高中数学第一讲坐标系二极坐标系目标导引素材新人教A版选修4-4

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人教高中数学选修4-4-第一讲-坐标系(实用资料)ppt

设P(x, y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标
x不变，将纵坐标y伸长为原来的3倍，得到点P’(x’, y’),
坐标对应关系为：
x x
y
3
y
②
我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换.
怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?
y
在正弦曲线y=sinx上任取一
点P(x, y)，保持纵坐标不变，将
故|PA|－ |PB|=340×4=1360
由双曲线定义P点在以A, B为焦点的双曲线
x2 a2
y2 b2
1
上
a=680, c=1020, b2=c2-a2=10202-6802=5×3402.
所以双曲线的方程为： 6x2 82 05y3242 0 1(x0)
用y=－x代入上式，得 x6850,y6850,
例2 圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|=4，过动点P 分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN (M、N分别为切点), 使得PM= 2 PN，试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹
方程。
解：以直线O1O2为x轴，线段 O1O2的垂直平分线为y轴，建立平 M 面直角坐标系，
yP NX
则两圆的圆心坐标分别为
坐标法建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系，
注意以下原则：
(1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；
(2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；
(3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
例1.已知△ABC的三边a, b, c满足yb2+c2=5a2,BE,CF分
别为边AC, CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探
x
1

人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-4第一讲-坐标系

3．点的空间坐标的互相转化公式设空间一点 P 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，则空间直角坐标(x，y，z) x＝ y＝ z＝ x＝ y＝ z＝转换公式，，
柱坐标(ρ，θ，z)
球坐标(r，φ，θ)
，，
1.(ρ，θ，z) 空间的点自我校对 2.正向标系逆时针球坐标 ρsinθ z
(3)在极坐标中，方程 ρ＝ρ0(ρ0 为不等于 0 的常数)表示圆心在极点，半径为 ρ0 的圆，方程 θ＝θ0(θ0 为常数)表示与极轴成 θ0 角的射线．而在空间的柱坐标系中，方程 ρ＝ρ0 表示中心轴为 z 轴，底半径为 ρ0 的圆柱面，它是上述圆周沿 z 轴方向平行移动而成的．方程 θ＝θ0 表示与 Oxz 坐标面成 θ0 角的半平面．方程 z＝z0 表示平行于 Oxy 坐标面的平面．常把上述的圆柱面、半平面和平面称为柱坐标系的三族坐标面．
π π 2，6，4，则点 M 的柱坐
)
π π 2，4， 6 B. 2，4， 6 π π 2，6，2 2 D. 2，6， 2
解析因为点 M
的球坐标为2
π π π 2，6，4，即 r＝2 2，φ＝， 6
π θ＝，故点 M 的直角坐标为 4 π π x＝rsinφcosθ＝2 2sin cos ＝1， 6 4 π π y＝rsinφsinθ＝2 2sin sin ＝1， 6 4 π z＝rcosφ＝2 2cos ＝ 6. 6
2．球坐标系与球坐标
一般地，如图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空间任意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴________所夹的角为 φ. 设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按________方向旋转到 OQ 时所转过的 ________ 为 θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数组 ________表示．这样空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做 ________(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做 P 的________，记作 P(r，φ，θ)，其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π.

人教版高中数学选修4-4 第一讲坐标系二极坐标系 (共34张PPT)教育课件

A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为直0)角坐标方程的形
式是（）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,

人教A版高中数学选修4-4课件1.1.2极坐标系

如果规定 0, 0 2 ，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标，表示. 同时，极坐标，表示的点也是唯一确定的.
默认： 0， R. 第9页
负极径
默认： 0， R. 第9页
对称点
思考：设P , 是平面内一点，则点P关于极轴、极垂线过极点且垂直于极轴的直线、极点对称的点的坐标是什么？
2 B 5， 6
例5 把下列点的直角坐标化成极坐标：
0, 0 2
4 1 A 1, 1； 2 B 4， 3 ;

3 3 3 , 2 2
x cos y sin
x y
2 2
2
y tan x 0 x
例4 把下列点的极坐标化成直角坐标： 14 1 A 4，； 3
2 B 5， 6
例4 把下列点的极坐标化成直角坐标： 14 1 A 4，； 3
60m
A教学楼 B体育馆
思考：在极坐标中 4，， 4 ， 2 ， 4 ， 4 ， 6 6 6 2 表示的点有什么关系？ 4， 6
一般地，极坐标，与， 2k k Z 表示同一个点.平面内一个点的极坐标有无数种表示.
（，） M

x
注意：（1）一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，可取任意实数。（2）当M在极点时，它的极坐标为（0，θ），可取任意值。
例1 如图，在极坐标系中，写出点A, B , C的极坐标.
A 1， 0
B 4， 2

高中数学第一讲一、二平面直角坐标系极坐标系课件新人教A版选修44

在极坐标系中,Байду номын сангаас出以下各点
ππ A(4,0),B(3,4),C(2,2),
D(3,74π).
【解】如图所示,A、B、C、D 四个点分别是惟一(wéiyī)确定的.
第九页，共17页。
【名师点评】建立极坐标系,以O为极点,Ox为极轴,设点M(ρ,θ), 则ρ＝|OM|,即M与极点O的距离(jùlí),θ是角的弧度数(也可以是角的度数).
第一(dìyī)讲坐标系
第一(dìyī)讲坐标系
第一页，共17页。
课标领航知识综览从我们看的地图,到我们的载人飞船“神舟十号”的升空,以及我们中国海军的远洋航行等,都与我们将要学习的坐标系有密切的联系．并且这只是坐标系应用的冰山一角,它的应用十分广泛,包括数学、物理、工程、航海以及机器人等领域．通过对本讲的学习,学生(xuésheng)将掌握各种坐标的基本概念,了解曲线的多种表现形式,体会从实际问题中抽象出数学问题的过程,体验到用代数的方法刻画几何图形或描述自然现象的神奇,培养探究数学问题的兴趣和能力,体会数学在实际中的应用价值,提高应用意识和实践能力.
1.伸缩变换设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换
x′＝λ·x，λ>0
φ:_y_′__＝__μ__·y_，___μ_>_0_ 的作用下,点 P(x,y)对应到点 P′(x′,y′),称 φ 为 _平__面__直_角__坐__标__系__中_的__坐__标__伸__缩_(_s_h_ē_n_s_u_ō_)变_,简换称伸缩变换.
第十二页，共17页。
【解析】 ρ＝－12＋ 32＝2,tan θ＝－ 3, ∴θ＝2kπ＋23π(k∈Z). ∴极坐标为(2,2kπ＋23π)(k∈Z).

人教版高中数学选修4-4《第一讲坐标系：2极坐标系》

归纳总结
根据以上2题，独立总结相应规律
并落实在导学案上 2min
合作探究
完成导学案例3 （独立思考4min
小组6人讨论2min）
讨论提前结束的小组可坐下进行整理小组代表展示
归纳总结
结合导学案学习目标同桌两人相互提问
时间3min
课堂检测
独立完成导学案课堂检测
时间3min
本堂小结：回扣目标
1.理解极坐标系的概念，理解极坐标的不唯一性（θ不唯一，可正可负）；
2.能够应用公式进行极坐标与直角坐标的互化； 3.会用极坐标求两点间的距离，会求简单的极坐标方程.
学习目标：
1.理解极坐标系、极坐标的概念，了可解极坐标的不唯一性（θ不唯一，正可负）； 2.能够应用公式进行极坐标与直角坐标的互化； 3.会用极坐标求两点间距离、会求简单的曲线的极坐标方程.
自主学习
推导极坐标与直角坐标的互化公式,
然后完成导学案探究点一 .
自主学习
完成导学案例4,例5,例6。
交流展示
全体起立，以小组为单位，交流例6的解题思想和解题方法。
本堂小结：回扣目标
小组内两人一组，一个人根据学案本堂小结部分谈自己本节课的收获，一个人倾听补充。
作业： 1.同学们自己试着画一画笛卡尔的心形线； 2.完成训练案部分。
笛卡尔于1596年出生在法国，欧洲大陆爆发黑死病的低吼他流浪到瑞典，认识了18岁的瑞典公主克里斯丁，成为她的数学老师，日日相处使他们彼此产生爱慕。国王知道后勃然大怒，下令将笛卡尔处死，后因女儿求情将其流放回法国，克里斯丁也被父亲软禁起来。笛卡尔回国后不久染上重病，他日日给公主写信，因被国王拦截，克里斯丁一直没有收到笛卡尔的心。笛卡尔在给克里斯丁基础第十三封信后气绝身亡。这第十三封信内容只有短短的一个公式：。国王看不懂，觉得他们之间并不总是说情话的，大发慈悲就把这封信交给了一直闷闷不乐的克里斯丁，公主看后，立即明了恋人的意图，马上招收把方程的图形画出来，看到图形，她开心极了，他知道恋人仍然爱着她，原来方程的图形是一颗心的形状。这也就是著名的“心形线”。据说这封享誉世界的另类情书还保存在欧洲笛卡尔的纪念馆里。

2020版高中数学第一讲坐标系1.2极坐标系课件新人教A版选修4_4

M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
1.极坐标系的概念在平面内取一个定点O,叫做极点;自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向 (通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系. 2.极坐标的表示 (1)对于平面内任意一点M,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为 ρ;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ). 一般地,不作特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数. (2)一般地,极坐标(ρ,θ)与(ρ,θ+2kπ)(k∈Z)表示同一个点.特别地, 极点O的坐标为(0,θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定ρ>0,0≤θ<2π,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(ρ,θ)表示;同时,极坐标(ρ,θ)表示的点也是唯一确定的.
二极坐标系
-1-
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z 知识梳理 HISHI SHULI
Z重难聚焦 HONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
1.理解极坐标系的概念. 2.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别. 3.掌握极坐标和直角坐标的互化公式,能进行极坐标和直角坐标的互化.
4
2
6
��
6,
4π 3
, ��
5,
5π 3
, 而极点O 的坐标为(0,θ),θ∈[0,2π).

人教版数学高二A版选修4-4第一讲二极坐标系

更上一层楼基础·巩固1点P 的直角坐标为(-2,2)，那么它的极坐标可表示为( )A.(2,4π) B.(2,43π)C.(2,45π)D.(2,47π)思路解析：因为点P(2,2-)在第二象限,与原点的距离为2,且OP 的倾斜角为43π.故选B. 答案：B2图1-2-8是某校园的平面示意图.假设某同学在教学楼处，试以此点为极点建立坐标系，说出教学楼、体育馆、图书馆、实验楼、办公楼的极坐标来.图1-2-8思路分析：如图所示,以AB 所在直线为极轴,点A 为极点建立极坐标系.找AB 、AC 、AD 、AE 的距离为各点的极径,分别以x 轴为始边,AB 、AC 、AD 、AE 为终边找在0到2π之间的极角.解：教学楼点A(0,0),体育馆点B(60,0),图书馆点C(120,3π),实验楼点D(360,2π),办公楼点E(50,43π). 3已知过曲线⎩⎨⎧==θθsin 4,cos 3y x (θ为参数，且0≤θ≤π)上一点P 与原点O 的直线PO 的倾斜角为4π，则P 点坐标是( )A.(3,4)B.(223,22) C.(-3,-4) D.(512,512)思路解析：因为点P 与原点O 的直线PO 的倾斜角为4π，即点P 的极角θ=4π，直接代入已知曲线方程，即可求出点P 的直角坐标来. 答案：B4极坐标系中，点A 的极坐标是(3,6π)，则 (1)点A 关于极轴对称的点是_______________；(2)点A 关于极点对称的点的极坐标是_______________； (3)点A 关于直线θ=2π的对称点的极坐标是_______________.（规定ρ>0,θ∈［0,2π］）思路解析：如图所示,在对称的过程中极径的长度始终没有变化,主要在于极角的变化.另外,我们要注意：极角是以x 轴正向为始边,按照逆时针方向得到的.答案：(1)(3,611π) (2)(3,67π) (3)(3,65π) 5直线l 过点A(3,3π)、B(3,6π)，则直线l 与极轴夹角等于_______________.思路解析：如图所示,先在图形中找到直线l 与极轴夹角,另外要注意到夹角是个锐角.然后根据点A 、B 的位置分析夹角的大小.∵|AO|=|BO|=3,∠AOB=3π-6π=6π, ∴∠OAB=分 π-12526πππ=-. ∴∠ACO=π-3π-125π=4π.答案：4π6极坐标方程ρ=θθ2sin cos 22+所对应的直角坐标方程为__________. 思路解析：因为ρ=θθ2sin 2cos 2+可化为ρ=θθ2cos 1)cos 2(1-+,即ρ=θcos 12-, 去分母,得ρ=2+ρcos θ.将公式代入得x 2+y 2=(2+x)2.整理可得.答案：y 2=4(x+1)7在极轴上求与点A(24,4π)距离为5的点M 的坐标_________. 思路分析：题目要求是点在极轴上,可设点M(r,0),由于极坐标中有一个量是关于角的,A 、M两点之间的距离为5,所以可以根据余弦定理求出点M 的坐标来. 解：设M(r,0), ∵A(24,4π),∴4cos 28)24(22πr r -+=5,即r 2-8r+7=0.解得r=1或r=7.∴M 点的坐标为(1,0)或(7,0).在极坐标系下,任意两点P 1(ρ1,θ1),P 2(ρ2,θ2)之间的距离可总结如下： |P 1P 2|=)cos(221212221θθρρρ--+,此式可直接利用余弦定理证得.8已知△ABC 的三个顶点的极坐标分别为A(5,6π),B(5,2π),C(34-,3π),判断△ABC 的形状，并求出它的面积.（提示：对于点M(ρ,θ)，当极径小于零时，此时M 点在极角θ终边的反向延长线上，且OM=|ρ|）思路分析：判断△ABC 的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易，不妨先计算边长.解：∵∠AOB=3π,∠BOC=65π,∠AOC=65π,又∵|OA|=|OB|=5,|OC|=34,∴由余弦定理，得|AC|2=|OA|2+|OC|2-2|OA|·|OC|·cos ∠AOC=52+(34)2-2×5×34·cos65π=133. ∴|AC|=133.同理,|BC|=133. ∴|AC|=|BC|.∴△ABC 为等腰三角形.又|AB|=|OA|=|OB|=5,∴AB 边上的高h=2313|)|21(||22=-AB AC . ∴S △ABC =21×436552313=⨯. 综合·应用9二次方程x 2-ax+b=0的两根为sinθ、cosθ，求点P(a,b)的轨迹方程（其中|θ|≤4π）. 思路分析：这是一道三角函数知识与极坐标知识的综合运用题,尤其对三角要求比较高,还要注意三角函数的有界性,求出轨迹方程的限制条件. 解：由已知,得⎩⎨⎧•=+=,cos sin ,cos sin θθθθb a .①②①2-2②,得a 2=2(b+21). ∵|θ|≤4π,由sin θ+cos θ=2sin(θ+4π),知0≤a ≤2. 由sin θ·cos θ=21sin2θ,知|b|≤21.∴P(a,b)的轨迹方程是a 2=2(b+21)（0≤a ≤2）.10舰A 在舰B 的正东6 km 处，舰C 在舰B 的北偏西30°且与B 相距4 km 处，它们围捕海洋动物.某时刻A 发现动物信号，4秒后B 、C 同时发现这种信号.A 发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的,动物信号的传播速度是1 km/s,炮弹运行的初速度是3320gkm/s ，其中g 为重力加速度.若不计空气阻力与舰高，问若以舰A 所在地为极点建立极坐标系，求舰A 发射炮弹的极坐标.思路分析：先建立直角坐标系,分析出点P 在双曲线上,又在线段的垂直平分线上,求出交点P 的坐标,然后求出P 、A 两点之间的距离和PA 与x 轴正向所成的角,即可确定点P 的极坐标.解：对舰B 而言,A 、C 两舰位置如图所示.为方便起见,取B 所在直线为x 轴,AB 的中点O 为原点建立平面直角坐标系,则A 、B 、C 三舰的坐标分别为(3,0)、(-3,0)、(-5,32).由于B 、C 同时发现动物信号,记动物所处位置为P,则|PB|=|PC|.于是P 在BC 的中垂线l 上,此直线的倾斜角为30°,则其斜率为tan30°=33,设此直线为y=33x+b,将B,C 的中点(-4,3)代入上式,得b=337,则求得其方程为3x-3y+37=0. 又由A 、B 两舰发现动物信号的时间差为4秒,知|PB|-|PA|=4.∴a=2.又A 、B 的坐标分别为(3,0)、(-3,0),可知c=3.∴549=-.于是知P 应在双曲线4422y x -=1的右支上.由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-,03733,14422y x y x 得直线l 与双曲线的交点P(8,53)即为动物的位置,至此问题便可获解.据已知两点的斜率公式,得直线PA 的倾斜角为60°.于是舰A 发射炮弹的方位角应是北偏东30°.利用两点间的距离公式,可得|PA|=7525)035()38(22+=-+-=10.所以,以舰A 所在地为极点,舰A 发射炮弹的极坐标为(10,3π). 11我们已经熟悉了极点在直角坐标系的原点、极轴与x 轴正向相同的极坐标系下直角坐标与极坐标的互化,那么当极点不在坐标原点,以与x 轴平行的直线的正向为极轴时，又怎么求出点的极坐标来呢？(1)极坐标系的极点在直角坐标系的O′(-3+32,3)，极轴的方向与x 轴正向相同，两个坐标系的长度单位相同，则点P(-3,3)的极坐标是____________.(2)极点在点O′(3,5)处，极轴与y 轴正方向一致，两个坐标系的长度单位相同，求点M(9,-1)的极坐标.思路分析：不管哪种建系原则,我们只要从定义出发,就能够解决问题.需要的量是极径、极点与点P 的距离、极角,从极轴开始逆时针旋转到OP 所得到的角.解：(1)如图(1),在Rt △PAO ′中,O ′A=-3+3-（-3）=3,AP=32-3=3.则tan α=33=1,α=4π,θ=∠x ′O ′P=π+4π=45π, ρ=|O ′P|=6)332()]3()33[(22=-+--+-.在极坐标系O ′x ′中,P 点的极坐标是(6,45π).(2)利用定义求出点的极坐标.如图(2),过O ′点作O ′A ∥Ox 轴,过M 点作MA ∥Oy 轴,与O ′A 交于A 点,连结O ′M,则 ρ=|O ′M|=26)51()39(22=--+-,在Rt △MAO ′中,|O ′A|=9-3=6,cos ∠AO ′M=22, ∴∠AO ′M=4π. ∴θ=23π-4π=45π.（注:极角是极轴按照逆时针方向旋转的）∴M(45,26π).12如图1-2-9所示是某防空部队进行射击训练时的示意图，以O 为极点，OA 所在直线为极轴，已知A 点坐标为(1,0)（千米），直升飞机位于D 点向目标C 发射防空导弹，D 点坐标为(35,2π)，该导弹运行与地面最大高度为3千米，相应水平距离为4千米(即图中E 点)，在地面O 、A 两个观测点测得空中固定目标C 的仰角分别为α和β，tanα=289，tanβ=83，不考虑空气阻力，导弹飞行轨道为一抛物线，那么按轨道运行的导弹能否击中目标C?说明理由.图1-2-9思路分析：能否击中C 点，关键是看一下C 点是否在导弹飞行的轨迹上，需要算出它的轨迹方程来.先把极坐标化为直角坐标，然后建立直角坐标系：以地面为x 轴，以点D 向地面作的垂线为y 轴,并且求出C 点坐标，再验证该点是否满足轨迹方程.解：A 点化为(1,0)，D 点化为(0,35)，由已知E 点为(4,3), 设抛物线为y=a(x-4)2+3.由抛物线过点(0,35)，求得a=121-.所以y=121-(x-4)2+3=121-x 2+32x+35.设C 点坐标为(x 0,y 0)，过C 作CB ⊥Ox 于B ，tan α=28900=x y ,tan β=83100=-x y ,则289x 0=83(x 0-1). 解得x 0＝7，求出y 0＝49,即C 点坐标为(7,49)，经计算121-x 02+32x 0+35=121-·72+32·7+35=49. 所以C 点在抛物线上.故依轨道运行的导弹可以击中目标C.。

数学选修4-4课件 1.2 极坐标系

【变式 1】 (2016·江苏高三月考)与极坐标2，π6不表示同一个点的极坐116π
D．2，136π
解析：根据极坐标(ρ，θ)与(ρ，2kπ＋θ)(k∈Z)在极坐标系中表示同一个点的规律，
【变式 2】若以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系． (1)将 M 的极坐标8，23π化成直角坐标； (2)将 A 的极坐标4，53π化成直角坐标．解析：(1)由 x＝8cos23π＝－4，y＝8sin23π＝4 3.得 M 的直角坐标为(－4,4 3)．
x＝4cos53π＝2， (2)y＝4sin53π＝－2 3 . 即 A 的直角坐标为(2，－2 3)．
• 求点的极坐标的注意点 • 与平面直角坐标系一样，极坐标系也是刻画
平面上点的位置的一种方法．在极坐标系中，点的坐标为(ρ，θ)，在ρ≥0，0≤θ<2π的前提下，平面的点与有序数组(ρ，θ)是一一对应的，如果没有上述限制条件，那么一个点的极坐标有无穷多个．
【例题 1】在极坐标系中，设点 A4，π6，直线 l 为过极点且垂直于极轴的直线，
第一讲
坐标系
• 1.2 极坐标系
•2.1 曲线的参数方程
•2.1.1 参数方程的概念与圆的参数方程
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•要点一极坐标系的建立
• 在平面上取一个定点O，自点O引一条射线 Ox，同时确逆定时针一方个向单位长度和计算角度的正方向(通常取___________为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．(其中O称为极点，射线Ox称为极轴)
分别求点 A 关于极轴，直线 l，极点的对称点的极坐标(限定 ρ>0，－π<θ≤π)．

高中数学第一讲坐标系二极坐标系温故知新素材新

二极坐标系
温故知新
新知预习
1.用________与________确定平面上点的位置的坐标系,就是极坐标系.
2.如图,设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的________,记为________,以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的________,记为________.有序数对________叫做点M 的极坐标,记作M ________.
3.极坐标与直角坐标的互化公式:
________________________.
基础示例
1.点A 的极坐标为(2,-π),它的直角坐标是________.
答案:(-2,0)
2.把点M 的直角坐标(-3,-1)化成极坐标.
解:∵点M (-3,-1)在第三象限
∴π<θ<2
π3是θ的最小正角取值范围,而ρ=,2)1()3(22=-+-
tan θ=,3331
=--,在π<θ<2π3中有θ=6π7
故点M 的极坐标为(2,
6π7
点评:把直角坐标化为极坐标时要先确定点所在的象限,然后再根据tan θ=x
y 的值确定θ角的大小.
3.把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并且在两种坐标系中取相同的长度单位.若曲线的极坐标方程是ρ2=
,1cos 412-θ,则它的直角坐标方程是_______. 解析:原方程化为4ρ2cos 2θ-ρ2 ∴4x 2-x 2-y 2=1,即3x 2-y 2
答案:3x 2-y 2=1。

高二数学人教版人教A版选修44课件第一讲二极坐标系

(1)∵x＝ρcos θ＝4·cos 53π＝2. y＝ρsin θ＝4sin 53π＝－2 3. ∴A 点的直角坐标为(2，－2 3)．
(2)∵ρ＝ x2＋y2＝ 22＋－22＝2 2， tan θ＝－22＝－1.
且点 B 位于第四象限内，∴θ＝74π.
∴点 B 的极坐标为2
2，74π.
又∵x＝0，y＜0，ρ＝15，
法二：∵ρ1＝3，ρ2＝1，θ1＝－π3，θ2＝23π，由两点间的距离公式得 |AB|＝ ρ12＋ρ22－2ρ1ρ2cos θ1－θ2 ＝ 32＋12－2×3×1×cos－π3－23π ＝ 10－6cos π＝ 10＋6 ＝ 16＝4.
法三：将 A3，－π3，B1，23π由极坐标化为直角坐标，
提示：如果我们规定 ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)来表示，这时，极坐标与平面内的点之间就是一一对应的关系．
3．若点 M 的极坐标为(ρ，θ)，则 M 点关于极点、极轴、过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是什么？提示：设点 M 的极坐标是(ρ，θ)，则 M 点关于极点的对称点的极坐标是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M 点关于极轴的对称点的极坐标是(ρ，－θ)；M 点关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点的极坐标是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．
2．极坐标与直角坐标的互化
(1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极
轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位．
(2)互化公式
x＝ ρcos θ ， y＝ ρsin θ ；
tρa2n＝θ＝x2xy＋ yx2≠，0 .
[问题思考]
1．平面上的点与这一点的极坐标是一一对应的吗？为什么？

高中数学第1讲坐标系二极坐标系第1课时极坐标系的概念课件新人教A版选修4-4

写出图中各点的极坐标，其中 θ∈[0,2π)．
解：由点 A 在极坐标系中的位置知，它的极径为 4，极角为 0，所以 A 的极坐标为(4,0)．同理 B2，π4，C3，π2，D1，56π， E(4，π)，F6，43π，G5，53π，O(0，θ)，θ∈[0,2π)．
题型三极坐标系下的对称问题在极坐标系中，点 A 的极坐标是3，π6，则
对称点为( ) A．(1,0) C．(1，π)
(1)在极坐标系中，点 M(1,0)关于极点 O 的
B．(－1，π) D．(1,2π)
(2)在极坐标系中，与点 M3，－π3关于极轴所在直线对称的点的极坐标是( )
A．3，π3
B．3，23π
C．3，43π
D．3，53π
解析：(1)设 M(1,0)关于极点 O 的对称点为 M′(ρ，θ)，则 ρ＝|OM′|＝|OM|＝1，θ＝π＋2kπ，k∈Z. 当 θ∈[0,2π]时，θ＝π， ∴M′(1，π)．故选 C． (2)与点 M3，－π3关于极轴所在直线对称的点的极坐标为 3，2kπ＋π3，k∈Z，只有 A 适合，故选 A．答案：(1)C (2)A
题型四求两点间的距离 (1)在极坐标系中，M(3,0)，N2，π2，求|MN|；
(2)在极坐标系中，如果 A2，π4，B2，54π为等边三角形 ABC 的两个顶点，求顶点 C 的极坐标．
【思路探索】对于(1)利用△MON 为直角三角形求解；对于(2)利用极坐标系下两点间的距离公式或等边三角形的特点求解．
【答案】 ③⑤
[名师点拨] (1)一般地，不作特殊说明时，总认为 ρ≥0，θ 可取任意值， (ρ，θ)可以表示平面内的任意点． (2)一般地，称(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，特别地，极点 O 的坐标为(0，θ)(θ∈R).

人教版数学高二A版选修4-4素材第一讲二极坐标系

高中数学-打印版精心校对完整版二极坐标系一览众山小三维目标1.掌握极坐标（系）的有关概念，能熟练地进行点的极坐标与直角坐标的互化以及两种坐标方程间的互化.2.掌握坐标法,能利用数形结合的思想解决问题,培养,提高数学思维的能力.3.认识事物之间是相互联系的,不同的事物有不同的表现形式，要用联系的观点看问题,了解事物之间在一定条件下是可以相互转化的.学法指导本节知识较为简单，概念很容易理解，在学习中要记住几个要素,并且把基本公式记牢,记准.做题时,用数形结合的方法解决问题,把抽象的数学语言与直观的图形结合,通过“以形助数”或“以数解形”,可使复杂问题简单化.诱学导入材料：如图1-2-1.图1-2-1 图1-2-2人类描述地点的方式有很多种,例如在日常生活中可以用语言说明,或者用手指明方向,或者画张地图.然而蜜蜂没有语言,它们怎么传递信息,描述地点呢?原来它们有跳舞语言，是用跳舞的方式传送讯息,描述地点的,这实际上是极坐标的原理.问题：如果太阳,蜂巢与蜜源的位置关系如图1-2-2所示,能根据极坐标的思想解释蜜蜂的舞蹈语言吗?导入：如果蜜源距离蜂巢超过100公尺，则蜜蜂要用跳舞语言传达讯息,即称跳摇尾舞.先走一小段直线路径，再绕半圆，回到原出发点，然后走原直线路径，再对另一侧绕半圆，如此规律地反覆交替绕半圆.在走直线路径时，还不断地摇动它的下腹.直线路径偏离铅垂线右方30度，这表示蜜源在太阳方向偏右30度的方向.至于蜂巢与蜜源的距离由单位时间的绕圈数決定，绕越多圈表示距离越远.例如，每分钟若绕18圈，就表示距离约为1 000公尺.如果直线路径垂直向上的话，就表示蜜源在太阳的方向.因此，我们看出侦查蜂并不是使用直角坐标，而是采用极坐标来传送讯息.鸟类与鱼类也有类似的行为.。

高中数学第一讲坐标系二极坐标系课前导引素材新人教A版选修4-4

二极坐标系
课前导引
问题导入
如图所示.
上图是某校园的平面示意图,假设某同学在教学楼处,回答下列问题:
(1)他向东偏北60°方向走120 m后到达什么位置?该位置唯一确定吗?
(2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置,他应如何描述?
解析:(1)到达图书馆,该位置唯一确定.
(2)体育馆:由A向东直走;办公楼:由A向北偏西45°前进50 m即可到达.
上述问题即是由初始点,长度和角度等因素确定位置关系的.由上述三个要素也可建立坐标系,这就是极坐标系.
知识预览
1.极坐标系的建立.
在平面内取一个定点O,叫做极点;自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(弧度)及其正方向(逆时针),这样即建立了一个极坐标系.
2.如图.
设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为ρ ;以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为θ .有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ).
3.极坐标与直角坐标的互化公式
⎩⎨⎧==.
sin ,cos θρθρy x ① 由①可得ρ2=x 2+y 2, tan θ=x y (x≠0).。

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二极坐标系
一览众山小
三维目标
1.掌握极坐标（系）的有关概念，能熟练地进行点的极坐标与直角坐标的互化以及两种坐标方程间的互化.
2.掌握坐标法,能利用数形结合的思想解决问题,培养,提高数学思维的能力.
3.认识事物之间是相互联系的,不同的事物有不同的表现形式，要用联系的观点看问题,了解事物之间在一定条件下是可以相互转化的.
学法指导
本节知识较为简单，概念很容易理解，在学习中要记住几个要素,并且把基本公式记牢,记准.做题时,用数形结合的方法解决问题,把抽象的数学语言与直观的图形结合,通过“以形助数”或“以数解形”,可使复杂问题简单化.
诱学导入
材料：如图1-2-1.
图1-2-1 图1-2-2
人类描述地点的方式有很多种,例如在日常生活中可以用语言说明,或者用手指明方向,或者画张地图.
然而蜜蜂没有语言,它们怎么传递信息,描述地点呢?原来它们有跳舞语言，是用跳舞的方式传送讯息,描述地点的,这实际上是极坐标的原理.
问题：如果太阳,蜂巢与蜜源的位置关系如图1-2-2所示,能根据极坐标的思想解释蜜蜂的舞蹈语言吗?
导入：如果蜜源距离蜂巢超过100公尺，则蜜蜂要用跳舞语言传达讯息,即称跳摇尾舞.先走一小段直线路径，再绕半圆，回到原出发点，然后走原直线路径，再对另一侧绕半圆，如此规律地反覆交替绕半圆.在走直线路径时，还不断地摇动它的下腹.
直线路径偏离铅垂线右方30度，这表示蜜源在太阳方向偏右30度的方向.至于蜂巢与蜜源的距离由单位时间的绕圈数決定，绕越多圈表示距离越远.例如，每分钟若绕18圈，就表示距离约为1 000公尺.如果直线路径垂直向上的话，就表示蜜源在太阳的方向.因此，我们看出侦查蜂并不是使用直角坐标，而是采用极坐标来传送讯息.鸟类与鱼类也有类似的行为.。

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