高等数学第讲义七章8

机动 目录 上页 下页 返回 结束
例. 设 M 为 ABCD 对角线的交点,
试 a 与 用 b 表 M 示 ,M A ,M B ,M C . DD
C
解: abAC baBD
2MA b M
2MB A a B
M A1(ab) MB1(ba)
2
2
MC1(ab) MD1(ba)
2
2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
ABc,BCa表示向量D1A,D2A,D3A和D4A.
谢
谢
观
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、向量的线性运算（加减法） 1. 向量的加法
a 平行四边形法则: b ab
三角形法则: ab b a
机动 目录 上页 下页 返回 结束
运算规律 :交换律 a b b a
a b ba ab b
(ab)c c a(bc) bc
ab
a
b a
结合律 (ab)ca(bc) a b c
a
C
M
B
AD AMMD MCBMBMMC
AD与 BC平行且相等, 结论得证.
BC
机动 目录 上页 下页 返回 结束
四、小结
向量的概念（注意与标量的区别） 向量的加减法（平行四边形法则） 向量与数的乘法（注意数乘后的方向）
机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考题
已试知 用平aA,行bC表四示边a,平形行ABB四CD边D的形b对四角边线上对应的向量.
是一个数, 与a 的乘积是一个新向量, 记作 a.
它的模 :
可见 1 1 a a a ;a ;
机动 目录 上页 下页 返回 结束
运算律 : 结合律 (a ) (a )a
分配律 (a b )a b
则有单位 a向 1 a .量 因此 aaa
a
a
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.
5、 与 _____无 关 的 向 量 称 为 自 由 向 量 ；
6、 平 行 于 同 一 直 线 的 一 组 向 量 叫 做 _________ ， 三
个 或 三 个 以 上 平 行 于 同 一 平 面 的 一 组 向 量 叫 做 ___
_________；
7、两向量___________，我们称这两个向量相等；
a∥b
机动 目录 上页 下页 返回 结束
在数轴上
1
•
oi
x
•
x
p
∥ OP x OP xi
点 p 1 1向O 量 P x i 1 1实数x
(x称为点 p 的在轴上的坐标)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例2 试用向量方法证明：对角线互相平分的
四边形必是平行四边形.
证 AM MC
D b
BM MD A
高等数学第七章8
一、向量的概念
M2
向向量 量（表矢示量 ：a）或：既M有1M大2小或又粗有体方字向母的。量. M 1
数向学量上的以模M：1向为量起的点大，M小2，为记终|点a的|或有|向M线1M 段2来| 表示向量.
零单向 位量向：量：模模长长为为0的1的向向量量，，记记0a规0 定或其M方1M 向2是0 任意的。
8、两个模相等、____________的向量互为逆向量；
9、把空间中一切单位向量归结到共同的始点，则终点
构成____________；
10、把平行于某一直线的一切单位向量归结到共同的
11、要始使点，a 则b终点a 构 b成成_立 ___，_向__量__a__,_b_应__满__足_____；_____
12、要__使___a___b___a____b_成_；立，向量a,
b
应满足_______
___________ .
二 、 用 向 量 方 法 证 明 ： 对 角 线 互 相 平 分 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 .
三、把ABC 的BC边五等分，设分点依次为 D1,D2,D3,D4 ，再把各分点与点A连接，试以
若
称为向量 ab垂直，记
零向量与任何向量都垂直
若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行,
记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ; 因平行向量可平移到同一直线上,故两向量平行又称 两向量共线 .
若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 ,
则称此 k 个向量共面 .
三角形法则可推广到多个向量相加 .
机动 目录 上页 下页 返回 结束
s a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 4
a5
a3 s
a2 a1
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2. 向量的减法
三角不等式 两向量同向或反向时等号成立。
a
ab b
a
机动 目录 上页 下页 返回 结束
三. 向量与数的乘法
定理. 设 a 为非零向量 , 则
证: “ ”. 设 aa∥∥bb , 取 ＝±
(, a为,唯b 同一向实时数)
取正号, 反向时取负号, 则 b 与 a 同向, 且
b
故ba.
再证数 的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则 ()a0
故0, 即.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
“ ” 已知 b＝ a , 则 b＝0 a , b 同向 a , b 反向
自由向量：不考虑起点位置的向量.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
相等向量：a大小相等且方向b相 同的向量a .记作 ab
负向量：大a 小相等但方向相反的a向量.
两向量的夹角 :任取空间 一点O
称取 为向量值 ab0 的范 ， 夹角围ab
零向量与其它向量夹角规定为[0, π] 任意值
机动 目录 上页 下页 返回 结束
百度文库
思考题解答
D b
A
a
C
M
B
BC AD AMMD
1(ab). 2
DCAB AMMB
1(ab). 2
一、填空：
练习题
1、 向 量 是 _________的 量 ；
2、 向 量 的 ___________叫 做 向 量 的 模 ；
3、 ___________的 向 量 叫 做 单 位 向 量 ；
4、 _____________的 向 量 叫 做 零 向 量 ；