棋盘上的数学

棋盘上的数学
同学们，听说过国际象棋吗？国际象棋起源于印度，它的棋盘是正方形的，由8行8列颜色一深一浅、交错排列的64个小方格组成（如右图）。

国际象棋和它的发明人——印度人西萨·班·达依尔还有一段有趣的故事呢！
读一读
棋盘上的麦粒
西萨·班·达依尔是古印度舍罕王的宰相。

一次，舍罕王觉得自己王宫里的所有游戏都玩腻了，于是，他下令说，如果谁能发明一种使他开心的游戏，谁就将得到很多的赏赐。

达依尔知道了这个消息，便把自己发明的国际象棋奉献给了舍罕王。

舍罕王觉得这种游戏很有趣，非常高兴，就打算重赏达依尔。

舍罕王问达依尔：“你的发明给我带来了很多欢乐，你要什么赏赐，我就给你什么赏赐！”达依尔不慌不忙地说：“陛下，请你在这张棋盘的第一个小格里，赏给我1粒麦子，在第二格里赏2粒，照这样下去，每一格里的麦子都比前一格加一倍。

直到把棋盘的64个格子都摆满，您把这些麦子赏给我就够了。

”
舍罕王对达依尔的要求既奇怪，又高兴：“达依尔，你的要求也太少了，我会让你满足的！”于是舍罕王命令侍臣，把这些麦子如数付给达依尔。

数麦粒的工作开始了，第一格放1粒，第二格放2粒，第三格放4粒，可还没放到20格，一袋的麦子已经空了。

接着一袋又一袋的麦子被扛上来，一袋又一袋的麦子被数尽，依旧无法达到达依尔的要求。

而舍罕王也惊得目瞪口呆，因为他发现：达依尔的要求竟是无法兑现的！
？
？
做一做
让我们一起来动手做一做吧！
这是为什么呢？
图画不好，本意想画
成两次对折状。

我们研究所要借助的材料是一张普通的白 纸。

如图，对折1次，纸有几层？对折2次， 纸有几层？ 对折3次呢？
1. 随着对折次数的不断增加，你发现纸的层数变化有什么规律吗？
2. 这些层数与2又有什么特殊的联系呢？
○ 小 贴 士 ○
4可以写成2×2，两个2相乘可以在2 的右上角写一个2，即22，读作2的平方，或 2的2次方。

通常，几个2连乘，就可以在2的右上角写 几，读的时候就读作2的几次方。

比如：8可以 写成——2×2×2，也可以写成——23
，读作2的 三次方；64可以写成——2×2×2×2×2×2，也 可以写成——26，读作2的六次方……
对折次数
折 叠 层 数
1 2 3
折一折，把结果填在
右边的表格里。

仔细瞧瞧，
你能发现什么“秘密”吗？把白纸对折4次、5次、6次……纸分别有几层呢？
计算可要仔细哦！
你发现了吗？如果把白纸不断对折：
对折次数折叠层数
1
2 = 21
2
2×2 = 4 = 22
2个2
3
2×2×2 = 8 = 23
3个2
4 2×2×2×2 = 16= 24
4个2
…………
10 2×2×…×2 = 512=210
10个2
n 2×2×…×2 = 2n
n 个2
算一算
假如我们用的白纸1层的厚度为0.1毫米，那么，用这张纸对折1次、2次、3次……，叠起来的厚度各是多少毫米呢？动笔算一算，把结果记录下来。

随着对折次数的依次增加，纸的层数在不停地翻倍，纸的厚度也在不停地翻倍。

对折次数层数叠厚（毫米）
1 2 0.2
2 4 0.4
3 8 0.8
我们可以近似地把对折10次纸的厚度看作1分米。

假设有一张足够大的纸可以不断对折，那么，对折13次就能达到8分米，差不多和
课桌一样高！如果一个成年女性的身高是1.6米，那么，这张纸只要再
对折1次，即对折14次就能折到一个成年女性的身高那么高！再折一
次，就又翻了一倍，是3.2米，居然比一层楼还要高！
聊一聊
⒈在《棋盘上的麦粒》这个故事中，按照达依尔的说法，棋盘的第1～10格分别放几粒麦子？你发现了什么？
⒉根据计算，棋盘第13格有4096粒麦子，差不多是一千克，你能估计仅第64个棋盘格可能放多少千克麦子吗？整个棋盘呢？
⒊现在你知道达依尔的要求为什么无法兑现吗？
国际象棋的棋盘有64个格子，按照达依尔的说法，由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子里麦粒数的2倍，各个格子里的麦粒数依次是:1，2，2×2，2×2×2，……2×2×……×2，也可以写成1，2，22， 23，……263，宰相达依尔要求的麦粒总数就是：1＋2＋22＋23＋……＋263＝18446744073709551615（粒）。

263
据计算，棋盘第13格有4096粒麦子，差不多是一千克。

再连续翻倍，到第23格，麦子就超过了1吨，继续不停地翻倍，到棋盘的最后一格，竟达到了230584301万吨！而按要求摆满棋盘所有64格的麦粒还要把每个格子里的麦粒都加起来，差不多是411168602万吨。

如果按人均每天吃0.5千克计算，这么多麦子竟然够我国13亿人口吃整整17331年！。