2012年湖南省高考数学试卷(文科)答案与解析

2012年湖南省高考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共9小题，每小题5分，满分45分）
1．（5分）（2012•湖南）设集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2=x}，则M∩N=（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{1} D．{0}
考点：交集及其运算．
专题：计算题．
分析：集合M与集合N的公共元素，构成集合M∩N，由此利用集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2=x}={0，1}，能求出M∩N．
解答：解：∵集合M={﹣1，0，1}，N={x|x2=x}={0，1}，
∴M∩N={0，1}，
故选B．
点评：本题考查集合的交集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
2．（5分）（2012•湖南）复数z=i（i+1）（i为虚数单位）的共轭复数是（）
A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i
考点：复数的基本概念．
专题：计算题．
分析：由z=i（i+1）=i2+i=﹣1+i，能求出复数z=i（i+1）（i为虚数单位）的共轭复数．解答：解：∵z=i（i+1）=i2+i=﹣1+i，
∴复数z=i（i+1）（i为虚数单位）的共轭复数是﹣1﹣i．
故选A．
点评：本题考查复数的基本概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
3．（5分）（2012•湖南）命题“若α=，则tanα=1”的逆否命题是（）
A．
若α≠，则tanα≠1 B．
若α=，则tanα≠1
C．
若tanα≠1，则α≠D．
若tanα≠1，则α=
考点：四种命题间的逆否关系．
专题：简易逻辑．
分析：原命题为：若a，则b．逆否命题为：若非b，则非a．
解答：
解：命题：“若α=，则tanα=1”的逆否命题为：若tanα≠1，则α≠．
故选C．
点评：考查四种命题的相互转化，掌握四种命题的基本格式，本题是一个基础题．
4．（5分）（2012•湖南）某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）
A．B．C．D．
考点：简单空间图形的三视图．
专题：作图题．
分析：由图可知，此几何体为组合体，对照选项分别判断组合体的结构，能吻合的排除，不吻合的为正确选项
解答：解：依题意，此几何体为组合体，若上下两个几何体均为圆柱，则俯视图为A 若上边的几何体为正四棱柱，下边几何体为圆柱，则俯视图为B；
若俯视图为C，则正视图中应有虚线，故该几何体的俯视图不可能是C
若上边的几何体为底面为等腰直角三角形的直三棱柱，下面的几何体为正四棱柱时，俯视图为D；
故选C
点评：本题主要考查了简单几何体的构成和简单几何体的三视图，由组合体的三视图，判断组合体的构成的方法，空间想象能力，属基础题
5．（5分）（2012•湖南）设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程
为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心（，）
C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
D．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg
考点：回归分析的初步应用．
专题：阅读型．
分析：
根据回归方程为=0.85x﹣85.71，0.85＞0，可知A，B，C均正确，对于D回归方程只能进行预测，但不可断定．
解答：解：对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；
对于B ，回归直线过样本点的中心（，），故正确；
对于C，∵回归方程为=0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；
对于D，x=170cm时，=0.85×170﹣85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为
58.79kg，故不正确
故选D．
点评：本题考查线性回归方程，考查学生对线性回归方程的理解，属于中档题．
6．（5分）（2012•湖南）已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐
近线上，则C的方程为（）
A．B．
C．D．
考点：双曲线的标准方程．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：
利用双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，建立方程
组，求出a，b的值，即可求得双曲线的方程．
解答：
解：∵双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，
∴a2+b2=25，=1，
∴b=，a=2
∴双曲线的方程为．
故选：A．
点评：本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．
7．（5分）（2012•湖南）设a＞b＞1，C＜0，给出下列三个结论：
①＞；
②a c＜b c；
③log b（a﹣c）＞log a（b﹣c）．
其中所有的正确结论的序号（）
A．①B．①②C．②③D．①②③
考点：不等式比较大小．
专题：计算题．
分析：利用作差比较法可判定①的真假，利用幂函数y=x c的性质可判定②的真假，利用对数函数的性质可知③的真假．
解答：
解：①﹣=，∵a＞b＞1，c＜0∴﹣=＞0，故＞正确；
②考查幂函数y=x c，∵c＜0∴y=x c在（0，+∞）上是减函数，而a＞b＞0，则a c＜b c
正确；
③当a＞b＞1时，有log b（a﹣c）＞log b（b﹣c）＞log a（b﹣c）；正确．
故选D．
点评：本题主要考查了不等式比较大小，以及幂函数与对数函数的性质，属于基础题．
8．（5分）（2012•湖南）在△ABC中，AC=，BC=2，B=60°则BC边上的高等于（）A．B．C．D．
考点：解三角形．
专题：计算题；压轴题．
分析：在△ABC中，由余弦定理可得，AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB可求AB=3，作AD⊥BC，则在Rt△ABD中，AD=AB×sinB
解答：解：在△ABC中，由余弦定理可得，AC2=AB2+BC2﹣2AB•BCcosB
把已知AC=，BC=2 B=60°代入可得，7=AB2+4﹣4AB×
整理可得，AB2﹣2AB﹣3=0
∴AB=3
作AD⊥BC垂足为D
Rt△ABD中，AD=AB×sin60°=，
即BC边上的高为
故选B
点评：本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，解答本题的关键是求出AB，属于基础试题
9．（5分）（2012•湖南）设定义在R上的函数f（x）是最小正周期2π的偶函数，f′（x）是函数f（x）的导函数，当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1；当x∈（0，π），且x≠时，（x﹣）
f′（x）＞0，则函数y=f（x）﹣sinx在[﹣2π，2π]上的零点个数为（）
A．2B．4C．5D．8
考点：函数的单调性与导数的关系；根的存在性及根的个数判断．
专题：综合题；压轴题．
分析：
根据x∈（0，π），且x≠时，（x﹣）f′（x）＞0，确定函数的单调性，利用函数的图形，即可得到结论．
解答：
解：∵x∈（0，π），且x≠时，（x﹣）f′（x）＞0，
∴x∈（0，），函数单调减，x∈（，π），函数单调增，
∵x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1，
在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y=sinx和y=f （x）草图象如下，
由图知y=f（x）﹣sinx在[﹣2π，2π]上的零点个数为4个．
故选：B．
点评：本题考查函数的单调性，考查函数的零点，考查函数的周期性与奇偶性，属于基础题．二、填空题（共7小题，满分30分）（10-11为选做题，两题任选一题，12-16为必做题）10．（5分）（2012•湖南）在极坐标系中，曲线C1：ρ（cosθ+sinθ）=1与曲线C2：ρ=a（a ＞0）的一个交点在极轴上，则a=．
考点：简单曲线的极坐标方程．
专题：计算题．
分析：根据ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2将极坐标方程化成普通方程，利用交点在极轴上进行建立等式关系，从而求出a的值．
解答：解：∵曲线C1的极坐标方程为：ρ（cosθ+sinθ）=1，
∴曲线C1的普通方程是x+y﹣1=0，
∵曲线C2的极坐标方程为ρ=a（a＞0）
∴曲线C2的普通方程是x2+y2=a2
∵曲线C1：ρ（cosθ+sinθ）=1与曲线C2：ρ=a（a＞0）的一个交点在极轴上
∴令y=0则x=，点（，0）在圆x2+y2=a2上
解得a=
故答案为：
点评：本题主要考查了简单曲线的极坐标方程与普通方程的转化，同时考查了计算能力和分析问题的能力，属于基础题．
11．（2012•湖南）某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，实验范围定为29℃～63℃．精确度要求±1℃．用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要最少实验次数为7．
考点：优选法的概念．
专题：计算题．
分析：由题知试验范围为[29，63]，可得区间长度为34，将其等分34段，共有33个分点，由分数法的最优性定理可得结论．
解答：解：由已知试验范围为[29，63]，可得区间长度为34，将其等分34段，共有33个分点
由分数法的最优性定理可知F8=33，即通过7次试验可从这33个分点中找出最佳点．故答案为：7．
点评：本题考查的是分数法的简单应用．一般地，用分数法安排试点时，可以分两种情况考虑：（1）可能的试点总数正好是某一个（F n﹣1）．（2）所有可能的试点总数大于某一（F n﹣1），而小于（F n+1﹣1）．用分数法安排试验，一旦确定第一个试点，后续的试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定．
12．（5分）（2012•湖南）不等式x2﹣5x+6≤0的解集为{x|2≤x≤3}．
考点：一元二次不等式的解法．
专题：计算题．
分析：把不等式的左边分解因式后，根据两数相乘的取符号法则：同号得正，异号得负，转化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集．
解答：解：不等式x2﹣5x+6≤0，
因式分解得：（x﹣2）（x﹣3）≤0，
可化为：或，
解得：2≤x≤3，
则原不等式的解集为{x|2≤x≤3}．
故答案为：{x|2≤x≤3}．
点评：本题主要考查了一元二次不等式的解法，考查了转化的数学思想，同时考查了计算能力，属于基础题之列．
13．（5分）（2012•湖南）如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为 6.8．
（注：方差+…+，其中为x1，x2，…，x n的平均数）
考点：茎叶图；极差、方差与标准差．
专题：计算题．
分析：根据茎叶图所给的数据，做出这组数据的平均数，把所给的数据和平均数代入求方差的个数，求出五个数据与平均数的差的平方的平均数就是这组数据的方差．
解答：
解：∵根据茎叶图可知这组数据的平均数是=11
∴这组数据的方差是[（8﹣11）2+（9﹣11）2+（10﹣11）2+（13﹣11）2+（15﹣11）2]
=[9+4+1+4+16]
=6.8
故答案为：6.8．
点评：本题考查一组数据的方差，考查读茎叶图，这是经常出现的一种组合，对于一组数据通常要求这组数据的平均数，方差，标准差，本题是一个基础题．
14．（5分）（2012•湖南）如果执行如图所示的程序框图，输入x=4.5，则输出的数i=4．
考点：循环结构．
专题：计算题．
分析：计算循环中x，与i的值，当x＜1时满足判断框的条件，退出循环，输出结果即可．解答：解：循环前x=3.5，不满足判断框条件，
第1次循环，i=2，x=2.5，
第2次判断后循环，i=3，x=1.5，
第3次判断并循环i=4，x=0.5，满足判断框的条件退出循环，输出i=4．
故答案为：4．
点评：本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力．
15．（5分）（2012•湖南）如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则=18．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：计算题；压轴题．
分析：设AC与BD交于O，则AC=2AO，在RtAPO中，由三角函数可得AO与AP的关系，代入向量的数量积=||||cos∠PAO可求
解答：解：设AC与BD交于点O，则AC=2AO
∵AP⊥BD，AP=3，
在Rt△APO中，AOcos∠OAP=AP=3
∴||cos∠OAP=2||×cos∠OAP=2||=6，
由向量的数量积的定义可知，=||||cos∠PAO=3×6=18
故答案为：18
点评：本题主要考查了向量的数量积的定义的应用，解题的关键在于发现规律：AC×cos∠OAP=2×AOcos∠OAP=2AP．
16．（5分）（2012•湖南）对于n∈N*，将n表示为
n=+…+，当i=k时，a i=1，当0≤i≤k﹣1时，a i
为0或1．定义b n如下：在n的上述表示中，当a0，a1，a2，…，a k中等于1的个数为奇数时，b n=1；否则b n=0．
（1）b2+b4+b6+b8=3；
（2）记c m为数列{b n}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则c m的最大值是2．
考点：数列的应用；数列的函数特性．
专题：压轴题；新定义．
分析：（1）由题设定义可知，2=1×2，4=1×22，6=1×22+1×2，8=1×23，从而b2=1，b4=1，b6=0，b8=1，故可求b2+b4+b6+b8的值；
（2）设{b n}中第m个为0的项为b i，即b i=0，构造二进制数（i）10=（a k a k﹣1…a1a0）2，则a k a k﹣1…a1a0中1的个数为偶数，再进行分类讨论：当a2a1a0=000时，c m=2；当a2a1a0=001时，c m=0；当a2a1a0=010时，c m=1；当a2a1a0=011时，c m=0；当a2a1a0=100时，c m=2；当a2a1a0=101时，c m=0；当a0=0，前面有奇数个1时，c m=1；当a0=0，前面有偶数个1时，c m=2；当末位有奇数个1时，c m=1；当末位有偶数个1时，c m=0，由此可得c m的最大值．
解答：解：（1）由题设定义可知，2=1×2，4=1×22，6=1×22+1×2，8=1×23，∴b2=1，b4=1，b6=0，b8=1
∴b2+b4+b6+b8=3
（2）设{b n}中第m个为0的项为b i，即b i=0，构造二进制数（i）10=（a k a k﹣1…a1a0）2，则a k a k﹣1…a1a0中1的个数为偶数，当a2a1a0=000时，b i+1=1，b i+2=1，b i+3=0，c m=2；
当a2a1a0=001时，b i+1=0，c m=0；当a2a1a0=010时，b i+1=1，b i+2=0，c m=1；当a2a1a0=011时，b i+1=0，c m=0；当a2a1a0=100时，b i+1=1，b i+2=1，b i+3=0，c m=2；当a2a1a0=101时，b i+1=0，c m=0；当a0=0，前面有奇数个1时，b i+1=1，b i+2=0，c m=1；当a0=0，前面有偶数个1时，b i+1=1，b i+2=1，b i+3=0，c m=2；当末位有奇数个1时，b i+1=1，
b i+2=0，
c m=1；当末位有偶数个1时，b i+1=1，b i+2=0，c m=0；故c m的最大值为2．点评：对于新定义型问题，正确理解新定义传递的信息是解题的突破口．
三、解答题（共6小题，满分75分）
17．（12分）（2012•湖南）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．
一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件以上
顾客数（人）x 30 25 y 10
结算时间（分钟/人 1 1.5 2 2.5 3
已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%．
（Ⅰ）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．（将频率视为概率）
考点：概率的应用；众数、中位数、平均数．
专题：应用题；概率与统计．
分析：（Ⅰ）由已知得25+y+10=55，x+30=45，故可确定，y的值，进而可求顾客一次购物的结算时间的平均值；
（Ⅱ）记A：一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟；A1：该顾客一次购物的结算时间为1分钟；A2：该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟；A3：该顾客一次购物的结算时间为2分钟；将频率视为概率求出相应的概率，利用互斥事件的概率公式即可得到结论．
解答：解：（Ⅰ）由已知得25+y+10=55，x+30=45，所以x=15，y=20；
顾客一次购物的结算时间的平均值为
=1.9（分钟）；
（Ⅱ）记A：一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟；A1：该顾客一次购物的结算时间为1分钟；
A2：该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟；A3：该顾客一次购物的结算时间为2分钟；
将频率视为概率可得P（A1）；P（A2）=；P（A3）=
∴P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=0.15+0.3+0.25=0.7
∴一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为0.7．
点评：本题考查学生的阅读能力，考查概率的计算，考查互斥事件，将事件分拆成互斥事件的和是解题的关键，属于中档题．
18．（12分）（2012•湖南）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，ω＞0，0＜φ＜）的部
分图象如图所示．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数g（x）=f（x﹣）﹣f（x+）的单调递增区间．
考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性．
专题：计算题．
分析：
（I）先利用函数图象求此函数的周期，从而计算得ω的值，再将点（，0）和（0，
1）代入解析式，分别解得φ和A的值，最后写出函数解析式即可；
（II）先利用三角变换公式将函数g（x）的解析式化为y=Asin（ωx+φ）型函数，再将内层函数看做整体，置于外层函数即正弦函数的单调增区间上，即可解得函数g（x）的单调增区间
解答：
解：（I）由图象可知，周期T=2（﹣）=π，∴ω==2
∵点（，0）在函数图象上，∴Asin（2×+φ）=0
∴sin（+φ）=0，∴+φ=π+kπ，即φ=kπ+，k∈z
∵0＜φ＜
∴φ=
∵点（0，1）在函数图象上，∴Asin=1，A=2
∴函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+）
（II）g（x）=2sin[2（x﹣）+]﹣2sin[2（x+）+]=2sin2x﹣2sin（2x+）
=2sin2x﹣2（sin2x+cos2x）=sin2x﹣cos2x
=2sin（2x﹣）
由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈z
得kπ﹣≤x≤kπ+
∴函数g（x）=f（x﹣）﹣f（x+）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]k∈z
点评：本题主要考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，根据图象求函数的解析式，利用函数解析式求复合三角函数单调区间的方法，属基础题
19．（12分）（2012•湖南）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD
是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD．
（Ⅰ）证明：BD⊥PC；
（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
考点：直线与平面垂直的性质；直线与平面所成的角．
专题：计算题；证明题．
分析：（1）由PA⊥平面ABCD，AC⊥BD可证得BD⊥平面PAC，从而证得BD⊥PC；
（2）设AC∩BD=O，连接PO，由BD⊥平面PAC可得∠DPO是直线PD和平面PAC 所成的角，于是∠DPO=30°，从而有PD=2OD，于是可证得△AOD，△BOC均为等腰直角三角形，从而可求得梯形ABCD的高，继而可求S ABCD，V P﹣ABCD．
解答：解：（Ⅰ）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
∴PA⊥BD；
又AC⊥BD，PA，AC是平面PAC内的两条相交直线，
∴BD⊥平面PAC，而PC⊂平面PAC，∴BD⊥PC；
（Ⅱ）设AC∩BD=O，连接PO，由（Ⅰ）知BD⊥平面PAC，
∴∠DPO是直线PD和平面PAC所成的角，
∴∠DPO=30°，
由BD⊥平面PAC，PO⊂平面PAC知，BD⊥PO．在Rt△POD中，由∠DPO=30°得PD=2OD．
∵四边形ABCD是等腰梯形，AC⊥BD，
∴△AOD，△BOC均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD的高为AD+BC=×（4+2）=3，
于是S ABCD=×（4+2）×3=9．
在等腰三角形AOD中，OD=AD=2，
∴PD=2OD=4，PA==4，
∴V P﹣ABCD=S ABCD×PA=×9×4=12．
点评：本题考查直线与平面垂直判定定理与性质性质定理，考查直线与平面所成的角的应用与锥体体积，突出对分析、推理与计算能力的考查与应用，属于中档题．
20．（13分）（2012•湖南）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%．预计以后每年年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n万元．
（Ⅰ）用d表示a1，a2，并写出a n+1与a n的关系式；
（Ⅱ）若公司希望经过m（m≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d的值（用m表示）．
考点：数列的应用；根据实际问题选择函数类型．
专题：计算题；综合题．
分析：
（Ⅰ）由题意可求得a1=2000（1+50%）﹣d，a2=a1（1+50%）﹣d=，…从而归纳出a n+1=a n ﹣d．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a n=a n﹣1﹣d=（a n﹣2﹣d）﹣d=…=a1﹣
d[1+++…+]，利用等比数列的求和公式可求得a n=
（3000﹣3d）+2d，再结合题意a m=4000，
即可确定企业每年上缴资金d的值．
解答：解：（Ⅰ）由题意得：a1=2000（1+50%）﹣d=3000﹣d，
a2=a1（1+50%）﹣d=a1﹣d=4500﹣d，
…
a n+1=a n（1+50%）﹣d=a n﹣d．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a n=a n﹣1﹣d
=（a n﹣2﹣d）﹣d
=a n﹣2﹣d﹣d
=…
=a1﹣d[1+++…+]
整理得：a n=（3000﹣d）﹣2d[﹣1]
=（3000﹣3d）+2d．
由题意，a m=4000，即（3000﹣3d）+2d=4000．
解得d==，
故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m（m≥3）年企业的
剩余资金为4000万元．
点评：
本题考查数列的应用，着重考查归纳思想的运用，求得a n+1=a n﹣d是关键，递推关
系的综合应用是难点，突出转化与运算能力的考查，属于难题．
21．（13分）（2012•湖南）在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的
一个焦点为圆C：x2+y2﹣4x+2=0的圆心．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线l1，l2．当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．
专题：综合题；压轴题．
分析：（Ⅰ）确定x2+y2﹣4x+2=0的圆心C（2，0），设椭圆E的方程为：
，其焦距为2c，则c=2，利用离心率为，即可求得椭圆E 的方程；
（Ⅱ）设P（x0，y0），l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1k2=，由l1与圆C：x2+y2﹣4x+2=0相切，可得，同理可得，从而k1，k2是方程的两个实根，进而
，利用，即可求得点P的坐标．
解答：解：（Ⅰ）由x2+y2﹣4x+2=0得（x﹣2）2+y2=2，∴圆心C（2，0）
设椭圆E的方程为：，其焦距为2c，则c=2，
∵，∴a=4，
∴b2=a2﹣c2=12
∴椭圆E的方程为：
（Ⅱ）设P（x0，y0），l1，l2的斜率分别为k1，k2，则l1：y﹣y0=k1（x﹣x0）
l2：y﹣y0=k2（x﹣x0），且k1k2=
由l1与圆C：x2+y2﹣4x+2=0相切得
∴
同理可得
从而k1，k2是方程的两个实根
所以①，且
∵，
∴，
∴x0=﹣2或
由x0=﹣2得y0=±3；由得满足①
故点P的坐标为（﹣2，3）或（﹣2，﹣3），或（）或（）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆相切，解题的关键是确定k1，k2是方程
的两个实根，属于中档题．
22．（13分）（2012•湖南）已知函数f（x）=e x﹣ax，其中a＞0．
（1）若对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，求a的取值集合；
（2）在函数f（x）的图象上取定点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1＜x2），记直线AB的斜率为K，证明：存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）=K恒成立．
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．
专题：计算题；压轴题．
分析：（1）根据题意，对f（x）求导可得f′（x）=0，令f′（x）=0，解可得x=lna，分x＜lna与x＞lna两种情况讨论可得f（x）取最小值为f（lna）=a﹣alna，令g（t）=t﹣tlnt，对其求导可得g′（t）=﹣lnt，分析可得当t=1时，g（t）取得最大值1，因此当且仅当a=1时，a﹣alna≥1成立，即可得答案；
（2）根据题意，由直线的斜率公式可得k=﹣a，令φ（x）=f′（x）﹣k=e x ﹣，可以求出φ（x1）与φ（x2）的值，令F（t）=e t﹣t﹣1，求导可得F′
（t）=e t﹣1，
分t＞0与t＜0讨论可得F（t）的最小值为F（0）=0，则当t≠0时，F（t）＞F（0）
=0，即e t﹣t﹣1＞0，进而讨论可得φ（x1）＜0、φ（x2）＞0，结合函数的连续性分析可得答案．
解答：解：（1）f′（x）=e x﹣a，
令f′（x）=0，解可得x=lna；
当x＜lna，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞lna，f′（x）＞0，f（x）单调递增，故当x=lna时，f（x）取最小值，f（lna）=a﹣alna，
对一切x∈R，f（x）≥1恒成立，当且仅当a﹣alna≥1，①
令g（t）=t﹣tlnt，则g′（t）=﹣lnt，
当0＜t＜1时，g′（t）＞0，g（t）单调递增，当t＞1时，g′（t）＜0，g（t）单调递减，
故当t=1时，g（t）取得最大值，且g（1）=1，
因此当且仅当a=1时，①式成立，
综上所述，a的取值的集合为{1}．
（2）根据题意，k==﹣a，
令φ（x）=f′（x）﹣k=e x﹣，
则φ（x1）=﹣[﹣（x2﹣x1）﹣1]，
φ（x2）=[﹣（x1﹣x2）﹣1]，
令F（t）=e t﹣t﹣1，则F′（t）=e t﹣1，
当t＜0时，F′（t）＜0，F（t）单调递减；当t＞0时，F′（t）＞0，F（t）单调递增，则F（t）的最小值为F（0）=0，
故当t≠0时，F（t）＞F（0）=0，即e t﹣t﹣1＞0，
从而﹣（x2﹣x1）﹣1＞0，且＞0，则φ（x1）＜0，
﹣（x1﹣x2）﹣1＞0，＞0，则φ（x2）＞0，
因为函数y=φ（x）在区间[x1，x2]上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在x0∈（x1，x2），使φ（x0）=0，
即f′（x0）=K成立．
点评：本题考查导数的应用，涉及最大值、最小值的求法以及恒成立问题，是综合题；关键是理解导数的符号与单调性的关系，并能正确求出函数的导数．。