高中数学双曲线的标准方程及其几何性质

双曲线的标准方程及其几何性质

一、双曲线的标准方程及其几何性质.

1．双曲线的定义：平面内与两定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数(大于零，小于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫双曲线。两定点F 1、F 2是焦点，两焦点间的距离｜F 1F 2｜是焦距，用2c 表示，常数用2a 表示。

(1)若｜MF 1｜-｜MF 2｜=2a 时，曲线只表示焦点F 2所对应的一支双曲线. (2)若｜MF 1｜-｜MF 2｜=-2a 时，曲线只表示焦点F 1所对应的一支双曲线.

(3)若2a =2c 时，动点的轨迹不再是双曲线，而是以F 1、F 2为端点向外的两条射线. (4)若2a ＞2c 时，动点的轨迹不存在.

2.双曲线的标准方程：22

a x -22b

y =1(a ＞0,b ＞0)表示焦点在x 轴上的双曲线； 22a y -2

2b

x =1(a ＞0,b ＞0)表示焦点在y 轴上的双曲线.

判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x 2

、y 2

的分母的大小，而是x 2

、y 2

的系数

的符号，焦点在系数正的那条轴上.

4.直线与双曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与双曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定。

（1）通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式∆，则有：⇔>∆0直线与双曲线相交于两个点；⇔=∆0直线与双曲线相交于一个点；⇔<∆0 直线与双曲线无交点．

（2）若得到关于x (或y )的一元二次方程，则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平行于双曲线的一条渐近线．

(3)直线l 被双曲线截得的弦长2

212))(1(x x k AB -+=或2

212

))(11(y y k

-+

，其中k 是直线l 的斜率，),(11y x ，),(22y x 是直线与双曲线的两个交点A ，B 的坐标，且

212212214)()(x x x x x x -+=-，21x x +，21x x 可由韦达定理整体给出．

二、例题选讲

例1、中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距

离为2，则双曲线方程为 ( )

A ．x 2－y 2＝1

B ．x 2－y 2＝2

C ．x 2－y 2＝ 2

D ．x 2－y 2＝1

2

解析：由题意，设双曲线方程为x 2a 2－y 2

a 2＝1(a >0)，则c ＝2a ，渐近线y ＝x ，

∴

|2a |

2

＝2，∴a 2＝2.∴双曲线方程为x 2－y 2＝2. 答案：B 例2、根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程．

(1)过点)2,3(-P ，离心率2

5=

e ． (2)1F 、2F 是双曲线的左、右焦点，P 是双曲线上一点，双曲线离心率为2且

︒=∠6021PF F ，31221=∆F PF S ．

解：(1)依题意，双曲线的实轴可能在x 轴上，也可能在y 轴上，分别讨论如下．

如双曲线的实轴在x 轴上，设122

22=-b

y a x 为所求． 由25=e ，得4522=a c ． ①

由点)2,3(-P 在双曲线上，得

12

922

=-b

a ．②， 又222c

b a =+，由①、②得12=a ，4

1

2=

b ． ③ 若双曲线的实轴在y 轴上，设12222=-b

y a x 为所求． 同理有4522=a c ，19

222=-b a ，

222c b a =+．解之，得2

17

2-

=b （不合，舍去）． ∴双曲线的实轴只能在x 轴上，所求双曲线方程为142

2

=-y x ．

(2)设双曲线方程为12222=-b y a x ，因c F F 221=，而2==a

c

e ，由双曲线的定义，得

c a PF PF ==-221．由余弦，得

2

1212

22

12cos 2)2(PF F PF PF PF PF c ∠⋅⋅-+=)60cos 1(2)(212

21︒-⋅⋅+-=PF PF PF PF ，

∴21224PF PF c c ⋅+=．又31260sin 2

1

2121=︒⋅=

∆PF PF S F PF ，∴4821=⋅PF PF ．

∴4832

=c ，162

=c ，得42

=a ，122

=b ．∴所求双曲线的方程为

112

42

2=-y x ． 三、巩固测试题

1．到两定点()0,31-F 、()0,32F 的距离之差的绝对值等于6的点M 的轨迹 （ D ）

A ．椭圆

B ．线段

C ．双曲线

D ．两条射线

2．方程1112

2=-++k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是

（ D ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-

3． 双曲线14122

2

22=--+m y m x 的焦距是

（ C ） A ．4 B ．22 C ．8 D ．与m 有关

4．若a k <<0，双曲线12222=+--k b y k a x 与双曲线122

22=-b

y a x 有 （ D ）

A ．相同的虚轴

B ．相同的实轴

C ．相同的渐近线

D ． 相同的焦点

5．过双曲线19

162

2=-y x 左焦点F 1的弦AB 长为6，则2ABF ∆（F 2为右焦点）的周长是（ A ） A ．28 B ．22 C ．14 D ．12

6．双曲线x 24－y 2

12

＝1的焦点到渐近线的距离为 ( )

A ．23

B ．2 C. 3 D ．1

解析：双曲线x 24－y 2

12＝1的焦点为(4,0)或(－4,0)．渐近线方程为y ＝3x 或y ＝－3x .

由双曲线的对称性可知，任一焦点到任一渐近线的距离相等，d ＝|43＋0|

3＋1

＝2 3.

7．以椭圆1582

2=+y x 的焦点为顶点，椭圆的顶点为焦点的曲线的方程为（ ）A A ．15322=-y x B ．13522=-y x C ．181322=-y x D ．15

1322=-y x 8．过点P (4,4)且与双曲线x 216－y 2

9＝1只有一个交点的直线有 ( )

A ．1条

B ．2条

C ．3条

D ．4条 解析：如图所示，满足条件的直线共有3条．