二次函数解析式的求法教案(学生版)

二次函数解析式求法
1.定义型：
此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件：1、a ≠0； 2、x 的最高次数为2次．
例1、若 y =( m 2+ m )x m 2 – 2m -1是二次函数，则m = ．
2.三种形式
1. 一般式：2
y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；
2. 顶点式：2
()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；
3. 交点式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.
4 交点距离式 .()()[]d x x x x a y +--=00（0x 为其中一个与x 轴相交的交点的横坐标，d 为两交点之间的距离．）
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交
点式，只有抛物线与x 轴有交点，即2
40b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．
例：根据下面的条件，求二次函数的解析式：
1．图像经过（1，-4），（-1，0），（-2，5） 2．图象顶点是（-2，3），且过（-1，5）
3．图像与x 轴交于（-2，0），（4，0）两点，且过（1，-2
9）
变式：根据下列条件求y 关于x 的二次函数解析式 （1）抛物线的顶点为（—1,2），且过点（1,10）
（2）图像过点（0，—2），（1,2），且对称轴为直线x=1.5 （3）图像过原点，当x=1时，y 有最小值为-1，求其解析式。

例：抛物线y =－x 2+bx +c 经过点A (1,0),对称轴是直线x =3,求抛物线的解析式.
例： 二次函数的图象与x 轴两交点之间的距离是2，且过（2，1）、（－1，－8）两点，求此二次函数的解析式．
变式： 已知二次函y=ax 2
+bx+c 为x=2时有最大值2，其图象在X 轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。

3识图型
例1、已知二次函数2
y ax bx c =++的图像如图所示，求其解析式。

（运用三种设法）
变式： 如图1， 抛物线c x b x y +++=
)2(212与d x b x y +-+=)2(2
1
2其中一条的顶点为P ，另一条与X 轴交于M 、N 两点。

（1）试判定哪条抛物线与X 轴交于M 、N 点？（2）求两条抛物线的解析式。

例2、已知：如图，是某一抛物线形拱形桥，拱桥底面宽度OB 是12米，当水位是2米时，测得水面宽度AC 是8米。

（1）求拱桥所在抛物线的解析式；
（2）当水位是2.5米时，高1.4米的船能否通过拱桥？请说明理由（不考虑船的宽度。

船的高度指船在水面上的高度）。

变式：如图；有一个抛物线形的隧道桥拱，这个桥拱的最大高度为3.6m ，跨度为7.2m ．一辆卡车车高3米，宽1.6米，它能否通过隧道？
如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ，水面下降1m ，水面宽度增加多少？
思考：我们知道一元二次函数的一般式（可以表示所有的一元二次函数）：c bx ax y ++=2（0≠a ）
（1）顶点在y 轴上的抛物线解析式怎么设：
（2）顶点在x 轴上的抛物线解析式怎么设：
4对称型：
二次函数图象的对称一般有五种情况，全部用顶点式表达（不是顶点式的用配方法配成顶点式）
1. 关于x 轴对称
()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =---；
2. 关于y 轴对称
()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =++；
3. 关于原点对称
()2
y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2
y a x h k =--+．
5. 关于点()m n ，对称
()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2
22y a x h m n k =-+-+-
例： 已知二次函数
5632
+-=x x y ，求满足下列条件的二次函数的解析式： （1）图象关于x 轴对称；（2）图象关于y 轴对称；（3）图象关于经过其顶点且平行于x 轴的直线对称．
二次函数
432
——x x y =的图象关于原点O （0，0）对称的图象的解析式是．
若二次函数的图象的对称轴是直线x=1.5，并且图象过A （0，-4）和B （4，0） （1）求此二次函数的解析式；
（2）求此二次函数图象关于点A 对称的解析式
5.面积型
在平面直角坐标系中，OB OA ⊥，且2OB OA =，点A 的坐标是(12)-，． （1）求点B 的坐标；
（2）求过点A O B 、、的抛物线的表达式；
（3）连接AB ，在（2）中的抛物线上求出点P ，使得ABP ABO S S =△△．
3.如图，已知二次函数c bx x y ++-
=2
2
1的图象经过A （2，0）
、B （0，－6）两点。

（1）求这个二次函数的解析式
（2）设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ，连结BA 、BC ，求△ABC 的面积。

如图，已知抛物线y ＝x 2
＋bx ＋c 经过矩形ABCD 的两个顶点A 、B ，AB 平行于x 轴，对角线BD 与抛物线交于点P ，
点A 的坐标为(0，2)，AB ＝4．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若S △APO ＝2
3
，求矩形ABCD 的面积．
如图，矩形DEGF 的四个顶点在正三角形ABC 的边上。

已知△ABC 的边长为2， 记矩形DEGF 的面积为S 边长EF 为x 求： (1)S 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围 （2）当x=1.5时，S 的值
（3）当
23
=
s 时，x 的值
y
x
C
A
O
B
第3题
A
B C
D
y
P
x
O
(第4题图)。