第十章弯曲强度和刚度

qB1=
F(l2/4)(3l/2) 6 EIz l
= 3Fl 2 48EIz
挠度
yx=L/
=
2
FbL/2 6LEIz
(b 2
-
3L2
/
4)
y1x=l/2=
Fl 2/4 6lEIz
(l2/4-3l 2/4)
=- Fl 3 48EIz
29
已有结果：
y 2+ z 2) dA= I z+
Iy
y dA z
由对称 性知：
Iy
=
Iz
=
Ir
/
2
=
pd 4
64
yr d
z
o
16
结论： s=My/Iz
y
smax压
x
M
smax拉
中性轴上，s=0，截面上、下缘， s =smax 。
17
9.3 平面弯曲的最大正应力及强度条件
y
弯曲正应力公式： s = My
smax压
4
例2 求外伸梁AB的内力。y F FAy 3F
解：1）求约束反力： 受力如图。
0
A
FAx
aa
FB 45 B x
a
有平衡方程：
SMA(F)=2aFBcos45+Fa-3Fa=0 SFx=FAx-FBsin45=0 SFy=FAy+FBcos45-F-3F=0
FB= 2F FAx=F FAy=3F
按应弯力曲设正 计：s
max=
M max bh 2/ 6

[s
]
4b3 6 103 6 150 106
b 0.182m
4kN.m 10kN MB
A
1m
B
1m FB
FS
2.
按弯曲剪 应力设计：
t
=3FSmax max 2bh

[t
]
x
M
10kN 4kN.m
b2

310 103 4 60 106
2）平面弯曲：载荷均作用在梁的纵向对称面内。
3）梁的内力有剪力、弯矩。作内力图一般步骤：
求约 束反 力
截取 研究 对象
受 力 图
列平 衡方 程
内力 方程
画内 力图
必须 掌握
9
9.2 梁的应力与强度
概念回顾:
q
F
1.平面弯曲
纵向对称面
梁有纵向对称面，且载荷均作用在纵向 对称面内，变形后梁的轴线仍在该平面 内，称为平面弯曲。
x
M
smax拉
Wz=Iz /ymax ，是抗弯截面模量。(如表10-1或手册)
梁的弯曲强度条件： 若材料拉压性能不同，则
s max
=M Wz
[s ]
作用
抗力
s max拉 [s 拉 ] s max压 [s 压 ]
处处均应满足强度条件。 19
例9.9 空心矩形截面梁的横截面尺寸H=120mm， B=60mm，h=80mm，b=30mm，若[s]=120MPa，
d
M
AB aa bb AB
变形后
中性轴
中性层与横截面的交线称为中性
轴。
中性层(面)
14
y
M
z
中性轴 x
smax压
smax拉
横截面上各点的正应力s 的大小与该点到中性
轴的距离y成正比。
中性轴以上，s为负，是压应力，纤维缩短。 中性轴以下， s为正，是拉应力，纤维伸长。
到中性轴距离相同各处，应力相等。
3. 注意h/b=3/2，则：
Wz =bh2 /6=3b3 /8
4. 强度条件：
Wz
=
38b3
Mmax
[s ]
=1102110063
解得：b0.147m150mm
x a aa a a a
FA 2F
FB F
F
FS
x 2F
Fa
Fa
Fa M
x Fa
21
讨论一： M max=Fa=12 kN.m，[s]=10MPa，
B
FAx=0; FAy=F; MA=Fl
FAy
M
2）求截面内力。 截面x处内力按正向假设，
MA A
x
c FS
在0x<l内，有平衡方程： FS
F
+
SFy=FAy-FS=0
o
剪力图
x
SMC(F )=MA+M-FAyx=0 得到： FS=F； M=-F(l-x)
M
o_
x
Fl
弯矩图
3) 画内力图。 悬臂梁在固定端A处弯矩值最大。
y
s=Ee，
FA
A
变形与载荷间有线性关系。
图(a)=图(b)+图(c)
y
若要求图(a)中的yC、qB，
有：
FA1
A
yC=yC1+yC2 ; qB=qB1+qB2
即可由已知简单情况的解，
y
FA2
用叠加方法求复杂载荷情 A
况下的变形。
yC F F
FB
CD
Bx
l/2
l/4 l/4
l
(a)
F
FB1
l/2 C
Bx
(b) yC1
yC2 F
FB2
D l/4 B x
(c)
28
已有结果：
情况一：
y
F
y
F
a=b=l /2
A a
Bx
b
A
l/2 C
Bx
L
l
转
qA =
-
Fab(L + b) 6EIzL
角
q
B=
Fab(L + a) 6EIz L
qA1=
-F(l2/4)(3l/2) 6 EIz l
=
-
3Fl 2 48EIz
截取 研究 对象
受力图， 内力按正 向假设。
求解内力，负号 表示与假设反向
列平衡 方程
x
FS 左上右下，FQ为正
x
左顺右逆，M为正
M
FS
内力的符号规定
wk.baidu.com
M
内力 右截面正向 左截面正向 FS M
微段变形（正）
顺时针错动
向上凹
3
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例1 求悬臂梁各截面内力并作内力图。
解：1）求约束力。
FAy
F
画受力图。由平衡方程得： MA A FAx l
10
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概念回顾: 2.纯弯曲
一般情况
F
F
M0
a FS F M
FS=0 M=Fa
a FS
M
FS=0 M=M0
梁的横截面上既有弯矩，又有剪力。
简单特例
纯弯曲: 梁横截面上的内力只有弯矩。
11
9.2 梁的应力与强度
讨论平面纯弯曲梁。 横截面上只有弯矩。
M
yM
zsx
只能是正应力。 弯矩分布在横截面上，
s ： 剪应力 t ?
23
y
弯曲梁中有剪应力。
中 故截y性有h=>t面轴：±b±m时a上h处x/2=，t，处与F截8，QySFIh=面zS平t20平=上=，行0行。2yI3，相zb，F=h指bS同指h=向处/向11.相2t5相，相t同m同同。。。
z
FS t
b
h
tmax
剪纵应向力面强上度的条剪件应：力t mta由x 剪[t应] 力互等定理确定。
FM
FN 0 x FS
2a x<3a:
FN=-F； FS=3F-F-3F=-F M=3F(x-a)-Fx-3F(x-2a)
=F(3a-x)
F 3F M
FN 0 x F FS
F 3F 3F
0
Fx
M
FN
FS
6
3) 画内力图：
内力图： 按内力方程绘出
内力方程：
各截面内力的图。
截面法给出的描述
F
FAy
矩形截面梁的弯曲剪应力为：
t = FSSz ( h2 - y2 )
2Iz 4
t是y的函数，呈抛物线分布，
最大剪应力在中性轴处且等
于平均剪应力的1.5倍。
24
讨论二、矩形截面梁AB受力如图。 [s]=150MPa，
[t]=60MPa， 若取h/b=2，试设计其尺寸。
解：1.求反力，作FQ、M图。
2.
第九章 梁的平面弯曲
概述
承受弯曲作用的杆，称为梁。
杆件：某一方向尺寸远大于其它方向尺寸的构件。 直杆：杆件的轴线为直线。 杆的可能变形为：
轴向拉压
扭转
弯曲
轴向拉压—内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。
扭转 —内力为扭矩。如各种传动轴等。
(轴)
弯曲 —内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁)
1
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问题: 平面纯弯曲梁横截面上的正应力?
12
9.2.1 弯曲变形几何分析
讨论矩形截面纯弯曲梁。 1. 弯曲变形实验现象
M
AB
M
aa
bb AB
AA、BB仍保持直线，但相对
地转过一角度d。
M
aa 缩短，bb伸长，变为弧形， 但仍与AA、BB线正交。
d
M
AB aa bb AB
2. 弯曲的基本假设—平面假设
3P 45
内力与截面位置关系。
B
0x<a: FN=0; FS=-F;
0
FN
A FAx
x FB
M=-F x ax<2a: FN=-F； FS=2F
M=F(2x-3a)
-
Fx
FS 2F +
-FF -
x
2ax<3a: FN=-F ；FS=-F M
Fa +
M=F(3a-x)
-
x
Fa
7
作梁的内力图的 一般步骤
变形后
梁的横截面在弯曲变形后仍保持为平面，且仍与梁 的轴线垂直。
13
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2. 弯曲的基本假设—平面假设
M
AB
M
梁的横截面在弯曲变形后仍保持 为平面，且仍与梁的轴线垂直。
aa
bb AB
3. 推论： 有中性层存在
M
若梁由纵向纤维组成，则其变形
是伸长或缩短。
凹部纤维aa 缩短，凸部bb纤维伸
长，总有一层纤维既不伸长又不 缩短，此层称为中性层。
=
Mmax Wz
=
14.4 10 3 1.22710-4
=117MPa<[s]=120Mpa
强度足够。 20
例9.10 矩形截面木梁的横截面高宽比h/b=3/2，已知 F=15kN，a=0.8m，[s]=10MPa
解：1. 求支反力：
F
2F 2F F
F A =FB=3F
2. 作FS、M图。 M max=Fa=12 kN.m
Iz
M
按绝对值计算应力s 的大小，依
x
据弯曲后的拉压情况判断正负。 M
smax拉
适用范围：
横截面有对称轴的平面弯曲。 载荷作用在纵向对称面内； 梁的高跨比 h/L< 0.25；
18
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最大弯曲正应力:
y
smax压
y=ymax 时，s=s max，故
M
s max
=
Mymax Iz
=
M Wz
2b 3 Mmax
27 [s ]
b=147 h=220.5mm b==h=193mm b=253 h=169mm
面重积量:3248173%mm2
37120409%mm2
42715175%mm2
22
9.3.5 矩形截面梁的弯曲剪应力
纯弯曲 内力：弯矩 M 横截面上：正应力 s
横力弯曲 M ; 剪力 FS
梁的分类
F
q
平面弯曲
梁的横截面 简支梁
悬臂梁
M
外伸梁
集中力，集中力偶，分布载荷
都有对称轴
纵向对称面
平面问题，梁受 三个约束，都是 静定梁。
梁有纵向对称面，且载荷均作用在 纵向对称面内，变形后梁的轴线仍 在该平面内，称为平面弯曲。
2
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9.1 用截面法作梁的内力图
截面法求内力的步骤： y
求约 束反 力
b 0.035m
一般按正应力设计，再校核剪切强度。
x
6kN.m
25
小结
1. 梁横截面上的正应力s呈线性
分布，其大小为
s =My/Iz
正负由弯曲后的拉压情况判断。
symaxt压max
=y
3FS 2bh
M
z
hC
FS t
b s max拉
2. 中性轴过截面形心，该处正应力s 等于零。
3. 梁的弯曲强度条件：
试设计木梁不同截面的尺寸。
截h/面b=设3b/2计应尽可h 能使 h/b=1
b
材料远离中性b 轴。
b
Wz =bh 2/6 =3b 3/8
Wz=b3/6
强度条件：
强度条件：
3 b3 M max
8 [s ]
b3 Mmax
6 [s ]
M
h/b=2/3 h O
sbmax
W z=2b 3/27
强度条件：
9.4.1 梁的挠度和转角
梁在xy平面内弯曲。 挠曲线：弯曲后梁的轴线。
y 挠度 cq
o
c
x
q
转角
x
挠曲线
挠度y：梁弯曲后各截面形心的垂直位移，y=y(x)。
转角q：各截面转过的角度(角位移)，q=q(x)。
即 x处挠曲线的切线与x轴的夹角。
27
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再讨论: 线性叠加方法
在线弹性小变形条件下，
s max =
My m a x Iz
=M Wz
[s ]
Iz 为截面对z 轴的惯性矩，Wz为抗弯截面模量。
4. 矩形截面梁的弯曲剪应力呈抛物线分布，最大剪
应力在中性轴处且等于平均剪应力的1.5倍。
26
9.4 梁的变形
杆的拉压
伸长或缩短 DL
轴的扭转
单位扭转角 q
梁y 的弯曲为变正形
？ 如q 何截描面述 正
试校核梁的强度。
解：1）作FS、M图。 固定端弯矩最大，
q=20kN/m
z
O
A
hH
Mmax=qL2/2=14.4 kN.m
L=1.2m
b
2) 抗弯截面模量Wz 查表9-1有：
B
x FS图
Wz =H2[B-b(h/H)3]/6 =1.227 10 -4 m3
qL
x M图
3）强度校核:
qL2/2
s max
2) 截面法求内力( 取坐标如图) 0x<a: FN=0; FS=-F; M=-Fx
FM
FN 0 x FS
5
例2 求外伸梁的内力。
2) 截面法求内力 0x<a: FN=0; FS=-F; M=-Fx
y F 3F
3F
0 AF aa
FB 45 B x
a
ax<2a:
FN=-F；FS=3F-F=2F M=3F(x-a)-Fx=F(2x-3a)
中性轴上，s=0，截面上、下缘， s =smax 。 15
截面对z 轴的惯性矩 Iz 的计算： Iz = y2dA
A
矩形截面：取微面积如图 dA=bdy
y
dy
Iz= y2dA = A
h/2
y 2bdy
-h/2
=
hb3 12
y z
o
h
圆形截面：取微面积如图。
b
Ir
= r A
2dA= ( A
y F
FAy
3F
0
A
FAx
aa
FB 45 B F x0
a
M
FN x FS
求约 束反 力
截取 研究 对象
受 力 图
列平 衡方 程
求解 内力
画内 力图
静力 平衡 方程
载荷 突变 处分 段。
内力 按正 向假 设。
矩心 取截 面形 心。
内 图形 力 应封 方 闭。 程
8
小结
1）承受弯曲作用的杆，称为梁。