第6讲 微分方程模型之战争模型
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正规战与游击战
第一次世界大战Lanchester提出预测战役结局的模型 战争分类：正规战争，游击战争，混合战争 只考虑双方兵力多少和战斗力强弱 兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加
战斗力与射击次数、命中率及战争类型有关 建模思路和方法为用数学模型讨论社会 领域的实际问题提供了可借鉴的示例
一般战争
0
0
m 0 x 0时y 0
乙方胜
m0
mc
0
m d
m0
y0 d rx srx sx 线性律 x0 c ry sry s y 模型
m 0 甲方胜
x(t)
m 0 平局
混合战争模型 甲方为游击部队，乙方为正规部队
x cxy
y
bx
cy 2 2bx n n cy02 2bx0
x(0) x0 , y(0) y0
k 0
2
ka
k 0
y 0
x0
b
r x
p x
a ry py
平方律 模型
k 0 甲方胜
0
k b
x(t)
k 0 平局
游击战争模型 双方都用游击部队作战
• 甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加 f(x, y)=cxy, c~ 乙方每个士兵的杀伤率
c = ry py ry~射击率 py ~命中率
py=sry /sx sx ~ 甲方活动面积 sry ~ 乙方射击有效面积
y(t)
n 0,乙方胜
n0 乙方胜
2
y0 x0
2b cx0
2
y0 x0
2rx px sx ry sry x0
n 0,平局 n 0,甲方胜
设 x0=100, rx/ry=1/2, px=0.1, sx=1(km2), sry=1(m2)
( y / x )2 100 00
0
x(t) 乙方必须10倍于甲方的兵力
g(x, y) dxy, d rx px rxsrx / sy
• 忽略非战斗减员 • 假设没有增援
x cxy
y
dxy
x(0) x0 , y(0) y0
游击战争模型
x cxy
y
dxy
x(0) x0 , y(0) y0
y(t)
m0
dy d dx c
cy dx m
m cy dx
正规战争模型 双方均以正规部队作战
• 甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力
f(x, y)=ay, a ~ 乙方每个士兵的杀伤率
a=ry py, ry ~射击率， py ~命中率
g bx, b rx px
x ay x u(t)
y
bx
y
v(t)
• 忽略非战斗减员 • 假设没有增援
x ay
模型
x(t) ~甲方兵力，y(t) ~乙方兵力
模型 假设
• 每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力 • 每方非战斗减员率与本方兵力成正比 • 甲乙双方的增援率为u(t), v(t)
x&(t) f (x, y) x u(t), 0
模型
y&(t)
g(x,
y)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
v(t
),
0
f, g 取决于战争类型
y
bx
x(0) x0 , y(0) y0
正规战争模型
x ay
y
bx
x(0) x0 , y(0) y0
为判断战争的结局，不求x(t), y(t) 而在相平面上讨论 x 与 y 的关系
dy bx dx ay
ay2 bx2 k k ay02 bx02
y(t)
k 0
k 0 x 0时y 0 乙方胜
第一次世界大战Lanchester提出预测战役结局的模型 战争分类：正规战争，游击战争，混合战争 只考虑双方兵力多少和战斗力强弱 兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加
战斗力与射击次数、命中率及战争类型有关 建模思路和方法为用数学模型讨论社会 领域的实际问题提供了可借鉴的示例
一般战争
0
0
m 0 x 0时y 0
乙方胜
m0
mc
0
m d
m0
y0 d rx srx sx 线性律 x0 c ry sry s y 模型
m 0 甲方胜
x(t)
m 0 平局
混合战争模型 甲方为游击部队，乙方为正规部队
x cxy
y
bx
cy 2 2bx n n cy02 2bx0
x(0) x0 , y(0) y0
k 0
2
ka
k 0
y 0
x0
b
r x
p x
a ry py
平方律 模型
k 0 甲方胜
0
k b
x(t)
k 0 平局
游击战争模型 双方都用游击部队作战
• 甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加 f(x, y)=cxy, c~ 乙方每个士兵的杀伤率
c = ry py ry~射击率 py ~命中率
py=sry /sx sx ~ 甲方活动面积 sry ~ 乙方射击有效面积
y(t)
n 0,乙方胜
n0 乙方胜
2
y0 x0
2b cx0
2
y0 x0
2rx px sx ry sry x0
n 0,平局 n 0,甲方胜
设 x0=100, rx/ry=1/2, px=0.1, sx=1(km2), sry=1(m2)
( y / x )2 100 00
0
x(t) 乙方必须10倍于甲方的兵力
g(x, y) dxy, d rx px rxsrx / sy
• 忽略非战斗减员 • 假设没有增援
x cxy
y
dxy
x(0) x0 , y(0) y0
游击战争模型
x cxy
y
dxy
x(0) x0 , y(0) y0
y(t)
m0
dy d dx c
cy dx m
m cy dx
正规战争模型 双方均以正规部队作战
• 甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力
f(x, y)=ay, a ~ 乙方每个士兵的杀伤率
a=ry py, ry ~射击率， py ~命中率
g bx, b rx px
x ay x u(t)
y
bx
y
v(t)
• 忽略非战斗减员 • 假设没有增援
x ay
模型
x(t) ~甲方兵力，y(t) ~乙方兵力
模型 假设
• 每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力 • 每方非战斗减员率与本方兵力成正比 • 甲乙双方的增援率为u(t), v(t)
x&(t) f (x, y) x u(t), 0
模型
y&(t)
g(x,
y)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
v(t
),
0
f, g 取决于战争类型
y
bx
x(0) x0 , y(0) y0
正规战争模型
x ay
y
bx
x(0) x0 , y(0) y0
为判断战争的结局，不求x(t), y(t) 而在相平面上讨论 x 与 y 的关系
dy bx dx ay
ay2 bx2 k k ay02 bx02
y(t)
k 0
k 0 x 0时y 0 乙方胜