10-1-1梁横截面上的正应力(精)

则梁的最大正应力将发生在最大正弯矩或最大负弯矩所在横
截面上的边缘各点处，且最大拉应力和最大压应力的值不相
等（详见例10－1）。
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例10－1 求图a、b所示T形截面梁的最大拉应力和最大压应 力。已知T形截面对中性轴的惯性矩 Iz=7.64106 mm4，且 y1=52 mm。 解 （1)绘制梁的弯矩图。 梁的最大正弯矩发生在截面C上。
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3. 掌握用叠加法计算梁弯曲时的变形以及进行刚度计 算。
*4. 理解应力状态的概念。了解应力状态的分类。 *5. 掌握平面应力状态中单元体斜截面上的应力计算， 主应力和主平面计算，最大切应力和最大切应力平面计 算。 *6. 理解梁的主应力迹线的概念。
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§10－1 梁弯曲时的应力
10－1 －1
梁横截面上的正应力
剪力和弯矩是横截面上分布内力 的合力。在横截面上只有切向分 布内力才能合成为剪力，只有法 向分布内力才能合成为弯矩 （图）。因此，梁的横截面上一
般存在着切应力和正应力，它 们分别由剪力FS和弯矩M所引起
的。
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横力弯曲时梁横截面上不仅有弯矩而且还有剪力，因此梁横截 面上不仅有正应力，而且还有切应力。由于切应力的存在，梁 变形后横截面不再保持为平面。按平面假设推导出的纯弯曲梁 横截面上正应力计算公式，用于计算横力弯曲梁横截面上的正 应力是有一些误差的。但是当梁的跨度和横截面的高度的比值 l/h＞5时，其误差甚小。因此，式(10－1)也适用于横力弯曲。 但要注意，纯弯曲梁段M为常量，而横力弯曲梁段M是变量，故 应用M( x)代替式(10－1)中的M。
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取截面具有竖向对称轴（例如矩形截面）的等直梁，在梁侧 面画上与轴线平行的纵向直线和与轴线垂直的横向直线，如图 10所示。然后在梁的两端施加外力偶Me，使梁发生纯弯曲（图 10）。此时可观察到下列现象：
① 纵向直线变形后成为相互平行的曲线，靠近凹面的缩短， 靠近凸面的伸长。
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在横力弯曲时，如果梁的横截面对称于中性轴，例如矩形、圆
形和圆环形等截面，则梁的最大正应力将发生在最大弯矩（绝
对值）所在横截面的边缘各点处，且最大拉应力和最大压应力
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的值相等。梁的最大正应力为
max=
M max Wz
如果梁的横截面不对称于中性轴，例如T形截面，由于y1≠y2，
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可以证明，梁横截面上正应力的计算公式为
My
Iz
(10－1)
式中：M—横截面上的弯矩；
y—横截面上待求应力点至中性轴的距离；
Iz—横截面对中性轴的惯性矩（见附录一）。
在使用公式（10-1）计算正应力时，通常以M、y的绝对值
代入，求得的大小，再根据弯曲变形判断应力的正(拉)或负(
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3. 惯性矩和弯曲截面系数的计算
几种常见简单截面如矩形、圆形及圆环形等的惯性矩Iz和 弯曲截面系数Wz列于表10中，以备查用。由简单截面组合 而成的截面的惯性矩计算，见附录Ⅰ。 型钢截面的惯性矩和弯曲截面系数可由型钢规格表查得。
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4. 横力弯曲时梁横截面上正应力的计算公式
② 设想梁由许多纵向纤维组成。变形后，由于纵向直线与横 向直线保持正交，即直角没有改变，可以认为纵向纤维没有受 到横向剪切和挤压，只受到单方向的拉伸或压缩，即靠近凹面 纤维受压缩，靠近凸面纤维受拉伸。
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根据以上假设，靠近凹面纤维受压缩，靠近凸面纤维受拉伸。 由于变形的连续性，纵向纤维自受压缩到受拉伸的变化之间， 必然存在着一层既不受压缩、又不受拉伸的纤维，这一层纤维 称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴，如图所示。 梁弯曲时，各横截面绕各自中性轴转过一角度。可以证明，中 性轴通过横截面的形心并垂直于横截面的竖向对称轴。
建筑力学
第10章 梁的强度和刚度
第10章 梁的强度和刚度
【内容提要】
本章介绍等截面直梁平面弯曲时的应力和强度计算以及 变形和刚度计算及受力构件内一点处应力状态的概念， 应力状态的分析和梁主应力迹线的概念。
【学习目标】
1.熟练掌握梁弯曲时横截面上正应力、切应力的计算和 梁的强度计算。 2. 了解提高梁弯曲强度的主要措施。
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1. 纯弯曲时梁横截面上正应力的计算
梁弯曲时横截面上如果只有弯矩而无 剪力，这种情况称为纯弯曲。如果既 有弯矩又有剪力，则称这种弯曲为横
力弯曲。如图所示的简支梁，其CD段 是纯弯曲情况，而AC和DB段则是横力
弯曲情况。纯弯曲是弯曲中最简单的 情况，下面先研究纯弯曲梁横截面上 的正应力计算。
② 横向直线变形后仍然为直线，只是相对地转动一个角度。 ③ 纵向直线与横向直线变形后仍然保持正交关系。
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根据所观察到的表面现象，对梁的内部变形情况进行推断， 作出如下假设：
① 梁的横截面在变形后仍然为一平面，并且与变形后梁的轴 线正交，只是绕横截面内某一轴旋转了一个角度。这个假设称 为平面假设。
压)，即以中性层为界，梁的凸出边的应力为拉应力，梁的凹
入边的应力为压应力。
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2. 横截面上正应力的分布规律和最大正应力
在同一横截面上，弯矩M和惯性矩Iz为定值，因此，由式(10－1) 可以看出，梁横截面上某点处的正应力σ与该点到中性轴的距 离y成正比，当y=0时，σ=0，即中性轴上各点处的正应力为零。 中性轴两侧，一侧受拉，另一侧受压。 离中性轴最远的上、下边 缘y=ymax处正应力最大， 一边为最大拉应力σtmax， 另一边为最大压应力σcmax。
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最大应力值为
max

My m a x Iz
令
Wz

Iz ym ax
则最大正应力可表示为
max

M Wz
式中：Wz—截面对中性轴z的弯曲截面系数。 它只与截面的形状及尺寸有关，是衡量截面抗弯能力的一个几
何量，常用单位为mm3或m3。
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