第二章 随机过程分析

图2-3-2 幅度随机的正弦信号
图2-3-3 频率随机的正弦信号
图2-3-4 频率、相位和幅度随机的正弦信号
图2-3-5 云层背景下的飞机
2.3.1 随机信号 的统计特性(如概率密度函 数、相关函数)，部分或全部在观察点或观察
点组的位置变化时，保持不变或变化。在随机
信号理论中就称该随机信号的相应统计特性具 有平稳或非平稳性。
5、n维分布函数和概率密度函数
例2.2 讨论贝努里随机过程 的一、二维概率 特性。
解：贝努里随机过程，在 时刻，独立地观 察某个事件 发生与否，建立事件 的指示函 数
且有概率
(2.2.7)
设
，单位步函数（阶跃函数）
贝努里随机过程的一维概率分布函数
一维概率密度函数
(2.2.8)
(2.2.9)
贝努里随机过程 ，对于不同的时刻 ，其
随机变量
是彼此统计独立的。因此，
可得
(2.2.10)
贝努里随机过程的二维概率分布函数是
其中， 是二维单位阶跃函数。 那么二维概率密度函数
(2.2.11) (2.2.12)
(2.2.13)
式中，
(2.2.14)
2.2.2、随机过程的数字特征
• 随机过程的分布函数在实际上是很难获取的， 甚至是不可能的。
(2.2.2) 成立,则称 为随机过程的一维概率密度函 数, 是 和 的二元函数，且满足
(2.2.3)
注：一维概率分布描述了随机过程在各个孤 立时刻的统计特性。
3、二维分布函数
与 ， ， 和 都有直接的关系， 是 ，， 和 的四元函数，记为：
(2.2.4) 被称为随机过程的二维分布函数。
4、二维概率密度函数
谱密度函数； 4、变换域描述：特征函数。
2.2.1、随机过程的概率分布
随机过程 ，在每一固定时刻 都是随机变量。
随机事件：
，
发生概率：
，
，和
1、一维分布函数 与 和 都有直接的关系，是 和 的
二元函数，记为：
(2.2.1) 被称为随机过程的一维分布函数。
2、一维概率密度函数 如果存在二元函数 ，使
时刻组
是平稳的。所以 是严平稳
随机过程。
例2.8 设有随机过程
，式中A是高斯
随机变量， 为确定的时间函数。试判断
是否为严平稳过程。
解：已知A的概率密度函数
在固定的时刻， 为常数。 是随机变量A的 线性变化，仍为高斯分布。当 变化时， 的数学期望 和方差 均与时间有关。 因此，一维概率密度函数也与时间有关，
图2-1-1 噪声电压的输出波形
定义1 设随机试验E的样本空间为 ，如果
对于每一个样本 ，总可以依某种规则确定
一时间t的函数
(T是时间t的变化范
围 ) 与之对应。于是，对于所有的 来说，
就得到一族时间t的函数，称此族时间的函数为
随机过程（也称随机信号）X，而族中的每一个
函数称为该随机过程的样本函数。
如果存在四元函数
，使
(2.2.5)
成立,则称
为随机过程的二维概率密
度函数，是 ，，和 的四元函数，且满足
(2.2.6)
注：1、二维概率分布反映了随机过程在不 同时刻的状态之间的统计特性；
2、随机过程的二维概率分布与多维随 机变量的二维概率分布所描述的物理概念 是不相同的。随机过程的二维概率分布描 述随机过程在不同时刻的状态之间的关系， 二维随机变量的二维概率分布则描述不同 变量之间的关系。
(3) 当幅度、相位和频率都为随机变量时，每 个样本函数的幅度、相位和频率都可能不 同。由于 相互独立，且 在上 均 匀分布。 X(t)的数学期望为
乘以积
。
证：
(1) 设
，即需证
。
因为
而中心化随机函数为
所以
故得证。
(2)设
，即要证
因为
而中心化随机函数为
所以 故得证。
例2.6 求贝努里随机过程 的均值、自相关 函数、协方差函数和相关系数。 解 贝努里随机过程 的均值
在不同时刻 ，信号取值独立，则有
而在同一时刻 ，信号取值不独立，即取 相同的值，则有
注：随机过程是样本函数的集合 。
图2-1-2 随机过程是样本函数的集合
定义2 如果对于每一固定的 ，ti T 都是随机变量，则称 是随机过程。
注：样本函数 随机变量。
图2-1-3 随机过程是随机变量的集合
因此，随机过程有两种基本的表示方式： 1、样本函数集合表示(定义1)
2、随机变量集合表示(定义2)
(2.3.10)
例2-9 判断以下三个随机过程是否平稳？
式中， 是常数， 是相互独立的随机变 量。随机过程 在上 均匀分布。
相位
振幅
振幅、相位、频率
解：(1)当幅度为常数， 在 上均匀分布时， 数学期望和自相关函数分别为
因此，X(t) 为广义平稳过程。 (2) 当幅度为随机变量，相位为常数时，那 么每个样本函数的幅度都是随机变量A的一 个可能取值，但它们同时到达零点或最大， 均值和方差随时间变化。因此它是一个非平 稳随机过程。
具有以下四种含义：
1、若 和 都是变量，则随机过程是一族时间 函数，即随机信号；
2、若 是变量，而 是固定值，则随机过程是 一个确定的时间函数，即样本函数；
3、若 是固定的，而 是变量，则随机过程是 一个随机变量，即样本随机变量；
4、若 和 都是固定值，则随机变量是一个确 定值，即样本值。
2.1.2、随机过程的分类
例2.4 求随机相位正弦波
的数学
期望，方差及自相关函数。式中， 为常数，
是在区间 上均匀分布的随机变量。
解 根据题意有
那么有
因为
所以
( 在区间 均匀分布)
则方差
那么，自相关函数
例2.5 试证明: (1)若随机过程 加上确定的
时间函数 ，则协方差不变。(2) 若随机过
程 乘以非随机过程因子 ，则协方差函数
§2.2 随机过程的统计特征
随机过程的统计特征主要有： 1、概率分布：概率密度函数，概率分布函数； 2、数字特征：数学期望，均方值，方差，自
相关函数，自协方差函数； 3、特征函数：
统计特征也可分为：
1、幅值域描述: 数学期望、方均值、方差、 概率: 自功率谱密度函数、互功率
2.3.2 随机信号统计平稳性有多种情况：
(1)对整个观察点位置 变化的平稳性；
(2)对观察点中时间位置 变化的时间平稳性；
(3)对观察点空间位置
变化的平稳性；
(4)对观察点中空间位置的部分坐标变化的平 稳性。
2.3.3 平稳随机过程的分类
2.3.4 严平稳随机过程
1、定义 设有随机过程 ，若它的 维概 率密度函数（或 维分布函数） 不随时间起点选择的不同而改变，即对于任 何的 和 ，过程 的 维概率密度函数
决定随机信号的主 要物理条件不变
3、主要性质
(1)、若 是严平稳随机过程，则它的一维概 率密度与时间无关。
证明 令 ，则一维概率密度函数
得证。
(2)、若 是严平稳随机过程，则它的均值、 均方值和方差都是与时间无关的常数。
证明： 根据题意有
(2.3.2)
(2.3.3)
(2.3.4)
(2)、若 是严平稳随机过程，则它的均值、 均方值和方差都是与时间无关的常数。
自相关函数反映了随机过程 在两个不同时 刻的状态之间的相关程度。
5、自协方差函数 设 和 分别是随机过程 在时刻 和 的 状态，称它们的二阶中心混合矩为随机过 程 的自相关函数，记为 (2.2.20)
自协方差函数反映了随机过程 在两个不同 时刻的状态相对于数学均值之间的相关程 度。
• 自协方差函数、自相关函数与数学均值有数 学关系式：
• 随机过程（信号）的特征（或参数）在实际 工作中运用得十分广泛。
(1) 正态随机过程由数学期望和相关函数详细描述。
(2) 复杂背景下目标识别、跟踪所依赖的有效依据 仍然是目标在时间、空间的特征。
图2-2-1 云层背景下的飞机
• 由随机过程的定义2，可知随机过程是随机 变量集合：
1、数学期望(均值函数) 随机过程 在任意时刻 的取值是一随机变 量 ，随机过程 的数学期望 或 ， 即
(2.2.20)
• 自相关系数
(2.2.21)
在，
。
(2.2.22)
• 随机过程统计不相关
如果对于任意的 ， 都有
，则称
该随机过程在任意两个时刻是不相关的。
例2.3 若随机过程 为 式中，A为在[0,1]上均匀分布的随变量，求
的均值和相关函数。 解 已知A的概率密度函数为
则随机过程 的均值
随机过程 的自相关函数
第二章 随机过程
主要内容
1、随机过程的基本概念 2、随机过程的统计特性 3、平稳随机过程 4、随机过程的各态历经性 5、平稳随机过程自相关函数的性质 6、随机过程的联合概率分布和互相关函数 7、正态随机过程
§2.1 随机过程的概念
2.1.1 随机过程的定义
例2.1 设有n台性能完全相同的雷达接收 机，它们工作的条件也完全相同，图2－1 是运用n台示波器记录的各接收机输出的噪 声电压。它们是n条噪声电压－时间的函数。 从中可看出，在相同条件下，雷达接收机 输出的噪声波形是不相同的。
不是严平稳过程。
2.3.5 宽平稳随机过程
• 研究随机过程的概率密度函数的统计特性是 很困难的；
• 随机过程一、二阶矩函数在一定程度上描述 了随机过程的一些重要特性。 (1) 噪声电压是一平稳过程 ，那么一、二阶 矩函数，就是噪声平均功率的直流分量、交 流分量、总平均功率等参数。 (2) 正态随机过程由数学期望和相关函数详 细描述。
证明： 根据题意，则随机过程的自相关函数
式中， 。
(2.3.6)
例2.7 设有随机过程 任意时刻的随机变量是 高斯的，有概率密度函数
若其任意观察时刻组的随机变量是相互独立 的，试判断 是否为严平稳过程。
解：在任意n个时刻
，随机过程的n
个随机变量是相互独立的，即
显然， 的任意n阶概率密度函数对观察点
证明： 根据题意有
• 严平稳随机过程的所有样本曲线都是在同 一水平直线周围随机地波动。
图2-3-6 严平稳随机过程
(3) 严平稳随机过程 的二维概率密度函数只 与两个时刻 和 的时间间隔有关，而与时 间起点无关。
证明： 令 ，则随机过程的二维概率密 度函数
式中， 。
(2.3.5)
(4) 严平稳随机过程 的自相关函数和协方差函 数只与两个时刻 和 的时间间隔有关，而与 时间起点无关。
（2.3.1） 则称为严(格)平稳随机过程，或称窄平稳随机 过程或狭义平稳过程。
2、实际的严平稳过程
一个工作在稳定状态下的接收机输出的噪声 电压 是一个严平稳过程。
噪声电压 实质上反映电子热运动的剧烈程 度。电子热运动程度则取决于接收机的工作 温度T；一旦接收机稳定工作，其工作温度 也相对稳定，则噪声电压 严格平稳。
(2.2.15)
数学期望 的取值与时刻 是有直接联系 的，是时刻 的函数。它是该随机过程在各 个时刻的摆动中心。
图2-2-2 随机过程的数学期望
2、均方值 随机过程 在任意时刻 的取值是一随机变
量 ，随机过程的均方值 或 ，即
(2.2.16)
均方值 的取值与时刻 是有直接联系的，是时 刻 的函数。
因此，自相关函数为 贝努里随机过程 的协方差函数 贝努里随机过程 的相关系数
图2-2-4 贝努里随机过程的均值，相关函数和自相关系数 (a)均值(b)相关与协方差函数(c)自相关系数
§2.3 平稳随机过程
• 平稳随机过程的定义 • 严平稳随机过程及其性质 • 宽平稳随机过程及其性质
图2-3-1 初相角随机的正弦信号
3、方差 随机过程 在任意时刻 的取值是一随机变
量，称随机变量 的二阶中心矩为随机过 程的方差 。
(2.2.17)
图2-2-3 随机过程的均方值、方差
方差、均方值和均值有数学关系式： (2.2.18)
• 方差描述在该时刻对其数学期望的偏离程度。
• 数学期望、均方值和均方差只能描述随机过程孤 立的时间点上的统计特性。
• 随机过程孤立的时间点上的统计特性不能反映随 机过程的起伏程度。
图2-2-4 随机过程的起伏程度
图2-2-4 随机过程的起伏程度
•采用两时刻或更多时刻状态的相关性去描述 随机过程的起伏程度。
4、自相关函数 设 和 分别是随机过程 在时刻 和 的 状态，称它们的二阶原点混合矩为随机过 程 的自相关函数，记为 (2.2.19)
1 定义 若随机过程 满足
(2.3.7)
则称 为宽平稳随机过程或广义平稳过程。
2、主要性质
(1) 随机信号的严格平稳性与广义平稳性之间 有关系
严格平稳 必然是
广义平稳
随机过程
不一定是
随机过程
(2) 广义平稳随机过程的相关函数卷积共轭的，
即
证明
(2.3.8)
(3)随机过程的协方差函数和相关系数也是平 稳的，即 (2.3.9)