2021版新高考数学一轮复习第十一章11.1基本计数原理课件新人教B版

2.从集合{1,2,3,…,11}中任意取两个元素作为椭圆方程 x2 y2 =1中的m和n,
m2 n2
则能组成落在矩形区域B={(x,y)||x|<11,|y|<9}内的椭圆的个数是
()
A.43 B.72 C.86 D.90
【解析】选B.根据题意,m是不大于10的正整数,n是不大于8的正整数.但是当m=
考点二 分步乘法计数原理及其应用
【典例】1.一个小朋友从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中选取3个不同的数
字组成三位数,则他写出的三位数有______个. ( )
A.1 000
B.900
C.720
D.648
2.已知集合A中有4个元素,B中有3个元素,C中有9个元素,则集合
{x, y, z | x A, y B, z C} 中的元素个数为________.
【解后反思】 如何求与数字有关的计数问题? 提示:(1)先确定是分类还是分步,分类时确定好统一标准,不重复,也不遗漏,分 步时,确定好步骤. (2)先根据题意确定特殊数位的数字(如首位不能为0,奇数的个位为奇数等),再确 定其他位置上的数字.
【命题角度2】 染色问题 【典例】如图所示,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上 的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,求不同的染色方法总数. 世纪金榜导学 号
当十位数字为2时,个位数字是3,4,5,6,7,8,9,有7种, 当十位数字为1时,个位数字是2,3,4,5,6,7,8,9,有8种, 所以共有1+2+3+4+5+6+7+8=36(种).
方法二:所有的两位数从10,到99共90个,按照个位数字与十位数字的大小分为三 类: (1)个位数字等于十位数字,这样的两位数有9个, (2)个位数字大于十位数字,设这样的两位数为x个, (3)个位数字小于十位数字,其中个位数字为0的两位数有9个,个位数字不是0的两 位数有x个, 所以列得方程9+x+9+x=90,解得x=36.
次传递后,毽又被踢回给甲,则不同的传递方法共有
()
A.4种
B.6种
C.10种
D.16种
3.“渐升数”是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1 458),若把四位
“渐升数”按从小到大的顺序排列,则第30个“渐升数”是________. 世纪
金榜导学号
【解析】1.选D.可分两类:一类两个数都为奇数:1,3;1,5;3,5,共3种方法;另一类 两个数都为偶数:0,2;0,4;2,4,共3种方法,所以共有3+3=6种取法. 2.选B.分两类:甲第一次踢给乙时, 满足条件有3种方法(如图),
D.5种
【解析】选D.从5类元素中任选2类元素, 它们相生的选取有:火土,土金,金水,水 木,木火,共5种.
考点一 分类加法计数原理及其应用
【题组练透】
1.从0,1,2,3,4,5这六个数字中,任取两个不同数字相加,其和为偶数的不同取
法的种数有 ( )
A.30
B.20
C.10
D.6
2.甲、乙、丙三个人踢毽,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4
【规律方法】应用分类加法计数原理的四个步骤 (1)完成的一件事是什么. (2)确定分类时,n类办法的每一种方法都可以独立完成这件事. (3)确定恰当的分类标准,对完成这件事的办法分类时要“不重不漏”,即每一 种的方法必属于某一类,不同类中的方法都是不相同的. (4)把所有类中的方法数相加,即得完成这件事的方法数.
同理,甲先传给丙时,满足条件有3种方法.
由分类加法计数原理知,共有3+3=6(种)传递方法.
3.渐升数由小到大排列,形如
的渐升数共有6+5+4+3+2+1
=21(个).
形如
的渐升数共有5个.
形如
的渐升数共有4个.
故此时共有21+5+4=30(个).
因此从小到大的四位渐升数的第30个必为1 359. 答案:1 359
2.(选修2-3P7习题1-1BT1改编)设集合A={1,3,5,7,9},B={2,4,6,8},a∈A,b∈B,
则直线ax+by=2 021有______条. ( )
A.4
B.5
C.20
D.9
【解析】选C.分两个步骤:第一步确定a,有5种方法,第二步确定b,有4种方法,所 以由分步乘法计数原理得直线有5×4=20(条).
3.(选修2-3P7习题1-1AT1改编)五行学说是华夏民族创造的哲学思想,是华夏文 明重要组成部分.古人认为,天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成,如 图,分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中 任选2类元素,则2类元素相生的选取方案共有( )
A.10种 B.15种 C.4种
位数有______个 ( )
A.36
B.90
C.72
D.45
【解析】选A.方法一:因为十位数字只能从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中选取, 所以按照十位数字分类,要使得个位数字大于十位数字,所以分为8类, 当十位数字为8时,个位数字是9,只有1种, 当十位数字为7时,个位数字是8,9,有2种, 当十位数字为6时,个位数字是7,8,9,有3种, 当十位数字为5时,个位数字是6,7,8,9,有4种, 当十位数字为4时,个位数字是5,6,7,8,9,有5种, 当十位数字为3时,个位数字是4,5,6,7,8,9,有6种,
【解析】可分为两大步进行,先将四棱锥一侧面三顶点染色,然后再分类考虑另外 两顶点的染色数,用分步乘法计数原理即可得出结论.由题设,四棱锥S-ABCD的 顶点S,A,B所染的颜色互不相同,它们共有5×4×3=60(种)染色方法. 当S,A,B染好时,不妨设其颜色分别为1,2,3,若C染2,则D可染3或4或5,有3种染 法;若C染4,则D可染3或5,有2种染法;若C染5,则D可染3或4,有2种染法.可见,当 S,A,B已染好时,C,D还有7种染法,故不同的染色方法有60×7=420(种).
序号 1 2 3 4
5
6
易错警示 分类时重复计数 分类时遗漏计数 分步时步骤不全 分步时计算出错 两个计数原理分类 与分步混淆 两个计数原理计算失误
典题索引 考点一、T2，3 考点一、T1 考点二、T1 考点二、T2，3
考点三、角度1
考点三、角度2，3
【教材·基础自测】
1.(选修2-3P8习题1-1BT3改编)在所有的两位数中,个位数字大于十位数字的两
【一题多解2】按所用颜色种数分类. 第一类,5种颜色全用,共有5×4×3×2×1=120(种)不同的方法; 第二类,只用4种颜色, 则必有某两个顶点同色(A与C,或B与D),共有2×5×4×3×2=240(种)不同的方 法; 第三类,只用3种颜色,则A与C,B与D必定同色,共有5×4×3=60(种)不同的方法. 由分类加法计数原理,得不同的染色方法总数为 120+240+60=420(种).
中数学科有7人,物理科有5人,化学科有3人,从三个学科中各选一人作护旗手,
则选出这3个人的方法有______种
()
A.15
B.35
C.56
D.105
【解析】选D.因为从三个学科中各选一人作护旗手,所以应该分成三步: 第一步,从数学科7人中选出1人,有7种方法, 第二步,从物理科5人中选出1人,有5种方法, 第三步,从化学科3人中选出1人,有3种方法, 所以由分步乘法计数原理得选出这3个人的方法有7×5×3=105(种).
3.有4个同学各自在2020年元旦的三天假期中任选一天去敬老院参加活动,则有 多少种选法?
【解题导思】
序号 1 2 3
联想解题 由组成三位数想到先确定百位数字,再确定十位数字,最后确定 个位数字 由x∈A,y∈B,z∈C想到先确定x,再确定y,最后确定z 由4个同学在三天中任选一天,联想到每个人有3种选择.
3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类” 问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步 乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了 才算完成这件事.
【常用结论】 应用两个计数原理的三个注意点 (1)应用两个计数原理首先要弄清楚先分类还是先分步. (2)分类要做到“不重不漏”，正确把握分类标准. (3)分步要做到“步骤完整”，步步相连.
【解析】1.选D.分三个步骤:第一步确定百位数字,有9种方法,第二步确定十位数 字,有9种方法,第三步确定个位数字,有8种方法,所以由分步乘法计数原理得他写 出的三位数有9×9×8=648(个). 2.分三个步骤,第一步确定x,有4种方法,第二步确定y,有3种方法,第三步确定z,有 9种方法,由分步乘法计数原理得集合中元素个数为4×3×9=108. 答案:108 3.每个同学都有3种选择,所以4个同学的选法共有3×3×3×3=81(种).
提示：(1)×.在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法是不同的，如果方 法相同，则是同一类. (2)√.根据分步乘法计数原理的概念可知此结论正确. (3)×.在分步乘法计数原理中，任何一步都不能单独完成这件事. (4)×.分类加法计数原理和分步乘法计数原理可能单独使用，也可能交叉使用.
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【易错点索引】
第十一章 计数原理、概率、随机 变量及其分布 第一节 基本计数原理
内容索引
必备知识·自主学习 核心考点·精准研析 核心素养测评
【教材·知识梳理】 1.分类加法计数原理 做一件事，完成它有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办 法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法.则完成这件 事共有N=____m_1_+_m_2+_…__+_m_n__种不同的方法. 2.分步乘法计数原理 做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二 个步骤有m2种不同的方法，……，做第n个步骤有mn种不同的方法.那么完成这 件事共有N=____m_1_×__m_2×__…__×__m_n__种不同的方法.
n时, x2 y2 =1是圆而不是椭圆.先确定n,n有8种可能,对每一个确定的n,m有
m2 n2
10-1=9种可能,故满足条件的椭圆有8×9=72个.
故选B.
考点三 两个计数原理的综合应用
命题 精解 读
学霸 好方 法
考什么:(1)考查“分类”与“分步”的关系 (2)考查两个计数原理的综合应用 怎么考:以实际问题(数字组数、小球入盒、方块染色、人员安排等) 为背景,考查两个计数原理,多数是以选择题或填空题,或者解答题的 一个小题的形式考查 新趋势:结合新背景,考查两个计数原理的综合应用
【一题多解1】以S,A,B,C,D顺序分步染色. 第一步,S点染色,有5种方法; 第二步,A点染色,与S在同一条棱上,有4种方法; 第三步,B点染色,与S,A分别在同一条棱上,有3种方法; 第四步,C点染色,考虑到D点与S,A,C相邻,需要针对A与C是否同色进行分类,当A 与C同色时,D点有3种染色方法;当A与C不同色时,因为C与S,B也不同色,所以C点 有2种染色方法,D点也有2种染色方法.由分步乘法、分类加法计数原理得不同的 染色方法共有5×4×3×(1×3+2×2)=420(种).
【知识点辨析】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同. ( ) (2)在分步乘法计数原理中，不同的步骤中完成各自步骤的方法是各不相同的. () (3)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都 能完成这件事. ( ) (4)在计算完成一件事的所有方法时，分类加法计数原理和分步乘法计数原理不 能同时使用.( )
【规律方法】应用分步乘法计数原理的三个步骤: (1)完成的一件事是什么. (2)需要分几个步骤.每一步各有多少种方法. 每一步中的每一种方法都能独立完成这个步骤,但是不能完成这件事. (3)把每一步中的方法数相乘即得完成这件事的方法数.
【变式训练】
1.(2019·济南模拟)某校2019年数理化三科奥赛进入冬令营的选手共15人,其
利用两个计数原理解题的关键 (1)认真阅读审题,选择适合的分类标准进行合理分类,简化问题 (2)根据题意,弄清楚完成一件事的要求,正确区分先分类再分步还是 先分步再分类
【命题角度1】 数字问题 【典例】用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶 数的四位数,这样的四位数一共有________个.(用数字作答) 【解析】分两种情况:第一种:四位数都不是偶数的个数为:5×4×3×2=120,第二 种:四位数中有一位为偶数的个数为4×4×5×4×3=960,则共有1 080个. 答案:1 080