10-1-1梁横截面上的正应力(精)
杆件横截面上的应力
* Sz dM τy = I zb dx
F = ∫ * σ2dA= ∫ *
* N2 A
A
(M + dM) y1 dA
Iz
Fs S τ = I zb
* z
FS S z τ= I zb
上式中符号意义： 式中符号意义： 截面上距中性轴y处的剪应力 τ：截面上距中性轴 处的剪应力 c
S ：y以外面积对中性轴的静矩 以外面积对中性轴的静矩 I z ：整个截面对中性轴的惯性矩
②正应力： 正应力：
p α
F
α
α
Fα N
σ α = pα cos α = σ cos 2 α
③切应力： 切应力：
α
σα α pα τα
τ α = pα sin α =
σ0
2
sin 2α
1） α=00时， σmax＝σ ） 2）α＝450时， τmax=σ/2 ） ＝
例题
试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面上正 应力.已知横截面面积A=2×103mm2
2．计算截面惯性矩 ．
0.12 × (0.02)3 2 I1 z = + (0.12 × 0.02 )(0.045 0.01) = 3.02 ×10 6 m 4 12 0.02 × (0.12) 3 2 I2z = + (0.02 × 0.12)(0.08 0.045) = 5.82 × 10 6 m 4 12
其中：拉应变为正， 其中：拉应变为正， 为正 压应变为负 为负。 压应变为负。
'
d1 d d = 横向应变： 横向应变： ε = d d
O
z
研究一点的线应变： 研究一点的线应变：
x
x
建筑力学第三章课后题答案
建筑力学第三章课后题答案一、选择题（每小题2分，共20分）1、“力”是物体之间相互的（）。
[单选题] *A、机械运动B、机械作用(正确答案)C、冲击与摩擦D、连接作用2、由力的平移定理可知，一个力在平移时分解成为（）。
[单选题] *A、一个力和一个力矩B、两个平行力C、一个力和一个力偶(正确答案)D、两个反向力3、两个大小相等的力偶（）。
[单选题] *A、可以合成为一个合力偶(正确答案)B、是等效力偶C、对物体的作用效果相同D、可以合成为一个合力4、力偶向某坐标轴的投影为（）。
[单选题] *A、力偶矩本身B、力偶中力的大小C、变化值D、零(正确答案)5、轴力的正负号规定为（）。
[单选题] *A、拉为正，压为负(正确答案)B、拉为负，压为正C、均为正值D、均为负值6、Q235钢拉伸试验，材料经过弹性、屈服、强化、颈缩等四个阶段，其中三个特征点的应力依次为（）。
[单选题] *A、比例极限、弹性极限、强度极限B、屈服极限、弹性极限、屈服极限C、比例极限、屈服极限、强度极限(正确答案)D、屈服极限、比例极限、强度极限7、有正方形、矩形、圆形三种截面，在面积相同的情况下，能取得最大惯性矩的截面是（）。
[单选题] *A、正方形B、矩形(正确答案)C、圆形D、都有可能8、用叠加法作梁的弯矩图的前提条件是（）。
[单选题] *A、梁的变形为小变形(正确答案)B、梁不发生变形C、梁内无剪力D、该梁必须为等截面梁9、均布荷载作用的直梁区段上，弯矩方程是截面位置坐标X的（）次函数。
[单选题] *A、一次B、二次(正确答案)C、三次D、四次10、梁横截面上弯曲正应力为零的点发生在截面（）。
[单选题] *A、最下端B、中性轴上(正确答案)C、最上端D、最大弯矩处二、判断题（每题1分，共10分）1、两个力大小相等，方向相反，则这两个力一定平衡。
[判断题] *对错(正确答案)2、两端用铰链连接的直杆，不一定是二力杆。
平面弯曲时横截面上的正应力度计算
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．装．．．．．．．．．．．．．订．．．．．．．．．．线．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．为dx且dx=ρdθ。
距中性层为y的某一纵向纤维的线应变ε为：定律代入上式，得：它们的正应力也相等。
③在图示的受力情况下，中性轴上部各点正应力为负值，中性轴下部各点正应力为正值。
④正应力沿y轴线性分布。
最大正应力（绝对值）在离中性轴最远的上、下边缘处。
部分受压应力，弯矩为负时，则相反。
横截面上最大正应力发生在距中性轴最远的各点处。
即小学常用歇后语1.八仙过海--------各显神通2.不入虎穴--------焉得虎子3.蚕豆开花--------黑心4.车到山前--------必有路5.打破砂锅--------问到底6.和尚打伞--------无法无天7.虎落平阳--------被犬欺8.画蛇添足--------多此一举9.箭在弦上--------不得不发10.井底青蛙--------目光短浅11.大海捞针--------没处寻12.竹篮打水--------一场空13.打开天窗--------说亮话14.船到桥头--------自会直15.飞蛾扑火-----自取灭亡16.百米赛跑--------分秒必争17.拔苗助长-----急于求成18.仇人相见--------分外眼红19.芝麻开花----节节高20.新官上任--------三把火21.瞎子点灯--------白费蜡22.兔子尾巴--------长不了23.偷鸡不成----蚀把米24.王婆卖瓜--------自卖自夸25.老虎屁股---- 摸不得26.老虎拉车--------谁敢27.老鼠过街-----人人喊打28.麻雀虽小--------五脏俱全29.墙上茅草----随风两边倒30.三十六计--------走为上计31.塞翁失马----焉知祸福32.壶中无酒--------难留客33.丈二和尚----摸不着头脑34.有借有还--------再借不难35.猫哭耗子---假慈悲36.铰子破皮--------露了馅37.扁担挑水---一心挂了两头38.对牛弹琴--------白费劲39.八仙聚会--------神聊40.霸王敬酒--------不干也得干41.板上订钉--------跑不了42.背鼓上门--------讨打43.草把做灯-----粗心（芯）44.竹笋出土--------节节高45.菜刀切豆腐----两面光46.钉头碰钉子--------硬碰硬47.高山上敲鼓--四面闻名（鸣）48.铁打的公鸡-----一毛不拔49.关公走麦城----骄必败50.狗咬吕洞宾--------不识好人心51.鸡蛋碰石头----不自量力52.姜太公钓鱼--------愿者上钩53.脚踏西瓜皮--滑到哪里是哪里54.孔夫子搬家--------净是书55.老鼠钻风箱-----两头受气56.留得青山在--------不怕没柴烧57.门缝里看人---把人看扁了58.泥菩萨过河--------自身难保59.泼出去的水----收不回60.骑驴看唱本--------走着瞧61.千里送鹅毛--礼轻情意重62.肉包子打狗--------有去无回63.山中无老虎---猴子称大王64.司马昭之心--------路人皆知65.外甥打灯笼---照旧（舅）66.王八吃年糕--------铁了心67.王小二过年---一年不如一年68.小葱拌豆腐-----一清二白69.小和尚念经----有口无心70.周瑜打黄盖--------两厢情愿71.赶鸭子上架----吃力不讨好72.擀面杖吹火----- -一窍不通73.瞎子戴眼镜----装饰74.猴子捞月亮--------空忙一场75.秀才遇到兵----有理讲不清76.三个臭皮匠--------顶个诸葛亮77.黄牛追兔子---有劲使不上78.和尚训道士--------管得宽79.过年娶媳妇----双喜临门80.聋子见哑巴--------不闻不问六字短语81.铜钣上钉铆钉---一是一，二是二82.里弄里扛竹竿---直来直去83.苦水里泡黄连----苦上加苦84.驴唇不对马嘴----答非所问85.猪鼻子里插葱-----装象86.只许州官放火---不许百姓点灯87.猪八戒照镜子--里外不是人88.放风筝断了线-----没指望了89.池塘里的风波-----大不了90.关门掩着耗子-----急（挤）死91.顶风顶水划船----硬撑92.东北的二人转--------一唱一和93.东洋人戴高帽----假充大个94.到火神庙求雨--------找错了门95.鲁班门前耍斧----有眼无珠96.老太太吃汤圆--------囫囵吞97.出太阳下暴雨---假情（晴）98.挂羊头卖狗肉--------虚情假意99.担着胡子过河----谦虚过度100.唱歌不看曲本--------离谱小学常用歇后语1.八仙过海--------各显神通2.不入虎穴--------焉得虎子3.蚕豆开花--------黑心4.车到山前--------必有路5.打破砂锅--------问到底6.和尚打伞--------无法无天7.虎落平阳--------被犬欺8.画蛇添足--------多此一举9.箭在弦上--------不得不发10.井底青蛙--------目光短浅11.大海捞针--------没处寻12.竹篮打水--------一场空13.打开天窗--------说亮话14.船到桥头--------自会直15.飞蛾扑火-----自取灭亡16.百米赛跑--------分秒必争17.拔苗助长-----急于求成18.仇人相见--------分外眼红19.芝麻开花----节节高20.新官上任--------三把火21.瞎子点灯--------白费蜡22.兔子尾巴--------长不了23.偷鸡不成----蚀把米24.王婆卖瓜--------自卖自夸25.老虎屁股---- 摸不得26.老虎拉车--------谁敢27.老鼠过街-----人人喊打28.麻雀虽小--------五脏俱全29.墙上茅草----随风两边倒30.三十六计--------走为上计31.塞翁失马----焉知祸福32.壶中无酒--------难留客33.丈二和尚----摸不着头脑34.有借有还--------再借不难35.猫哭耗子---假慈悲36.铰子破皮--------露了馅37.扁担挑水---一心挂了两头38.对牛弹琴--------白费劲39.八仙聚会--------神聊40.霸王敬酒--------不干也得干41.板上订钉--------跑不了42.背鼓上门--------讨打43.草把做灯-----粗心（芯）44.竹笋出土--------节节高45.菜刀切豆腐----两面光46.钉头碰钉子--------硬碰硬47.高山上敲鼓--四面闻名（鸣）48.铁打的公鸡-----一毛不拔49.关公走麦城----骄必败50.狗咬吕洞宾--------不识好人心51.鸡蛋碰石头----不自量力52.姜太公钓鱼--------愿者上钩53.脚踏西瓜皮--滑到哪里是哪里54.孔夫子搬家--------净是书55.老鼠钻风箱-----两头受气56.留得青山在--------不怕没柴烧57.门缝里看人---把人看扁了58.泥菩萨过河--------自身难保59.泼出去的水----收不回60.骑驴看唱本--------走着瞧61.千里送鹅毛--礼轻情意重62.肉包子打狗--------有去无回63.山中无老虎---猴子称大王64.司马昭之心--------路人皆知65.外甥打灯笼---照旧（舅）66.王八吃年糕--------铁了心67.王小二过年---一年不如一年68.小葱拌豆腐-----一清二白69.小和尚念经----有口无心70.周瑜打黄盖--------两厢情愿71.赶鸭子上架----吃力不讨好72.擀面杖吹火----- -一窍不通73.瞎子戴眼镜----装饰74.猴子捞月亮--------空忙一场75.秀才遇到兵----有理讲不清76.三个臭皮匠--------顶个诸葛亮77.黄牛追兔子---有劲使不上78.和尚训道士--------管得宽79.过年娶媳妇----双喜临门80.聋子见哑巴--------不闻不问六字短语81.铜钣上钉铆钉---一是一，二是二82.里弄里扛竹竿---直来直去83.苦水里泡黄连----苦上加苦84.驴唇不对马嘴----答非所问85.猪鼻子里插葱-----装象86.只许州官放火---不许百姓点灯87.猪八戒照镜子--里外不是人88.放风筝断了线-----没指望了89.池塘里的风波-----大不了90.关门掩着耗子-----急（挤）死91.顶风顶水划船----硬撑92.东北的二人转--------一唱一和93.东洋人戴高帽----假充大个94.到火神庙求雨--------找错了门95.鲁班门前耍斧----有眼无珠96.老太太吃汤圆--------囫囵吞97.出太阳下暴雨---假情（晴）98.挂羊头卖狗肉--------虚情假意99.担着胡子过河----谦虚过度100.唱歌不看曲本--------离谱。
梁横截面上的应力
• 二、梁的正应力强度条件（课本第三节）
设σmax是发生在梁最大处的工作应力，则:
m a x 工 作
最大工作 应力
材料的 许用应力
上式即为梁弯曲时的正应力强度条件。
对于等截面直梁，若材料的拉、压强 度相等( 塑性材料)，则最大弯矩的所在面 称为危险面，危险面上距中性轴最远的点 称为危险点。此时强度条件可表达为:
m'
b
m n
h z
y
τ
τo
FQ
τ
x
m'
dx
y
m
n
一、矩形截面梁的剪应力
FQ S bI z
z
IZ : 整个截面对中性轴z轴的惯性矩；
b : 横截面在所求应力点处的宽度； SZ*: 横截面上距中性轴为 y 的横线以外部 分的面积 A*对中性轴的静矩。
max
τmax
FQ
FS
Q z,max
例5：图示铸铁梁，许用拉应力[σt ]=30MPa，
许用压应力[σc ]=60MPa,Ｉz=7.63×10-6m4，试
校核此梁的强度。
9 kN
A
1m
4 kN
C
1m
B
1m
52
D
88
C
z
CL8TU12
9 kN
A
1m
4 kN
C
1m
B
1m
52
D
88
C
z
25 . kN M (k Nm ) 25 .
105 . kN
20
3 2 0 1 0 M 15 max t 2 W 0 . 1 0 . 2 z 1 12 .5 6 3 0 M P a <[]
建筑力学-国家开放大学电大机考网考题目答案
一、判断题：1.力是有大小和方向的量，所以力是矢量。
(对)2.在作用于刚体上的任意力系中，加上或减任意一个平衡力系，不会改变原力系对刚体的作用效应。
(对)3.约束限制物体的运动时所施加的力称为主动力。
(错)4.若力在某坐标轴上投影为零，则该力一定为零。
(错)5.力偶不能简化为一个力。
(对)6.如果物体系统由 3 个物体组成，每个物体都受平面一般力系的作用，则物体系统可建立 3 个独立的平衡方程。
(错)7.构件内力的大小不但与所受外力大小有关，还与材料的截面形状有关。
(错)8.轴力图是反映杆件上各横截面的轴力随棋截面面积变化的图形。
(错)9.计算许用应力时，安全系数取值大于 1 的目的是为了使构件具有足够的安全储备。
(对)10.两个简支粱的跨度及所承受的荷载相同，但由于材料和横截面面积不同，故粱的剪力和弯矩一定不相同。
(错)11.当一根粱同时受几个力作用时，根据微小变形假设，其某截面的挠度和转角等于每一个力单独作用下该截面的挠度和转角的代数和。
(对)12.平面图形对其形心轴的静矩恒为零。
(对)13.压杆上的压力等于临界荷载，是压杆稳定平衡的前提。
(错)14.几何不变体系是指在荷载作用下，不考虑材料的位移时，体系的形状和位置都不可能变化的体系。
(错)15.图乘法的正负号规定为，面积 Aw 与竖标Yc 在杆的同侧时，乘积AwYc 应取正号：面积Aw 与竖标Yc 在杆的异侧时，乘积 AwYc 应取负号。
(对)16.物体平衡是指物体处于静止状态。
(错)17.作用力与反作用力公理只适用于刚体。
(错)18 两个构件用圆柱销钉构成的铰链连接，只能限制两个构件的相对移动，而不能限制它们的转动。
(对)19 力沿坐标轴方向上的分力是矢量，力在坐标轴上的投影是代数量。
(对)20.合力对某一点的矩等于各分力对同一点的矩的代数和。
(对)21 在平面力系中，所有力的作用线互相平行的力系，为平面平行力系，有 3 个独立平衡方程。
梁正应力
8 hb2
12MPa
6
例题3：图示T形截面简支梁在中点承受集中力F＝32kN，梁的长度L＝
2m。T形截面的形心坐标yc＝96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz＝
1.02×108mm4。求弯矩最大截面上的最大拉应力和y最大压应力。
F
150
A
B
L
L
2
2
M max
FL 4
16kNm
y max
200
例题1:长为L的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F， 已知b＝120mm，h＝180mm、L＝2m，F＝1.6kN，试
求B截面上a、b、c各点的正应力。
A L2
F
h6
B
C
L2
h2
()
1 FL h
FL
a
M B ya IZ
2 bh3
3
1.65MPa
b 0
c
M B yc IZ
12
1 FL h
2 bh3
2
2.47MPa （-）
12
a
bh
c b
1 M B 2 FL
IZ
bh3 12
例题2：试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的 最大正应力，并加以比较。
q 2 kN m
200
100
4m qL2
200 100
8
竖放
qL2
max
M max WZ
8 bh2
6MPa
横放
6
qL2
max
M max WZ
一 基本概念与假设
1 纯弯曲与横力弯曲 纯纯弯弯曲曲：: 横截面上弯矩为常量，而切力为零。
A
横横力力弯弯曲曲：: 横截面上既有弯矩，又有切力。
判断图6-49所示的横截面上的切应力分布图是否正确
思 考 题6-1 现有低碳钢和铸铁两种材料，试对下列两种结构中的杆选用合适的的材料，并说明理由。
图6-46 图6-476-2 两根材料相同的拉杆，如图6-47所示，试判断它们的绝对变形是否相同？哪根变形大？6-3 三种材料的σ-ε曲线如图6-48所示，试指出这三种材料的机械性能特点。
6-4 何为挤压应力？它与一般的压应力有何区别？6-5 判断图6-49所示的横截面上的切应力分布图是否正确？图6-48 图6-496-6 简述弯曲正应力公式zI My =σ中各符号的含义，σ 的正负号的确定及公式应用的范围。
6-7 试比较圆形、矩形和工字形截面梁的合理性？习 题6-1 求图示阶梯杆横截面1-1，2-2，3-3上的轴力，并作轴力图。
若横截面面积A 1=200mm 2，A 2=300 mm 2，A 3=400 mm 2，求各横截面上的应力。
6-2 回转悬臂吊车的结构如图所示，小车对水平梁的集中载荷 题6-1图为F=15 kN，斜杆AB的直径d=20 mm，其它尺寸如图所示，试求：（1）当小车在AC中点时，AB杆中的正应力；（2）小车移动到何处时，AB杆中的应力最大，其数值为多少？题6-2图题6-3图6-3 长1.5 m的直角三角形钢板（厚度均匀）用等长的钢丝AB和CD悬挂，欲使钢丝伸长后钢板只有移动而无转动，问钢丝AB的直径应为钢丝CD的直径的几倍？6-4 图示为由两种材料组成的圆杆，直径d=40 mm，杆的总伸长Δl= 0.126 mm。
试求载荷F及杆内的最大正应力。
题6-4图6-5 铜丝直径d=2 mm，长l=500 mm。
材料的σ-ε曲线如图所示。
欲使铜丝的伸长为30 mm，则F力大约需加多大?题6-5图题6-6图6-6 图示结构中AB梁的变形及重量可忽略不计。
杆1为钢质圆杆，直径d1=20 mm，E钢=200 GPa。
杆2为铜质圆杆，直径d2=25 mm，E铜=100 GPa。
试问：（1）载荷F加在何处，才能使加力后刚梁仍保持水平？（2）若此时F=30 kN，则两杆内正应力各为多少？6-7 起重吊钩的上端用螺母固定，若吊钩螺栓部分的内径d=55 mm，材料的许用应力[σ]=80 MPa，试校核螺栓部分的强度。
工程力学 第二版 (范钦珊 唐静静 著) 高等教育出版社 课后答案 第10章 组合受力与变形杆件的强度计算
网
FP a2
ww w
5
.k hd
b
m
上表面
∴
σa 4 = σb 3
习题 10－7 图
和 ε 2 。证明偏心距 e与 ε1 、 ε 2 之间满足下列关系：
FP
网
ww w
e=
ε1 − ε 2 h × ε1 + ε 2 6
课
后 答
案
FP
M = FP e
习题 10－8 图
解：1，2 两处均为单向应力状态，其正应力分别为： 1 处：
第10章
组合变形与变形杆件的强度计算
10－1 根据杆件横截面正应力分析过程， 中性轴在什么情形下才会通过截面形心？试分析 下列答案中哪一个是正确的。 （A）My = 0 或 Mz = 0， FN ≠ 0 ； （B）My = Mz = 0， FN ≠ 0 ； （C）My = 0，Mz = 0， FN ≠ 0 ； （D） M y ≠ 0 或 M z ≠ 0 ， FN = 0 。 正确答案是 D 。 解：只要轴力 FN x ≠ 0 ， 则截面形心处其拉压正应力一定不为零， 而其弯曲正应力一定为零， 这样使其合正应力一定不为零，所以其中性轴一定不通过截面形心，所以答案选（D） 。 关于中性轴位置，有以下几种论述，试判断哪一种是正确的。 （A）中性轴不一定在截面内，但如果在截面内它一定通过形心； （B）中性轴只能在截面内并且必须通过截面形心； （C）中性轴只能在截面内，但不一定通过截面形心； （D）中性轴不一定在截面内，而且也不一定通过截面形心。 正确答案是 D 。 解：中性轴上正应力必须为零。由上题结论中性轴不一定过截面形心；另外当轴力引起的 拉（压）应力的绝对值大于弯矩引起的最大压（拉）应力的绝对值时，中性轴均不在截面内， 所以答案选（D） 。 并且垂 10－3 图示悬臂梁中， 集中力 FP1 和 FP2 分别作用在铅垂对称面和水平对称面内， 直于梁的轴线，如图所示。已知 FP1＝1.6 kN，FP2＝800 N，l＝1 m，许用应力 σ ＝160 MPa。 试确定以下两种情形下梁的横截面尺寸： 1．截面为矩形，h＝2b； 2．截面为圆形。
梁的正应力.
A
A
A
∫ =I z+I y =2I z =2
y2d
A=
πd4 32
A
∴
Iz
=
πd4 64
Wz
=
πd3 32
空心：
I
z=
πD4 64
(1－α4)
α=
d D
Wz
=
πD3 32
(1－α4)
h
f
h
y2 y1
三、组合图形 平行移轴公式：
b e z
z
Iz1=Izc+a2 A
I 0=19.5mm
h=Z0－5=19.5－5=14.5mm
σ
=
Mh Iz
M
=
I0σ h
=144×1140.－58××1100－83×106
=10.7kN•m
作业：5.2、5.3
σ∝y y →ymax
σ－max
●
M
●
σ+max
σ →σmax
σ+max
M
σ－max
二、横力弯曲
M、Fs共同作用，横截面翘曲，纵向截面间有挤压。
当hl＞5 时，同纯弯曲，此时 M =M(x)
σmax=(
M (x) Wz
)max
等截面梁：
σmax=
M max Wz
h b
§5.2 常用截面二次矩、平行移轴公式
hh
4
b a●
解：
z
M
B=
1 2
q
l2=45
0
N•m
B k●
Iz
=
bh3 12
=45×1
0－9
m－4
－
10-1-1梁横截面上的正应力(精)
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根据所观察到的表面现象，对梁的内部变形情况进行推断， 作出如下假设：
① 梁的横截面在变形后仍然为一平面，并且与变形后梁的轴 线正交，只是绕横截面内某一轴旋转了一个角度。这个假设称 为平面假设。
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3. 惯性矩和弯曲截面系数的计算
几种常见简单截面如矩形、圆形及圆环形等的惯性矩Iz和 弯曲截面系数Wz列于表10中，以备查用。由简单截面组合 而成的截面的惯性矩计算，见附录Ⅰ。 型钢截面的惯性矩和弯曲截面系数可由型钢规格表查得。
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4. 横力弯曲时梁横截面上正应力的计算公式
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§10－1 梁弯曲时的应力
10－1 －1
梁横截面上的正应力
剪力和弯矩是横截面上分布内力 的合力。在横截面上只有切向分 布内力才能合成为剪力，只有法 向分布内力才能合成为弯矩 （图）。因此，梁的横截面上一
般存在着切应力和正应力，它 们分别由剪力FS和弯矩M所引起
的。
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27.2 106 Pa 27.2MPa
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cB
M
B
y 2
Iz
4 103 N m 8.8 10-2m 7.6410-6 m4
46.1106 Pa 46.1MPa
综合以上可知，梁的最大拉、压应力分别为
tmax=tC=28.8MPa cmax=cB=46.1MPa
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孙训方《材料力学》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-弯曲问题的进一步研究(圣才出品)
cos
=
−
1 8
ql 2
cos
= − 1 2103 N/m(4.2 m)2 cos 20o 8
= −4144 N m
My
=
−M
sin
=
−
1 8
ql 2
sin
= − 1 2103 N/m(4.2 m)2 sin 20o 8
= −1508 N m
A、B 点坐标分别为：
yA＝80mm，zA＝（b－z0）＝45mm，yB＝－80mm，zB＝－18mm
10.2 课后习题详解 10-1 截面为 16a 号槽钢的简支梁，跨长 l＝4.2m，受集度为 q＝2kN/m 的均布荷 载作用。梁放在 φ＝20o 韵斜面上，如图 10-2-1 所示。若不考虑扭转的影响，试确定梁危 险截面上 A 点和 B 点处的弯曲正应力。
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A
=
−
1508 Ngm 73.310−8 m4
45 10−3
m
−
4144 Ngm 866.2 10−8 m4
80
10−3
m=
−131
MPa
点 B 处有最大拉应力
( ) ( ) B
=
−
1508 Ngm 73.310−8 m4
−1810−3 m
−
4144 Ngm 866.2 10−8 m4
−80 10−3 m
一、非对称纯弯曲梁的正应力 当梁不具有纵向对称面，或者梁虽具有纵向对称平面，但外力不作用在该平面时，梁将 发生非对称弯曲。非对称纯弯曲梁正应力计算公式见表 10-1-1。
表 10-1-1 非对称纯弯曲梁正应力计算公式
梁的弯曲应力和变形
正应力分布规律：
1. 中性轴上的点应力为零；
M
2. 上下边缘的点应力最大，其余各 点的应力大小与到中性轴的距离成
正比。
M
中性轴
F
二、计算公式 F
mn
1. 变形几何关系
解：（ 1 ）求支座反力
12.75
kN m
（ 2 ）作弯矩图
max
M
max
Iz
y1
M max W1
max
M
max
Iz
y2
M max W2
（8 - 8） （8 校核哪个截面？
例 2 铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴的惯性矩 Iz=40 3×10 － 7m4 ，铸铁抗拉强度［ σ ＋］ =5m0MPa ，抗压强度
的情况，公式仍然适用。
（ 2 ）公式是从矩形截面梁导出的，但对截面为其它对称形状（如工
字形、 T 字形、圆形等）的梁，也都适用。
M max WZ
梁弯曲时，其横截面上既有拉应力也有压应力。对于中性轴为对称 轴的横截面，例如矩形、圆形和工字形等截面，其上、下边缘点到 中性轴的距离相等，故最大拉应力和最大压应力在数值上相等，可 按左式求得。
一般情况下，梁的强度计算由正应力强度条件控制。
在选择梁的截面时，一般按正应力强度条件选择，选好 截面后，再按剪应力强度条件进行校核。
对于细长梁，按正应力强度条件选择截面或确定许用荷载 后，一般不再需要进行剪应力强度校核。
在下列几种特殊情况下，需要校核梁的剪应力：
（ 1 ）梁的跨度较短，或在支座附近有较大的荷载作用。 在此情况下，梁的弯矩较小，而剪力却很大。 （ 2 ）在组合工字形截面的钢梁中，当腹板的厚度较小 而工字形截面的高度较大时，腹板上的剪应力值将很大 ，而正应力值相对较小。 （ 3 ）木材在顺纹方向抗剪强度较差，木梁可能因剪应 力过大而使梁沿中性层发生剪切破坏。
梁的正应力
F F
1、变形前互相平行的纵向直线、
m n
变形后变成弧线，且凹边纤维缩 短、凸边纤维伸长。
2、变形前垂直于纵向线的横向
m
n
线,变形后仍为直线，且仍与弯曲 了的纵向线正交，但两条横向线 间相对转动了一个角度。
平面假设：
变形前杆件的横截面变形后仍 为平面。
中性层
中性轴：
m
n
中性层与横截面的交线称 为中性轴。
E
A
(-) B
D
(+) 10kN*m
y2
C
y1
拉应力
a
e
压应力
压应力 B截面
b
d
拉应力 D截面
危险点：
a, b, d
（3）计算危险点应力 拉应力
a
e
压应力
校核强度
M B y2 a Iz 30 MPa （拉） M B y1 b Iz
70 MPa （压）
压应力 B截面
b
d
拉应力
150kN吊车
B
200kN吊车
1.确定F加在辅助梁的位置
A
C
辅助梁
M M
A
0 0
FA
x
F
l
FB
B
FP l x F F B B l F l x 0 l F Fx FAl 0 FAx l
令: FA Fx 200kN l
FB
F l x l
D q
A B
d
FB
C
3q FA kN 4
梁的强度
FB
9q kN 4
FA
2m
1m
M max 0.5q WZ WZ
梁平面弯曲时横截面上的正应力,材料力学
Iz M
1 / 为梁轴线变形后的曲率 EI越大 1 / 越小 EI 梁的抗弯刚度
3、纯弯曲时正应力公式的推导
( y) E
y
M 该点的弯矩 Iz 截面对 z 轴（中性轴）的惯性矩
4、纯弯曲时正应力分布关系 对某一截面而言，M和Iz 若都是确定的，当 横截面的弯矩为正时，则 ( y )沿截面高度 的分布规律:
实验和弹性力学理论的研究都表明：当跨度 l 与横截 面高度 h 之比 l / h > 5 （细长梁）时，纯弯曲正应力公 式对于横力弯曲近似成立。
弯曲正应力公式
可推广应用于横力弯曲和小曲率梁但公式中的M应为所研 究截面上的弯矩，即为截面位置的函数。
1、梁横力弯曲时横截面上的正应力 对于变截面梁，最大弯曲正应力并不一定出现在弯矩最大 的横截面上，其大小应为:
2.9 107 mm 4
y2 200 53.2 146.8 mm
4、应力计算 考察C截面，弯矩为正
C截面下边受拉上边受压
M C y1 12 106 53.2 22MPa 7 Iz 2.9 10
C
M C y2 12 106 146.8 60.74MPa 7 Iz 2.9 10
⑴
截面关于中性轴对称
z
t max
c max
M Wz
t
Wz ——截面的抗弯截面系数
⑵ 截面关于中性轴不对称
max
z
t
My max Iz
max
c
My max Iz
c
几种常见截面的 IZ 和 WZ
圆截面 空心圆截面
矩形截面 空心矩形截面
第十章 工程力学之弯曲应力
max拉MWm1ax [拉] ； max压MWm2ax [压]
式中W1和W2分别是相应于最大拉应力 max拉和最大压应力 max压 的抗弯截面模量，[ 压 ] 为材料的许用拉应力，[ 拉 ]为
材料的许用压应力。
例10-1 某冷却塔内支承填料用的梁，可简化为受均布载荷 的简支梁，如图10-8所示。已知梁的跨长为3m，所受均布
加载之前，先在梁的侧面，分别画上与梁轴线垂直的横线mn、 m1n1，与梁轴线平行的纵线ab、a1b1，前二者代表梁的横截面；
后二者代表梁的纵向纤维。如图10-2（a）所示。
在梁的两端加一对力偶，梁处于纯弯曲状态，将产生如图 10-2（b）、图10-2（c）所示的弯曲变形，可以观察到以下 现象：
•两条横线仍为直线，仍与纵线垂直，只是横线间作相对 转动，由平行线变为相交线。
2. 梁的变形规律
可以证明，纯弯曲梁变形后的轴线为一段圆弧。将图10-2(b)
中代表横截面的线段mn和m1n1延长，相交于C点，C点就是梁轴 弯曲后的曲率中心。若用 表示这两个横截面的夹角， 表
示中性层 故有
O
1
O
2
的曲率半径，因为中性层的纤维长度
O
1
O
2
不变，
O1O2
在如图10-2所示的坐标系中，y轴为横截面的对称轴，z轴为
如图10-1（a）所示的简支梁，其剪 力图如图10-1（b）所示，弯矩图如图 10-1（c）所示。可以看出梁中间一段 的剪力为零，而弯矩为常数，即为纯
弯曲； AC 和DB 段上既有剪力，又有
弯矩，为横力弯曲。
一、变形的几何关系
1. 梁的变形特点
如图10-2（a）所示，取梁的纵向对称面为xy平面。梁上的 外载荷就作用在这个平面内，梁的轴线在弯曲变形后也位于这 个平面内。
201509学期—工程力学(一)
70.剪应力互等定理表示两个截面上的剪应力大小相等，符号相反。 答案：错
71.当弯矩不为零时，离中性轴越远，弯曲正应力的绝对值越大。 答案：对
72.剪应力为零的截面为主平面，主平面上的应力为主应力，主应力一定不为零。 答案：错
73.图形面积与该图形形心到某轴坐标的乘积称图形对该轴的静矩。 答案：对
55.确定脆性材料的容许应力时，一般情况下脆性材料有( ) A.一 B.二 C.三 D.六 答案：B
容许应力。
56.确定塑性材料的容许应力时，一般情况下塑性材料有( ) A.一 B.二 C.三 D.六 答案：A
容许应力。
57.刚度条件有三方面力学计算，它们是( )。 A.内力计算、应力计算、变形计算 B.刚度校核、截面设计、计算许可荷载 C.荷载计算、截面计算、变形计算 D.截面计算、内力计算、计算许可荷载 答案：B
31.圆轴扭转时，表面上任一点处于（ ）应力状态。 A.单向 B.二向 C.三向 D.零 答案：B
32.光滑面对物体的约束反力，作用在接触点处，其方向沿接触面的公法线（ ）。 A.指向受力物体，为压力？ B.指向受力物体，为拉力 C.背离受力物体，为拉力 D.背离受力物体，为压力 答案：A
33.不同材料的甲、乙两杆，几何尺寸相同，则在受到相同的轴向拉力时，两杆的 应力和变形的关系为（ ）。 A.应力和变形都相同 B.应力不同，变形相同 C.应力相同，变形不同 D.应力和变形都不同 答案：C
29.低碳钢的整个拉伸过程可分为四个阶段，其中应力几乎不变、而变形却急剧增长，
这种现象称为流动的阶段是（ ）。 A.弹性阶段 B.屈服阶段 C.强化阶段 D.颈缩阶段 答案：B
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可以证明，梁横截面上正应力的计算公式为
My
Iz
(10－1)
式中：M—横截面上的弯矩；
y—横截面上待求应力点至中性轴的距离；
Iz—横截面对中性轴的惯性矩（见附录一）。
在使用公式（10-1）计算正应力时，通常以M、y的绝对值
代入，求得的大小，再根据弯曲变形判断应力的正(拉)或负(
建筑力学
第10章 梁的强度和刚度
第10章 梁的强度和刚度
【内容提要】
本章介绍等截面直梁平面弯曲时的应力和强度计算以及 变形和刚度计算及受力构件内一点处应力状态的概念， 应力状态的分析和梁主应力迹线的概念。
【学习目标】
1.熟练掌握梁弯曲时横截面上正应力、切应力的计算和 梁的强度计算。 2. 了解提高梁弯曲强度的主要措施。
则梁的最大正应力将发生在最大正弯矩或最大负弯矩所在横
截面上的边缘各点处，且最大拉应力和最大压应力的值不相
等（详见例10－1）。
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例10－1 求图a、b所示T形截面梁的最大拉应力和最大压应 力。已知T形截面对中性轴的惯性矩 Iz=7.64106 mm4，且 y1=52 mm。 解 （1)绘制梁的弯矩图。 梁的最大正弯矩发生在截面C上。
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在横力弯曲时，如果梁的横截面对称于中性轴，例如矩形、圆
形和圆环形等截面，则梁的最大正应力将发生在最大弯矩（绝
对值）所在横截面的边缘各点处，且最大拉应力和最大压应力
的值相等。梁的最大正应力为
max=
M max Wz
如果梁的横截面不对称于中性轴，例如T形截面，由于y1≠y2，
② 设想梁由许多纵向纤维组成。变形后，由于纵向直线与横 向直线保持正交，即直角没有改变，可以认为纵向纤维没有受 到横向剪切和挤压，只受到单方向的拉伸或压缩，即靠近凹面 纤维受压缩，靠近凸面纤维受拉伸。
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根据以上假设，靠近凹面纤维受压缩，靠近凸面纤维受拉伸。 由于变形的连续性，纵向纤维自受压缩到受拉伸的变化之间， 必然存在着一层既不受压缩、又不受拉伸的纤维，这一层纤维 称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴，如图所示。 梁弯曲时，各横截面绕各自中性轴转过一角度。可以证明，中 性轴通过横截面的形心并垂直于横截面的竖向对称轴。
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§10－1 梁弯曲时的应力
10－1 －1
梁横截面上的正应力
剪力和弯矩是横截面上分布内力 的合力。在横截面上只有切向分 布内力才能合成为剪力，只有法 向分布内力才能合成为弯矩 （图）。因此，梁的横截面上一
般存在着切应力和正应力，它 们分别由剪力FS和弯矩M所引起
的。
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压)，即以中性层为界，梁的凸出边的应力为拉应力，梁的凹
入边的应力为压应力。
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2. 横截面上正应力的分布规律和最大正应力
在同一横截面上，弯矩M和惯性矩Iz为定值，因此，由式(10－1) 可以看出，梁横截面上某点处的正应力σ与该点到中性轴的距 离y成正比，当y=0时，σ=0，即中性轴上各点处的正应力为零。 中性轴两侧，一侧受拉，另一侧受压。 离中性轴最远的上、下边 缘y=ymax处正应力最大， 一边为最大拉应力σtmax， 另一边为最大压应力σcmax。
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1. 纯弯曲时梁横截面上正应力的计算
梁弯曲时横截面上如果只有弯矩而无 剪力，这种情况称为纯弯曲。如果既 有弯矩又有剪力，则称这种弯曲为横
力弯曲。如图所示的简支梁，其CD段 是纯弯曲情况，而AC和DB段则是横力
弯曲情况。纯弯曲是弯曲中最简单的 情况，下面先研究纯弯曲梁横截面上 的正应力计算。
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最大应力值为
max
My m a x Iz
令
Wz
Iz ym ax
则最大正应力可表示为
max
M Wz
式中：Wz—截面对中性轴z的弯曲截面系数。 它只与截面的形状及尺寸有关，是衡量截面抗弯能力的一个几
何量，常用单位为mm3或m3。
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3. 掌握用叠加法计算梁弯曲时的变形以及进行刚度计 算。
*4. 理解应力状态的概念。了解应力状态的分类。 *5. 掌握平面应力状态中单元体斜截面上的应力计算， 主应力和主平面计算，最大切应力和最大切应力平面计 算。 *6. 理解梁的主应力迹线的概念。
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3. 惯性矩和弯曲截面系数的计算
几种常见简单截面如矩形、圆形及圆环形等的惯性矩Iz和 弯曲截面系数Wz列于表10中，以备查用。由简单截面组合 而成的截面的惯性矩计算，见附录Ⅰ。 型钢截面的惯性矩和弯曲截面系数可由型钢规格表查得。
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4. 横力弯曲时梁横截面上正应力的计算公式
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取截面具有竖向对称轴（例如矩形截面）的等直梁，在梁侧 面画上与轴线平行的纵向直线和与轴线垂直的横向直线，如图 10所示。然后在梁的两端施加外力偶Me，使梁发生纯弯曲（图 10）。此时可观察到下列现象：
① 纵向直线变形后成为相互平行的曲线，靠近凹面的缩短， 靠近凸面的伸长。
② 横向直线变形后仍然为直线，只是相对地转动一个角度。 ③ 纵向直线与横向直线变形后仍然保持正交关系。
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根据所观察到的表面现象，对梁的内部变形情况进行推断， 作出如下假设：
① 梁的横截面在变形后仍然为一平面，并且与变形后梁的轴 线正交，只是绕横截面内某一轴旋转了一个角度。这个假设称 为平面假设。
横力弯曲时梁横截面上不仅有弯矩而且还有剪力，因此梁横截 面上不仅有正应力，而且还有切应力。由于切应力的存在，梁 变形后横截面不再保持为平面。按平面假设推导出的纯弯曲梁 横截面上正应力计算公式，用于计算横力弯曲梁横截面上的正 应力是有一些误差的。但是当梁的跨度和横截面的高度的比值 l/h＞5时，其误差甚小。因此，式(10－1)也适用于横力弯曲。 但要注意，纯弯曲梁段M为常量，而横力弯曲梁段M是变量，故 应用M( x)代替式(10－1)中的M。