历年文科高考椭圆题 带解析

第六节 椭圆 强化训练当堂巩固

1.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( ) A.45 B.35 C.25 D.15

答案:B

解析:由2a,2b,2c 成等差数列,所以2b=a+c. 又222b a c =-,

所以222()4()a c a c +=-. 所以53a c =.所以35

c e a ==.

2.已知椭圆22221(y x a b a b

+=>>0)的左焦点为F,右顶点为A,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴,直线AB 交y 轴于点P.若AP 2PB =,则椭圆的离心率是( )

A.32

B.22

C.13

D.12

答案:D

解析:对于椭圆,∵AP 2PB =,则OA 2OF =, ∴a=2c.∴12

e =.

3.已知椭圆2

2221(y x a b a b

+=>>0)的左、右焦点分别为1(0)F c -,、2(0)F c ,,若椭圆上存在一点P 使

1221

sin PFF sin PF F a c =,∠∠则该椭圆的离心率的取值范围为 . 答案:(211)-,

解析:因为在△12PF F 中,由正弦定理得211221

sin PFF sin PF F PF PF ||||

=,∠∠

则由已知,得

1211a c PF PF =,||||

即a|1PF |=c|2

PF |. 由椭圆的定义知|1PF |+|2PF |=2a,

则c a |2PF |+|2PF |=2a,即|2PF |2

2a c a

=,+ 由椭圆的几何性质知|2PF |

<+a+c,即2220c c a +->, 所以221e e +-,解得21e <-或21e >-.

又(01)e ∈,,故椭圆的离心率(211)e ∈,.

4.椭圆22192

y x +=的左、右焦点分别为1F 、2F ,点P 在椭圆上,若|1PF |=4,则|2PF |= ;12F PF ∠的大小为 .

答案:2 120

解析:∵2292a b =,=,

∴c ===

∴|12F F

|=又|1PF |=4,|1PF |+|2PF |=2a=6, ∴|2PF |=2.

又由余弦定理,得

cos 1212

F PF ∠==-,

∴12120F PF ∠=,故应填2,120.

5.已知椭圆22221(y x a b a b

+=>>0)

的离心率e =

连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4. (1)求椭圆的方程;

(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A,B.已知点A 的坐标为(-a,0). ①若

|AB|=求直线l 的倾斜角;

②若点0(0)Q y ,在线段AB 的垂直平分线上,且QA QB ⋅=4.求0y 的值.

解:(1)

由c e a

==

得2234a c =.再由222c a b =-,解得a=2b. 由题意可知12242

a b ⨯⨯=,即ab=2.

解方程组 22a b ab =,

⎧⎨=,

⎩ 得a=2,b=1.

所以椭圆的方程为2214

x y +=. (2)①由(1)可知点A 的坐标是(-2,0).设点B 的坐标为11()x y ,,直线l 的斜率为k. 则直线l 的方程为y=k(x+2).

于是A,B 两点的坐标满足方程组22

(2)14

y k x x y =+,⎧⎪

⎨+=.⎪⎩ 消去y 并整理,得 2222(14)16(164)0k x k x k +++-=.

由212164214k x k --=,+得2122814k x k -=+.从而124

14k y k =+. 所以|AB|

==

由

|AB|==. 整理得42329230k k --=,即22(1)(3223)0k k -+=,解得1k =±. 所以直线l 的倾斜角为4π或34

π.

②设线段AB 的中点为M,由①得M 的坐标为22

282()1414k k k k

-,++. 以下分两种情况:

(ⅰ)当k=0时,点B 的坐标是(2,0),线段AB 的垂直平分线为y 轴,

于是0QA (2)y =-,-,0QB (2)y =,-. 由QA QB ⋅=4,得022y =±.

(ⅱ)当0k ≠时,线段AB 的垂直平分线方程为2

22

281()

1414k k y x k k k -=-+++.

令x=0,解得02614k y k

=-+.

由0QA (2)y =-,-,QB 110()x y y =,-,

QA QB ⋅10102()x y y y =---

22

2222(28)646()14141414k k k k k k k k --=++++++ 4222

4(16151)4(14)

k k k +-==,+ 整理得272k =.故147

k =±,

所以02145

y =±.

综上022y ,=±或02145

y =±.

课后作业巩固提升

见课后作业A

题组一 椭圆的离心率问题

1.椭圆22221(y x a b a b

+=>>0)的右焦点为F,其右准线与x 轴的交点为A,在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F,则椭圆离心率的取值范围是( )

A.2(0]2

,

B.1(0]2

,

C.[211)-,

D.1[1)2

,

答案:D

解析:|AF|22

a b c c c =-=,而|PF|a c ≤+, 所以2

b a

c c

+≥,

即2210e e +-≥,解得112

e ≤<.

2.已知12F F ,是椭圆的两个焦点,过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点,若△2ABF 是等腰直角

三角形,则这个椭圆的离心率是( )

A.32

B.22

C.21-

D.2

答案:C

解析:根据题意:2145AF F ∠=2222b c e e a

,=,+-1=0,又(01)e ∈,,∴21e =-. 3.设椭圆22221(0y x m m n

+=>,n>0)的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同,离心率为12,则此椭圆的方程为

( )

A.

2211216y x += B.

2211612y x += C.

2214864

y x += D.

2216448

y x +=