7.2 线性变换的运算

第七章 线性变换

学习单元2： 线性变换的运算

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● 导学

学习目标：

理解线性变换的加法、数乘、乘法运算的定义；了解线性变换关于加法、数乘、乘法的运算性质；理解线性变换的幂运算及线性变换的多项式。

学习建议：

建议大家多看书，多看例题，一个一个的对运算进行理解掌握，可以自己对某个具体线性空间的某些线性变换进行加法、数乘、乘法运算，看看运算后的线性变换是怎样的。

重点难点：

重点：深刻理解线性变换的加法、数乘、乘法运算的定义。

难点：理解可逆线性变换的概念及线性变换的多项式。

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● 学习内容

一、线性变换的加法、数乘、乘法的定义及性质

定义 设V 为数域P 上线性空间，,,()k P A B L V ∈∈

令

:()

kA V V kA αα→→； :()()

A B V V

A B ααα+→→+；

:(())AB V V A B αα→→。

称kA 为k 与A 的数乘，A B +为A 与B 的和，AB 为A 与B 的积。

注：()()(())kA k A αα=（写成()kA α）；

()()()()A B A B ααα+=+；

()()(())AB A B αα=。

定理 ,,()kA A B AB L V +∈。

性质（1）A B B A +=+；

（2）()A B ++C (A B =++C )；

（3）A O A +=；

（4）对()A L V ∈，存在()B L V ∈，使A B O +=；

（5）1A A =；

（6）()()kl A k lA =；

（7）()k l A kA lA +=+；

（8）()k A B kA kB +=+；

（9）(A B C )=(AB ) C ；

（10）A (B + C )=AB +AC ；

（11）(A +B ) C =AC +BC ；

（12）EA =A E =A ；

（13）()()k AB kA B =；

（14）(1)A A -=-。

推论 ()L V 关于线性变换加法及数与线性变换的数乘构成P 上线性空间（当

dim V n =时，2dim ()L V n =，()n n L V P ⨯≅）

。 推论 ()L V 关于线性变换加法及线性变换乘法构成一个有单位元的环。

注：线性变换的乘法不满足变换律，例如：V 是闭区间[0，1]上多项式函数构成的

线性空间，(())()D f x f x '=，0(())()x

G f x f t dt =⎰，则

DG (x +1) = x + 1，而GD (x +1) = x ，所以DG ≠ GD 。

一般由AB = 0推不出A = 0，或B = 0。

一般由AB = AC ，A ≠ 0推不出B = C 。

二、线性变换的可逆性

定义 令V 为P 上线性空间，A 为V 的线性变换，若A 是可逆的，则称A 为可逆线性变换，记A 的逆变换为A -1。

注：A 为V 的变换，A 可逆当且反当A 为双射。

定理 若A 为V 的可逆线性变换，则A -1也是V 的线性变换。

证明 显然A -1是V 的变换，对任何k P ∈，,V αβ∈，有

1111()[()()()()]A A AA AA αβαβ----+=+

111[()())()())]A A A A A αβ---=+

111[(()())]A A A A αβ---=+

111()(()())A A A A αβ---=+

11()()A A αβ--=+。 同理 11()()A k kA αα--=。

所以 A -1为V 的线性变换。

三、线性变换的多项式

定义 令()A L V ∈，若n 为正整数，则规定

n n

A AA A =L 14243

若0n =，则规定0A E =。

当A 可逆时，可规定1()n n A A --=，n 为正整数。

注：()n n n AB A B ≠。

定义 10(),()[]m m A L V f x a x a x a P x ∈=+++∈L ，定义

10()m m f A a A a A a =+++L E ，

称()f A 为A 的多项式。

注 ()()f A L V ∈

()()()()f A g A g A f A =。

例1 设α为2V 中非零向量，χ 是过原点且与α垂直的平面，()αξ∏是ξ在α方向的内射影，()x ξℜ是ξ关于χ 的反射，则x ℜ= E 2α-∏，即x ℜ为α∏的多项式。

例2 在[]n P x 中，D 是微商变换（为[]n P x 的线性变换）于是D n = 0。

a ϕ：[][]n n P x P x →

()()f x f x a →+

则a ϕ=E 2

1

212!(1)!

n n a a aD D D n --++++-L 。 即a ϕ为D 的多项式。

【教师解读】

在代数学中，要研究某些对象，通常会对这些对象规定运算，把它变成代数系统进行研究。要研究线性变换，就对线性变换定义运算，并把它做成线性空间，可利用线性空间的结果来研究线性变换。

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拓展资料

设,στ是线性变换，且22,σσττ==，证明：

（1）若2()στστ+=+，则0στ=。

（2）若σττσ=，则2()στστστστ+-=+-。