概率论与数理统计-第6章-第5讲-单个正态总体参数的置信区间

(5)
,
2 0.975
(5)
] [0.0199,
0.3069 ]
10
第5讲 单个正态总体参数的置信区间
这一讲，我们主要讨论了总体分布为正态的情形. 若样本容量很大，即使总体分布未知，应用中心极限 定理，也可以近似求得参数的区间估计.
11
概率论与数理统计
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概率论与数理统计
第6章 参数估计
第5讲 单个正态总体参数的置信区间
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本讲内容
01 正态总体参数的置信区间 02 典型例题
01 正态总体参数的置信区间
一个正态总体 X ~N ( 2) 的情形
(1) 方差 2已知, 的置信区间
[X
σ n uα 2 ,
X
σ n uα 2 ]
(2) 方差 2未知 , 的置信区间
(1) 若 2=0.06 ,求 的置信区间 (2) 若 2未知,求 的置信区间 (3) 求方差 2的置信区间.
置信度 均为0.95
解
(1)
由给定数据算得
x
1 6
6 i 1
xi
14.95
u u0.025 1.96 2
[X
n
u
2,
X
n
u
2
]
由公式得 的置信区间为
[14.95 1.960.1, 14.95 1.960.1] [14.75, 15.15 ]
i1
, i1
2
(n)
2
2
1
2
(n)
f (x)
2 ~ 2 (n)
2 1 2
2
2
x
5
01 正态总体参数的置信区间
(4) 当 未知时, 方差 2 的置信区间
选取
2
(n 1)S 2
2
~
2 (n 1)
P( 2 12
(n 1)S 2
2
2
)
2
1
得 2 的置信区间为
(n 1)S 2
,
2
(n
(5)
]
[14.71,
15.187 ]
9
02 典型例题
(3) 求方差 2的置信区间.
s2 0.051.
[
(n
2
1)S 2 2 (n 1)
,
(n
2 1
1)S 2 2 (n 1)
]
查表得
2 0.025
(5)
12.833
,
2 0975
(5)
0.831
由公式得 2 的置信区间为
5s2
5s2
[
2 0.025
1)
2
(n 1)S 2
2
1
2
(n 1)
f (x) 2 ~ 2 (n 1)
2 1 2
2
2
x
6
本讲内容
01 正态总体参数的置信区间 02 典型例题
02 典型例题
例 某工厂生产一批滚珠, 其直径 X 服从 正态分布 N ( 2),
现从某天的产品中随机抽取6件, 测得直径为
15.1 , 14.8 , 15.2 , 14.9 , 14.6 , 15.1
8
02 典型例题
(2) 若 2未知,求 的置信区间
[X
S n
t
2(n
1),
X
S n
t
2
(n
1)]
x 14.95
s2
1 5
(
6 i 1
xi2
6x2)
0.051 .
查表 t0.025 (5) 2.5706
s 0.226
由公式得 的置信区间为
[x
s 6
t0.025
(5),
x
s 6
t0.025
[X
S n
t
2 (n
1),
X
S n
t
2
(n
1)]
3
01 正态总体参数的置信区间
[X
S n
t
2 (n
1),
X
S n
t
2 (n
1)]
推导 选取枢轴量
T
X S
~
t(n
1)
n
P{| T | t 2 (n 1)} 1
P{|
X S
n
|
t
2 (n
1)}
1源自文库
P{X
S n
t
2 (n
1)
X
S n
t
2
(n
1)}
1
[X
S n
t
2 (n
1),
X
S n
t
2 (n
1)]
4
01 正态总体参数的置信区间
(3) 当 已知时,方差 2 的置信区间
取枢轴量
2
n i 1
Xi
2
~
2 (n)
n
(Xi )2
P
2
1
2
(n)
i 1
2
2 2
(n)
1
得 2 的置信度为1的置信区间
n ( X i )2 n ( X i )2