高一数学基本初等函数教案

第二章基本初等函数（Ⅰ）
一、课标要求：
教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题.
1.了解指数函数模型的实际背景.
2.理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.
3.理解指数函数的概念和意义，掌握f(x)=a x的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）.
4.通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型.
5.理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.
6.通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f(x)=log a x符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）.
7.知道指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数（a＞0,a≠1），初步了解反函数的概念和f--1(x)的意义.
8.通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数
1
312
,,,
y x y x y x y x
-
====的图象，了解它们
的变化情况.
二、编写意图与教学建议：
1.教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情景创设.
2.在学习对数函数的图象和性质时，教材将它与指数函数的有关内容做了比较，让学生体会两种函数模型的增长区别与关联，渗透了类比思想. 建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用.
3、教材对反函数的学习要求仅限于初步知道概念，目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习，教学中不宜对其定义做更多的拓展.
4.教材对幂函数的内容做了削减，仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数，并且安排的顺序向后调整，教学中应防止增加这部分内容，以免增加学生学习的负担.
5.通过运用计算机绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能..
6. 教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.
三、教学内容与课时安排的建议
本章教学时间约为14课时.
2.1指数函数：6课时
2.2对数函数：6课时
2.3幂函数：1课时
小结：1课时
§2.1.1 指数（第1—2课时）
一．教学目标：
1．知识与技能：（1）理解分数指数幂和根式的概念；
（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；
（3）掌握分数指数幂的运算性质；
（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.
2．过程与方法：
通过与初中所学的知识进行类比，分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性质.
3．情态与价值
（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；
（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；
（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.
二．重点、难点
1．教学重点：（1）分数指数幂和根式概念的理解； （2）掌握并运用分数指数幂的运算性质； 2．教学难点：分数指数幂及根式概念的理解 三．学法与教具
1．学法：讲授法、讨论法、类比分析法及发现法
2．教具：多媒体 四、教学设想：
第一课时
一、复习提问：
什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？
归纳：在初中的时候我们已经知道：若2x a =，则x 叫做a 的平方根.同理，若3x a =，则x 叫做a 的立方根.
根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方根为2±，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如―8的立方根为―2；零的平方根、立方根均为零. 二、新课讲解
类比平方根、立方根的概念，归纳出n 次方根的概念.
n 次方根：一般地，若n x a =，则x 叫做a 的n 次方根（throot ），其中n ＞1，且n ∈Ｎ＊
,当n 为偶数
时，a 的n
表示，如果是负数，用
叫做根式.n 为奇数时，a 的n 次方
表示，其中n 称为根指数，a 为被开方数.
类比平方根、立方根，猜想：当n 为偶数时，一个数的n 次方根有多少个？当n 为奇数时呢？
n a n a n a n ⎧⎪⎨±⎪⎩为奇数, 的次方根有一个,为正数:为偶数, 的次方根有两个,为
n a n a n a n ⎧⎪⎨
⎪⎩为奇数, 的次方根只有一个,为负数:为偶数, 的次方根不存在.
零的n
0=
举例：16的次方根为2±
，275-的27-的4次方根不存在.
小结：一个数到底有没有n 次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n 为奇
数和偶数两种情况.
根据n 次方根的意义，可得：
n a =
n a =
a n 的n 次方根，
a =一定成立吗？如果不一定成立，
等于什么？
让学生注意讨论，n 为奇偶数和a 的符号，充分让学生分组讨论.
通过探究得到：n a =
n 为偶数,
,0
||,0
a a a a a ≥⎧==⎨
-<⎩
|8|8=
=-=-=
小结：当n 再在绝对值算具体的值，这样就避免出现错误： 例题：求下列各式的值
（1）(1)
(2) (3)
(4)
分析：当n ||a =，然后再去绝对值.
n =是否成立，举例说明. 课堂练习：1. 求出下列各式的值
1)a ≤
21,a a =-求的取值范围.
3三．归纳小结：
1．根式的概念：若n ＞1且*n N ∈，则n x a x 是的次方根,n 为奇数时,
n 为偶数时，x =
2．掌握两个公式：(0)
,||(0)
n a a n n a a a ≥⎧==⎨-<⎩为奇数时为偶数时
3．作业：P 69习题2.1 A 组 第1题
第二课时
提问：
1．习初中时的整数指数幂，运算性质？
00,1(0),0n a a a a a a a =⋅⋅⋅⋅⋅=≠无意义
1(0)n n
a a a -=
≠
;()m n m n m n mn a a a a a +⋅== (),()n m mn n n n a a ab a b ==
什么叫实数？
有理数，无理数统称实数.
2．观察以下式子，并总结出规律：a＞0
①
10
25
a a
===②
8
42
a a
===
③
12
34
a a
===
10
25
a a
===
小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作为指数的形式，（分数指数幂形式）.
根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如：
2
3(0)
a a
==>
1
2(0)
b b
==>
5
4(0)
c c
==>
*
(0,,1)
m
n
a a n N n
=>∈>
为此，我们规定正数的分数指数幂的意义为：
*
0,,)
m
n
a a m n N
=>∈
正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.
即：*
1
(0,,)
m
n
m
n
a a m n N
a
-
=>∈
规定：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义.
说明：规定好分数指数幂后，根式与分数指数幂是可以互换的，分数指数幂只是根式的一种新的写法，而不是
111
(0)
n
m m m m
a a a a a
=⋅⋅⋅⋅>
由于整数指数幂，分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，即：
（1）(0,,)
r s r s
a a a a r s Q
+
⋅=>∈
（2）()(0,,)
r S rs
a a a r s Q
=>∈
（3）()(0,0,)
r r r
a b a b Q b r Q
⋅=>>∈
若a＞0，P是一个无理数，则P该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本P62——P62.
.
时，
(如课本图所
所以，.
一般来说，无理数指数幂(0,)p
a a p >是一个无理数是一个确定的实数，有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义，是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.
思考：
由以上分析，可知道，有理数指数幂，无理数指数幂有意义，且它们运算性质相同，实数指数幂有意义，也有相同的运算性质，即：
(0,,)r s r s a a a a r R s R +⋅=>∈∈ ()(0,,)r s rs a a a r R s R =>∈∈ ()(0,)r r r a b a b a r R ⋅=>∈
3．例题 （1）．（P 60，例2）求值 解：① 22233233
3
8(2)224⨯
====
② 1
112()
2
12
2
2
125
(5)
5
55
--
⨯--====
③ 5151(5)1()(2)2322
----⨯-===
④334()344162227
()()()81338
-⨯--===
（2）．（P 60，例3）用分数指数幂的形式表或下列各式（a ＞0）
解：11733
3
2
22
a a a a
a +=⋅==
2
2822
2
3
3
3
a a a a a +
⋅==
42133
2
()a a ====
分析：先把根式化为分数指数幂，再由运算性质来运算. 课堂练习：P 63练习 第 1，2，3，4题 补充练习：
1. 计算：1221
21
(2)()248
n n n ++-⋅的结果 2. 若1
310731033
3,384,[()]n a a a a a -==⋅求的值
1．分数指数是根式的另一种写法.
2．无理数指数幂表示一个确定的实数.
3．掌握好分数指数幂的运算性质，其与整数指数幂的运算性质是一致的.作业：P69习题2.1 第2题
第三课时
一．教学目标
1．知识与技能：
（1）掌握根式与分数指数幂互化；
（2）能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简，求值.
2．过程与方法：
通过训练点评，让学生更能熟练指数幂运算性质.
3．情感、态度、价值观
（1）培养学生观察、分析问题的能力；
（2）培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力.
二．重点、难点：
1．重点：运用有理指数幂性质进行化简，求值.
2．难点：有理指数幂性质的灵活应用.
三．学法与教具：
1．学法：讲授法、讨论法.
2．教具：投影仪
四．教学设想：
1．复习分数指数幂的概念与其性质
2．例题讲解
例1．（P60，例4）计算下列各式（式中字母都是正数）
（1）
2115
11
3366
22
(2)(6)(3)
a b a b a b
-÷-
（2）
3
1
8
8
4 () m n-
（先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析、提问、解答）
分析：四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号的.整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序.
我们看到（1）小题是单项式的乘除运算；（2）小题是乘方形式的运算，它们应让如何计算呢？
其实，第（1）小题是单项式的乘除法，可以用单项式的运算顺序进行.
第（2）小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算.
解：（1）原式=
211115
326236 [2(6)(3)]a b
+-+-⨯-÷-
=0 4ab =4a
（2）原式=
3
1
88
8
4
()() m n-
=23m n - 例2．（P 61 例5）计算下列各式 （1
）-（2
2(a ＞0）
分析：在第（1）小题中，只含有根式，且不是同类根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，同样，第（2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算.
解：（1）原式= 1113
2
4
(25125)25-÷ = 231322
(55)5-÷ = 21
313222
5
5
---
= 16
55-
= 5
（2）原式
=
1252223
6
213
2
a a
a a a
--===⋅
小结：运算的结果不强求统一用哪一种形式表示，但不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母，又含有负指数. 课堂练习：
化简：
（1
）293
2
)-
（2
（3）
归纳小结：
1． 熟练掌握有理指数幂的运算法则，化简的基础.
2．含有根式的式子化简，一般要先把根式转化为分数指数幂后再计算. 作业：P 65 习题2.1
A 组 第4题
B 组 第2题
2.1.2指数函数及其性质（2个课时）
一. 教学目标：
1．知识与技能
①通过实际问题了解指数函数的实际背景；
②理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质. ③体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想； 2．情感、态度、价值观
①让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理. ②培养学生观察问题，分析问题的能力. 3．过程与方法
展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质. 二．重、难点
重点：指数函数的概念和性质及其应用. 难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用. 三、学法与教具：
①学法：观察法、讲授法及讨论法. ②教具：多媒体.
第一课时
一．教学设想： 1. 情境设置
①在本章的开头，问题（1）中时间x 与GDP 值中的 1.073(20)x
y x x =∈≤与问题(2)
t 1中时间t和C-14含量P的对应关系P=[(2
，请问这两个函数有什么共同特征.
②这两个函数有什么共同特征
15730
1][()]2
t P =t
57301把P=[()变成2，从而得出这两个关系式中的底数是一个正数，自变量为指数，即都可
以用x
y a =（a ＞0且a ≠1来表示）.
二．讲授新课 指数函数的定义
一般地，函数x
y a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1）2
2
x y += （2）(2)x y =- （3）2x
y =-
（4）x y π= （5）2
y x = （6）2
4y x =
（7）x y x = （8）(1)x
y a =- （a ＞1，且2a ≠）
小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为a ＞0，x 是任意一个实数时，x a 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R .
00
0,0x
x a a x a ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩x
当时,等于若当时,无意义
若a ＜0，如1
(2),,8
x y x x =-=
1
先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在. 若a =1, 11,x
y == 是一个常量，没有研究的意义，只有满足(0,1)x
y a a a =>≠且的形式才能称为
指数函数，
5,,3,31x x x a y x y y +===+1x
x
为常数,象y=2-3,y=2等等,
不符合
(01)x y a a a =>≠且的形式,所以不是指数函数.
我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究. 下面我们通过
先来研究a ＞1的情况
用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数2x
y =的图象
x 3.00- 2.50- 2.00- 1.50- 1.00- 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00
2x y =
18
-
14
12
1 2 4
再研究，0＜a ＜1的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数()2
x y =的图象.
x
2.50- 2.00-
1.50- 1.00-
0.00 1.00 1.50 2.00 2.50
1()2
x y =
14
12
1 2 4
- - -
-
-
-
-
- - -
-
-
-
-
x
y
0 y =2x
从图中我们看出
12()2
x x y y ==与的图象有什么关系?
通过图象看出12()2
x x y y y ==与的图象关于轴对称,实质是2x
y =上的x,y 点(-)
x y x,y y 1
与=()上点(-)关于轴对称.2
讨论：1
2()2
x x y y ==与的图象关于y 轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？
②利用电脑软件画出11
5,3,(),()35
x x x x y y y y ====的函数图象.
问题：1：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.
从图上看x
y a =（a ＞1）与x
y a =（0＜a ＜1）两函数图象的特征.
- - -
- -
-
-
-
-
-
-
-
-
-
x
y 0
问题2：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性. 问题3：指数函数x
y a =（a ＞0且a ≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系. 图象特征
函数性质
a ＞1 0＜a ＜1 a ＞1 0＜a ＜1
向x 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R
图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在x 轴上方
函数的值域为R +
函数图象都过定点（0，1） 0a =1
自左向右， 图象逐渐上升 自左向右， 图象逐渐下降 增函数
减函数
在第一象限内的图 象纵坐标都大于1 在第一象限内的图 象纵坐标都小于1 x ＞0，x a ＞1 x ＞0，x a ＜1 在第二象限内的图 象纵坐标都小于1
在第二象限内的图 象纵坐标都大于1
x ＜0，x a ＜1
x ＜0，x a ＞1
5．利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[,]x
a b f x a 上,()=（a ＞0且a ≠1）值域是[(),()][(),()];f a f b f b f a 或 （2）若0,x f x f x x ≠≠∈则()1;()取遍所有正数当且仅当R; （3）对于指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1），总有(1);f a = （4）当a ＞1时，若1x ＜2x ，则1()f x ＜2()f x ； 例题：
例1：（P 66 例6）已知指数函数()x
f x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求
(0),(1),(3)f f f -的值.
分析：要求(0),(1),(3),,x
f f f a x π-13的值,只需求出得出f()=()再把0，1，3分别代入x ，即可求得(0),(1),(3)f f f -.
提问：要求出指数函数，需要几个条件？ 课堂练习：P 68 练习：第1，2，3题
补充练习：1、函数1()()2
x f x =的定义域和值域分别是多少? 2、当[1,1],()32x
x f x ∈-=-时函数的值域是多少?
解（1）,0x R y ∈> （2）（－5
3
，１）
例2：求下列函数的定义域： （1）4
4
2
x y -= （2）||2()3
x y =
分析：类为(1,0)x
y a a a =≠>的定义域是R ，所以，要使（1），（2）题的定义域，保要使其指数部分有意义就得 . 3．归纳小结
作业：P 69 习题2.1 A 组第5、6题
1、理解指数函数(0),101x
y a a a a =>><<注意与两种情况。

2、解题利用指数函数的图象，可有利于清晰地分析题目，培养数型结合与分类讨论的数学思想 .
第2课时
教学过程：
1、复习指数函数的图象和性质
2、例题
例1：（P 66例7）比较下列各题中的个值的大小 （1）1.72.5 与 1.73
( 2 )0.1
0.8
-与0.20.8-
( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1
解法1：用数形结合的方法，如第（1）小题，用图形计算器或计算机画出 1.7x
y =的图象，在图象上找出横坐标分别为2.5, 3的点，显然，图象上横坐标就为3的点在横坐标为2.5的点的上方，所以
2.531.7 1.7<.
解法2：用计算器直接计算： 2.5
1.7 3.77≈ 31.7 4.91≈
所以， 2.5
31.7
1.7<
解法3：由函数的单调性考虑
1.7x y =
因为指数函数 1.7x
y =在R 上是增函数，且2.5＜3，所以， 2.531.7 1.7<
仿照以上方法可以解决第（2）小题 .
注：在第（3）小题中，可以用解法1，解法2解决，但解法3不适合 .
由于1.70.3=0.93.1不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到1，把这两数值分别与1比较大小，进而比较1.70.3与0.93.1的大小 .
思考：
1、已知0.70.90.8
0.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c . 2. 比较113
2
a a 与的大小（a ＞0且a ≠0）.
指数函数不仅能比较与它有关的值的大小，在现实生活中，也有很多实际的应用. 例2（P 67例8）截止到1999年底，我们人口哟13亿，如果今后，能将人口年平均均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？
分析：可以先考试一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题： 1999年底 人口约为13亿
经过1年 人口约为13（1+1%）亿 经过2年 人口约为13（1+1%）（1+1%）=13(1+1%)2亿 经过3年 人口约为13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3亿 经过x 年 人口约为13(1+1%)x 亿 经过20年 人口约为13(1+1%)20亿
解：设今后人口年平均增长率为1%，经过x 年后，我国人口数为y 亿，则
13(11%)x y =+
当x =20时，20
13(11%)
16()y =+≈亿
答：经过20年后，我国人口数最多为16亿.
小结：类似上面此题，设原值为N ，平均增长率为P ，则对于经过时间x 后总量
(1),(1)(x x x y N p y N p y ka K R =+=+=∈像等形如，a ＞0且a ≠1）的函数称为指数型函数 .
思考：P 68探究：
（1）如果人口年均增长率提高1个平分点，利用计算器分别计算20年后，33年后的我国人口数 . （2）如果年平均增长率保持在2%，利用计算器2020~2100年，每隔5年相应的人口数 . （3）你看到我国人口数的增长呈现什么趋势？ （4）如何看待计划生育政策？ 3．课堂练习
（1）右图是指数函数①x
y a = ②x
y b = ③x
y c = ④x
y d =的图象，判断,,,a b c d 与1的大小
x y a =
x y b =x y c =
x y d =
关系；
（2）设31212,,x x
y a y a +-==其中a ＞0，a ≠1，确定x 为何值时，有：
①12y y = ②1y ＞2y （3）用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的
3
4
，写出存留污垢y 与漂洗次数x 的函数关系式，若要使存留的污垢，不超过原有的1%，则少要漂洗几次（此题为人教社B 版101页第6题）.
归纳小结：本节课研究了指数函数性质的应用，关键是要记住a ＞1或0＜a ＜时x
y a =的图象，在此基础上研究其性质 .本节课还涉及到指数型函数的应用，形如x
y ka =（a ＞0且a ≠1）. 作业：P 69 A 组第 7 ，8 题 P 70 B 组 第 1，4题
对数（第一课时）
一．教学目标：
1．知识技能：
①理解对数的概念，了解对数与指数的关系； ②理解和掌握对数的性质； ③掌握对数式与指数式的关系 . 2. 过程与方法：
通过与指数式的比较，引出对数定义与性质 . 3．情感、态度、价值观
（1）学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力. （2）通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质 . （3）在学习过程中培养学生探究的意识.
（4）让学生理解平均之间的内在联系，培养分析、解决问题的能力. 二．重点与难点：
（1）重点：对数式与指数式的互化及对数的性质 （2）难点：推导对数性质的 三．学法与教具：
（1）学法：讲授法、讨论法、类比分析与发现 （2）教具：投影仪
四．教学过程：
1．提出问题
思考：（P 72思考题）13 1.01x
y =⨯中，哪一年的人口数要达到10亿、20亿、30亿……，该如何解决？ 即：
182030
1.01, 1.01, 1.01,131313
x x x ===在个式子中，x 分别等于多少？ 象上面的式子，已知底数和幂的值，求指数，这就是我们这节课所要学习的对数（引出对数的概念）. 1、对数的概念
一般地，若(0,1)x
a N a a =>≠且，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =
a 叫做对数的底数，N 叫做真数.
举例：如：2
4416,2log 16==则，读作2是以4为底，16的对数.
12
42=，则
41log 22=，读作1
2
是以4为底2的对数. 提问：你们还能找到那些对数的例子
2、对数式与指数式的互化 在对数的概念中，要注意：
（1）底数的限制a ＞0，且a ≠1
（2）log x
a a N N x =⇔=
指数式⇔对数式
幂底数←a →对数底数 指 数←x →对数 幂 ←N →真数
说明：对数式log a N 可看作一记号，表示底为a （a ＞0，且a ≠1），幂为N 的指数工表示方程x a N =（a ＞0，且a ≠1）的解. 也可以看作一种运算，即已知底为a （a ＞0，且a ≠1）幂为N ，求幂指数的运算. 因此，对数式log a N 又可看幂运算的逆运算.
例题：
例1（P 73例1）
将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
（1）54=645 （2）61264-=
（3）1
() 5.733
m = （4）12
log 164=- （5）10log 0.012=- （6）log 10 2.303e =
注：（5）、（6）写法不规范，等到讲到常用对数和自然对数后，再向学生说明. （让学生自己完成，教师巡视指导） 巩固练习：P 74 练习 1、2 3．对数的性质：
提问：因为a ＞0，a ≠1时，log x N
a a N x =⇔=
则 由１、a 0=1 ２、a 1=a 如何转化为对数式 ②负数和零有没有对数？ ③根据对数的定义，log a N
a
=？
（以上三题由学生先独立思考，再个别提问解答） 由以上的问题得到 ①
011,a a a == （a ＞0，且a ≠1）
② ∵a ＞0，且a ≠1对任意的力，10log N 常记为lg N . 恒等式：log a N
a =N
4、两类对数
① 以10为底的对数称为常用对数，10log N 常记为lg N .
② 以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数，log e N 常记为ln N .
以后解题时，在没有指出对数的底的情况下，都是指常用对数，如100的对数等于2，即lg1002=. 说明：在例1中，10log 0.010.01,log 10ln10e 应改为lg 应改为. 例2：求下列各式中x 的值
（1）642
log 3
x =-
（2）log 86x = （3）lg100x = （4）2ln e x -= 分析：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x . 解：（1）2223()
3
23
3
3
1(64)
(4)
4
416
x --⋅--=====
（2）1
1116
636
6
6
2
8,()(8)(2)2x x =====
所以 （3）2
1010010,2x
x ===于是 （4）2
2
2ln ,ln ,e x x e e -=-==-x
由得即e
所以2x =-
课堂练习：P 74 练习3、4
补充练习：1. 将下列指数式与对数式互化，有x 的求出x 的值 .
（1）12
5
-=
（2）x = （3）1327
x =
（4）1()644
x = （5）lg0.0001x = （6）5ln e x = 2．求log log log ,a b c b c N
a
⋅⋅∈+的值(a,b,c R 且不等于1，N ＞0）.
3．计算3
1log 5
3
的值.
4．归纳小结：对数的定义
log (b N a a N b a =⇔=＞0且a ≠1）
1的对数是零，负数和零没有对数 对数的性质 log 1a a = a ＞0且a ≠1 log a N
a
N =
作业：P 86 习题 2.2 A 组 1、2
P 88 B 组 1
对数（第二课时）
一．教学目标：
1．知识与技能
①通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数运算性质进行运算，求值、化简，并掌握化简求值的技能.
②运用对数运算性质解决有关问题. ③培养学生分析、综合解决问题的能力.
培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度. 2. 过程与方法
①让学生经历并推理出对数的运算性质. ②让学生归纳整理本节所学的知识. 3. 情感、态度、和价值观
让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性. 二．教学重点、难点
重点：对数运算的性质与对数知识的应用 难点：正确使用对数的运算性质 三．学法和教学用具
学法：学生自主推理、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 教学用具：投影仪 四．教学过程
1．设置情境
复习：对数的定义及对数恒等式
log b a N b a N =⇔= （a ＞0，且a ≠1，N ＞0），
指数的运算性质.
;m n m n m n m n a a a a a a +-⋅=÷=
();
n
m n mn
m
a a a ==
2．讲授新课
探究：在上课中，我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？如我们知道m n m n a a a +⋅=，那m n +如何表示，能用对数式运算吗？
如：,,m
n
m n
m n a a a
M a N a +⋅===设。

于是,m n
MN a += 由对数的定义得到
log ,log m n a a M a m M N a n N =⇔==⇔= log m n a MN a m n MN +=⇔+=
log log log ()a a a M N MN ∴+=放出投影
即：同底对数相加，底数不变，真数相乘
提问：你能根据指数的性质按照以上的方法推出对数的其它性质吗？ （让学生探究，讨论）
如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么： （1）log log log a a a MN M N =+ （2）log log log a
a a M
M N N
=- （3）log log ()n
a a M n M
n R =∈
证明：
（1）令,m
n
M a N a ==
则：m n m n M
a a a N
-=÷= log a M
m n N
∴-=
又由,
m
n M a N a ==
log ,log a a m M n N ∴==
即：log log log a a a
M M N m n N
-=-= （3）0,log ,N n
n
a n N M M a ≠==时令则 log ,
b n
a b n M M a ==则
N b n n
a a ∴=
N b ∴=
即log log log a a a M
M N N
=-
当n =0时，显然成立.
log log n
a a M n M ∴=
提问：1. 在上面的式子中，为什么要规定a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0？ 2． 你能用自己的语言分别表述出以上三个等式吗？
例题：1. 判断下列式子是否正确，a ＞0且a ≠1，x ＞0且a ≠1，x ＞0，x ＞y ，则有 （1）log log log ()a a a x y x y ⋅=+ （2）log log log ()a a a x y x y -=- （3）log log log a
a a x
x y y
=÷ （4）log log log a a a xy x y =- （5）(log )log n
a a x n x = （6）1log log a a
x x
=- （7
1
log a x n
=
例2：用log a x ，log a y ，log a z 表示出（1）（2）小题，并求出（3）、（4）小题的值.
（1）log a xy z （2
）log a （3）75log (42)z ⨯ （4
）分析：利用对数运算性质直接计算： （1）log log log log log log a a a a a a xy
xy z x y z z
=-=+- （2
）2log log log log log log a
a a a a a x x ==+
=11
2log log log 23
a a a x y z +
- （3）7575
222log (42)log 4log 214519⨯=+=+=
（4
）25
2lg105
==
点评：此题关键是要记住对数运算性质的形式，要求学生不要记住公式. 让学生完成P 79练习的第1，2，3题 提出问题：
你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？
a ＞0，且a ≠1，c ＞0，且e ≠1，
b ＞0
log log log c a c b
b a
=
先让学生自己探究讨论，教师巡视，最后投影出证明过程.
设log ,log ,,M N
c c M a N b a c b c ====则
且11,()N N
M
M
M
a
c a a
b ====N
所以c
即：
log log ,log c a c b N N b M M a ==又因为 所以：
log log log c a c b
b a
=
小结：以上这个式子换底公式，换的底C 只要满足C ＞0且C ≠1就行了，除此之外，对C 再也没有什么特定的要求.
提问：你能用自己的话概括出换底公式吗？
说明：我们使用的计算器中，“log ”通常是常用对数. 因此，要使用计算器对数，一定要先用换底公式转化为常用对数. 如：
2lg 3
log 3lg 2
=
即计算3
2log 的值的按键顺序为：“log ”→“3”→“÷”→“log ”→“２” →“=” 再如：在前面要求我国人口达到18亿的年份，就是要计算
1.01
18
log 13
x = 所以 1.0118
lg
18lg18lg13 1.2553 1.139
13log 13lg1.01lg1.010.043
x --===≈
=32.883733()≈年
练习：P 79 练习4
让学生自己阅读思考P 77~P 78的例5，例的题目，教师点拨. 3、归纳小结
（1）学习归纳本节
（2）你认为学习对数有什么意义？大家议论. 4、作业
（1）书面作业：Ｐ８６ 习题２.２ 第3、4题 P 87 第11、12题 2、思考：（1）证明和应用对数运算性质时，应注意哪些问题？ （2）222log (3)(5)log (3)log (5)---+-等于吗?
§2.2.2对数函数及其性质（第一、二课时）
一．教学目标
1．知识技能
①对数函数的概念，熟悉对数函数的图象与性质规律.
②掌握对数函数的性质，能初步运用性质解决问题. 2．过程与方法
让学生通过观察对数函数的图象，发现并归纳对数函数的性质. 3．情感、态度与价值观
①培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力； ②培养学生严谨的科学态度. 二．学法与教学用具
1．学法：通过让学生观察、思考、交流、讨论、发现函数的性质； 2．教学手段：多媒体计算机辅助教学． 三．教学重点、难点
1、重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质.
2、难点：底数a 对图象的影响及对数函数性质的作用. 四．教学过程 1．设置情境
在2．2．1的例6中，考古学家利用
log
P 估算出土文物或古遗址的年代，对于每一个C 14含量P ，
通过关系式，都有唯一确定的年代t 与之对应．同理，对于每一个对数式log x
a y =中的x ，任取一个正的实
数值，y 均有唯一的值与之对应，所以log x
a y x =关于的函数．
2．探索新知
一般地，我们把函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
提问：（1）．在函数的定义中，为什么要限定a ＞0且a ≠1．
（2）．为什么对数函数log a y x =（a ＞0且a ≠1）的定义域是（0，+∞）．组织学生充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解.
答：①根据对数与指数式的关系，知log a y x =可化为y a x =，由指数的概念，要使y a x =有意义，必须规定a ＞0且a ≠1．
②因为log a y x =可化为y x a =，不管y 取什么值，由指数函数的性质，y a ＞0，所以(0,)x ∈+∞． 例题1：求下列函数的定义域
（1）2
log a y x = （2）log (4)a y x =- （a ＞0且a ≠1）
分析：由对数函数的定义知：2x ＞0；4x -＞0，解出不等式就可求出定义域． 解：（1）因为2
x ＞0，即x ≠0，所以函数2
log x a y =的定义域为{}|0x x ≠.
（2）因为4x -＞0，即x ＜4，所以函数(4)log x a y -=的定义域为{|x x ＜}4.
下面我们来研究函数的图象，并通过图象来研究函数的性质：
先完成P 81表2－3，并根据此表用描点法或用电脑画出函数2log x
y =的图象, 再利用电脑软件画出。