毕奥萨伐尔定律的应用

2
1
0
2
nI (cos
2
cos
1 )
讨论：
B
0nI
2
(cos
2
cos
1 )
（1）螺线管无限长 1 , 2 0 B 0nI
（2）半无限长螺线管的端点圆心处
B 0nI / 2
实 际 上 ， L>>R 时，螺线管内部的
0nI
0nI
B
磁场近似均匀，大
2
小为 0nI
A1
O
A2
通电螺线管的磁场
B
I
B
0q 2R 2
R
dr
0q
0
2R
++++++o++++++++
I
pm
电流磁矩 pm ISen
圆电流的磁场
I
【例】密绕长直载流螺线管轴线上的磁场
设螺线管的半径为R，电流为I，每单位长度有 线圈n匝。
1 r
A1
2
p
dB
R
A2
l dl
1 r
A1
2
p
dB
R A2
l dl
由于每匝可作平面线圈处理， ndl匝线圈可作
Indl的一个圆电流，在P点产生的磁感应强度：
I
B 0nI
例 一个半径R为的塑料薄圆盘，电量+q均匀分布其上，圆
盘以角速度绕通过盘心并与盘面垂直的轴匀速转动。求
圆盘中心处的磁感应强度。
解：带电圆盘转动形成圆电流，取距盘心r处宽度
为dr的圆环作圆电流，电流强度：
d I q 2r d r qr d r
2 R2
R 2
d B 0 d I
2r
§11.3 毕奥-萨伐尔定律的应用
【例】长直载流导线的磁场
I
设有长为L的载流直导 线，通有电流I。计算与 导线垂直距离为d的p点 的磁感强度。取Z轴沿载 流导线，如图所示。
dl L
l
O
r
d 1
P
2d
B
按毕奥—萨伐尔定律有：
dB
0 4
I
dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
l
r
r3
所有dB的方向相同， 所以P点的 的大B小为：
0I 4d
sin
2
sin
1
B
0I 4d
sin
2
sin
1
考虑三种情况： (1)导线无限长，即
B 0I 2d
1 2
2
2
(2) 导 线 半 无 限 长 ， 场 点 与 一 端
I
dl L
的连线垂直于导线
lr
B 0I 4d
(3)P点位于导线延长线上，B=0
O
d 1
P
2d
B
I
无限长直线电流的磁场
d
B
0R2nI d l
2(R2 l 2 )3/
2
B
L
dB
L
0R2nI d l
2(R2 l 2 )3/
2
l R cot d l R csc2 d A1
1 r
2
p
dB
R A2
又 R2 l 2 R2 csc2
B
L
0R2nI d l
2(R2 l 2 )3/
2
l dl
0 nI 2 sin d
B 0I 2 r
【例】载流圆线圈轴线上的磁场
电流元 Idl在P点磁场
dB
0 Idlr 4r 3
dB//
dB
由圆对称性得
Idl
R
Io
B dB 0
所以
B dB//
B B// dB// dB sin
0 sindl 0 I sin 2R
4 r 2
4r 2
r
x
dB dB P dB//
r2 R2 x2
sin R r
R
1
(x2 R2)2
B 0 IR 2
2( x 2 R2 )3 2
讨论： 1.x=0处，即圆电流中心，磁场最大：
B
0I
2R
推广至 任意圆 弧中心
B
0 I
2R
2
2.x>>R，x≈r：
B 0IR2 0IR2 0IS 2x3 2x3 2x3 B 0 pm 2x3
B
dB
L
0 L 4
I d l sin
r2
I
dl L
lr
O
d 1
P
2d
B
I
由几何关系有：
sin cos r d sec
dl L
l d tan dl d sec2 d l r
B
0 L 4
I d l sin
r2
O
d 1
P
2d
B
0
4
2 I cos d
1 d