张量

矢量
a = a1 i 1 + a 2 i 2 + a 3 i 3 = a k i k b = b1i1 + b2 i 2 + b3 i 3 = bk i k
b c a
c =a+b
c = ( a1 + b1 )i1 + (a 2 + b2 )i 2 + (a 3 + b3 )i 3 = (a k + bk )i k c = ck i k c k = a k + bk
U = T ⊗ c = Tkl cn i k ⊗ i l ⊗ i n = U kln i k ⊗ i l ⊗ i n
应力： 应力：σ = σ kl i k ⊗ i l k：应力作用平面的方位；l ：应力的方向。 ：应力作用平面的方位； 应力的方向。
T = Tkl i k ⊗ i l
—— 二阶张量
向量可看成一阶张量， 向量可看成一阶张量， 二阶张量的分量可用矩阵表示
1 σ − µσ δ ε ij = 2G ij E kk ij
i,j:自由指标；k:哑指标 自由指标； 哑指标 自由指标
3）平衡方程 ）
∂σ xx ∂σ yx ∂σ zx + fx = 0 + + ∂x ∂y ∂z ∂σ xy ∂σ yy ∂σ zy + + + fy = 0 ∂x ∂y ∂z ∂σ xz ∂σ yz ∂σ zz + + + fz = 0 ∂x ∂y ∂z
σ ij ,i + f jቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ= 0
σ m = 1 σ kk 平均应力： 平均应力： 3
1 应力偏量： 应力偏量： sij = σ ij − 3 σ kk δ ij
skk = 0
∂sij ∂σ ij 1 ∂σ nn 1 δ ij = δ ik δ jl − δ kl δ ij = − ∂σ kl ∂σ kl 3 ∂σ kl 3 ∂ ( sij sij ) ∂sij 1 = 2 sij = 2 sij (δ ik δ jl − δ kl δ ij ) 3 ∂σ kl ∂σ kl
直角坐标下的 张量表示简介
指标记法
求和约定， 求和约定，哑指标
s = a 1 x1 + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n = ∑ a i x i
i =1 n
s = {a } { x }
T
爱因斯坦求和约定： 爱因斯坦求和约定： s = a i x i
s = ai xi = a j x j = ak xk
张量表达
i k ⋅ i l = δ kl a = ak i k b = bk i k
点积： 点积： = a ⋅ b = a k i k ⋅ bl i l = a k bl i k ⋅ i l = a k bl δ kl = a k bk D 叉积： 叉积： u = a × b = a k bl i k × i l = eklm a k bl i m 并矢： 并矢： T = a ⊗ b = a k bl i k ⊗ i l = Tkl i k ⊗ i l
φ =T :S
φ = Tkl S kl φ = Tkl S lk
φ = tr([T ][ S ]T )
φ =T ⋅⋅S
φ = tr([T ][ S ])
张量导数
φ = φ (Tkl )
∂φ ∂φ ik ⊗ il = ∂T ∂Tkl ∂T ∂Tkl ik ⊗ il = ∂φ ∂φ
∂φ ∂φ dφ = dTkl = : dT ∂Tkl ∂T
{a } = [U ]{b}
{a } = [U ][V ]{c }
(b) 乘法
pq = a i bi c j d j
(c) 因式分解 Tij n j − λni = 0
ni = δ ij n j (Tij − λδ ij )n j = 0
[T ]{n} − λ {n} = 0 ([T ] − λ[ I ]){n} = 0
δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + δ 13 X 3 + ∆ 1 = 0 力法正则方程： 力法正则方程： δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + δ 23 X 3 + ∆ 2 = 0 δ 31 X 1 + δ 32 X 2 + δ 33 X 3 + ∆ 3 = 0
自由指标
δ ij X j + ∆ i = 0
Tij = a ik b jk
i —— 自由指标 [δ ]{ X } + {∆ } = 0
i , j , k = 1,2,3
[T ] = [a ][b]
T
T11 = a11b11 + a12 b12 + a13 b13 T12 = a11b21 + a12 b22 + a13 b23 T13 = a11b31 + a12 b32 + a13 b33 ……………………………
= 2( skl − 1 sii δ kl ) = 2 skl 3
作业
在三维空间求下列各式 (1) δ kk , ( 2) δ ijδ ij ( 3) δ ijδ ik δ jk 导出用应力表示的 J 的表达式 由广义胡克定律导出下列张量表达式 sij = f (e ij ) σ m = g (ε m ) sij：应力偏量，eij：应变偏量。 应力偏量， 应变偏量。
——直角坐标系 直角坐标系
∂Tkl ∂T ik ⊗ il ⊗ im ⊗ in = ∂H ∂H mn
力学方程的张量表示
1）几何方程 ）
ε xx ε yy
∂u = , ∂x ∂v = , ∂y
ε xy
1 ∂u ∂v = + , 2 ∂y ∂x
1 ∂v ∂w ε yz = + , 2 ∂z ∂y 1 ∂w ∂u ε zx = + , 2 ∂x ∂z
2
∂w ε zz = , ∂z
ε ij = 1 ( ui , j + u j ,i )
2）物理方程 ）
ε xx
1 σ − µσ = 2G xx E kk
1 1 ε xx = [σ xx − µ (σ yy + σ zz )] = [(1 + µ )σ xx − 3 µσ m ] E E 1 1 ε yy = [σ yy − µ (σ zz + σ xx )] = [(1 + µ )σ yy − 3 µσ m ] E E 1 1 ε zz = [σ zz − µ (σ xx + σ yy )] = [(1 + µ )σ zz − 3 µσ m ] E E 1 1 1 ε xy = σ xy ε yz = σ yz ε zx = σ zx 2G 2G 2G
i1 × i 2 = i 3
i i × i j = e ijk i k
指标记号的变换 (a) 代换
a i = U im bm p = a i bi bm = Vmn c n a i = U imVmn c n q = ci d i
bi = Vim cm {b} = [V ]{c } pq = a i bi c i d i
Kronecker δ 定义： 定义：
δ 11 = δ 22 = δ 33 = 1
δ ijT jm = Tim
1 当k = l δ kl = 0 当 k ≠ l
[I ]
δ kk = 3
δ kk = tr( I ) = 3
3 2 1
δ imδ mj δ jn = δ in
置换符号
e ijk 1 偶置换 e123 = e231 = e 312 = − 1 奇置换 e132 = e 321 = e 213 0 不构成 e = e = e 122 323 111 i 3 × i 2 = −i1
σ m：平均应力， ε m：平均应变。 平均应力， 平均应变。 1 µ σ ij − σ kk δ ij ε ij =
2G E
J = 1 sij sij 2
张量符合法
φ = u ⋅v
T = u ⊗v w = T ⋅u
W = T ⋅S
张量分量法
φ = uk v k
Tkl = uk v l w k = Tkl ul W kl = Tkm S ml
矩阵记法
φ = { u} { v }
T
[T ] = {u}{v }
T
{ w } = [T ]{u}
[W ] = [T ][ S ]
T11 T12 T13 T T22 T23 21 T31 T32 T33
T = Tk k ⋯k i k ⊗ i k ⊗ ⋯ ⊗ i k
1 2 n 1 2
n
—— n阶张量 阶张量
单位二阶张量： 单位二阶张量： I = δ kl i k ⊗ i l
[T ] = [T ]T 对称张量： 对称张量：
a m = uk Tkm
T ⋅ S = TS = Tkl i k ⊗ i l ⋅ S mn i m ⊗ i n = Tkl S ln i k ⊗ i n
T ⋅ T −1 = T −1 ⋅ T = I
S = S kl i k ⊗ i l
S T = S lk i k ⊗ i l
T : S = Tkl S mn (i k ⋅ i m )(i l ⋅ i n ) = Tkl S kl T ⋅ ⋅S = Tkl S mn (i l ⋅ i m )(i k ⋅ i n ) = Tkl S lk
s = ∑ ∑ a ij x i x j = a ij x i x j
i =1 j =1 3 3
i ——哑指标 哑指标
s = a i bi x i
Ai = a i bi
s = { x }T [a ]{ x }
s = a11 x1 x1 + a12 x1 x 2 + a13 x1 x 3 + a 21 x 2 x1 + a 22 x 2 x 2 + a 23 x 2 x 3 + a 31 x 3 x1 + a 32 x 3 x 2 + a 33 x 3 x 3
T =T
T
Tij = T ji Tij = −T ji
T
[T ] = −[T ]T T = −T T 反对称张量： 反对称张量：
[T ][T ]T = [ I ] 正交张量： 正交张量：
T
TT = T T = I
TimT jm = δ ij
Tmi Tmj = δ ij
a = u ⋅ T = uT = uk i k ⋅ Tlm i l ⊗ i m = uk Tkm i m