一、交错级数及其审敛法

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高数第九章数项级数-任意项资料

u1 (u2 u3 ) (u2m2 u2m1 ) (u2m u2m1 )
S2m1 即数列 {S2m-1 } 单调减少, 又因
un1 un 0,
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数学分析
S2m1 (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2m3 u2m2 ) u2m1
(u1 u2 )
[sin(n 1)x sin(n 1 )x]
2
2
sin(n
1 )x
2
当
x (0,2 )
时,
x sin
0,
故得到
2
1
1
n
sin(n x)
cos kx
2
2 k1
2sin x
2
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数学分析
所以级数 cosnx 的部分和数列当 x (0,2 ) 时有界,由狄利克雷判别法推得级数 an cosnx 收敛. 同理可证级数 an sinnx 也是收敛的.
证明：由阿贝尔变换
同号
m
m1
S aibi | (ai ai1) || Bi | | amBm |
i1
i1
m1
S M | (ai ai1) | | am | M i 1
m
故 S aibi M ( a1 2 am ) i1
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三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
阿贝尔判别法
数学分析
第九章级数
数项级数
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数学分析
III 任意项级数
一、交错级数及其审敛法
定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1un或 (1)nun (其中un 0)
n1
n1
莱布尼茨定理如果交错级数满足条件:

第7章第3讲交错级数和任意项级数审敛法

=1
=1
因为 = ෍ ( + 1 − )= + 1 − 1 → ∞( → ∞时),
=1
∞
所以级数 ෍ | | 发散.
=1
25
02
任意项级数审敛法
∞
( + 1 − ) .
෍
(−1)
再考察交错级数
=1
由 +1− =
1
+1+
> 0可得:
数列 { + 1 − } 单调递减
2 →∞

∞
可知 lim ≠ 0,
→∞
故级数 ෍ (−1)
=1
1
1 2
(1 + ) 发散．

2

24
02
任意项级数审敛法
∞
例8 判别级数 ෍ (−1) ( + 1 − ) 的敛散性．
=1
如果收敛,是绝对收敛还是条件收敛？
∞
∞
解先考察正项级数෍ | | = ෍ ( + 1 − ) :

=1
∞
1
sin
1
≤ ，当 > 1时，෍ 收敛,
证因为

=1
∞
∞
=1
=1
sin
sin
故级数 ෍
收敛, 从而级数 ෍

绝对收敛.
18
02
任意项级数审敛法
注
∞
∞
(1)对于任意项级数 ෍ , 如果级数 ෍ 收敛,
=1
∞
=1
那么级数 ෍ 一定收敛, 这样可以把一大类级数的敛散

02-交错级数及其审敛法PPT

一、交错级数及其审敛法
定义：正、负项相间的级数称为交错级数，即
8
8
£ (~1)n an，或 £(-1)-1 an，
n=1
n=1
其中对任意n,有an > 0 .
交错级数审敛法(莱布尼茨判别法):
8
若交错级数£ (-1)"T an (匕> 0)的一般项满足：
n=1
① an+i < an (n = L2,…)；
(ii) lim an = 0 .
nT8 8
£ 则⑴ (-1)n-1 an收敛,且其和s满足：0 < s < a1;
n=1
(2)级数的余项rn = s-sn满足|rn| < an+1.
板书少证明：⑴..・an_1 - an > 0,
•・• s2 n = （a1 一 a2）+ （a3 一 a4）+ …+ （a2 n-1 一 a 2 n）
数列｛ s2〃｝是单调增加的,
又 s2n = a1 一（a2 一 a3）-----（a2n-2 一 a2n-1）
一 a2n
< "数列｛S2n ｝是有界的，
lim s2n = s < a1. •/ lim a2n+1 = 0,
n—8
n—B
板书，・・・ lim 5+i = lim(sn + a2w+1) = s,
竺"ns ns
・级数收敛于和S, 且s < a1.
(2)余项 rn =~(an+1 - an+2 + …)， + rn\ = an+1 - an+2 …，
满足收敛的两个条件，...|" < an+!•

第三节一般常数项级数

满足莱布尼兹定理条件，故级数收敛，且为条件收敛。满足莱布尼兹定理条件，故级数收敛，且为条件收敛。
上页下页返回
例3：判定级数 ∑ ：
∞
n =1
x 的敛散性。的敛散性。 n
∞
n
高等数学
xn xn | , 记 un = | 解：考察正项级数 ∑ | |, n n=0 n
n→ ∞
lim
un +1 un
则交错级数收敛，其和 s ≤ u1 , 余项满足 | Rn | ≤ un+1 则交错级数收敛， 4. 检验条件（1）常用的方法检验条件（）
un+1 是否成立？ ≤ 1 是否成立？（1）比值法：考察）比值法： un 是否成立？（2）差值法：考察 un+1 un ≤ 0 是否成立？）差值法：
上页下页返回
定理7（莱布尼兹定理）定理（莱布尼兹定理）如果交错级数
n =1
高等数学
∑ (1)
∞
n1
= u1 u 2 + u 3 u 4 + L + ( 1) n1 u n + L un
满足条件：满足条件：
n→∞
(1) un ≥ un +1 ( n = 1, 2 , L), ( 2 ) lim un = 0
原级数绝对收敛，从而收敛，当 | x | < 1 时，原级数绝对收敛，从而收敛，
xn 发散，且是用比值法判别的， | x | > 1 时， ∑ | | 发散，且是用比值法判别的， n n =1 xn 所以原级数 ∑ n =1 n
∞
∞
发散。发散。
上页下页返回
例3：判定级数 ∑ ：
∞

一般级数的审敛法

1 单减, 在 (1,+) 上单增, 即 x ln x 1 故当 n 1 时单减, n ln n
1 1 un un+1 ( n 1), n ln n ( n + 1) ln( n + 1)
所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛．
定理如果任意项级数
n 1

则任意重排得到的级数也绝对收敛,且有相同的和数. 注:由条件收敛级数重排得到的新级数,即使收敛也不一定收敛于原来的和数,而且条件收敛收敛级数适当重排后,可得到发散级数,或收敛于任何事先指定的数.如： 1 1 1 1 1 n +1 1 ( 1) 1 + + + A n 2 3 4 5 6 n 1 1 1 1 1 1 3 n+1 1 ( 1) 1+ + + + A n 3 2 5 7 4 2 n 1
lim u2 n+1 0,
n
lim s2 n s u1 .
lim s2 n+1 lim( s2 n + u2 n+1 ) s,
n n
级数收敛于和s, 且s u1 .
余项 rn (un+1 un+ 2 + L),
rn un+1 un+ 2 + L,
n 1 n 1 n 1

sin n 例 3 判别级数 2 的收敛性. n 1 n
解
sin n 1 1 2 2 , 而 2 收敛, n1 n n n

sin n 2 收敛, n n1
故由定理知原级数收敛.

第三节绝对收敛与条件收敛

第三节绝对收敛与条件收敛
一、交错级数及其审敛法二、级数的绝对收敛与条件收敛
一、交错级数及其审敛法
1、定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1an 或 (1)nan (其中an 0)
n1
n1
2、莱布尼茨定理如果交错级数满足条件:
(i) an an1 (n 1,2,3, );
n an
n 2
(3)
lim
n
n
|
an
|
lim
n
1 (1 2
1 )n n
e 2
1,
故原级数发散.
例2
判别级数 (1)n
n1
1 np
的收敛性.
(1) 当 p 0 时,级数发散 ; (2) 当 0<p 1 时,
级数条件收敛 ; (3) 当 p >1 时,级数绝对收敛 .
例3
判别级数 (1)n
n1
xn n
.
发散
收敛
收敛
例2
判别级数
n2
( 1)n n
1
n
的收敛性
.
解
(
x
x 1
)
2
(1 x ) x ( x1)2
0,
( x 2)
故函数
f (x)
x x1
单调递减,
an
an1 ,
又
lim
n
an
lim n n n 1
0.
故原级数收敛.
判断 an an1 常用方法有：
(1)
证明 an
an1
0
或
an an1
1
.
(2) 令 an f (n) , 对 f ( x)( x 1) 求导 ,由 f ( x) 的

交错级数及其审敛法绝对收敛与条件收敛

级数绝对收敛与级数收敛有以下重要关系：
二、绝对收敛与条件收敛
定理2
若级数
绝对收敛,则级数∑∞n=1un必定收敛.
证令
显然
，且
，所以
二、绝对收敛与条件收敛
故
由这个定理可以知道，对于一般的级数
，如果用正
项级数的审敛法判定级数
收敛，则此级数收敛.这就使得
很大一部分级数的收敛性判定问题，转化成为正项级数的收敛
,其余项rn的绝对值，由
一、交错级数及其审敛法
知数列s2n是单调增加的；由
知数列s2n 是有界的，故
因为
故
一、交错级数及其审敛法
所以级数收敛于和s，且余项
满足收敛的两个条件，故
一、交错级数及其审敛法
【例1】
判别级数解因为
故函数
单调递减，所以
又
则由莱布尼茨定理知原级数收敛.
一、交错级数及其审敛法
交错级数交错级数是这样的级数，它的各项是正、负项交错的，从而它可以写成下面的形式：或
例如
是一个交错级数. 下面给出一个关于交错级数的审敛法.
一、交错级数及其审敛法
定理1
（莱布尼茨定理）如果交错级数满足条件
则级数收敛,且其和证因为
性判定问题.
二、绝对收敛与条件收敛
【例2】
判别级数由于
，而
收敛，所以
收敛，
故该级数绝对收敛，则由定理2知级数
收敛.
二、绝对收敛与条件收敛
【例3】
判别级数绝对收敛还是条件收敛？
解
是否收敛.如果是收敛的，是
由根值审敛法知，该级数绝对收敛.由定理2知，该级数收敛.
二、绝对收敛与条件收敛

5_3交错级数绝对收敛与条件收敛

(−1) n 收敛. ∑ n n =1
∞
3) 若用比值审敛法(根值审敛法)判断出 ∑ un n =1 un+1 发散，即 lim > 1(或 lim n un > 1) ，则必有 n→∞ u n→∞ ∞ n lim un ≠ 0, 或 lim un ≠ 0，从而∑ un 发散.
n→∞ n→∞ n =1
13
n (2) 令 u n = n , e u n +1 ∵ lim n →∞ u n
2
(n + 1) e n +1 = lim 2 n →∞ n en
2
1 ⎛ n + 1⎞ 1 = lim ⎜ ⎟ = <1 n →∞ e ⎝ n ⎠ e
2
∴
∑
∞
n =1
2 2 ∞ n n n (−1) n 收敛, 因此 ∑ (−1) n 绝对收敛. n e e n =1
(C) 条件收敛 ;
n →∞
n
(D) 收敛性根据条件不能确定.
n = 1, 知 (B) 错 ; 分析: 由 lim u
1 + 1 ) +( 1 + 1 ) −( 1 + 1 ) +( 1 + 1 ) 又 S n = −( u u2 u 2 u3 u3 u 4 u 4 u5 1
+
1
1 + 1 ) + (−1) n +1 ( u un +1 n
n +1
20
1 + ( −1) n +1 1 = −u u
作业
P248 1 (3)(5), 5, 6, 8
21
注：绝对收敛级数与条件收敛级数具有不同的性质. 例如，绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和，但条件收敛级数不具有这条性质.

高数-任意项级数敛散性判别法

x)
.
所以当x ≥ 1时 , f ( x) ≤ 0 .
即函数
f
(x)
2x 1 x2
单调减小.
即 un un+1 (n = 1 , 2 , 3 , ) .
(
n1
1 )n1
2n 1 n2
又
lim
n
un
lim
n
2n 1 n2
0
.
因此交错级数 (1)n1
n1
2n 1 n2
收敛
.
二、绝对收敛与条件收敛
高等数学第十二章第三节
任意项级数敛散性判别法
第三节任意项级数敛散性判别法
一、交错级数及其审敛法二、绝对收敛与条件收敛三、小结提高题
一、交错级数收敛性判别法
在级数 un 中，总含有无穷多个正项和负项 n1
叫任意项级数.
1.定义：如果级数的各项是正、负交错的，即
(-1)n-1 un = u1 - u2 + u3 - u4 +
如下：
u1v1, u1v2, u1v3, u2v1, u2v2, u2v3,
u3v1, u3v2, u3v3,
,
u1v
，
n
,
u2v
，
n
,
u3v
，
n
unv1, unv2, unv3,
,
un
v
，
n
将它们排成下面形状的数列.
对角线法
u1v1
u2v1
u3v1
u4v1
u1v 2 u2v 2 u3v2 u4v2
定义2 如果级数 un 收敛，则称级数 un 绝对收敛；
n=1
n=1

7.3交错级数与绝对收敛

n 1
10
注此定理的逆命题不一定成立：
经典反例
1 1 如 1 2 3
( 1)
n 1
1 n
收敛
1 1 取绝对值 1 2 3
1 n
发散
u u 收敛 ×
n 1 n
n 1

n
收敛
11
上述定理的作用：任意项级数

正项级数

则称 un 绝对收敛；定义：若 un 收敛，
(3)p-级数

q 1 q 1
当p 1时, 收敛 P 级数当p 1时, 发散
25
2、级数收敛的判定如果级数 un 收敛，则 lim un 0. 必要条件：
n 1
如果 lim un 0, 则 un 发散.
n

n
充分条件： (1)比较审敛法
n 1

由正项级数 un 收敛，能推出 un 2 收敛.
n 1 n 1
un 2 u lim un 0, 由比较审敛法知 n 收敛. lim n n u n 1 n
反之不成立.
2

1 例如： 2 收敛, n 1 n

1 n 发散. n 1

27
一、填空题.
必要条件 lim un 0
n
不满足
发
散
满足
un1 比值审敛法 lim n u n
根值审敛法 lim n un
n
不定充要条件改用它法定义
1
比较审敛法
1
收敛发
1
散
24
1、工具
1 (1)调和级数发散. n 1 n

绝对收敛与条件收敛

∞ n2 n2 故 ∑ ( 1 ) n n 收敛, 因此 ∑ ( 1 ) n n 绝对收敛. e e n=1 n =1
∞
x 例3-1 判定 ∑ ( 1 ) sin ( x > 0 ) 的敛散性 . n n =1 x x x n 解因 un = ( 1 ) sin = sin ~ (n → ∞ ) n n n ∞ x ∞ 而 ∑ 发散,由比较法知 ∑ un 发散, n =1 n n =1
∑
∞
1
p
( p > 1) 收敛 ,
故
n =1
∑
∞
cos nx n
p
收敛, 从而
n =1
∑
∞
cos nx
n
p
绝对收敛 .
例2-2 证明 ∑
∞
sin nα n
4
n=1
绝对收敛 .
1 ∑ n 4 收敛 , n=1
∞
证 (1) 因 sin n α ≤ 1 , 而 n4 n4
故
n=1
∑
∞
sin n α n
∞
( 1 )n 1
问题:
n =1
∑ un与 ∑ un 敛散性的关系?
n =1
∞
∞
二,绝对收敛与条件收敛
1. 定义
()∑ un 绝对收敛: ∑ un 收 1 若 n =1 n =1 敛; (2 ∑ un 条件收敛: 若 ∑ un 收敛,但 ∑ un 发散. )
n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
n→ ∞
lim S2 n = S ≤ u 1
2 再证 lim S2n1 = S
n→∞
又 lim S2 n + 1 = lim ( S2 n + u2 n + 1 ) = lim S2 n = S

高等数学第三节绝对收敛与条件收敛1

x
x
34
n
单减，且lim ln n 0, 所以该级数收敛；
n n
2( n 1)2
(3) un1 un

(n 1)! 2n2

22n1 n 1
1,
该级数发散；
n!
(4) (1)n
(1)n n 1 1 (1)n 1 1 1 ,
n 1 (1)n
nn
第三节级数的绝对收敛与条件收敛
1.交错级数审敛法交错级数的概念、莱布尼茨定理 2.绝对收敛与条件收敛绝对审敛原理、绝对收敛概念、条件收敛概念
一、交错级数及其审敛法

设 un 0 ，称级数 (1)n un或者 (1)n1un 为交错级数．
n1
n1

定理1(莱布尼兹定理) 如果交错级数 (1)n1un满足
2
答案选（D）．

例9 设交错级数 (1)n1un (un 0, n 1, 2,3, ) 条件收敛，证明 n1

级数与 u2n1 u2n 均为发散的.
n 1
n 1
证明：记 n u1 u2 un , n u1 u3 u2n1
和不变.

级数的Cauchy乘积：设有级数 un 与

vn
，称
n 1
n 1

(u1vn u2vn1 unv1) 为它们的Cauchy乘积.
n1

性质2 如果级数 un 与 vn 都绝对收敛，其和分别为σ与τ，
n 1
n 1
那么它们的Cauchy乘积也绝对收敛，且有
解
该级数的前 n 项部分和 sn

一、交错级数及其审敛法最全版

由莱布尼茨定理知这个交错级数收敛.
yrty
2
例2
n 1 判定级数 (1) n 1

n 2n
的敛散性.
解这也是一个交错级数,且如何比较大小？
(1)un n n 1 , u ,则 n 1 n n 1 2 2 n n 1 n 1 n1 n1 0,(n 1, 2,3, ), n 2 2 2
为什么？
un un1
(2) lim un lim
n
n 0, n 2n
由莱布尼茨定理知这个交错级数收敛.
yrty
3
二、绝对收敛与条件收敛
1、定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
u n 收敛，则称级数定义：对于 u n 级数，若 n 1 u n 发散，但本身 u n 收敛，则称绝对收敛；如果 n 1
(1)un un 1 ( n 1, 2, 3,
n 1
); (2) lim un 0
n
则级数 (1)n1un 收敛，且其和S u1
yrty 1
例1
n 1 1 ( 1) 判定级数 n n 1

的敛散性.
解这是一个交错级数,且
1 1 1 (1)un , 且un un 1 , n n§9.3
任意项级数

一、交错级数及其审敛法
定义:如果在任意项级数 u n 中，正负号相间出
n 1
现，这样的任意项级数就叫做交错级数．它的一
n 1 n ( 1) u 或 ( 1) 般形式为： un n n 1 n 1
(其中un 0)
莱布尼茨定理

如果交错级数满足条件:
n 1 n 1

9.3绝对收敛与条件收敛

例 6 判别级数 sin n 2 1 的敛散性.
n 1

例7
xn n ( x 0) 的敛散性. 判别级数 ( 1) n n 1

1 练习：1.判别级数 n ( x 0) 的收敛性. n 1 lg x
( 1)n an 发散，练习： 2.设正数列{an}单调下降，且
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ? 1 1 2) ; 1) ; n 1 n ! n 1 n
发散收敛
二、绝对收敛与条件收敛
1、定义: 一般项为任意实数的级数称为任意项级数.
2、定理若 | an |收敛,则 an 收敛.
n1 n1
1 证明令 vn (an | an |) ( n N ), 则 vn 0, 且 vn | an |, 2
lim n 2 un 存在,证明:级数 un 收敛 . 二、若
n
n 1
b 3n 0. 三、证明:lim n n! a n
n

例2 讨论下列级数的敛散性 : 1 (4) ( 1) p n n 1
n
sin na (5) 2 n n 1 1 n (6) sin 2 n 1 n

如何判别任意项级数 an 的敛散性？
若收敛, 要指出是条件收敛还是绝对收敛. 一般步骤如下：1. lim an 0, 则级数发散. n 否则：判别
n 1
(2) 当 1 时, 级数发散；
(3) 当 1 时, 级数敛散性需另行判定.
例2 讨论下列级数的敛散性 : n 1 (1) (1) ln n n 1
n
(n 1)! (2) ( 1) n 1 n n 1

11.3任意项级数及其审敛法一、交错级数审敛法

二、用比较审敛法或极限审敛法判别下列级数的收敛
性:
1、1 1 2 1 3 1 n ；
1 22 1 32
1 n2
2、
1
n1 1 a n
(a 0) .
三、用比值审敛法判别下列级数的收敛性:
1、 3
32
33
3n
；2、
2n n!.
1 2 2 22 3 23
n 2n
n1 nn
四、用根值审敛法判别下列级数的收敛性:
u n n
二、1、发散；
2、发散.
三、1、发散；
2、收敛.
四、1、收敛；
2、收敛.
五、1、发散；
2、收敛；
a 1,收敛; 3、0 a 1,收敛； 3、条件收敛.
rn un1. 例1（P272 例11.3.1）
三、任意项级数及其审敛法
定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定理若 un 收敛,则 un 收敛.
n1
n1
定义:若 un 收敛, 则称 un 为绝对收敛;
n1
n1
若 un 发散,而 un 收敛, 则称 un 为条件收敛.
n1
法 4.充要条件
5.比较法
6.比值法
4.绝对收敛
5.交错级数 (莱布尼茨定理)
7.根值法
练习题
一、填空题:
1、 p 级数当_______时收敛,当_______时发散；
2、若正项级数 un 的后项与前项之比值的根等于 , n1 则当________时级数收敛；________时级数发散；
____________时级数可能收敛也可能发散 .
n1
n1
定理若 un 收敛,则 un 收敛.

一,交错级数及其审敛法

rn un1 un 2 ,
满足收敛的两个条件,
rn un1 .
定理证毕.
例 1 判别收敛性：
( 1) (1) p n n 1

n 1
( p 0);
显然单调趋于0，
解
1 (1) un p n
收敛.
( 1) n n 例 2 判别级数的收敛性. n1 n 2
又 un ( 2v n un ),
n 1 n 1
un 收敛.
n 1
n 1
该定理的作用：
任意项级数
例3

正项级数
sin n 判别级数的收敛性. 2 n 1 n
sin n 1 1 2 2 , 而 2 收敛, n1 n n n
解
sin n 2 收敛, n n1
解

x (1 x ) 0 ( x 2) ( ) 2 x 1 2 x ( x 1)
x 故函数单调递减, un un1 , x 1 n 0. 又 lim un lim 原级数收敛. n n n 1
二、绝对收敛与条件收敛
定义:若 un 收敛, 则称 un 为绝对收敛;
定理（柯西定理）：
若
un绝对收敛于A, vn绝对收敛于B,
则它们的乘积按任意顺序所得的级数也绝对收敛于AB. 例
rn 1 r r2 r3 rn
n 0
1 当 | r | 1, 级数绝对收敛于 , 1 r
rn rn 考察：
n 0 n 0
可得 p q n n
vn pn qn pn qn un s.

08 第三节绝对收敛与条件收敛

x x 1
判断 an an1 常用方法有： an (1) 证明 an an1 0 或 1. an1 ( 2) 令 an f ( n) , 对 f ( x )( x 1) 求导 , 由 f ( x ) 的
符号判断 f ( x ) 的增减性 , 从而得到 an 的增减性 .
级数收敛于和 s, 且s a1 . 余项 rn (an1 an 2 ), rn an1 an 2 ,
满足收敛的两个条件, rn an1 . 定理证毕.
例1 用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性: 1 1 1 n 1 1 1) 1 ( 1) 收敛 2 3 4 n 1 1 1 n 1 1 收敛 2) 1 ( 1) 2! 3! 4! n!

(绝对收敛)
kn B 例 5 级数 ( 1) ( k 0 ) __________ _. 2 n n1
n
(A) 发散. (B) 条件收敛. (C) 绝对收敛. (D) 敛散性与 k 有关 .
说明若级数 an 与 bn 一个绝对收敛一个条件收敛,
n 1 n 1

又 s2 n a1 (a2 a3 ) (a2 n 2 a2 n1 ) a2 n a1
数列 { s2 n }是有界的 ,
n
lim s2 n s a1 .
n
s2 n1 lim( s2 n a2 n1 ) s, lim a2 n1 0, lim n n
n1

an1 若极限 lim | | (或 lim n | an |) 有确定意义 , n n an
则 (1) 当 0 1 时, 级数绝对收敛;

高数第九章数项级数-任意项

x 故函数单调递减, un un1 , x 1 n 0. 又 lim un lim 原级数收敛. n n n 1
中央财经大学
数学分析
二、绝对收敛与条件收敛
定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定理若
u
n 1

n
收敛,则
u
n 1

n
收敛.
1 证明令 vn ( un un ) ( n 1,2,), 2 且 vn un , v n收敛, 显然 vn 0,
(1)
n 1

n1
1 n 1 n
(1)
n 1
n1
1 ( 1) ln n n 2
n
中央财经大学
数学分析
( 1) n n 例 5 判别级数的收敛性. n1 n 2

解
x (1 x ) 0 ( x 2) ( ) 2 x 1 2 x ( x 1)
中央财经大学
数学分析
三、阿贝尔判别法和狄利克雷判别法
阿贝尔判别法
如果(1)级数 bn收敛； (2)数列{an }( n 1,2,)
n 1
为单调、有界的 , an K , 则 anbn收敛.

狄利克雷判别法
n 1
n 1
如果(1)级数 bn的部分和Bn有界, Bn K (n 1,2,)； (2)数列{an }单调趋于0, 则 anbn收敛.
m m m
lim S 2 m 1 lim S 2 m , 故数列 {Sn } 的极限存在，所以 m m
所以交错级数 ( 1)
n 1

n 1
un 收敛．

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但本身收敛，则称级n数1条件收敛．
n 1
un
un
n 1
n1
发散，
绝对收敛、条件收敛与收敛之间有着什么样的关系呢？
定理2 若 un 收敛,则un收敛.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n1
n1
证明
令
vn
1 2
(un
un
)
(n 1, 2,L ),
显然vn 0, 且vn un ， vn收敛,
n1
又Q un (2vn un ), un收敛.
n1
n
解
记un
(1)
xn n
,则
lim un1 u n n
lim x n x n n 1
由达朗贝尔比值判别法知，
(1)0 x 1时， un 收敛，即绝对收敛，从而收敛.
n1
(2)x 1时，级数为 (1)n 1 ,易见级数是条件收敛；
n1
n
(3)x 1时，级数为 (1)n xn ,级数是发散的；
n1
n1
n1
结论：级数
un收敛,若
n1
un 收敛，则绝对收敛.
n1
若
n1
un
发散，则条件收敛.
例3
sin n
判别级数 n1
n2
的收敛性.
解
Q
sin n n2
1 n2
,
而
n1
1 n2
收敛,
n1
sin n n2
收敛,
故由定理知原级数绝对收敛.
例 4 判定
(1)n x级n数的(敛x 散0性).
例1 判定级数
的敛(散1)性n.1
1
n 1
n
解这是一个交错级数,且
(1)un
1 n
,
且un
1 n
un1
n
1
1
,
(2)
lim
n
un
lim
n
1 n
0,
由莱布尼茨定理知这个交错级数收敛.
例 2 判定级数
的(敛1散)n性1.
n1
n 2n
解这也是一个交错级数,且
如何比较大小？
(1)un
n 2n
, un1
审
2.
若
lim
n
un
0, 则级数
3.按基本性质;
n1
un发散.
敛 4.充要条件
4.绝对收敛
法 5.比较法
6.比值法 7.根值法
5.交错级数 (莱布尼茨定理)
n1
n
为什么？
NOTE：当我们运用达朗贝尔比值判别法或柯西根值判别法，判断出正项级数
发散，
un
n 1
可以断言，也一定发散.
un
n1
事实上，lim un1 u n
n
1, (lim n
n
un
1),
lim
n
un
0,从而
lim
n
un
0
,
un必发散.
n1
三、小结
正项级数
任意项级数
1. 若 Sn → S,则级数收敛;
n 1 2n1
,
则
为什么？
un
un1
n 2n
n 1 2n1
n 1 2n1
0, (n
1, 2,3,L
),
(2)
lim
n
un
lim
n
n 2n
0,
由莱布尼茨定理知这个交错级数收敛.
二、绝对收敛与条件收敛
1、定义: 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
定义：对于
级数，若un
收敛，则称级数u绝n 对收敛；如果