二次函数一般式图像与性质
初三二次函数的图像与性质
初三二次函数的图像与性质二次函数是初中数学中的一个重要概念。
在数学学习的过程中，我们常常会接触到二次函数，并且需要了解它的图像特点以及性质。
本文将详细介绍初三二次函数的图像和性质，并且给出相关的例题和解析。
一、二次函数的定义及一般式二次函数是指函数$y=ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$为常数且$a\neq 0$。
它的图像是抛物线，并且开口的方向由$a$的正负决定。
当$a>0$时，抛物线开口向上；而当$a<0$时，抛物线开口向下。
二次函数的一般式为$y=ax^2+bx+c$，其中$a,b,c$为常数。
其中，$a$代表抛物线的开口方向与开口的大小，$b$影响抛物线的位置，$c$影响抛物线和$y$轴的交点。
【例题1】某二次函数的方程是$y=2x^2-3x+1$，求该二次函数的图像和性质。
解：根据给定的二次函数方程，我们可以得到$a=2$，$b=-3$，$c=1$。
由于$a>0$，所以抛物线开口向上。
考虑二次函数的图像特点，我们可以使用一些方法来绘制它的图像。
首先，我们可以找出抛物线的对称轴，对称轴的方程为$x=-\frac{b}{2a}$。
代入$a=2$，$b=-3$，我们得到$x=-\frac{-3}{2\times2}=\frac{3}{4}$。
因此，对称轴的方程为$x=\frac{3}{4}$。
接下来，我们需要计算抛物线的顶点坐标。
顶点坐标可以通过将对称轴的$x$坐标代入原函数方程计算得到。
将$x=\frac{3}{4}$代入$y=2x^2-3x+1$，我们得到$y=2(\frac{3}{4})^2-3(\frac{3}{4})+1=\frac{9}{8}-\frac{9}{4}+1=\frac{1}{8}$。
因此，顶点坐标为$(\frac{3}{4}, \frac{1}{8})$。
不难看出，根据顶点的坐标和对称轴的方程，我们可以绘制出该二次函数的图像。
它是一个开口向上的抛物线，对称轴为$x=\frac{3}{4}$，顶点坐标为$(\frac{3}{4}, \frac{1}{8})$。
二次函数图像与性质ppt课件
D．f(1)＞25
答案：A
三基能力强化
2．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足 f(4)＝f(1)，那么( )
A．f(2)＞f(3) B．f(3)＞f(2) C．f(3)＝f(2) D．f(3)与f(2)的大小关系不确定 答案：C
三基能力强化
3．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区
间[0，m]上有最大值3，最小值2，则
课堂互动讲练
【思路点拨】 (1)待定系数法．(2) 二次函数的单调性．
【解】 (1)依题意，方程f(x)＝ax2 ＋bx＝x有等根，
则有Δ＝(b－1)2＝0，∴b＝1. 2分 又f(－x＋5)＝f(x－3)， 故f(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴－2ba＝1，解得 a＝－12，
∴f(x)＝－21x2＋x. 5 分
基础知识梳理
2．二次函数的图象及其性质
基础知识梳理
基础知识梳理
基础知识梳理
二次函数可以为奇函数吗？ 【思考·提示】 不会为奇 函数．
三基能力强化
1．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在
区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的
范围是( )
A．f(1)≥25
B．f(1)＝25
C．f(1)≤2＋2＝(x＋a)2＋2 －a2的对称轴为x＝－a，
∵f(x)在[－5,5]上是单调函数， ∴－a≤－5，或－a≥5， 解得a≤－5，或a≥5. 10分
规律方法总结
1．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a ＞0)在区间[m，n]上的最值．
当－2ba＜m 时，函数在区间[m， n]上单调递增，最小值为 f(m)，最大 值为 f(n)；
基础知识梳理
1．二次函数的解析式有三种常用表 达形式
二次函数(一般式)的图像和性质
解释二次函数图像的平移公式，如何改变图像的 位置。
介绍二次函数图像的垂直伸缩公式，如何改变图 像的高度。
详细说明二次函数图像的水平伸缩公式，如何改 变图像的宽度。
讨论二次函数图像的反比例伸缩公式，如何改变 图像的比例。
介绍二次函数图像的对称公式，如何实现图像的 对称变换。
二次函数的性质
1 单峰函数
3
二次函数的应用
展示二次函数在实际问题中的应用，如 物理、经济等领域。
二次函数的性质
例题解析
通过解析例题，进一步理解二次函数的性质和应用。
阐述二次函数的性质，它 是一个单峰函数。
2 奇偶性及对称轴
讲解二次函数的奇偶性质 以及对称轴的位置。
3 导数及斜率
介绍二次函数的导数和斜 率，深入理解函数的变化 速度。
二次函数的性质
1
凹凸性及拐点
探讨二次函
到曲线的变化点。
介绍最小二乘法在二次函数中的应用，
用于拟合数据和函数。
平移变换
详细说明二次函数图像的平移 变换，改变图像的位置。
二次函数的性质
垂直伸缩变换
使用垂直伸缩变换改变二次函数 图像的高度。
水平伸缩变换
介绍二次函数图像的水平伸缩变 换，改变图像的宽度。
反比例伸缩变换
讨论二次函数图像的反比例伸缩， 改变图像的比例。
二次函数的性质
平移公式 垂直伸缩公式 水平伸缩公式 反比例伸缩公式 对称公式
二次函数(一般式)的图像 和性质
二次函数是一般式的函数，定义了二次函数的特性和图像。我们将深入探讨 二次函数的各个方面，包括开口方向、对称轴、零点、顶点和最值等。
二次函数的一般式
定义和图像
通过一般式的定义，了解二次函数的图像特征和 形状。
一般式二次函数的图像及性质
2
写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶 点坐标，当x为何值时y的值最大（小）？
（1）y=3x2+2x
（2）y=-x2-2x （3）y=-2x2+8x-8
1 2 4 y x 4 x 3 2
?
向下
直线x=2
抛物线y=a(x-h)2+k有如下性质: 1.当a﹥0时，开口 向上 ， 当a﹤0时，开口 向下 ， 2.对称轴是 直线X=h ； 3.顶点坐标是 (h,k) 。
能否说出二次函数y=3x2-6x+5的 性质？
思考：
1、二次函数 y=a(x-h)2+k的右边 a(x-h)2+k的这种形式在哪里学习过？
0 x
?
二次函数y=ax² +bx+c的图象
二次函数 y=2(x+3)2+5 y = -3x(x-1)2 -2
y = 4(x-3)2 +7 y = -5(x-2)2 - 6
开口方向 向上 向下
向上
对称轴
顶Байду номын сангаас坐标
对称轴 ( -3, 5 ) 直线 x=-3 顶点坐标
直线x=1 直线x=3
( 1 , -2 ) ( 3 , 7) ( 2 , -6 )
1.用总长为60m的篱笆墙围成矩 形场地，矩形面积S随矩形一边 长L的变化而变化，当L多少时， 场地的面积S最大？
?
(1)桥拱的最高点到桥面的距离是多少？
(2)两个桥拱的最高点之间的距离是多少？
(3) 你能求出左边桥拱的表达式吗？ 如图，一座双拱桥的两个拱具有相同的抛 物线形状，按照图中的直角坐标系，右边 1 2 1 的一条抛物线可以用 y x x6 表 180 3 y 示，而且左右两条抛物线关于y轴对称。
二次函数的图像和性质(共48张PPT)
即当 x＜－2ba时， 当 x＜－2ba时，y 随 x y 随 x 的增大而减
的增大而增大；在对 小；在对称轴的右
称轴的右侧，即当 x 侧，即当 x＞－2ba ＞－2ba时，y 随 x 的 时，y 随 x 的增大
增大而减小，简记为 而增大，简记为
“左增右减” “左减右增”
15
最值
抛物线有最 抛物线有最
1、二次函数的图像和性质
函数
二次函数 y＝ax2＋bx＋c
(a，b，c 为常数，a≠0)
a<0
a>0
图象
13
开口 对称轴、顶点
抛物线开口向 抛物线开口向
上，并向上无限 下，并向下无限
延伸
延伸
对称轴是x＝－
b 2a
，顶点坐标是
－2ba，4ac4－a b2
14
增减性
在对称轴的左侧， 在对称轴的左侧，即
低点，当 高点，当
x＝－2ba时， x＝－2ba时，
y 有最小值， y 有最大值，
y ＝ 最小值
y ＝ 最大值
4ac－b2 4a
4ac－b2 4a
16
2、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征
与系数a，b，c的关系
项目 字母
字母的符号
图象的特征
a＞0 a
a＜0
二次函数的图像与性质-完整版课件
二次函数与一元二次方程关系
一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a neq 0$）的解即为二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 与 $x$ 轴交点的横坐标。
当 $Delta = b^2 - 4ac > 0$ 时，二次函数与 $x$ 轴有两个交点；当 $Delta = 0$ 时，有 一个交点；当 $Delta < 0$ 时，没有交点。
• 分析：根据题意设交点坐标为$(-1, y_1)$和$(3, y_2)$，代入直线方程可得两个方程。又因为这两个点也在抛 物线上，所以代入抛物线方程也可得两个方程。联立这四个方程即可求出二次函数的解析式。
• 示例2：已知二次函数$y = ax^2 + bx + c (a • eq 0)$的图像与直线$y = x + m (m • eq 0)$相交于两点，且这两点关于原点对称，求二次函数的解析式。 • 分析：根据题意设交点坐标为$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，由于两点关于原点对称，所以有$x_1 = -x_2$和
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二次函数的图像与性质-完
整版课件
汇报人：XXX
2024-01-29
• 二次函数基本概念 • 二次函数图像特征 • 二次函数性质探讨 • 典型例题分析与解答 • 实际应用场景举例说明 • 总结回顾与拓展延伸
目录
CONTENTS
零点存在性及个数判断方法
零点定义
二次函数零点存在 性判断方法
对于函数f(x)，若存在x0∈D， 使得f(x0)=0，则称x0为函数 f(x)的零点。
通过判别式Δ=b^2-4ac来判断 。当Δ>0时，二次函数有两个 不相等的零点；当Δ=0时，二 次函数有两个相等的零点（即 一个重根）；当Δ<0时，二次 函数无零点。
第1讲 二次函数的图像及性质
第1讲二次函数的图形及性质题型1：二次函数的概念1.下列函数表达式中，一定为二次函数的是（）A．y=5x−1B．y=ax2+bx+c C．y=3x2+1D．y=x2+1x题型2：利用二次函数定义求字母的值2.已知y=(m+1)x|m−1|+2m是y关于x的二次函数，则m的值为（）A．−1B．3C．−1或3D．0题型3：二次函数的一般形式3.二次函数y＝2x2﹣3的二次项系数、一次项系数和常数项分別是（）A．2、0、﹣3B．2、﹣3、0C．2、3、0D．2、0、3A．2B．﹣2C．﹣1D．﹣4题型4：根据实际问题列二次函数4.一个矩形的周长为16cm，设一边长为xcm，面积为y cm2，那么y与x的关系式是【变式4-1】如图，用长为20米的篱笆（AB+BC+CD=20），一边利用墙（墙足够长），围成一个长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，围成的花圃面积为y米2，则y关于x的函数关系式是．【变式4-2】某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y （单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（）A．y＝（200﹣5x）（40﹣20＋x）B．y＝（200＋5x）（40﹣20﹣x）C．y＝200（40﹣20﹣x）D．y＝200﹣5x题型5：自变量的取值范围5.．若y=(a−2)x2−3x+4是二次函数，则a的取值范围是（）A．a≠2B．a>0C．a>2D．a≠0【变式5-1】函数y=√x+2的自变量取值范围是（）x−1A．x≥−2B．−2≤x<1C．x>1D．x≥−2且x≠1【变式5-2】若y=(m+1)x m2−2m−1是二次函数，则m=，其中自变量x的取值范围是．22.1.2二次函数y=ax2的图像和性质二次函数y=ax2(a≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.二次函数y=ax2(a ≠0)的图象的画法用描点法画二次函数y=ax 2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x 的值，然后计算出对应的y 值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.注意：用描点法画二次函数y=ax 2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y 轴．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.题型1：利用描点法作函数图像1.在直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2的图象（取值、描点、连线、画图）．【变式1-1】在如图所示的同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2，y ＝x 2，y ＝﹣2x 2与y ＝﹣x 2的图象．x y ＝2x 2 y ＝x 2 y ＝﹣2x 2 y ＝﹣x 2x ya>0a<0题型2：二次函数y=ax2的图像2.在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝﹣2x2，y3＝x2的图象，正确的是（）A．B．C．D．【变式2-1】下列图象中，是二次函数y＝x2的图象的是（）A．B．C．D．【变式2-2】如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数①y＝3x2；②y＝；③y＝x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（）A．①②③B．①③②C．②③①D．③②①题型3：二次函数y=ax2的性质3.抛物线y＝﹣3x2的顶点坐标为（）A．（0，0）B．（0，﹣3）C．（﹣3，0）D．（﹣3，﹣3）【变式3-1】抛物线，y＝x2，y＝﹣x2的共同性质是：①都开口向上；②都以点（0，0）为顶点；③都以y轴为对称轴．其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【变式3-2】．对于函数y＝4x2，下列说法正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而减小B．当x＞0时，y随x的增大而增大C．y随x的增大而减小D．y随x的增大而增大【变式3-3】二次函数y＝﹣3x2的图象一定经过（）A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限题型4：函数图像位置的识别4.已知a≠0，b＜0，一次函数是y＝ax+b，二次函数是y＝ax2，则下面图中，可以成立的是（）A．B．C．D．【变式4-1】函数y＝ax2与y＝ax+a，在第一象限内y随x的减小而减小，则它们在同一平面直角坐标系中的图象大致位置是（）A．B．C．D．【变式4-2】在图中，函数y＝﹣ax2与y＝ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．题型5：函数值的大小比较5.二次函数y1＝﹣3x2，y2＝﹣x2，y3＝5x2，它们的图象开口大小由小到大的顺序是（）A．y3＜y1＜y2B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y2＜y1＜y3题型6：简单综合-三角形面积6.求直线y＝3x+4与抛物线y＝x2的交点坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形面积．22.1.3二次函数y=a（x-h）²+k的图像和性质二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象（1）（2）0 a>0 a<题型1：二次函数y=ax²+k的图象1.建立坐标系，画出二次函数y＝﹣x2及y＝﹣x2+3的图象．向上向下题型2：二次函数y=ax²+k的性质2.抛物线的开口方向是（）A．向下B．向上C．向左D．向右【变式2-2】抛物线y＝2x2+1的对称轴是（）A．直线x＝B．直线x＝﹣C．直线x＝2D．y轴题型3：二次函数y=a（x-h）²的图象3.画出二次函数（1）y＝（x﹣2）2（2）y＝（x+2）2的图象．课堂总结：题型4：二次函数y=a（x-h）²的性质4.对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝1C．顶点坐标为（1，0）D．当x＜1时，y随x的增大而减小题型5：二次函数y=a（x-h ）²+k 的图象和性质5.对于二次函数y ＝﹣5（x +4）2﹣1的图象，下列说法正确的是（ ） A ．图象与y 轴交点的坐标是（0，﹣1） B ．对称轴是直线x ＝4C ．顶点坐标为（﹣4，1）D ．当x ＜﹣4时，y 随x 的增大而增大 【变式5-1】再同一直角坐标系中画出下列函数的图象 （1）y ＝（x ﹣2）2+3 （2）y ＝（x +2）2﹣3【变式5-2】画函数y ＝（x ﹣2）2﹣1的图象，并根据图象回答： （1）当x 为何值时，y 随x 的增大而减小．（2）当x 为何值时，y ＞0．【变式5-3】写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1）y ＝5（x +2）2﹣3；（2）y ＝﹣（x ﹣2）2+3；（3）y ＝（x +3）2+6．二次函数的平移 1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： ()2y a x h k =-+()h k ，2y ax =()h k ，2.平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左h k加右减，上加下减”．题型6：二次函数几种形式之间的关系（平移）6.将抛物线y＝（x﹣3）2﹣4先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）A．y＝（x﹣4）2﹣6B．y＝（x﹣1）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣2D．y＝（x﹣4）2﹣2【变式6-1】将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，能得到抛物线y ＝2（x﹣2）2+3的是（）A．y＝2（x﹣1）2+1B．y＝2（x﹣3）2+1C．y＝﹣2（x﹣1）2+1D．y＝﹣2x2﹣1【变式6-2】将二次函数y＝x2﹣3的图象向右平移3个单位，再向上平移5个单位后，所得抛物线的表达式是．题型7：利用增减性求字母取值范围7.抛物线y＝（k﹣7）x2﹣5的开口向下，那么k的取值范围是（）A．k＜7B．k＞7C．k＜0D．k＞0【变式7-1】已知点（x1，y1）、（x2，y2）是函数y＝（m﹣3）x2的图象上的两点，且当0＜x1＜x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是（）A．m＞3B．m≥3C．m≤3D．m＜3【变式7-2】二次函数y＝（x﹣h）2+k（h、k均为常数）的图象经过P1（﹣3，y1）、P2（﹣1，y2）、P3（1，y3）三点．若y2＜y1＜y3，则h的取值范围是．题型8：识别图象位置8.如果二次函数y＝ax2+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+c的图象大致是（）A．B．C．D．【变式8-1】在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝ax+b的图象不可能是（）A．B．C．D．【变式8-2】已知m是不为0的常数，函数y＝mx和函数y＝mx2﹣m2在同一平面直角坐标系内的图象可以是（）A．B．C．D．题型9：比较函数值的大小9.已知二次函数y＝（x﹣1）2+h的图象上有三点，A（0，y1），B（2，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＝y2＜y3B．y1＜y2＜y3C．y1＜y2＝y3D．y3＜y1＝y2题型10：简单综合问题10.已知抛物线y＝（x﹣5）2的顶点为A，抛物线与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交抛物线于另外一点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）试判断△ABC 的形状并说明理由．【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+3与y 轴交于点A ，过点A 与x 轴平行的直线交抛物线y ＝x 2于点B 、C ，求BC 的长度．【变式10-2】在同一坐标系内，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝x +b 相交于A ，B 两点，若点A 的坐标是（2，3）．（1）求B 点的坐标；（2）连接OA ，OB ，AB ，求△AOB 的面积．22.1.4 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与性质二次函数一般式与顶点式之间的相互关系 1.顶点式化成一般式从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式． 2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2y ax bx c =++2222222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22424b ac b a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．题型1：一般式化成顶点式-配方法1.将二次函数y=x2−4x+5用配方法化为y=(x−ℎ)2+k的形式，结果为（）A．y=(x−4)2+1B．y=(x−4)2−1C．y=(x−2)2−1D．y=(x−2)2+1题型2：一般式化成顶点式-应用2.已知：二次函数y＝x2﹣2x﹣3．将y＝x2﹣2x﹣3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并求此函数图象与x轴、y轴的交点坐标．题型3：公式法求顶点坐标及对称轴3.已知二次函数 y =−12x 2+bx +3 ，当 x >1 时，y 随x 的增大而减小，则b 的取值范围是（ ） A ．b ≥−1B ．b ≤−1C ．b ≥1D ．b ≤10a >0a <题型4：二次函数y=ax2+bx+c图像与性质4.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列说法不正确的是()A．当1<x<3时，y>0B．当x=2时，y有最大值C．图像经过点(4，−3)D．当y<−3时，x<0【变式4-2】二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，当x>0时，函数值y的取值范围是()A．y⩽9B．y⩽2C．y<2D．y⩽3 4题型5：利用二次函数的性质比较函数值5.函数y＝﹣x2﹣2x+m的图象上有两点A（1，y1），B（2，y2），则（）A．y1＜y2B．y1＞y2几种常考的关系式的解题方法题型6：二次函数y=ax2+bx+c图像与系数的关系6.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数），如果a＞b＞c，且a+b+c＝0，则它的图象可能是（）A．B．C．D．【变式6-1】已知函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−4．若x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根，且x1<x2，1<x2<2，则下列说法正确的是A．x1x2>0B．−10<x1<−9C．b2−4ac<0D．abc>0【变式6-2】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点(2，0)，，有下列结论：①b<0；②a+b>0；③4a+2b+3c<0；④无且对称轴为直线x=12，0)．其中正确结论有（）论a，b，c取何值，抛物线一定经过(c2aA．1个B．2个C．3个D．4个【变式6-3】如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C；对称轴为直线x=−1，点B的坐标为(1，0)，则下列结论：①AB=4；②b2−4ac>0；③b>0；④a−b+c<0，其中正确的结论有（）个.A．1个B．2个C．3个D．4个7.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…0﹣4﹣6﹣6﹣4…则该二次函数图象的对称轴为（）A．y轴B．直线x=12C．直线x＝1D．直线x=32题型8：利用二次函数的性质求字母的范围8.已知二次函数y＝x2+bx+1当0<x<12的范围内，都有y≥0，则b的取值范围是A．b≥0B．b≥﹣2C．b≥﹣52D．b≥﹣32a题型9：利用二次函数的性质求最值9.二次函数y=−x2+2x+4的最大值是.题型10：给定范围内的最值问题10.已知二次函数y=ax2+bx+1.5的图象（0≤x≤4）如图，则该函数在所给自变量的取值范围内，最大值为，最小值为.。
二次函数的图像和性质总结
二次函数的图像和性质1.二次函数的图像与性质：解析式a 的取值开口方向函数值的增减顶点坐标对称轴图像与y轴的交点y = ax2当a0时；开口向上；在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而增大。
当a0时；开口向下；在对称轴的左侧y随 x 的增大而增大，在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而减小。
（0，0）x=0（0，0）y = ax2+ k（0，c）x =0 (0，k）y = a( x + h)2（- h，0）x = - h(0，ah2）y=a(x+h)2+k（- h，k）x = - h(0，ah2+ k)y = ax2+bx+c b 4ac - b2 (- , )2a4a b x=-2a（0，c）2.抛物线的平移法则：（1）抛物线y = ax2+ k的图像是由抛物线y = ax2的图像平移k个单位而得到的。
当k 0时向上平移；当k0时向下平移。
（2）抛物线y = a（x + h）2的图像是由抛物线y = ax2的图像平移h个单位而得到的。
当h0时向左平移；当h0时向右平移。
（3）抛物线的y = a（x + h）2+ k图像是由抛物线y = ax2的图像上下平移k个单位，左右平移h个单位而得到的。
当k0时向上平移；当k0时向下平移；当h0时向左平移；当h0 时向右平移。
3.二次函数的最值公式：形如y =ax + bx + c的二次函数。
当a0时，图像有最低点，函数有最小值4ac-b24ac-b2y最小值=4a；当a0时，图像有最高点，函数有最大值，y最大值=4a；4.抛物线y =ax + bx + c与y轴的交点坐标是（0，c）5.抛物线的开口大小是由a决定的，a越大开口越小。
6.二次函数y =ax + bx + c的最值问题：（1）自变量的取值范围是一切实数时求最值的方法有配方法、公式法、判别式法。
（2）自变量的取值范围不是一切实数：b 自变量的取值范围不是一切实数时，应当抓住对称轴x = -2a ,把他与取值范围相比较，再进行求最值。
二次函数的图象与性质
(1)求抛物线的解析式;
解:(1)当 y=0 时, 1 x- 4 =0,解得 x=4,即 A(4,0), 33
抛物线过点
A,对称轴是
x=
3 2
,得
16a 12
3 2a
3 2
,
c
0,
解得
a c
1, 4,
8
16
64
所以二次函数 y=- 3 x2+bx+c 的图象与 x 轴有公共点. 16
∵- 3 x2+ 9 x+3=0 的解为 x1=-2,x2=8,∴公共点的坐标是(-2,0)或(8,0). 16 8
2.(2019云南)已知k是常数,抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,并且 与x轴有两个交点. (1)求k的值;
y 随 x 的增大而减小
二次函数的图象和性质
【例1】 (2018成都)关于二次函数y=2x2+4x-1,下列说法正确的是( D ) (A)图象与y轴的交点坐标为(0,1) (B)图象的对称轴在y轴的右侧 (C)当x<0时,y的值随x值的增大而减小 (D)y的最小值为-3
【例2】 已知二次函数y=2(x-1)(x-m-3)(m为常数). (1)求证:不论m为何值,该函数的图象与x轴总有公共点; (2)当m取什么值时,该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方?
标可以看出对应 的函数值,4a+2b+c的值是x=2时对应的函数值,4a-2b+c的
的式子的值
值是x=-2时对应的函数值…
二次函数y=ax2+bx+c的图象与a,b,c的关系
二次函数的性质及其图象
象经过一、三、四象限，反比例函数 y
c x
经过二、四象限.故选择B.
经典考题
【例2】（2016年达州）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴
交于点A（-1,0），与y轴的交点B在（0,-2）和（0,-1）之间（不包括这两点），
对称轴为直线x=1，下列结论：
（ D）
①abc＞0
（2）c＜0时，抛物线与y轴的交点在y轴负半轴上.
（3）c=0时，抛物线过原点.
3.4.5 二次函数图象的平移
y=ax2
平移 |h|个 左 单 位 加 向右 右 (h 减 0)、 左 （h 0） y=a(x-h)2
上加下减 向上（k＞0）、下（k＜0）
平移|k|个单位
上加下减 向上（k＞0）、下（k＜0）
经典考题
得
4a 2b 4 36a 6b 0
，解得
a
1 2
；
b 3
（2）如图，过A作x轴的垂线，垂足为D（2,0）,
连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E、
F.则：S△OAD
1 2
OD
AD
1 2
2
4
4.
S△ACD
1 2
AD
CE
1 2
4x
2
2x
4.
S△BCD
1 2
BD
CF
1 2
3.4.2 二次函数的图象及性质
要点梳理
二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的图象是抛物线.
1.当a＞0时，抛物线开口向上，对称轴是直线x= b .当x= b 时， y有最小
值为4ac b2 .在对称轴左边（即x＜
一般式二次函数的图像和性质
二次函数与三角函数结合，可以用来解决周期性运动 等问题。
与微积分结合
在微积分中，二次函数是最简单的一类函数，可以用 来理解和学习其他更复杂的函数。
与线性代数结合
二次函数常常出现在线性代数中，如矩阵的特征值、 行列式等。
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二次函数的根的性质
总结词
二次函数的根的乘积等于常数项除以系数a， 根的和等于系数b除以系数a。
详细描述
根据Vieta定理，二次函数$ax^{2} + bx + c = 0$的两个根$x_{1}$和$x_{2}$满足$x_{1}
cdot x_{2} = frac{c}{a}$，$x_{1} + x_{2} = frac{b}{a}$。
一般式二次函数的图像和性质
目录
• 二次函数的一般形式 • 二次函数的图像 • 二次函数的性质 • 二次函数的增减性 • 二次函数的根的性质 • 二次函数的应用
01
二次函数的一般形式
二次函数的一般定义
总结词
二次函数是形式为$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a neq 0$。
对称轴与系数关系
对称轴的x坐标可以通 过系数a、b、c计算得 出，对称轴的位置与二 次项系数a的正负有关。
03
二次函数的性质
二次函数的开口方向
开口方向
由二次项系数a决定。a>0时，开口向上；a<0时，开口向下 。
总结词
二次函数的开口方向由系数a的正负决定，影响函数的增减性 。
二次函数的开口大小
详细描述
二次函数的一般形式是$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a$、$b$和$c$是常数， 且$a neq 0$。$a$、$b$和$c$被称为 二次函数的系数。
考点07 二次函数的图像与性质(解析版)
考点七二次函数的图像与性质知识点整合一、二次函数的概念一般地，形如y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．二、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）．（3）交点式：y =a （x –x 1）（x –x 2），其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0．三、二次函数的图象及性质1．二次函数的图象与性质解析式二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）对称轴x =–2b a顶点（–2b a ，244ac b a-）a 的符号a >0a <0图象开口方向开口向上开口向下最值当x =–2ba 时，y 最小值=244ac b a-当x =–2ba时，y 最大值=244ac b a-最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x <–2ba时，y 随x 的增大而减小；当x >–2ba时，y 随x 的增大而增大当x <–2ba时，y 随x 的增大而增大；当x >–2ba时，y 随x 的增大而减小2.二次函数图象的特征与a ，b ，c 的关系字母的符号图象的特征aa >0开口向上a <0开口向下b b =0对称轴为y 轴ab >0（a 与b 同号）对称轴在y 轴左侧ab <0（a 与b 异号）对称轴在y轴右侧c c =0经过原点c >0与y 轴正半轴相交c <0与y 轴负半轴相交b 2–4ac b 2–4ac =0与x 轴有唯一交点（顶点）b 2–4ac >0与x 轴有两个交点b 2–4ac <0与x 轴没有交点四、抛物线的平移1．将抛物线解析式化成顶点式y =a （x –h ）2+k ，顶点坐标为（h ，k ）．2．保持y =ax 2的形状不变，将其顶点平移到（h ，k ）处，具体平移方法如下：3．注意二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．考向一二次函数的有关概念1．二次函数的一般形式的结构特征：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于零．2．一般式，顶点式，交点式是二次函数常见的表达式，它们之间可以互相转化．典例引领变式拓展考向二二次函数的图象与性质二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，叫做抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.二次函数的解析式中，a决定抛物线的形状和开口方向，h、k仅决定抛物线的位置．若两个二次函数的图象形状完全相同且开口方向相同，则它们的二次项系数a必相等．典例引领1x=时有最小值2-，即a-当2x=-时有最大值6，即4解得：89a=，109b=-，∴1118110 333939 a b⎛-=⨯-⨯-⎝②a<0时，如图，1x =时有最大值6，即26a a b -+=当2x =-时有最小值2-，即44a a +解得：89a =-，469b =，∴11181462333939a b ⎛⎫-=⨯--⨯=- ⎪⎝⎭，故答案为：23或2-．4．定义：两个不相交的函数图象在竖直方向上的最短距离，抛物线223y x x =-+与直线y x =-【答案】114【分析】此题考查了一次函数，二次函数的性质以及新定义问题，变式拓展【答案】②③④【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，①根据抛物线开口向下可得在y轴右侧，得0b>，抛物线与x=，即对称轴是直线1【答案】②④/④②【分析】本题考查二次函数的图象和性质，结合的数学思想是解题的关键．【详解】解：将点(11933b c b c ++=⎧⎨++=⎩，。
初中：二次函数性质与图像
3．二次函数的图象与性质：
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，当a＞0
时，抛物线的开口向上，这时当x≤－
b 2a
时，y随x的增大而减
小；当x≥－2ba时，y随x的增大而增大；当x＝－2ba时，y有最
小值
4ac－b2 4a
．当a＜0时，抛物线开口向下，这时当x≤－
b 2a
时，y随x的增大而增大；当x≥－
1．二次函数的定义： 一般地，形如_y＝ax2＋bx＋c(其中 a，b，c 是常数，a≠0) 的函数叫做二次函数．
2．二次函数的三种表达式：
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0).
(2)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a，h，k是常数，a≠0)，顶 点坐标是(h，k)． (3)交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a，x1，x2是常数， a≠0)，其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，图 象的对称轴为直线__x＝x1＋2 x2．
＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于A(－2，0)，B(1，0)
两点．有下列结论：①ac＞0；②二次函数y＝ax2＋bx
＋c的图象的对称轴为直线x＝－1；③2a＋c＝0；④a
－b＋c＞0.其中正确的有
()
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
【解析】 函数图象开口向下，∴a＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴c＞0，∴ac＜0，故①错误． 二次函数的图象与x轴相交于点A(－2，0)，B(1，0)，由对称性可知其对
(1)b2－4ac＞0⇔抛物线与x轴有两个交点
－b±
2ba2－4ac，0.
(2)b2－4ac＝0⇔抛物线与x轴只有一个交点－2ba，0. (3)b2－4ac＜0⇔抛物线与x轴没有交点．
二次函数一般式的图象和性质
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质第1课时二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质知识点1二次函数y=ax2+bx+c与二次函数y=a(x-h)2+k之间的关系1.用配方法将y=x2-6x+11化成y=a(x-h)2+k的形式为( )A.y=(x+3)2+2B.y=(x-3)2-2C.y=(x-6)2-2D.y=(x-3)2+22.将二次函数y=x2-4x+5化为y=(x-h)2+k的形式,那么h+k=知识点2二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质3.关于二次函数y=x2-8x+12的图象,下列说法错误的是( )A.函数图象与y轴的交点坐标是(0,12)B.顶点坐标是(4,-3)C.函数图象与x轴的交点坐标是(2,0),(6,0)D.当x<0时,y随x的增大而减小4.(雅安中考)在二次函数y=x2-2x-3中,当0≤x≤3时,y的最大值和最小值分别是( )A.0,-4B.0,-3C.-3,-4D.0,0知识点3二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与a,b,c的关系5.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示,则有( )A.a>0,b>0B.a>0,c>0C.b>0,c>0D.a,b,c都小于06.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限7.(泰安中考)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数y=ax+b的图象大致是( )8.将抛物线y=x2+2x+2向上平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度后,得到的抛物线的解析式为( )A.y=(x-1)2+3B.y=(x-3)2+4C.y=(x+3)2+4D.y=(x+1)2+49.已知二次函数y=x2+(m-1)x+2,当x>1时,y随x的增大而增大,而m的取值范围是( )A.m=1B.m=2C.m≤-1D.m≥-110.已知函数y=ax2-2ax-1(a是常数,a≠0),下列结论正确的是( )A.当a=1时,函数图象过点(-1,1)B.当a=-2时,函数图象与x轴没有交点C.若a>0,则当x≥1时,y随x的增大而减小D.若a<0,则当x≤1时,y随x的增大而增大11.(日照中考)如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象,其对称轴为x=1,下列结论:①abc>0;②2a+b=0;③4a+2b+c<0;④若-是抛物线上两点,则y1<y2.其中结论正确的是( )A.①②B.②③C.②④D.①③④12.抛物线y=x2+bx+c(其中b,c是常数)过点A(2,6),且抛物线的对称轴与线段y=0(1≤x≤3)有交点,则c的值不可能是( )A.4B.6C.8D.1013.若抛物线y=2x2-px+4p+1中不管p取何值时都通过定点,则定点坐标为14.已知二次函数y=ax2-bx-2(a≠0)的图象的顶点在第四象限,且过点(-1,0),当a-b为整数时,ab的值为15.如图,抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C,点D(0,1),点P是抛物线上的动点.若△PCD是以CD为底的等腰三角形,则点P的坐标为16.已知P(-5,m)和Q(3,m)是二次函数y=2x2+bx+1图象上的两点.(1)求b的值;(2)将二次函数y=2x2+bx+1的图象沿y轴向上平移k(k>0)个单位,使平移后的图象与x轴无交点,求k的取值范围.拓展探究突破练17.若两个二次函数图象的顶点,开口方向都相同,则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数;(2)已知关于x的二次函数y1=2x2-4mx+2m2+1和y2=x2+bx+c,其中y1的图象经过点A(1,1),若y1+y2与y1为“同簇二次函数”,求函数y2的解析式,并求当0≤x≤3时,y2的取值范围.。
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b影响 对称轴 的位置
b与图象的关系 当b=0时对称轴为y轴 当ab>0时对称轴在y轴左侧 当ab<0时对称轴在y轴右侧
二次函数一般式图像与性质
c与图象的关系
C 确定图 象与y轴 的交点
当c＝0时图象过原点 当 c > 0时图象与y轴正半轴相交
当c < 0时图象与y轴负半轴相 交
二次函数一般式图像与性质
做一做:
2.说出下列抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴
(1 ) ：y 5 x 2 5 x 3 (2 )y 2 x 2 22 x 3 4 24
(3) y 2(x 1)(x 2)
(4) y 2x(1 x) 3 2
3. 说出上面函数的图象可由怎样的抛物线
y=ax²（a≠0），经过怎样的平移后得到？.
2a
b2-4ac: 确定与x轴的交点情况
当b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点
当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点
当b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点
二次函数一般式图像与性质
我相信:我能行!
1.若抛物线y=x2+(m-2)x+(m+5)的顶点在y轴 上，则m的值是（ B ）
A. -2 B. 2 C. -5 D. 5
2、抛物线y=2（x-2）2 - 3是由抛物线y=2(x-2)2 向下___平移_3__单位而得到的， 也可由抛物线y=2x2 先向__右_平移_2__单位，再而 得向__下__平移___3_单位得到的。
二次函数一般式图像与性质
二次函数y=ax² y = a(x+m)2 y = a(x+m)2 +k
在对称轴的__右__侧,y随x的__增__大__而__增__大 ⑤最值: 当x = _3___时, y最小值 =_-_4_____
二次函数一般式图像与性质
y = x2 - 6x + 5
⑥ 可由抛物线y = x2向_右___平移3__个单位, 再向_下____平移_4__个单位得到;
⑦抛物线与x轴的两个交点与顶点构
一般地，函数y=ax²的图象先向右（当m<0）或向左 （当m>0） 平移|m|个单位可得y = a(x+m)2的图象；若再向上（当k>0 ）或 向下 （当k<0 ）平移|k|个单位可得到y = a(x+m)2 +k的图象。
二次函数一般式图像与性质
复习：
1、抛物线y= - 3（x-2）2 +4的开口_向__下_； 对称轴 是 直线 ；顶点坐标___(2_，_ 4；）当x ___≥_2时，y 随x的增x=大2 而减小，当x ____ 时≤2， y随x的增大而 增大；当x为____时2,有最大值是____. 4
成的三角形是__等__腰___三角形.
二次函数一般式图像与性质
y = x2 - 6x + 5
⑧ 图象与x轴的交点 :（_1_，__0_）__（_ 5，0） 与y轴交点:（__0_，__5__）_
⑨ ⊿=16＞0,抛物线与x轴有两____个交点, 且交点的横坐标是对应二次方程x_2_-_6_x_+_5_=_0 的两根
⑩当_1__﹤x﹤5___时 y﹤0 ； 当x﹥5___或x﹤1___时 y﹥0
二次函数一般式图像与性质
二.探究系数与图象间的关系
a与图象的关系
a决定 图象的 形状
开口方向 开口大小
当a > 0 时 开口向上
当a < 0 时开口向下 a 越大图象开口越 小 a 越小图象开口越大
二次函数一般式图像与性质
∆与图象的关系
当∆>0 时图象与x轴有两个交点
∆决定图象 与x轴的交 点情况
当∆ ＝0时图象与x轴只有一个交点 当∆ <0时图象与x轴无交点
二次函数一般式图像与性质
对于二次函数y=ax2+bx+c中字母的几何意义
a： 确定抛物线的开口方向、形状
c 确定y轴的交点（0，c）
：b -
确定对称轴的位置
2.抛 物 线 y=2x2+bx+c的 顶 点 坐 标
为 (-1,2),则 b=_4___， c=_ 4__.
= a(x+ b )2 + 4ac b 2
2a
4a
y=ax²+bx+c
ya(xb)24acb2 2a 4a
二次函数一般式图像与性质
➢ 二次函数 yya=(xax2b²a+)2bx4a+4ca cb2(
a≠0)的图象是一条抛物线，
➢对称轴是直线x=
b 2a
➢顶点坐标是为（ b
，4 ac
b
2
）
➢当a>0时，抛物线的开2 a 口向上4a，顶点
4、P16
练习1
二次函数一般式图像与性质
请研究二次函数y=x2 -6x+5的 图象和性质，并尽可能多地说 出结论。
我们的结论:
① 图象的开口方向：向__上___ ② 对称轴：直线x =__3____ ③ 顶点坐标：（__3_，__-_4_）___ ④增减性: 在对称轴的_左__侧, y随x的__增__大__而__减_,小
是抛物线上的最低点。
➢当a<0时，抛物线的开口向下，顶点 是抛物线上的最高点。
请说明其增减性 二次函数一般式图像与性质
例题学习:
例4
求抛物线
y1x23x5
2
2
的对称轴和顶点坐标。
解： a1,b3,c5,
2
2
b 2a
3 2 1
3
2
4ac b2 4a
4 1 5 32 2 2 4 1
2
2
因此，抛物线的对称轴是直线x=3，顶点坐标是（3，2）。的图象开口向下 ， 2
顶点坐标为 (1，－2.5) ，对称轴为直线x=1 ， 当 x<1 时y随x的增大而增大；当x>1 时y随x 的增大而减少,当x1= 时y有大最 －值2.5 .
二次函数一般式图像与性质
26.1 二次函数的图象与性质（5）
二次函数一般式图像与性质
知识回顾:
二次函数y=ax² y = a(x+m)2 y = a(x+m)2 +k
时，图象将发生怎样的变化？
1、顶点坐标？
（0，0）
（m，0）
（ m，k ）
2、对称轴？
（ y轴或直线x=0） 3、平移问题？
（直线x= m ）
（直线x= m ）
对于二次函数y=ax²+bx+c （ a≠0 ）的图
象及图象的形状、开口方向、位置又是怎样的？
通过变形能否将 y=ax²+bx+c转化为 y = a(x+m)2 +k的形式
？
二次函数一般式图像与性质
y=ax²+bx+c
=a（x2+
b a
x）+c
=a〔x2+ b
x+
b
2
–
b
2
〕+c
a 2a 2a