，求出方程的解即可得到BC 的长，然后利用三角形的面积公式，由AB，BC以及sinB的值即可求出△ABC的面积．【解答】解：由AB=，AC=1，cosB=cos30°=，根据余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB?BCcosB，即1=3+BC2﹣3BC，即（BC﹣1）（BC﹣2）=0，解得：BC=1或BC=2，当BC=1时，△ABC的面积S=AB?BCsinB=××1×=；当BC=2时，△ABC的面积S=AB?BCsinB=××2×=，所以△ABC的面积等于或．故选D【点评】此题考查学生灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，是一道中档题．7. 命题“存在实数，使 > 1”的否定是（A）对任意实数, 都有>1 （B）不存在实数，使 1（C）对任意实数, 都有 1 （D）存在实数，使 1【命题立意】本题考查存在命题的否定。
吉林省长春市榆树市第一中学高三数学文联考试卷含解析
吉林省长春市榆树市第一中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A． B． C． D．参考答案：B由三视图可知该几何体为三棱锥，三棱锥的高为2，底面三角形的高为3，底面边长为3，所以底面积为，所以该几何体的体积为，选B.2. △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c=2a,则cosB 等于( )A. B. C. D.参考答案：B3. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏．它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载“两环互相贯为一得其关换，解之为三，又合而为一”.在某种玩法中，用a n表示解下个圆环所需的移动最少次数，{a n}满足，且，则解下4个圆环所需的最少移动次数为（）A. 7B. 10C. 12D. 18参考答案：A【分析】利用给定的递推关系可求的值，从而得到正确的选项.【详解】因为，故，，，故选：A.【点睛】本题以数学文化为背景，考虑数列指定项的计算，注意依据分段的递推关系来计算，本题属于基础题.4. 已知m、n是两条不重合的直线，α、β、是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：①若；②若；③若；④若m、n是异面直线，其中真命题是（）A．①和② B．①和③ C．①和④ D．③和④参考答案：C5. 函数，则的图象大致是（）A. B. C.D.参考答案：B略6. 若p是真命题，q是假命题，则（）A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．￢p是真命题D．￢q是真命题参考答案：D【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由已知中p是真命题，q是假命题，根据复合命题真假判断的真值表，可得答案．【解答】解：若p是真命题，q是假命题，则p∧q是假命题，A错误；p∨q是真命题，B错误；￢p是假命题，C错误，￢q是真命题，D正确；故选：D【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，难度不大，属于基础题．7. 某物体是空心的几体体，其三视图均为右图，则其体积为（）A．8 B． C．D．参考答案：D该物体是一个正方体挖掉了其内切球，故为D选项。
吉林省榆树市第一高级中学2021届高三上学期月考数学试卷Word版含答案
数学试卷一、选择题1. 集合A ={1,2,3},B ={x|(x +1)(x −2)<0,x ∈Z }，那么A ∪B =( ) A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{−1,0,1,2,3}2.假设sin α=13，那么cos 2α=() A.89B.79C.−79D.−893. 设f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=2x +2x +b 〔b 为常数〕，那么f(−1)=() A.−3B.−1C.1D.34. 函数f(x)=ln x −1x 的零点所在的区间是( ) A.(0, 1)B.(1, e)C.(e, 3)D.(3, +∞)5. 函数f(x)=3x −(13)x ，那么f(x)〔 〕 A.是奇函数，且在R 上是增函数 B.是偶函数，且在R 上是增函数 C.是奇函数，且在R 上是减函数 D.是偶函数，且在R 上是减函数6. 假设函数f (x )=e x cos x ，那么此函数图象在点(1,f (1))处的切线的倾斜角为〔 〕 A.0B.锐角C.直角D.钝角7. 函数f (x )=x ln |x−1||x|的图象是()A. B. C. D.8. 假设命题 p:∃x 0∈R ，x 02−x 0+1≤0 ，命题 q:∀x <0, |x|>x ． 那么以下命题中是真命题的是()A.p ∧qB.p ∧(¬q)C.(¬p)∧qD.(¬p)∧(¬q)9. 函数y =f (x )满足f (x +1)=f (x −1)，当x ∈[−1,1]时，f (x )=x 2，那么方程f (x )=|lg |x||实根共有() A.10个B.9个C.18个D.20个10. 函数f(x)={2x ,x ≥ax 2,x <a ，那么“a ≤0〞是“函数f(x)在[0, +∞)上单调递增〞的〔 〕A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件11. 假设函数f(x)=log a (x 3−ax)(a >0, a ≠1)在区间(−12,0)内单调递增，那么a 的取值范围是()A.(14,1)B.[34,1)C.(94,+∞)D.(1,94)12. 设函数f (x )=x (2ln x −1)−ax +a ，其中a >0，假设仅存在两个正整数x 0，使得f (x 0)<0，那么实数a 的取值范围是〔 〕A.(0,3ln 3−32]B.(4ln 2−2,+∞)C.[4ln 2−2,3ln 3−32)D.(4ln 2−2,3ln 3−32] 二、填空题函数f (x )=√log 2x −1的定义域为________．曲线y =x(3ln x +1)在点(1, 1)处的切线方程为________． ∫(1x +√1−(x −2)2)31dx =________．定义在R 上的函数f(x)满足f ′(x)>0且f(f(x)−e x )=1，假设f(x)≥ax +x 恒成立，那么a 的取值范围为________． 三、解答题角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P (−35,−45)． (1)求sin (α+π)的值；(2)假设角β满足sin (α+β)=513，求cos β的值． 函数f(x)=bxax 2+1(b ≠0, a >0)． (1)判断f(x)的奇偶性；(2)假设f(1)=12，log 3(4a −b)=12log 24，求a ，b 的值．函数f(x)=x −1+ae x 〔a ∈R ，e 为自然对数的底数〕．(1)假设曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x 轴，求a 的值； (2)求函数f(x)的极值.f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0, 5)，且f(x)在区间[−1, 4]上的最大值是12．(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在自然数m，使得方程f(x)+37x=0在区间(m, m+1)内有且只有两个不等的实数根？假设存在，求出m的值；假设不存在，说明理由．函数f(x)=ln x−xe x+ax(a∈R)．(1)假设函数f(x)在[1, +∞)上单调递减，求实数a的取值范围；(2)假设a=1，求f(x)的最大值．函数f(x)=ax2+(a−2)x−ln x．(1)假设函数f(x)在x=1时取得极值，求实数a的值；(2)当0<a<1时，求f(x)零点的个数．参考答案一、选择题1.【答案】C【解析】求出集合B,再求并集即可.【解答】解：∵ A={1,2,3}，B={x|(x+1)(x−2)<0,x∈Z}={0,1}，∴ A∪B={0,1,2,3}.应选C.2.【答案】B【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ sinα=13，∵ cos2α=1−2sin2α=1−2×19=79．应选B．3.【答案】A【解析】据函数为奇函数知f(0)=0，代入函数的解析式求出b，求出f(1)的值，利用函数为奇函数，求出f(−1)．【解答】解：因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)=20+2×0+b=0，解得b=−1，所以当x≥0时，f(x)=2x+2x−1.又因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(−1)=−f(1)=−(21+2×1−1)=−3.应选A．4.【答案】B【解析】根据连续函数f(x)=ln x−1x，可得f(1)=−1<0，f(e)=1−1e>0，由此得到函数f(x)=ln x−1x的零点所在的区间．【解答】解：∵ 函数f(x)=ln x−1x，∵ f(1)=−1<0，f(e)=1−1e>0，∵ 函数f(x)=ln x−1x的零点所在的区间是(1, e).应选B．5.【答案】A【解析】此题暂无解析【解答】解：因为f(x)=3x−(13)x，且定义域为R，所以f(−x)=3−x−(13)−x=(13)x−3x=−[3x−(13)x]=−f(x)，即函数f(x)是奇函数．又y=3x在R上是增函数，y=(13)x在R上是减函数，所以f(x)=3x−(13)x在R上是增函数．应选A．6.【答案】D【解析】求导，求出曲线在点(1,f(1))处的切线的斜率为负值，结合倾斜角与斜率之间的关系进行判断即可求解.【解答】解：f(x)=e x cos x，那么f′(x)=e x cos x−e x sin x，∵ f′(1)=e cos1−e sin1<0，∵ 此函数图象在点(1,f(1))处的切线的斜率为负值，∵ 此函数图象在点(1,f(1))处的切线的倾斜角为钝角.应选D.7.【答案】A【解析】利用特殊点的函数值，由排除法得解．【解答】解：由f(3)=3ln23=ln2>0，排除D；由f(−1)=−ln2<0，故排除C；由f(12)=ln12<0，故排除B.应选A.8.【答案】C【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ Δ=1−4=−3<0，∵ ∀x∈R，x2−x+1>0恒成立，故命题p是假命题.∵ ∀x<0, |x|>x恒成立，即命题q是真命题，那么(¬p)∧q是真命题，其余为假命题.应选C.9.【答案】D【解析】【解答】解：函数y=f(x)满足f(x+1)=f(x−1)，∵ 函数y=f(x)的周期为2，当x∈[−1, 1]时，f(x)=x2，可作出偶函数f(x)的图象．对于图象关于y轴对称的偶函数g(x)=lg|x|．方程f(x)=|lg|x||的实根，即为函数图象交点横坐标，当x>10时，g(x)=lg|x|>1，此时函数图象无交点.又两函数在x>0上有10个交点，由f(x)和g(x)的图象都关于y轴对称，可知它们在x<0上也有10个交点，且这些交点关于直线y轴对称，可得方程f(x)=|lg|x||的实根个数为20.应选D．10.【答案】A【解析】由2x=x2，x∈[0, +∞)，解得x=2，或4．函数f(x)={2x,x≥ax2,x<a，函数f(x)在[0, +∞)上单调递增，可得：a≥0．即可判断出结论．【解答】解：函数f(x)={2x,x≥a,x2,x<a在[0, +∞)上单调递增，那么a≤2或a≥4.因为{a|a≤0}⫋{a|a≤2或a≥4}，所以“a≤0〞是“函数f(x)在[0, +∞)上单调递增〞的充分而不必要条件．应选A.11.【答案】B【解析】将函数看作是复合函数，令g(x)=x3−ax，且g(x)>0，得x∈(−√a, 0)∪(√a, +∞)，因为函数是高次函数，所以用导数来判断其单调性，再由复合函数“同增异减〞求得结果．【解答】解：设g(x)=x3−ax，g(x)>0，得x∈(−√a, 0)∪(√a, +∞)，g′(x)=3x2−a，x∈(−√a3, 0)时，g(x)递减，x ∈(−√a, −√a 3)或x ∈(√a, +∞)时，g(x)递增．∵ 当a >1时，(−√a3, 0)为f(x)的减区间，不合题意；当0<a <1时，(−√a 3, 0)为f(x)的增区间，∵ −12≥−√a 3，∵ a ∈[34, 1).应选B ．12. 【答案】 D 【解析】令g (x )=2x ln x −x ，ℎ(x )=ax −a ，因为仅存在两个正整数x 0使得f (x 0)<0，仅有两个整数使得g (x )<ℎ(x )，利用函数的导数求解函数的最小值，列出不等式组，转化求解即可． 【解答】解：令g (x )=2x ln x −x ，ℎ(x )=ax −a ，因为仅存在两个正整数x 0，使得f (x 0)<0，即仅有两个整数使得g (x )<ℎ(x ) ，g ′(x )=2ln x +1 ，令g ′(x )=0，解得x =e −12，且当x <e −12,g ′(x )<0，当x >e −12，g ′(x )>0，所以g (x )min =g (e −12)=−2e −12且g (1)=−1<0，ℎ(1)=0，所以当x =1时，g (x )<ℎ(x ).作图如下，观察图可知另一个满足条件的整数为2，所以{g (2)<ℎ(2),g (3)≥ℎ(3),代入解得 {4ln 2−2<a,a ≤3ln 3−32.综上，a 的取值范围为4ln 2−2<a ≤3ln 3−32.应选D ． 二、填空题【答案】[2,+∞)【解析】由题意得到log 2x −1≥0，解不等式即可求解. 【解答】解：要使函数f (x )=√log 2x −1有意义，那么log 2x −1≥0，解得x ≥2，故函数的定义域为[2,+∞).故答案为：[2,+∞). 【答案】 y =4x −3 【解析】先求导函数，求出切线的斜率，再求切线的方程． 【解答】解：求导函数，可得y ′=3ln x +4，当x =1时，y ′=4，所以曲线y =x(3ln x +1)在点(1, 1)处的切线方程为y −1=4(x −1)，即y =4x −3．故答案为：y =4x −3. 【答案】 ln 3+π2【解析】由题意得到∫(1x +√1−(x −2)2)31dx =∫1x 31dx +∫√1−(x −2)231dx ，再利用定积分的几何意义进行求解即可. 【解答】解：∫(1x +√1−(x −2)2)31dx =∫1x 31dx +∫√1−(x −2)231dx =ln x|13+∫√1−(x −2)231dx=ln 3+∫√1−(x −2)231dx ，由定积分的几何意义可知：∫√1−(x −2)231dx 表示半圆(x −2)2+y 2=1(y ≥0)与x 轴围成的图形的面积，其面积为π2，所以∫(1x +√1−(x −2)2)31dx =ln 3+π2.故答案为：ln 3+π2.【答案】 [−1,e −1]【解析】求出f(x)的解析式为f(x)=e x ，结合函数图象即可得出a 的范围．此题考查了函数解析式的求解，函数恒成立问题与函数图象的关系，属于中档题． 【解答】解：∵ f ′(x)>0，∵ f(x)为增函数，∵ f(f(x)−e x )=1，∵ 存在唯一一个常数x 0，使得f(x 0)=1，∵f(x)−e x =x 0，即f(x)=e x +x 0，令x =x 0可得e x 0+x 0=1，∵ x 0=0，故而f(x)=e x .∵ f(x)≥ax +x 恒成立，即e x≥x(a +1)恒成立．∵ y =e x的函数图象在直线y =x(a +1)上方，不妨设直线y =(k +1)x与y =e x 的图象相切，切点为(x 1, y 1)，那么{y 1=(k +1)x 1，y 1=e x 1，e x 1=k +1，解得x 1=1，k =e −1． 函数图象如下图，∵ 当0≤a +1≤e ，即−1≤a ≤e −1时，y =e x 的函数图象在直线y =x(a +1)上方，即f(x)≥ax +x 恒成立.故答案为：[−1,e −1]． 三、解答题 【答案】解：(1)由角α的终边过点P (−35,−45)得sin α=−45，所以sin (α+π)=−sin α=45．(2)由角α的终边过点P (−35,−45)得cos α=−35，由sin (α+β)=513，得cos (α+β)=±1213．由β=(α+β)−α，得cos β=cos (α+β)cos α+sin (α+β)sin α，所以cos β=−5665或cos β=1665． 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)由角α的终边过点P (−35,−45)得sin α=−45，所以sin (α+π)=−sin α=45．(2)由角α的终边过点P (−35,−45)得cos α=−35，由sin (α+β)=513，得cos (α+β)=±1213．由β=(α+β)−α，得cos β=cos (α+β)cos α+sin (α+β)sin α，所以cos β=−5665或cos β=1665． 【答案】解：(1)f(x)定义域为R ，f(−x)=−bx ax 2+1=−f(x)，故f(x)是奇函数．(2)由f(1)=ba+1=12得，a −2b +1=0.又因为log 3(4a −b)=1，所以4a −b =3.由{a −2b +1=0，4a −b =3解得a =1，b =1．【解析】〔1〕直接根据函数的解析式求得f(−x)与f(x)的关系，进而根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性． 〔2〕先根据f(1)求得a 和b 的关系式，进而根据log 3(4a −b)=1求得a 和b 的另一个关系式，联立方程，求得a 和b ． 【解答】解：(1)f(x)定义域为R ，f(−x)=−bx ax 2+1=−f(x)，故f(x)是奇函数．(2)由f(1)=ba+1=12得，a −2b +1=0.又因为log 3(4a −b)=1，所以4a −b =3.由{a −2b +1=0，4a −b =3解得a =1，b =1．【答案】解∵(1)由f (x )=x −1+a ex ，得f ′(x )=1−a e x，又曲线y =f (x )在点(1,f(1))处的切线平行于x 轴，得f ′(1)=0，即1−ae =0，解得a =e .(2)f ′(x )=1−ae x ，①当a ≤0时，f ′(x )>0，f(x)为(−∞,+∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值．②当a >0时，令f ′(x )=0，得e x =a ，x =ln a .当x ∈(−∞,ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a,+∞)时，f ′(x )>0 ，所以f (x )在(−∞,ln a )上单调递减，在(ln a,+∞)上单调递增，故f(x)在x =ln a 处取得极小值，且极小值为f (ln a )=ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f(x)无极值；当a >0，f (x )在x =ln a 处取得极小值ln a ，无极大值． 【解析】 . . 【解答】解∵(1)由f (x )=x −1+ae x ，得f ′(x )=1−ae x ，又曲线y =f (x )在点(1,f(1))处的切线平行于x 轴，得f ′(1)=0，即1−ae =0，解得a =e .(2)f ′(x )=1−ae x ，①当a ≤0时，f ′(x )>0，f(x)为(−∞,+∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值．②当a >0时，令f ′(x )=0，得e x =a ，x =ln a .当x ∈(−∞,ln a )时，f ′(x )<0；当x ∈(ln a,+∞)时，f ′(x )>0 ，所以f (x )在(−∞,ln a )上单调递减，在(ln a,+∞)上单调递增，故f(x)在x =ln a 处取得极小值，且极小值为f (ln a )=ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f(x)无极值；当a >0，f (x )在x =ln a 处取得极小值ln a ，无极大值． 【答案】解：(1)∵ f(x)是二次函数，且f(x)<0的解集是(0, 5)，∵ 可设f(x)=ax(x −5)(a >0)．∵ f(x)在区间[−1, 4]上的最大值是f(−1)=6a ．由得6a =12，∵ a =2，∵ f(x)=2x(x −5)=2x 2−10x(x ∈R)． (2)方程f(x)+37x=0等价于方程2x 3−10x 2+37=0．设ℎ(x)=2x 3−10x 2+37，那么ℎ′(x)=6x 2−20x =2x(3x −10)．在区间x ∈(0,103)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)是减函数；在区间(−∞, 0)，(103，+∞)上，ℎ′(x)>0，ℎ(x)是增函数，故ℎ(0)是极大值，ℎ(103)是极小值．∵ ℎ(3)=1>0，ℎ(103)=−127<0，ℎ(4)=5>0，∵ 方程ℎ(x)=0在区间(3,103)，(103,4)内分别有唯一实数根，故函数ℎ(x)在(3, 4)内有2个零点．而在区间(0, 3)，(4, +∞)内没有零点，在(−∞, 0)上有唯一的零点．画出函数ℎ(x)的单调性和零点情况的简图，如下图,∴ 存在惟一的自然数m =3，使得方程f(x)+37x=0在区间(m, m +1)内有且只有两个不同的实数根． 【解析】〔1〕根据二次函数小于0的解集，设出解析式，利用单调性求得最大值，解出待定系数．〔2〕将方程等价转化ℎ(x)=0，利用ℎ(x)的导数判断其单调性，利用单调性判断ℎ(x)=0的根的情况． 【解答】解：(1)∵ f(x)是二次函数，且f(x)<0的解集是(0, 5)，∵ 可设f(x)=ax(x −5)(a >0)．∵ f(x)在区间[−1, 4]上的最大值是f(−1)=6a ．由得6a =12，∵ a =2，∵ f(x)=2x(x −5)=2x 2−10x(x ∈R)． (2)方程f(x)+37x=0等价于方程2x 3−10x 2+37=0．设ℎ(x)=2x 3−10x 2+37，那么ℎ′(x)=6x 2−20x =2x(3x −10)．在区间x ∈(0,103)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)是减函数；在区间(−∞, 0)，(103，+∞)上，ℎ′(x)>0，ℎ(x)是增函数，故ℎ(0)是极大值，ℎ(103)是极小值．∵ ℎ(3)=1>0，ℎ(103)=−127<0，ℎ(4)=5>0，∵ 方程ℎ(x)=0在区间(3,103)，(103,4)内分别有唯一实数根，故函数ℎ(x)在(3, 4)内有2个零点．而在区间(0, 3)，(4, +∞)内没有零点，在(−∞, 0)上有唯一的零点．画出函数ℎ(x)的单调性和零点情况的简图，如下图,∴ 存在惟一的自然数m =3，使得方程f(x)+37x=0在区间(m, m +1)内有且只有两个不同的实数根． 【答案】解：(1)由题意知，f ′(x)=1x −(e x +xe x )+a =1x −(x +1)e x +a ≤0 在[1, +∞)上恒成立，所以a ≤(x +1)e x −1x 在[1, +∞)上恒成立．令g(x)=(x +1)e x −1x ，那么g ′(x)=(x +2)e x +1x 2>0，所以g(x)在[1, +∞)上单调递增，所以g(x)min =g(1)=2e −1，所以a ≤2e −1．(2)当a =1时，f(x)=ln x −xe x +x ，那么f ′(x)=1x −(x +1)e x +1=(x +1)(1x −e x )，令m(x)=1x −e x ，那么m ′(x)=−1x 2−e x <0，所以m(x)在(0, +∞)上单调递减．由于m(12)>0，m(1)<0，所以存在x 0>0满足m(x 0)=0，即e x 0=1x 0．当x ∈(0, x 0)时，m(x)>0，f ′(x)>0；当x ∈(x 0, +∞)时，m(x)<0，f ′(x)<0．所以f(x)在(0, x 0)上单调递增，在(x 0, +∞)上单调递减．所以f(x)max =f(x 0)=ln x 0−x 0e x 0+x 0.因为e x 0=1x 0，所以x 0=−ln x 0，所以f(x 0)=−x 0−1+x 0=−1，所以f(x)max =−1．【解析】〔1〕由题意别离参数，将原问题转化为函数求最值的问题，然后利用导函数即可确定实数a 的取值范围；〔2〕结合函数的解析式求解导函数，将其分解因式，利用导函数研究函数函数的单调性，最后利用函数的单调性结合函数的解析式即可确定函数的最值． 【解答】解：(1)由题意知，f ′(x)=1x −(e x +xe x )+a =1x −(x +1)e x +a ≤0 在[1, +∞)上恒成立，所以a ≤(x +1)e x −1x在[1, +∞)上恒成立．令g(x)=(x +1)e x −1x，那么g ′(x)=(x +2)e x +1x 2>0，所以g(x)在[1, +∞)上单调递增，所以g(x)min =g(1)=2e −1，所以a ≤2e −1．(2)当a=1时，f(x)=ln x−xe x+x，那么f′(x)=1x −(x+1)e x+1=(x+1)(1x−e x)，令m(x)=1x−e x，那么m′(x)=−1x2−e x<0，所以m(x)在(0, +∞)上单调递减．由于m(12)>0，m(1)<0，所以存在x0>0满足m(x0)=0，即e x0=1x0．当x∈(0, x0)时，m(x)>0，f′(x)>0；当x∈(x0, +∞)时，m(x)<0，f′(x)< 0．所以f(x)在(0, x0)上单调递增，在(x0, +∞)上单调递减．所以f(x)max=f(x0)=ln x0−x0e x0+x0.因为e x0=1x0，所以x0=−ln x0，所以f(x0)=−x0−1+x0=−1，所以f(x)max=−1．【答案】解：(1)f(x)定义域为(0, +∞)，f′(x)=2ax+(a−2)−1x=2ax2+(a−2)x−1x=(2x+1)(ax−1)x ．由，得f′(1)=0，解得a=1．当a=1时，f′(x)=(2x+1)(x−1)x．所以f′(x)<0⇔0<x<1，f′(x)>0⇔x>1．所以f(x)单调递减区间为(0, 1)，单调递增区间为(1, +∞)．所以函数f(x)在x=1时取得极小值，其极小值为f(1)=0，符合题意，所以a=1．(2)令f′(x)=(2x+1)(ax−1)x =0，由0<a<1，得x=1a>1．所以f′(x)<0⇔0<x<1a，f′(x)>0⇔x>1 a ．所以f(x)减区间为(0,1a)，增区间为(1a,+∞)．所以函数f(x)在x=1a时取得极小值，其极小值为f(1a)=ln a+1−1a ．因为0<a<1，所以ln a<0,1a>1．所以1−1a<0，所以f(1a)=ln a+1−1a<0．因为f(1e)=a e2+(a−2)e+1>(a−2)e+1=(a−2+e)e，又因为0<a<1，所以a−2+e>0，所以f(1e)>0．根据零点存在定理，函数f(x)在(0,1a)上有且仅有一个零点．因为x>ln x，f(x)=ax2+(a−2)x−ln x>ax2+(a−2)x−x=x(ax+a−3)．令ax+a−3>0，得x>3−aa ．又因为0<a<1，所以3−aa>1a，所以当x>3−aa时，f(x)>0．根据零点存在定理，函数f(x)在(1a,+∞)上有且仅有一个零点．所以，当0<a<1时，f(x)有两个零点．【解析】( I)求出函数的f(x)定义域为(0, +∞)，导函数．通过导函数的符号判断函数的单调性然后求解函数的极值，推出a即可．( II )令f′(x)=(2x+1)(ax−1)x =0，由0<a<1，得x=1a>1．求出函数的单调区间以及函数的极值，利用函数零点判断定理转化推出结果即可．【解答】解：(1)f(x)定义域为(0, +∞)，f′(x)=2ax+(a−2)−1x =2ax2+(a−2)x−1x=(2x+1)(ax−1)x．由，得f′(1)=0，解得a=1．当a=1时，f′(x)=(2x+1)(x−1)x．所以f′(x)<0⇔0<x<1，f′(x)>0⇔x>1．所以f(x)单调递减区间为(0, 1)，单调递增区间为(1, +∞)．所以函数f(x)在x=1时取得极小值，其极小值为f(1)=0，符合题意，所以a=1．(2)令f′(x)=(2x+1)(ax−1)x=0，由0<a<1，得x=1a>1．所以f′(x)<0⇔0<x<1a，f′(x)>0⇔x>1a．所以f(x)减区间为(0,1a)，增区间为(1a,+∞)．所以函数f(x)在x=1a时取得极小值，其极小值为f(1a)=ln a+1−1a．因为0<a<1，所以ln a<0,1a>1．所以1−1a<0，所以f(1a)=ln a+1−1a<0．因为f(1e)=ae2+(a−2)e+1>(a−2)e+1=(a−2+e)e，又因为0<a<1，所以a−2+e>0，所以f(1e)>0．根据零点存在定理，函数f(x)在(0,1a)上有且仅有一个零点．因为x>ln x，f(x)=ax2+(a−2)x−ln x>ax2+(a−2)x−x=x(ax+a−3)．令ax+a−3>0，得x>3−aa．又因为0<a<1，所以3−aa>1a，所以当x>3−aa时，f(x)>0．根据零点存在定理，函数f(x)在(1a,+∞)上有且仅有一个零点．所以，当0<a<1时，f(x)有两个零点．。
2021届吉林省榆树市第一高级中学高三上学期10月月考数学(理)试题(解析版)
2021届吉林省榆树市第一高级中学高三上学期10月月考数学（理）试题一、单选题1．若{}1,2,3,4A =，{}2,4,5,6N =，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．{1,3,6}B ．5,6C ．{2,4}D ．{1,2,3,4,5,6}【答案】C【分析】图中阴影部分表示集合公共部分，即交集. 【详解】图中阴影部分表示集合的交集，得{}2,4A B =.故选：C.2．下列命题中是真命题的是（ ） A ．2x >是1x >的必要不充分条件 B ．x ∀∈R ，()2lg 10x +≥ C ．若p q ∨是真命题，则p 是真命题 D ．若x y <，则22x y <的逆否命题【答案】B【分析】分别根据充分不必要条件的定义，函数lg y x =的值域，复合命题的真假判断，不等式的性质可逐项判断得出答案.【详解】A. 2x >⇒1x >，1x >不一定得到2x >，如=1.5x ，所以2x >是1x >的充分不必要条件，错误；B. x ∀∈R ，则211x +≥，所以()2lg 10x +≥，正确；C. 若p q ∨是真命题，则p 真q 假、p 假q 真，或p 真q 真，错误；D. 若2,1x y =-=，则22x y >，原命题错误，所以逆否命题错误. 【点睛】（1）充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（2）复合p q ∨命题真假的判断，若p q ∨是真命题，则p 真q 假、p 假q 真，或p 真q 真；若p q ∨是假命题，则p 假q 假.3．某班级从6名男生，3名女生中选派6人参加社区宣传活动，如果要求至少有1名女生参加，那么不同的选派方案种数为（ ） A ．83 B ．84 C ．72 D ．75【答案】A【分析】从反面入手，至少有1名女生的反面是没有女生，由此易得结论．【详解】至少有1名女生的反面是全是男生，因此所求方法数为669683C C -=．故选：A ． 4．设0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若()22sin ()cos 212πθπθ+++=，则θ=（ ） A ．,64ππB ．,24ππC ．,63ππD ．,62ππ 【答案】D 【分析】由()22sin ()cos 212πθπθ+++=，得22cos cos 21θθ+=，从而可得cos2sin θθ=或cos2sin θθ=-，得212sin sin θθ-=或212sin sin θθ-=-，然后再结合0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可求出答案 【详解】解：由()22sin ()cos 212πθπθ+++=，得22cos cos 21θθ+=，所以22cos 2sin θθ=，所以cos2sin θθ=或cos2sin θθ=-，212sin sin θθ-=或212sin sin θθ-=-，由212sin sin θθ-=，得(sin 1)(2sin 1)0θθ+-=， 解得sin 1θ=-或1sin 2θ=， 因为0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以1sin 2θ=，得6πθ=， 由212sin sin θθ-=-，得(sin 1)(2sin 1)0θθ-+=， 解得sin 1θ=或1sin 2θ=-， 因为0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 1θ=，得2πθ=， 综上，6πθ=或2πθ=故选：D5．某校200名学生数学竞赛成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则该次数学成绩在[50,60)内的人数为（ ）A ．20B ．15C ．10D ．5【答案】C【分析】由频率分布直方图，先求出该次数学成绩在[)50,60内的频率，由此能求出该次数学成绩在[)50,60内的人数. 【详解】由频率分布直方图得， 该次数学成绩在[)50,60内的频率为：()110.040.030.02100.052---⨯=， ∴该次数学成绩在[)50,60内的人数为2000.0510⨯=， 故选：C6．已知向量,a b 满足||1a =，||2b =，且a 与b 的夹角为4π，则|2|a b -=（ ） A 2 B ．23C ．1D ．22【答案】A【分析】由于22|2|(2)44a b a b a a b b -=-=-⋅+【详解】解：因为||1a =，||2b =，且a 与b 的夹角为4π， 所以22|2|(2)44a b a b a a b b -=-=-⋅+2244cos4a ab b π=-+2442222=-⨯+=，故选：A7．函数ln1()xf xx+=的图像可能（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据函数是奇函数可排除AB ，取特殊值可排除C. 【详解】可知()f x 的定义域为{}0x x ≠关于原点对称，()()ln 1ln 1x x f x f x x x-++-==-=--， ()f x ∴是奇函数，图象关于原点对称，故AB 错误； ()ln 31303f +=>，故C 错误，故D 正确. 故选：D.8．已知方程ln 62x x =-的根为0x ，且*0(,1),x k k k N ∈+∈，则k =（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】A【分析】将方程的根转化为函数的零点，用零点存在性定理判断零点所在的区间. 【详解】方程ln 62x x =-的根为0x函数()ln 26f x x x =+-的零点为0x 当2k =时，区间为()2,3而()2ln 2226ln 22f =+⨯-=-，又2ln 2ln 2e <= 所以()2ln 220f =-<而()3ln3236ln3ln10f =+⨯-=>=，即()30f > 由零点存在性定理知，在区间()2,3内有零点故选：A.【点睛】方程的根即为对应函数的零点，也为函数与x 轴交点的横坐标，故求方程的根可转化为函数的零点问题.判断零点所在的区间，用到零点的存在性定理.9．若函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，则()6f π-的值为（ ）A ．1B ．1-C 3D ．3【答案】B【分析】由振幅求A ，由图中34T 求ω，最后将一个特殊点代入求ϕ. 【详解】由图可知振幅A=2311341264T πππ=-= T π∴=又2T πω∴=2ω∴=∴()2sin(2)f x x ϕ=+将点,26π⎛⎫⎪⎝⎭代入得22sin()3πϕ=+且0ϕπ<<6πϕ∴=()2sin(2)6πf x x ∴=+()2sin()2sin 16366f ππππ⎛⎫∴-=-+=-=- ⎪⎝⎭故选：B.10．已知1a e π=，log eb π=，lnc π=，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．a b c >>【答案】A【分析】根据指数函数及对数函数的性质分别判断a ,b .c 的范围,即可得解. 【详解】因为101a e e π=>=，121log e log ()log 2b e e πππ===，1ln ln 2c ππ==，又log 1log 1e og ππππ<<，即1(0,)2b ∈， 由2ln ln ln e e π<<，即1(,1)2c ∈， 所以a c b >>， 故选：A11．风雨桥是侗族最具特色的建筑之一．风雨桥由桥、塔、亭组成．其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．如图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影．其正六边形的边长计算方法如下：110001A B A B B B =-，221112A B A B B B =-，332223A B A B B B =-，…，111n n n n n n A B A B B B ---=-，其中*1231201,N n n B B B B B B B B n -====∈．根据每层边长间的规律．建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料．所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关．某一风雨桥亭、塔共5层，若006A B =，011B B =．则这五层正六边形的周长总和为（ ）A ．100B ．110C ．120D ．130【答案】C【分析】根据等差数列的定义，结合已知可以判断数列{}(N ,15)n n n n A B *∈≤≤是等差数列，利用等差数列前n 项和公式进行求解即可.【详解】由已知得：111n n n n n n A B A B B B ---=-，12312011n n B B B B B B B B -=⋅⋅⋅====，因此数列{}(N ,15)n n n n A B *∈≤≤是以1006a A B ==为首项，公差为1d =-的等差数列，设数列{}(N ,15)n n n n A B *∈≤≤前5项和为5S ，因此有5111554565412022S a d =+⨯⨯⋅=⨯-⨯⨯⨯=， 所以这五层正六边形的周长总和为56620120S =⨯=. 故选：C.12．已知奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，若当(1,1)x ∈-时1()lg1xf x x+=-，且(2021)2f a -=(01)a <<，则实数a =（ ）A ．299B ．2101C ．2103D ．2105【答案】B 【分析】由(1)(1)f x f x -=+得函数图象有对称轴1x =，再结合奇函数得函数是周期函数，其中4是一个周期，这样利用周期性可求函数值(2021)f a -，从而求解． 【详解】∵(1)(1)f x f x -=+，∴直线1x =是()f x 的一个对称轴，又()f x 是奇函数，关于原点对称，()f x 是周期函数，所以4是一个周期． 又01a <<，则2(2021)(1)lg 2a f a f a a --=-==，解得2101a =． 故选：B ．【点睛】结论点睛：本题考查函数的奇偶性与对称性，考查周期性．一般函数由两个对称性可得周期性：ab ，（1）若()f x 的图象关于点(,0)a 和点(,0)b 对称，则()f x 是周期函数，2a b -是它的一个周期；（2）若()f x 的图象关于直线x a =和x b =对称，则()f x 是周期函数，2a b -是它的一个周期；（3）若()f x 的图象关于点(,0)a 成中心对称同，又关于直线x b =成轴对称，则()f x 是周期函数，4a b -是它的一个周期．二、填空题13．已知函数()42,13,1x x f x x x +<⎧=⎨-+≥⎩，则()3f 的值为_____________.【答案】0【分析】代入解析式计算()3f 即可. 【详解】()3330f =-+=. 故答案为：0 14．()121xdx -+=⎰__________.【答案】23【分析】直接利用微积分的基本定理求解.【详解】()11230012133|x dx x x ⎛⎫-+=-+= ⎪⎝⎭⎰， 故答案为：2315．已知双曲线与椭圆221166x y +=有相同的焦点，且双曲线的渐近线方程为13y x =±，则此双曲线方程为_________.【答案】2219x y -=【分析】求出椭圆焦点坐标，即双曲线焦点坐标，有c 的值，渐近线方程得b a 13=，利用222+=a b c 可解得,a b 得双曲线方程．【详解】由题意椭圆焦点为(，∴c =设双曲线方程为22221x y a b -=(0,0a b >>)，则13b a =，由2221310b a a b c ⎧=⎪⎨⎪+==⎩，解得31a b ==． ∴双曲线方程为2219x y -=．故答案为：2219x y -=．【点睛】易错点睛：本题考查是椭圆与双曲线的综合问题，解题中要注意椭圆有222a b c =+，双曲线中222+=a b c ，两者关系不相同，不能混淆．否则易出错．16．函数[]y x =称为取整函数，也称高斯函数，其中不超过实数x 的最大整数称为x 的整数部分，例如：[]1.31=，设函数()xe f x x x=-，则函数()()g x f x =⎡⎤⎣⎦在[]2,3x ∈的值域为______．（其中： 2.718e ≈，27.389e ≈，320.086e ≈） 【答案】{}1,2,3【分析】求导得22(1)()x x e x f x x --'=，令2()(1)x h x x e x =--，再次求导后可推出()h x 在[2，3]上单调递增，故有()0h x >，从而得()f x 在[2，3]上单调递增，再求出()f x 在[2，3]上的最大值和最小值即可． 【详解】解：()xe f x x x=-，22(1)()x x e x f x x --'∴=， 令2()(1)xh x x e x =--，则()(2)xh x x e '=-，[2x ∈，3]，()0h x '∴>，即()h x 在[2，3]上单调递增，()h x h ∴（2）22(2)0e =->，即()0f x '>，()f x ∴在[2，3]上单调递增，()(2)minf x f ∴=22 1.692e =-≈；()(3)max f x f =33 3.703e =-≈，()[()]g x f x ∴=在[2x ∈，3]上的值域为{1，2，3}．故答案为：{1，2，3}．【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，需要构造函数，多次求导来确定函数的单调性，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力.三、解答题 17．已知函数()af x x 经过点(2,4)P ，2()xbe g x x=.（1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数()()()F x f x g x =⋅，若()F x 的图象与直线:l y ex =相切，求b 值. 【答案】（1）2()f x x =；（2）1.【分析】（1）代入已知点的坐标可得()f x 的解析式； （2）设切点为为00(,)x y ，然后利用导数的几何意义求解．【详解】（1）由题意(2)24a f ==，2a =，∴2()f x x =；（2）由（1）()xF x be =，设切点为00(,)Q x y ， ()x F x be '=，∴()00x F x be e '==，又()000x F x be ex ==，两者结合可解得01x =，1b =．【点睛】方法点睛：本题导数的几何意义．求函数()y f x =的切线方程的方法：（1）若求函数()f x 的图象在00(,)P x y 处的切线，则只要求得()'f x ，由0()f x '是切线斜率可得切线方程；（2）若求过00(,)P x y 的切线方程，则一般设切点为11(,)Q x y ，由（1）求出在Q 点的切线方程111()()y y f x x x '-=-，由切线过点00(,)P x y 求出切点坐标，得切线方程．已知切线方程也是同样求解．18．已知在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且21cos 2cos 20B C +-=. （Ⅰ）求sin :sin B C 的值（Ⅱ）若a =3A π=，求b 的值.【答案】（Ⅰ）sin :sin 2B C =；（Ⅱ）2b =.【分析】（Ⅰ）根据二倍角公式和同角三角函数的关系化简可得22sin 4sin B C =，即得sin 2sin B C =；（Ⅱ）由正弦定理得2b c =，结合余弦定理即可求出b .【详解】（Ⅰ）21cos 2cos 20B C +-=，()()2211sin 212sin 0B C ∴+---=，即22sin 4sin B C =，sin 0,sin 0B C >>，sin 2sin B C ∴=，即sin :sin 2B C =；（Ⅱ）由（Ⅰ）sin :sin 2B C =，根据正弦定理:2b c =，即2b c =，则由余弦定理2222cos a b c bc A =+-， 即22132222b b b b ⎛⎫=+-⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得2b =.19．已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，若22a +，31a +，4a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b的前n 项和n S ． 【答案】（Ⅰ）n a n =；（Ⅱ）1n n S n =+. 【分析】（Ⅰ）根据等差数列的通项公式与等比中项定义，求得数列{}n a 的通项公式． （Ⅱ）将数列{n a }的通项公式带入，根据裂项法求数列{}n b 的前n 项和．【详解】（Ⅰ）因为{}n a 是首项为1的等差数列，所以设()11n a n d =+-， 因为42321a a a ++，，成等比数列，所以()()423212a a a +=+， ()()()222313d d d +=++，解得1d =，于是n a n =．（Ⅱ）111(1)1n b n n n n ，11111111223413n S n n =-+-+-++-+ 111n =-+=1n n +， 1n n S n ∴=+． 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于设出等差数列的基本量列方程求出通项和利用裂项求和的方法进行求解，本题难度属于中等20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，平面PAC ⊥底面ABCD ，PA PC AC ==.（1）证明：AC PB ⊥；（2）若PB 与底面所成的角为45︒，求二面角B PC A --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）5. 【分析】（1）要求证AC PB ⊥；只需根据线面垂直判断定理求证AC ⊥平面PBD ，即可求得答案.（2）以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，求出平面BPC 的一个法向量n 和平面APC 的一个法向量m ，根据cos ,m n m n m n⋅=，即可求得答案. 【详解】（1）连接BD 交AC 于O ，底面ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥.PA PC =，O 为AC 的中点，∴AC PO ⊥.又BD PO O =，BD ⊂平面PBD ，PO ⊂平面PBD ，∴AC ⊥平面PBD .又PB ⊂平面PBD ，∴AC PB ⊥.（2）因为PA PC =，O 为AC 的中点，∴PO AC ⊥.又平面PAC ⊥底面ABCD ，平面PAC 底面ABCD AC =，PO ⊂平面PAC ， ∴PO ⊥底面ABCD ，∴OB ，OC ，OP 两两垂直.以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，PB 与底面所成的角即为45PBO ∠=︒，∴OB OP =. 设3OP =1OC =，3OB = ∴)3,0,0B ，()0,1,0C ，(3P ，()0,1,0A - (3,0,3BP =-，()3,1,0BC =-.设平面BPC 的一个法向量为(),,n x y z =，则 00n BP n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即33030x z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 令1x =，得()1,3,1n =，又平面APC 的一个法向量为()3,0,0m OB ==， ∴35cos ,553m n m n m n ⋅===⨯. 又二面角B PC A --为锐角，∴二面角B PC A --5.【点睛】本题主要考查了异面直线垂直和二面角的余弦值，解题关键是掌握将线线垂直转化为线面垂直的证法和向量法求二面角的步骤，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.21．已知：函数()(1)ln()f x ax x ax =+-.（1）当1a =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 在(0,)x ∈+∞上单调递增，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()0,∞+单调递增；（2）[]0,e . 【分析】（1）由1a =得到()()1ln()f x x x x =+-，求导1ln 1()ln x x f x x x x+'=+=，再讨论其正负即可.（2）根据()f x 在(0,)x ∈+∞上单调递增，则1()ln 0f x a x x'=+≥，(0,)x ∈+∞恒成立，转化ln 10ax x +≥，(0,)x ∈+∞恒成立，令()ln 1h x ax x =+求其最小值即可.【详解】（1）当1a =时，()()1ln()f x x x x =+-， 所以1ln 1()ln x x f x x x x+'=+=， 令()ln 1g x x x =+，则()1ln g x x '=+， 当10x e <<时，()0g x '<，()g x 递减； 当1x e>时，()0g x '>，()g x 递增； 所以()g x 取得最小值1110g e e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， 所以()0f x '>在()0,∞+上成立，所以()f x 在()0,∞+上递增；（2）因为()f x 在(0,)x ∈+∞上单调递增， 所以1()ln 0f x a x x'=+≥，(0,)x ∈+∞恒成立， 即ln 10ax x +≥，(0,)x ∈+∞恒成立，令()ln 1h x ax x =+，则()()1ln h x a x '=+，当0a >时，当10x e <<时，()0h x '<，()h x 递减； 当1x e>时，()0h x '>，()h x 递增； 所以()h x 取得最小值11a h e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以10a e-≥ 0a e <≤ 当0a <时，易知()ln 11a h x ax x e =+≤-，不成立， 当a =0时，()10h x =>成立，综上：0a e ≤≤，所以实数a 的取值范围[]0,e .【点睛】方法点睛：1、利用导数研究函数的单调性，当f (x )不含参数时，关键在于准确判定导数的符号；当f (x )含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论． 2、可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，构建不等式求解，要注意“＝”是否取到．22．在平面直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2223sin 12ρρθ+=.（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程（Ⅱ）若(1,0)P ，直线l 与曲线C 交于,M N ，求PN PM +的值 【答案】（Ⅰ）0l y --=，22:143x y C +=；（Ⅱ）165PN PM +=. 【分析】（1）根据直线l 的参数方程消去参数，即可得出直线l 的普通方程；根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可得出曲线的直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，根据点(1,0)P 在曲线C 的内部，得到PN PM MN +=，利用参数的方法求出弦长MN ，即可得出结果.【详解】（1）由112x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去参数t ，可得1x y -=，0y --=，即直线l0y --=；由2223sin 12ρρθ+=，化为直角坐标方程可得2223312x y y ++=，整理得22143x y +=，即曲线C 的直角坐标方程为22143x y +=； （2）将1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22143x y +=得2213141222t ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得254120t t +-=，由t 的几何意义知，不妨记1PN t =，2PM t =，则1245t t +=-，12125t t =-，又2210143+<，则点()1,0P 在椭圆22143x y +=内，因此12165PA PM MN t t +==-===. 【点睛】方法点睛：极坐标方程与直角坐标方程互化的方法，即四个公式：tan y xρθ==，cos ,sin x y ρθρθ== 利用直线的参数方程求直线与圆锥曲线相交的弦长，方法是：（1）将直线参数方程代入圆锥曲线方程，得到关于参数t 的一元二次方程；（2）利用韦达定理写出12t t +，12t t ；（3）利用弦长公式12AB t t =-=.。
吉林省榆树市第一高级中学2021届高三上学期期末备考卷(A) 数学(文)试卷
吉林省榆树市一中2020-2021学年上学期高三期末备考卷文科数学（A ）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集U =R ，集合{|02}A x x =≤<，则UA =（ ）A ．∅B ．{|0}x x <C ．{|2}x x ≥D ．{|0x x <或2}x ≥ 3．等差数列{}n a 满足31154310a a a +-=，则4a =（ ） A ．5-B ．0C ．5D ．104．已知抛物线24y x =上的点M 到焦点的距离为5，则点M 的横坐标为（ ） A ．1B ．4C ．6D ．105．已知向量(,2)t =-a ，(2,4)t =--b ，则“⊥a b ”是“2t =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知2sin cos αα=，0πα<<，则sin 2cos2αα+=（ ） A ．15B ．15-C ．35D ．757．执行如图所示的程序框图，当输入2019i =时，输出的结果为（ ）A ．1009-B ．1009C ．1010-D ．30288．在ABC △中，CA CB ⊥，1CA CB ==，D 为AB 的中点，将向量CD 绕点C 按逆时针方向旋转90︒得向量CM ，则向量CM 在向量CA 方向上的投影为（ ）A ．1-B ．1C ．12- D ．129．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+π(0,||,0)2A ϕω><>的图像的一部分如图，则函数()()1g x f x =-的图像的对称中心为（ ）A ．ππ(,0)26k +，k ∈Z B ．ππ(,1)26k +-，k ∈Z C ．ππ(,0)212k -，k ∈ZD ．ππ(,1)212k --，k ∈Z10．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金山五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．”其意思为“今有人持金出5关，第1关收税金为持金的12，第2关收税金为剩余金的13，第3关收税金为剩余金的14，第4关收税金为剩余金的15，第5关收税金为剩余金的16，5关所收税金之和，恰好重1斤．” 在此问题中，第3关和第4关所收税金之和为（ ） A ．110B ．18C ．425D ．21511．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点到准线的距离为2，直线1y kx =+与抛物线C 交于M 、N 两点，若存在点0(,1)Q x -使得QMN △为等边三角形，则||MN =（ ） A ．8B ．10C ．12D ．1412．若对任意的正实数x ，y 都有(2)(ln ln )02y x x y x e m--+≤成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[,0)2e-B ．1[,0)2-C ．1(,](0,)2-∞-+∞ D ．(,](0,)2e -∞-+∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知函数212,1()log (1),1x x f x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，且()3f m =-，则(6)f m -=________．14．已知变量x ，y 满足约束条件20111x y x y +-≤⎧⎪-<≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =-，则z 的取值范围是_______．15．在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin 3cos a B b A =-．若3a =ABC △周长的最大值为________．16．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:1O x y +=，直线:l y x a =+，过直线l 上点P 作圆O 的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，若存在点P 使得32PA PB PO +=，则实数a 的取值范围是________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知公差不为0的等差数列}n a 满足39a =，2a 是17,a a 的等比中项． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足1(7)n n b n a =+，求{}n b 的前n 项和n S ．18．（12分）如图，在几何体ABCDEF 中，AB CD ∥，π6ABD ∠=，1DE =，224AB CD AD ===，DE ⊥平面ABCD ，EF BD ∥且2BD EF =．（1）求证：平面ADE ⊥平面BEF ；（2）已知22AF =，求点B 到平面ADF 的距离．19．（12分）大型综艺节目《最强大脑》中，有一个游戏叫做盲拧魔方那个，就是玩家先观察魔方状态进行记忆，记住后蒙住眼睛快速还原魔方，盲拧在外人看来很神奇，其实原理是十分简单，要学会盲拧也是很容易的｡根据调查显示，是否喜欢盲拧魔方与性别有关，为了验证这个结论，某兴趣小组随机抽取了50名魔方爱好者进行调查，得到的情况如下表1所示，并邀请其中20名男生参加盲拧三阶魔方比赛，其完成情况如下表2所示： 表1表2（1）将表1补充完整，并判断能否在犯错误得概率不超过0.025的前提下认为是否喜欢盲拧与性别有关?（2）现从表2中成功完成时间在[20,30)和[30,40]这两组内的6名男生中任意抽取2人对他们的盲拧情况进行视频记录，求2人成功完成时间恰好在同一组内的概率．附参考公式及数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．20．（12分）已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>的右焦点F 与抛物线28y x =的焦点重合，且椭圆的 离心率为63，过x 轴正半轴一点(,0)m 且斜率为33-的直线l 交椭圆于A ，B 两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在实数m 使以线段AB 为直径的圆经过点F ，若存在，求出实数m 的值；若不存在说明理由．21．（12分）已知函数2()ln 2a f x x x =-的图象在点11(,())22f 处的切线斜率为0． （1）求函数()f x 的单调区间； （2）若1()()2g x f x mx =+在区间(1,)+∞上没有零点，求实数m 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为5cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩，（t 为参数，α为直线倾斜角）．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．（1）当45α=︒时，求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点C 的直角坐标为(2,0)C ，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，当ABC △面积最大时，求直线l 的普通方程．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()|1|||f x x x t =-+-．（1）当2t =时，求不等式()2f x <的解集；（2）若对于任意的[1,2]t ∈，[1,3]x ∈-，()f x a x ≥+恒成立，求实数a 的取值范围． 1． 【答案】D【解析】复数(34i)i 43i z =--=-，对应的点为(4,3)-，位于第四象限， 故选D ． 2． 【答案】D【解析】∵全集U =R ，集合{|02}A x x =≤<，∴{|0UA x x =<或2}x ≥．故选D ．3． 【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由题意可得44444()(7)3()210a d a d a d a -++-+==，则45a =，故选C ． 4． 【答案】B【解析】抛物线24y x =的准线方程为1x =-，∵抛物线24y x =上点到焦点的距离等于5，设点M 的横坐标为0x ， 根据抛物线上点到焦点的距离等于点到准线的距离，得到051x =+， ∴可得所求点的横坐标为4． 5． 【答案】B【解析】∵⊥a b ，∴222(2)(4)820t t ⋅=-+-⋅-=-=a b ，即24t =，∴2t =±， ∴由“⊥a b ”不能推出“2t =-”，由“2t =-”能推出“⊥a b ”， 即“⊥a b ”是“2t =”的必要不充分条件． 6． 【答案】D【解析】已知2sin cos αα=，若cos 0α=，则sin 0α=，这与22sin cos 1αα+=相矛盾，∴cos 0α≠，∴1tan 2α=， ∴2222222sin cos cos sin 2tan 1tan sin 2cos 2cos sin 1tan ααααααααααα+-+-+==++ 2211721()72241551()24⨯+-===+， 故选D ． 7． 【答案】B【解析】由程序框图易知12320172018(1)1(1)2(1)3(1)2017(1)2018s =-⨯+-⨯+-⨯++-⨯+-⨯，则23420182019(1)1(1)2(1)3(1)2017(1)2018s -=-⨯+-⨯+-⨯++-⨯+-⨯．错位相减，得12201820192(1)(1)(1)(1)20182018s =-+-++---⨯=，∴1009s =，故选B ． 8． 【答案】C【解析】如图，以CA ，CB 为x ，y 轴建立平面直角坐标系， 则(1,0)CA =，11(,)22CD =，得11(,)22CM =-，所以向量CM 在向量CA 方向上的投影为11212||CA CM CA -⋅==-，故选C ．9． 【答案】D【解析】由题图可知2A =，11ππ()π1212T =--=，∴2π2Tω==， ∴()2sin(2)f x x ϕ=+． 又(0)2sin 1f ϕ==，∴1sin 2ϕ=． 又ππ22ϕ-<<，∴π6ϕ=，∴π()2sin(2)6f x x =+， 即π()()12sin(2)16g x f x x =-=+-．由π2π6x k +=，k ∈Z ，得ππ212k x =-，k ∈Z ， ∴函数()g x 的图像的对称中心为ππ(,1)212k --，k ∈Z ．故选D ．10． 【答案】C【解析】设持金x 斤，则由题意可列表如下：由上表得11111()2612203026122030x x x x x x ++++=++++ 1111111115[(1)()()()()]12233445566x x =-+-+-+-+-==，即65x =， 所以第3关和第4关的税金之和为226412201515525x x x +==⨯=，故选C ． 11． 【答案】C【解析】∵2p =，241x yy kx ⎧=⎨=+⎩，2440x kx --=，4M N x x k +=，4M N x x =-，22||161641M N x x k k -=+=+，242M N y y k +=+，2||44MN k =+，作P 为MN 的中点，连接PQ ，∴||3||2PQ MN =，2||33PQ k =+ 2(2,21)P k k +，∴21:23PQ y x k k=-++， 3(24,1)Q k k +-，∴32222||(22)(22)2323PQ k k k k =+++=+22k =， ||42412MN =⨯+=．12． 【答案】B【解析】∵不等式(2)(ln ln )02y x x y x e m--+≤对x ∀，(0,)y ∈+∞恒成立， ∴(2)ln 2x y yx m e x -≥-对x ∀，(0,)y ∈+∞恒成立， 即11(2)ln 2y ym e x x -≥-⋅对x ∀，(0,)y ∈+∞恒成立， ∴(2)ln 2e y ye m x x-≥-对x ∀，(0,)y ∈+∞恒成立． 令yt x=，0t >，则()(2)ln 2ln ln t e t t e t t t ϕ=-=-，0t >， ∴2()(ln 1)et t tϕ'=-+． 当0t e <<时，()0t ϕ'>；当t e >时，()0t ϕ'<，∴函数()2ln ln t e t t t ϕ=-在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减， 即max ()()t e e ϕϕ==，∴2e e m -≥，即112m -≥，∴2102m m+≤，∴102m -≤<，即实数m 的取值范围为1[,0)2-．故选B ．13．【答案】12【解析】由212,1()log (1),1x x f x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩及()3f m =-， 得2log (1)3m -+=-，1m >或123m -=-，1m ≤，解得7m =， 所以111(6)(1)12122f m f --=-=-=-=． 14．【答案】(5,3]-【解析】由图可知A B z z z <≤，∵2(1)35A z =⨯--=-，21(1)3B z =⨯--=， ∴z 的取值范围为(5,3]-．15．32【解析】由正弦定理及sin 3cos a B b A =-，得sin sin 3sin cos A B B A ⋅=-． ∵0πB <<，∴sin 0B >，化简，得sin 3A A =-，∴tan 3A = 又∵0πA <<，∴2π3A =． 由余弦定理，得22222222232cos +()()()()24b c a b c bc A b c bc b c bc b c b c +=+-=+=+-≥+-=+． ∴223()34b c a +≤=，即2b c +≤，当且仅当1b c ==时等号成立， ∴ABC △的周长为332l a b c b c =++=+≤，即ABC △32． 16．【答案】[22,22]-【解析】取AB 中点H ，OH AB ⊥，∵PA PB =，H 为AB 中点，∴90AHP ∠=︒， ∴O ，H ，P 三点在一条直线上，2PA PB PH +=，322PH PO =，34PH PO =， 设||3PH x =，∴||4PO x =，∴OH x =，在AHO Rt △中，得222r OH AH -=，221AH x =-，①，在OAP 中运用射影定理得2AH OH PH =⋅，2233AH x x x =⋅=，②， 联立①②，2231x x =-，214x =，12x =，||42OP x ==， ∴P 点在以O 为圆心，2r =的圆上，P 轨迹224x y +=， 又∵P 点在y x a =+上，直线与圆有交点，∴2d =≤，∴a -≤≤ 17．【答案】（1）43n a n =-；（2）44n nS n =+．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为(0)d d ≠，则1211129()(6)a d a d a a d +=⎧⎨+=⋅+⎩， 解得4d =或0d =（舍去），11a =，∴14(1)43n a n n =+-=-．（2）∵1111()(7)41n n b n a n n ==-++，∴123111111111[()()()](1)4122314144n n nS b b b b n n n n =++++=-+-++-=-=+++． 18．【答案】（1）证明见解析；（2．【解析】（1）证明：在ABD △中，由正弦定理有sin sin AD ABABD ADB=∠∠．∴24πsin sin 6ADB=∠，解得sin 1ADB ∠=．∵0πADB <∠<，∴π2ADB ∠=，即AD DB ⊥． 又∵DE ⊥平面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ，∴BD DE ⊥． 又∵AD ⊂平面ADE ，DE ⊂平面ADE ，AD DE D =，BD ⊄平面ADE ，∴BD ⊥平面ADE ． 又∵BD EF ∥，∴EF⊥平面ADE ．又∵EF ⊂平面BEF ，∴平面ADE ⊥平面BEF ． （2）设点B 到平面ADF 的距离为h ． ∵BD EF ∥，∴B ，D ，E ，F 四点共面．又∵AD DB ⊥，AD DE ⊥，且DE ⊂平面BDEF ，DE ⊂平面BDEF ，DB DE D =，∴AD ⊥平面BDEF ． 又∵222DF AF AD =-=，∴122ADF S AD DF =⋅=△． 又∵1232ABD S AD BD =⋅=△， 由B ADF F ABD E ABD V V V ---==，得1133ADF ABD S h S DE ⋅⋅=⋅⋅△△，∴23132ABD ADF S h DE S =⋅=⨯=△△． 即点B 到平面ADF 的距离为3． 19．【答案】（1）表1见解析，能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为喜欢盲拧与性别有关；（2）715． 【解析】（1）由表中数据可得2250(231179) 5.223 5.024********K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，故能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为喜欢盲拧与性别有关． （2）6名男生中任意抽取2人，其基本事件的个数为15．2人成功完成时间恰好在同一组内，其基本事件的个数为7．设从完成时间在[20,30)和[30,40]这两组内的6名男生中任意抽取2人，2人完成时间恰好在同一组内为事件A ， 7()15P A =． 20．【答案】（1）22162x y +=；（2）存在，3m =．【解析】（1）∵抛物线28y x =的焦点是(2,0)，∴(2,0)F ，∴2c =，c a =，∴a =26a =，则2222b a c =-=，故椭圆的方程为22162x y +=．（2）由题意得直线l的方程为)y x m =-(0)m >，由22162)3x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，消去y ，得222260x mx m -+-=， 由2248(6)0Δm m =-->，解得m -<< 又0m >，∴0m <<设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12x x m +=，21262m x x -=，∴2121212121[)][)]()333m m y y x m x m x x x x =-⋅-=-++． ∵11(2,)FA x y =-，22(2,)FB x y =-，∴212121212462(3)(2)(2)()43333m m m m FA FB x x y y x x x x +-⋅=--+=-+++=，若存在m 使以线段AB 为直径的圆经过点F ，则必有0FA FB ⋅=， 即2(3)03m m -=，解得0m =或3m =．又0m <<3m =，即存在3m =使以线段AB 为直径的圆经过点F ． 21．【答案】（1）函数()f x 的单调递增区间是1(,)2+∞，单调递减区间是1(0,)2；（2）[2,)-+∞． 【解析】（1）2()ln 2af x x x =-，定义域为(0,)+∞， ()22a f x x x'=-， 因为1()102f a '=-=，所以1a =，21()ln 2f x x x =-，1(21)(21)()222x x f x x x x-+'=-=，令()0f x '>，得12x >；令()0f x '<，得102x <<，故函数()f x 的单调递增区间是1(,)2+∞，单调递减区间是1(0,)2．（2）211()ln 22g x x x mx =-+，由2141()20222m x mx g x x x x+-'=-+==，得8m x -+=或8m x -=（舍），设0x =，所以()g x 在0(0,)x 上是减函数，在0(,)x +∞上为增函数，因为()g x 在区间(1,)+∞上没有零点，所以()0g x >在(1,)x ∈+∞上恒成立， 由()0g x >，得1ln 22x m x x>-， 令ln ,(1,)2x y x x x =-∈+∞，则22222ln 22ln 4144x x x y x x---'=-=， 当1x >时，0y '<，所以ln 2xy x x =-在(1,)+∞单调递减， 所以当1x =时，max1y =-，故112m ≥-，即[2,)m ∈-+∞．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）:50l x y --=，22:40C x y x +-=；（2）5)7y x =±-． 【解析】（1）当45α=︒时，直线l的参数方程为522x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去t 得直线l 的普通方程为50x y --=．曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=，两边乘以ρ为24cos ρρθ=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得2240x y x +-=，所以曲线C 的直角坐标方程为2240x y x +-=． （2）曲线C 是以(2,0)C 为圆心，2为半径的圆，1||||sin 2sin 2ABC S CA CB ACB ACB =∠=∠△，当90ACB ∠=︒时面积最大． 此时点C 到直线:(5)l y k x =-，=，解得7k =±， 所以直线l的普通方程为5)7y x =±-． 23．【答案】（1）15{|}22x x <<；（2）(,1]-∞-． 【解析】（1）当2t =时，()|1||2|f x x x =-+-． 若1x ≤，则()32f x x =-，于是由()2f x <，得12x >，∴112x <≤；若12x <<，则()1f x =，显然()2f x <成立；若2x ≥，则()23f x x =-，于是由()2f x <，得52x <，∴522x ≤<，∴不等式()2f x >的解集为15{|}22x x <<． （2）()f x a x ≥+等价于()a f x x ≤-，令()()g x f x x =-． 当11x -≤≤时，()13g x t x =+-，显然min ()(1)21g x g t ==-≥-； 当1x t <<时，()1g x t x =--，此时(1)2()()1g t g x g t =->>=-； 当3t x ≤≤时，()1g x x t =--，min ()()1g x g t ==-， ∴当[1,3]x ∈，[1,2]t ∈时，min ()1g x =-，即1a ≤-． 综上所述，实数a 的取值范围是(,1]-∞-．。
吉林省榆树市第一高级中学2021届高三10月月考语文试卷 -- 人教版高三总复习
可喜消息的背后伴随着新的忧虑｡市场经济挽救了民间艺术,同时也激励它发生新旧交替的巨变,这巨变会不会正是原始艺术特征的可悲的消弭过程的开始呢?我们如何才能尽可能长久地保持民间艺术的原汁原味呢?
(摘编自《产业化经营让凤翔彩绘泥塑走向世界》)
材料四:
由于手工工艺品主要以手工制作为主,既费时又耗力,所以手工工艺品大多都是以个人生产经营为主,生产规模相对较小｡虽然有一部分的手工工艺品进入国际市场,但是我国手工艺品的整体发展水平还不是很成熟,其生产规模和经营手段的规模化､市场化以及产业化程度相对较低,所以市场的核心竞争力也较低下｡
重灾区越州已有数千人饿死｡饥民们涌到府衙前,请求州府救命,平抑粮价｡知府李之诚深知此种情况最易导致民变,于是紧急张贴布告,严令粮价一律回到灾前水平,严禁粮商私自抬价｡饥民们激动得热泪盈眶,奔走相告,然而等他们再来到市场,所有粮行都关了门,就连大街小巷上那些挑着担子､背着褡裢卖粮的也一个不见了｡
李知府大怒,将府里的大小衙役全派到市场上,监督粮商卖粮｡但粮商们一个个都精得很,多数早已脚底抹油溜得不知去向,剩下没有来得及跑的,阳奉阴违,百般推诿､拖延｡总之,任衙门想尽了办法,饥民们也买不到平价粮｡
材料一:
黄河之滨,白塔山下,伫立着一座非物质文化遗产陈列馆,阮熙越就在这里坚守着｡阮熙越是兰州阮氏刻葫芦第四代传人,其作品被英国等国家博物馆收藏,她的家族传承刻葫芦技艺已有百年历史｡
吉林省榆树市第一高级中学2021届高三上学期第三次模拟考试数学(文)试卷
榆树一中2020-2021学年度高三第三次模拟考试数学（文）试题 第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1、.若集合{}{}1,1,2,1,0M N =-=-,则M N ⋂= ( )A.{}0,1-B.{}1C.{}0D.{}1,1-2、如图，在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是A 和B，则21z z =( )A.12i 55+ B.21i 55+ C.12i 55-- D.21i 55-- 3、已知等差数列的前项和为，若1236==S a ，则=9a （ ）A ． 18B ． 16C ． 15D ． 12 4、以下有关命题的说法错误的是 （ ）A ． 命题:若x 2-3x+2=0，则x=1的逆否命题为“若x≠1，则x 2-3x+2≠0”B ．“sin θ＝12”是“θ＝30°”的必要不充分条件． C ． 若p ∧q 为假命题，则p 、q 均为假命题D ． 对于命题,01:2<++∈∃x x R x p 使得则01,:2≥++∈∀⌝x x R x p 均有5、若变量x,y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-+10103x y y x y ，则y x -3的最大值为( )A ．-1 B.1 C.3 D.56、如图，四边形ABCD 是边长为4的菱形，060=∠ABC ，F E ,分别为CD BC ,的中点，则=⋅EF AE（ ）A.-3B.-4C.-5D.-67、如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积是 ( )A ．34 B ．32 C ．31D ．238、如图，D ，C ，B 在地平面同一直线上，m DC 20=，从D ，C 两地测得A 点的仰角分别为30°和45°，则A 点离地面的高AB 等于( )A ．20mB ．8m C ．12（﹣1）m D ．10（+1）m9、已知过点)1,3(-P 的直线与圆10)2(2=-+y x相切,且与直线02=--ay x 垂直, 则=a ()A.3B.31-C. 2D.1210、()()02f x Asin x A πωϕϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭＞，＜的图象如图所示，为了得到)(x f 的图象，则只要将)32cos()(π-=x x g 的图象（）A. 向右平移6π个单位长度B. 向左平移12π个单位长度 C. 向右平移12π个单位长度 D. 向左平移6π个单位长度11、已知函数)2()(,11)(-=-+=x k x g x x f ．若方程()()f xg x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,1 D ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,112、已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的两个焦点为()()12,0,,0F c F c -,P 为椭圆上一点,且满足2212cPF PF =⋅,则此椭圆的离心率的取值范围是( )A. 3,1⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭B.11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 32,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 20,⎛⎤ ⎥ ⎝⎦第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上）13、已知函数xx x f 12)(+= 则=)21(f __________.14、点A 从()1,0出发,沿单位圆按逆时针方向运动到点B ,若点B 的坐标是34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭,记B α∠=,则.=-)22cos(απ__________.15、曲线()2x f x x e =-在点(0,(0))f 处的切线方程为 16、已知2lg 28lg 2lg ,0,0=+>>y x y x ,则113x y+的最小值是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17、（本题12分，每小题6分）已知在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且0cos sin =-A b B a（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若2,5==b a，求ABC ∆的面积．18、（本题12分，每小题6分） 在数列{}na 中,11a=,1n n a a c +=+(c 是常数,n N *∈), 且125a a a 、、成公比不为1的等比数列. （Ⅰ）求c 的值和数列{}na 的通项公式（Ⅱ）设11nn n b a a +=⋅,数列{}n b 的前n 项和nS .若3121≤⋅+n n a S 恒成立，求正整数n 的最小值19、（本题12分，每小题6分）如图，在直三棱柱111C B A ABC - 中，则面111111,,A ACC B BCC A ABB 的面积分别为15,9,12,且F E , 分别为BC C A ,11 的中点。
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吉林省榆树市第一高级中学2020-2021学年高三10月月考数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若{}1,2,3,4A =，{}2,4,5,6N =，则图中阴影部分所表示的集合是（ ）A ．{1,3,6}B ．5,6C ．{2,4}D ．{1,2,3,4,5,6}2．下列命题中是真命题的是（ ） A ．2x >是1x >的必要不充分条件 B ．x ∀∈R ，()2lg 10x +≥ C ．若p q ∨是真命题，则p 是真命题D ．若x y <，则22x y <的逆否命题3．已知双曲线2221,(0)x y a a-=>的焦距为4，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C D 4．设0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，若()22sin ()cos 212πθπθ+++=，则θ=（ ） A ．,64ππB ．,24ππC ．,63ππD ．,62ππ 5．某校200名学生数学竞赛成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则该次数学成绩在[50,60)内的人数为（ ）A ．20B ．15C ．10D ．56．已知向量,a b 满足||1a =，||2b =，且a 与b 的夹角为4π，则|2|a b -=（ ）A B ．C ．1D ．27．函数ln 1()x f x x+=的图像可能（ ） A ．B ．C ．D ．8．已知方程ln 62x x =-的根为0x ，且*0(,1),x k k k N ∈+∈，则k =（ ） A ．2B ．3C ．4D ．59．若函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示，则()6f π-的值为（ ）A ．1B ．1-CD ．10．已知1a e π=，logb π=c =a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．a b c >>11．风雨桥是侗族最具特色的建筑之一．风雨桥由桥、塔、亭组成．其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形．如图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影．其正六边形的边长计算方法如下：110001A B A B B B =-，221112A B A B B B =-，332223A B A B B B =-，…，111n n n n n n A B A B B B ---=-，其中*1231201,N n n B B B B B B B B n -====∈．根据每层边长间的规律．建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料．所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关．某一风雨桥亭、塔共5层，若006A B =，011B B =．则这五层正六边形的周长总和为（ ）A ．100B ．110C ．120D ．13012．已知奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，若当[]0,1x ∈时，()2f x x =，且1(2021)(01)2f a a -=<<，则实数a =（ ）A ．12B ．13C ．23D ．34二、填空题13．已知函数()42,13,1x x f x x x +<⎧=⎨-+≥⎩，则()3f 的值为_____________.14．一张方桌有四个座位，A 先坐在如图所示的座位上，,,B C D 三人随机坐到其他三个位置上，则C 与D 不相邻的概率为________．15．如图，在△ABC 中，90A ︒∠=，AB =D 在斜边BC 上，且2BD DC =，则AB AD ⋅的值为_____.16．设()f x '是函数()f x 的导函数，若对任意实数x ，都有()()()0x f x f x f x '-+>⎡⎤⎣⎦，且()12020f e =，则不等式()20200xxf x e -≥的解集为_______.三、解答题 17．已知函数()af x x 经过点(2,4)P ，2()xe g x x=.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式;（Ⅱ）设函数()()()F x f x g x =⋅，求()F x 在点(1,(1))Q F 处的切线方程.18．已知在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且21cos 2cos 20B C +-=. （Ⅰ）求sin :sin B C 的值 （Ⅱ）若a =3A π=，求b 的值.19．已知数列{}n a 是首项为1的等差数列，若22a +，31a +，4a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S ．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，平面PAC ⊥底面ABCD ，PA PC AC ==.（Ⅰ）证明:AC PB ⊥（Ⅱ）若PB 与底面所成的角为45︒，2PA =，求P ABCD -的体积.21．已知函数3211()ln 2()32f x x x x ax a R =-++∈. （Ⅰ）当12a =-时，求函数()f x 的单调区间 （Ⅱ）设3211()()232g x f x x x =+-+，若函数()g x 在221,x e e⎡⎤∈⎦⎢⎣有两个零点，求a 的取值范围22．在平面直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为1122x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2223sin 12ρρθ+=.（Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程（Ⅱ）若(1,0)P ，直线l 与曲线C 交于,M N ，求PN PM +的值参考答案1．C 【解析】 【分析】图中阴影部分表示集合公共部分，即交集. 【详解】图中阴影部分表示集合的交集，得{}2,4A B =.故选：C. 2．B 【解析】 【分析】分别根据充分不必要条件的定义，函数lg y x =的值域，复合命题的真假判断，不等式的性质可逐项判断得出答案. 【详解】A. 2x >⇒1x >，1x >不一定得到2x >，如=1.5x ，所以2x >是1x >的充分不必要条件，错误；B. x ∀∈R ，则211x +≥，所以()2lg 10x +≥，正确；C. 若p q ∨是真命题，则p 真q 假、p 假q 真，或p 真q 真，错误；D. 若2,1x y =-=，则22x y >，原命题错误，所以逆否命题错误. 【点睛】（1）充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（2）复合p q ∨命题真假的判断，若p q ∨是真命题，则p 真q 假、p 假q 真，或p 真q 真；若p q ∨是假命题，则p 假q 假. 3．C 【解析】 【分析】由双曲线焦距求得c ，根据222c a b =+求得a 的值，由此得到离心率. 【详解】由已知得2,1c b ==，由222c a b =+，解得222413a c b =-=-=，所以e =故选：C . 【点睛】关键点点睛：本题考查求双曲线的离心率，解题关键是由已知双曲线方程和焦距找到关于a b c 、、的等量关系.4．D 【解析】 【分析】 由()22sin ()cos 212πθπθ+++=，得22cos cos 21θθ+=，从而可得cos2sin θθ=或cos2sin θθ=-，得212sin sin θθ-=或212sin sin θθ-=-，然后再结合0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可求出答案 【详解】 解：由()22sin ()cos 212πθπθ+++=，得22cos cos 21θθ+=，所以22cos 2sin θθ=，所以cos2sin θθ=或cos2sin θθ=-，212sin sin θθ-=或212sin sin θθ-=-，由212sin sin θθ-=，得(sin 1)(2sin 1)0θθ+-=， 解得sin 1θ=-或1sin 2θ=， 因为0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以1sin 2θ=，得6πθ=， 由212sin sin θθ-=-，得(sin 1)(2sin 1)0θθ-+=， 解得sin 1θ=或1sin 2θ=-， 因为0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 1θ=，得2πθ=， 综上，6πθ=或2πθ=故选：D5．C 【解析】 【分析】由频率分布直方图，先求出该次数学成绩在[)50,60内的频率，由此能求出该次数学成绩在[)50,60内的人数.【详解】由频率分布直方图得，该次数学成绩在[)50,60内的频率为：()110.040.030.02100.052---⨯=， ∴该次数学成绩在[)50,60内的人数为2000.0510⨯=， 故选：C 6．A 【解析】 【分析】 由于22|2|(2)44a b a b a a b b -=-=-⋅+【详解】解：因为||1a =，||2b =，且a 与b 的夹角为4π， 所以22|2|(2)44a b a b a a b b -=-=-⋅+224cosa ab b π=-+== 故选：A 7．D 【解析】 【分析】根据函数是奇函数可排除AB ，取特殊值可排除C. 【详解】可知()f x 的定义域为{}0x x ≠关于原点对称，()()ln 1ln 1x x f x f xx x-++-==-=--，()f x ∴是奇函数，图象关于原点对称，故AB 错误； ()ln 31303f +=>，故C 错误，故D 正确. 故选：D. 8．A 【解析】 【分析】将方程的根转化为函数的零点，用零点存在性定理判断零点所在的区间. 【详解】方程ln 62x x =-的根为0x函数()ln 26f x x x =+-的零点为0x 当2k =时，区间为()2,3而()2ln 2226ln 22f =+⨯-=-，又2ln 2ln 2e <= 所以()2ln 220f =-<而()3ln3236ln3ln10f =+⨯-=>=，即()30f > 由零点存在性定理知，在区间()2,3内有零点 故选：A. 【点睛】方程的根即为对应函数的零点，也为函数与x 轴交点的横坐标，故求方程的根可转化为函数的零点问题.判断零点所在的区间，用到零点的存在性定理. 9．B 【解析】 【分析】由振幅求A ，由图中34T 求ω，最后将一个特殊点代入求ϕ.由图可知振幅A=2 311341264T πππ=-= T π∴=又2T πω∴=2ω∴=∴()2sin(2)f x x ϕ=+将点,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入得22sin()3πϕ=+且0ϕπ<< 6πϕ∴= ()2sin(2)6πf x x ∴=+ ()2sin()2sin 16366f ππππ⎛⎫∴-=-+=-=- ⎪⎝⎭故选：B.10．A【解析】【分析】根据指数函数及对数函数的性质分别判断a ,b .c 的范围,即可得解.【详解】因为101a e e π=>=，121log log ()log 2b e e πππ===，1ln 2c π==， 又log 1log 1e og ππππ<<，即1(0,)2b ∈，由2ln ln ln e e π<<，即1(,1)2c ∈，所以a c b >>，故选：A11．C【分析】根据等差数列的定义，结合已知可以判断数列{}(N ,15)n n n n A B *∈≤≤是等差数列，利用等差数列前n 项和公式进行求解即可.【详解】由已知得：111n n n n n n A B A B B B ---=-，12312011n n B B B B B B B B -=⋅⋅⋅====，因此数列{}(N ,15)n n n n A B *∈≤≤是以1006a A B ==为首项，公差为1d =-的等差数列，设数列{}(N ,15)n n n n A B *∈≤≤前5项和为5S ， 因此有5111554565412022S a d =+⨯⨯⋅=⨯-⨯⨯⨯=， 所以这五层正六边形的周长总和为56620120S =⨯=.故选：C.12．D【解析】【分析】由函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，知函数关于1x =对称，又函数是奇函数，即关于(0,0)对称，从而函数()f x 的周期是4，可知(2021)(1)f a f a -=-，代入即可得出答案.【详解】由函数是奇函数，则函数关于(0,0)对称，又函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，所以函数关于1x =对称，所以函数()f x 的周期是4，(2021)(4505+1)(1)f a f a f a ∴-=⨯-=-又01a <<，011a ∴<-<1(1)2(1)2f a a ∴-=-=，解得34a = 故选：D.【点睛】 结论点睛：函数对称性常用结论：若函数()f x 满足()()f a x f a x =-+，则函数的图像关于直线x a =对称；（2）若函数()f x 满足()()f x b f x b -=+-+，则函数的图像关于点(,0)b 中心对称． 函数周期性常用结论：设函数()y f x =，0x a ∈>R ，①若()()f x a f x a +=-，则函数的T =2a ；②若()()f x a f x +=-，则函数的T =2a ； ③若1()()f x a f x +=，则函数的T =2a ；④函数()f x 关于直线x a =与x b =对称，那么函数()f x 的T =2||b a - ； ⑤若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的T =2||b a -； ⑥若函数()f x 关于直线x a =对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的T =4||b a -. 13．0【解析】【分析】代入解析式计算()3f 即可.【详解】()3330f =-+=.故答案为：014．13【解析】【分析】易知,,B C D 三人随机坐到其他三个位置上，共有6种坐法，而C 与D 不相邻的坐法有2种，根据古典概型的概率公式，计算即可.【详解】由题意，,,B C D 三人随机坐到其他三个位置上，有6种坐法，其中C 与D 不相邻的坐法有2种，即C 与D 分别坐在A 的两边，所以C 与D 不相邻的概率为2163=. 故答案为：1315．1【解析】【分析】 以,AC AB 为基底，表示出AD ，进而可求出AB AD ⋅.【详解】由2BD DC =，可知13CD CB =， 所以()11213333AC CD AC AC AD CB C A A A AB C B =+=+++=+=， 由90A ︒∠=，可知0AB AC ⋅=，由AB =23AB =， 所以22102113133333AB AD AB AC AB AC A A B B ⎛⎫⨯= ⎪⎝⋅=⋅+=⋅+=+⎭. 故答案为：1.16．[)1,+∞【解析】【分析】首先设()()x xf x g x e=，利用导数求出()g x 的单调性，再将不等式()20200x xf x e -≥转化为()()1g x g ≥，即可得到答案。