杨辉三角中的一些秘密(浙江省优质课一等奖)
人教版A版高中数学选修2-3：探究与发现 “杨辉三角”中的一些秘密
2）三角形的两条斜边上都是数字1，而其余
的数都等于它肩上的两个数字相加，也就是
C
r n
C r1 n1
Cr n1
3）杨辉三角具有对称性
Cr n
C nr n
4）杨辉三角的第n行是二项式（a+b）n展开
式的二项式系数即
(a
b)n
C n0a n
Cn1a b n1 1
C
r n
a
n
b
b
1
C
k k
abk
C k0a k b
C
r k
a
k
r
br
1
C kk 1ab k
C
k k
b
k
1
=
Ck0a k+1
+
(C
1 k
C
0 k
)a
k
b
+ +
(C
r k
+1
C
r k
)a krbb+1
+
+
(C
k k
C
k－1 k
)abk
+
C
k k
b
k
+1
利用组合数的重要性质可得
2. 杨辉三角与弹子游戏
在游艺场，可以看到如图的弹子游戏，小 球 (黑色 ) 向容器内跌落，碰到第一层阻 挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层 阻挡物再等可能地向两侧第三层跌落，
如是，一直下跌，最终小 球落入底层，根据具体区 域获得奖品。试问：为什 么两边区奖品低于中间区 奖品？
最新杨辉三角课件精品课件
B
由此看来，杨辉三角与纵横(zònghéng)路线图问题有天然的联系
第十六页，共24页。
五、小结 (xiǎojié)
1、杨辉三角蕴含(yùn hán)的基 本性质
2、杨辉三角蕴含的数字(shùzì)排 列规律
第十七页，共24页。
杨辉三角的其它(qítā) 规律
第十八页，共24页。
杨辉三角中若第P行除去(chúqù)1外，P整
C C r1
r
n1
n1
第n行1 Cn1 Cn2
…
Cnr
…
…… … … 第十九页，共24页。
C n2
n1 1
C n1 n
1
练习 （(l0i4à.n上x海í)春1季: 高考）如图，在由二项式系数
(xìshù)所构成的杨辉三角形中，第3_4____行中从
左至右第14与第15个数的比为 2 :.3
第二十一页，共24页。
C a b r kr r k
C
k k
bk
则当n=k+1时，(a b)k1 (a b)k (a b)
(Ck0ak Ck1ak1b1 Ckrakrbr Ckk ak )(a b)
Ck0a k1
C k1a k b
C
r k
1a
k
r
bb1
C
k k
ab
k
C k0a k b
C
r k
a
k
r
b
r
1
C kk 1ab k
研究性课题(kètí)：
杨辉三角
第一页，共24页。
杨辉三角
第0行
1
第1行
11
第2行
第3行 第4行
“杨辉三角”中的一些秘密公开课教案教学设计课件案例试卷
均为 n，（2）表中的递推关系类似杨辉
三角，则第
n
行（n≥2）第
2
个数
n2
n 2
2
.
第1行 第2行 第3行 第4行
1
an1 an n(n 2)
2 2 an1 an n
34 3
47 7 4
第5行 5 11 14 11 5
第6行 6 16 25 25 16 6
…… …… ……
(n 1)(n 2)
关系吗？
第0行
1
第1行
11
第2行
121
第3行 第4行
1 3 31 1 4 6 41
第5行 第6行
1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
…… ……
… … 第n-1行
1
C C 1
2
n1 n1
C C r 1 r n1 n1
C n2 n1
1
第n行 1
C
1 n
C
2 n
… ……C…nr … …
• • 本节课的学习难点是：根据具体横行、斜
行的数字规律，猜想出一般的结论。
五、学习方法
• 本节课采用的是教师引导探究的探究课类型。使用自主探究 与合作交流相结合的探究方式。
• 探究时采用先思考后小组合作互动的方式，重点在于发现规 律，使学生通过思维碰撞，擦出智慧的火花，达到共同完成 建构知识的目的；也使不同层次的学生都学有所获，让学生 体会再发现再创造的过程，发展学生的创造性思维。
C2 n1
Cn3
当r
3时，C33
C43
C53
C3 n1
Cn4
探究4 （斜看2） ：按照图示的方法写出斜线上的各行数字的和， 仔细观察这些和，你有什么发现？
杨辉三角的数学结论发现过程概述
杨辉三角的数学结论发现过程概述杨辉三角，那可是数学里相当有趣的一个存在呢。
你看啊，这杨辉三角就像一个神秘的数字金字塔。
最顶端是一个1，就像金字塔的塔尖一样，孤零零地却又无比重要。
下面一层呢，就是两个1，这就像是塔尖下面最初的两块基石。
这杨辉三角里的数字到底是怎么被发现有那些奇妙结论的呢？咱们就从简单的加法角度去看。
就好比你在搭积木，每一块积木的摆放都有它的规律。
在杨辉三角里，除了最边上的那些1啊，中间的每个数字都是它上面两个数字相加得到的。
这就好像是接力赛，上面的两个数字把自己的“力量”传递给下面的数字。
这可不是随随便便的发现哦，肯定是经过了好多人的观察和思考。
咱们再往深里想一点。
假如你是一个探险家，在这个数字的神秘岛屿里探索。
你发现了每行数字的和也是有规律的。
第一行数字和是1，第二行是2，第三行是4，第四行是8，就像每次都乘以2一样。
这多神奇啊！这就像是在一个神秘的魔法世界里，数字按照某种神秘的咒语在排列。
那这些结论是怎么被发现的呢？我猜啊，最早发现的人肯定是个特别爱琢磨数字的人。
他可能一开始就是觉得这些数字排列起来挺好看的，就像我们看到好看的图案会忍不住多看几眼一样。
然后他就开始一个一个地去计算，去尝试找出其中的关系。
就像我们找宝藏，一点一点地挖掘线索。
从这个三角形里还能发现组合数的关系呢。
组合数是啥呢？就好比从一堆东西里挑出几个的不同挑法的数量。
这杨辉三角里的数字竟然和组合数能对应起来。
这就像是两个原本不认识的人，突然发现彼此原来是失散多年的亲人一样惊喜。
这是怎么发现的呢？也许是有人在研究组合数的时候，偶然发现这些组合数的数值和杨辉三角里的数字一样。
这就像是在两个不同的森林里，各自发现了一模一样的神奇花朵。
而且啊，杨辉三角还有很多和二项式定理相关的结论。
二项式定理就像是一个魔法公式，能够展开像(a + b)的n次方这样的式子。
而杨辉三角里的数字呢，就像是这个魔法公式的密码一样。
这个关系的发现肯定不是一下子就蹦出来的。
杨辉三角中的一些秘密(浙江省优质课一等奖)
第 1行 1 第 2行 1 1 贾宪 第 3行 1 2 1 第 4行 1 3 3 1 第 5行 1 4 6 4 1 第 6行 1 5 10 10 5 1 第 7行 1 6 15 20 15 6 1 第 8行 1 7 21 35 35 21 7 1 第 9行 1 8 28 56 70 56 28 8 1 第10行 1 9 36 84 126126 84 36 9 1
杨辉三角中的一些秘密手算高次方根研究高阶等差级数垛积术研究微积分差分方程无穷级数1010152015213535212856705628368412612684362856705628213535211520151010杨辉三角中的每一个数都是二项式系数都可都可以写成组合数2856705628213535211520151010杨辉三角中每一个数均为肩上两数之和杨辉恒等式10101520152135352128567056283684126126843610101520152135352128567056283684126126843610152128361020355684153570126215612628841213奇偶
奇异、美丽的图案-----超出想象！来自是工艺美术大师的创作吗？
这是数学 的杰作！
斐 波 那 契
1、1、2、3、5、8、13、21、34 、55 、89 …
悄悄的我走了， 正如我悄悄的来； 我翻一翻课本， 让我收获点什么 。
再 见
宁波市正始中学 陈碧文
《 开 方 作 法 本 源 图 》 贾 宪
1 1 0 1 左 杨辉三角中的 1C1 C1 1 衺 02 11 2 1 C2 C 2 C 2 每一个数都是二项 乃 10 3 3 1 2 1 3 积 贾宪 3 10C4 1C 3 42C 3 3C 3 式系数，都可都可 6 1 4 数 C45 104 10 4 5 C1 C 4 C C 1 以写成组合数 4 0 1 2 3 4 5 1C5 6 C 5 205 15 5 6 C1 C 5 15 C C 5 右 0 7 21 35 35 3 21 4 1 2 6 1 6 C 6 C 6 C 6 C 67 C 6 C 6 15 C 衺 1 8 28 56 70 56 .. 乃 .......... 28 8 1 0 1 2 r 0 .......... .......... r 隅 Cn 1 C n-1 2C n-1 ...r C n-1 C n-1 ... n2 n- 2 C n 1 1 1 r C n1 1 C n-1 Cn-1 ... C n-1 C1n-r1 ... C n-1 1 n 1 0 0 算C C 1 2C 2 1 . .. C nrC n... ... C nn1 C 1 Cn 1 . .. n Cn n Cn n n 中 0 1 r n n (a b) n Cn a n Cn a n1b... Cn a nr b r ... Cn 1ab n1 Cn b n 藏 者 r 1 杨辉三角中,第n行第r个数为 an ,r Cn 1 皆 廉
1.杨辉三角中的秘密2.赵爽弦图中的不等式性质的再探究
课堂实录1.3.2“杨辉三角”中的一些秘密浙江省宁波市正始中学陈碧文人教版选修2-3第一章第三节课题：1.3.2“杨辉三角”中的一些秘密授课教师姓名及学校：陈碧文正始中学一：引经据典，步入新课师：(展示图片)今天这节课，我们从一幅图画开始，大家认识这两个图案吗？这是我们华夏传说中的河图、洛书。
“河出图，洛出书，圣人则之”，伏羲根据河图演绎了八卦，大禹依据洛书划分了九州。
由此可以说河图、洛书是我们华夏文化的起源。
可你们知道吗，河图、洛书其实也是世界上最古老的数阵。
什么是数阵呢？将数字按照一定顺序组合成图形就是数阵。
今天这节课，我们就一起来研究一下数阵。
当然，对于一个新的内容，我们需要一个研究的载体。
所以，我们从一个特殊的三角数阵开始。
大家认识这个数阵吗？(生:杨辉三角)在古代，我们称它为“开方作法本源图”。
而在现代，它还有另外一个名字——杨辉三角。
杨辉三角在整个数学史中扮演着重要的角色：北宋的贾宪用它手算高次方根；元朝的朱世杰用它研究高阶等差级数（垛积术）；牛顿用它算微积分；华罗庚老先生思路更广，差分方程，无穷级数都谈到了。
那么，我们又能从杨辉三角中探寻到哪些秘密呢？让我们一起来研究一下。
二：复习回顾，总结已知师：杨辉三角在我们学习二项式系数的性质时已经有所接触。
那么,我们已经学习过杨辉三角的哪些性质呢？我请一位同学来回答一下。
学生1：杨辉三角中每一个数都是二项式系数。
贾宪在他的《开方作法本源图》中写道：“左衺乃积数,右衺乃隅算,中藏者皆廉”。
用今天的话来讲，就是说杨辉三角中的每一个数都是二项式系数，而二项式系数都可以写成组合数。
从而我们就可以把杨辉三角写成以下的形式，其中第n 行第r 个数可以写成11,--=r n r n C a ：这对我们今天的研究非常重要。
师：还有吗？学生1：杨辉三角中每一个数都是两肩上数之和。
师：非常好！杨辉三角中每一个数都是两肩上数之和，用组合数表示就是：r n r n r n C C C =+---111，这个结论最早是由南宋时期的杨辉所发现的，所以称之为杨辉恒等式。
高中数学探究与发现 “杨辉三角”中的一些秘密课件
原型——路径问题
甲
不同路径 相同步数 殊途同归
C150 252 C63 20
乙
【数学的灵动美】——做中思玩中学
路径问题
甲 1 1 1 111
1 2 3 456
1 3 6 10 15 21
14 15
10 20 35 56 15 35 70 126
1 6 21 56 126 252乙
理论
实践
【数学的灵动美】——做中思玩中学
............
C C C 0
1
2
n1 n-1 n-1
...
Cr 1 n-1
Cr n-1
...
Cn2 n-1
C0 n1
Cn0 Cn1 Cn2
... Cnr ...
Cn1 n
C n0
杨辉三角中,第n行第r+1个数为
an,r1 Cnr
【数学的规律美】——回顾旧知
对称
Cnr
C nr n
正难则反
斜
121 13 31
C11 1C21 2 C331 C4415C516C7612C871 C82
向 求 和
146 41 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
杨辉三角优质课件
n 1 n
C
n n
倒序相加法
思考3.在(3x -2y)20的展开式中，求：(1)二项 式系数最大的项;(2)系数绝对值最大的项;(3) 系数最大的项; 解:(2)设系数绝对值最大的项是第r+1项. 则 r 20 r r r 1 19 r r 1
C 20 3 C 3
r 20
2 C 20 3 2 C
r r 1 20
2
20 r
3
21 r
2
r 1
即
3(r+1)>2(207 r8 5 5
8
所以当r=8时，系数绝对值最大的项为 8 12 8 12 9 20
T C 3 2 x y
即
3(r+1)>2(20-r)
令a=1，b=－1得
C C C C
0 n 2 n 1 n 3 n
1答案 2答案
2 n
启示：在二项式定理中，对a,b赋予一些特定的值， 是解决二项式有关问题的一种重要方法——赋值法。
0 2 1 2 2 2 n 2 n ) (C n ) (C n ) (C n ) C2 思考2求证: (Cn n. 略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开 后比较xn的系数得：
m m m 1 C C 这就是组合数的性质 2: C n 1 n n
可运用函数的观点，结合“杨辉三角”和函数图象， 研究二项式系数的性质． f( r ) 20 n (a+b) 展开式的二项式系数是
C , C , C , , C ， , C .
0 n
1 n
《探究与发现 “杨辉三角”中的一些秘密》PPT课件(部级优课)
3 数学文化，拓展视野 谢 尔 宾 斯 基
谢 尔 宾 斯 基 三 角 形
埃 菲 尔 铁 塔
分形几何 奇异、美丽、 超乎想象！
4 课堂小结，升华“点睛”
斜看 三角形数 四面体数 高阶等差数列 斐波那契数列
贾宪
本
课
小
C
m n
C nm n
组合数对称性
结
杨横看 辉
2的幂、11的幂
杨辉三角
朱世杰
Cnm
成林处处云,抽笋年年玉。
调清金石怨,吟苦鬼神悲。
天风乍起争韵,池一水相涵更五绿。 十
十 天下只五应我爱一,世间惟有君知。
却寻庚信小员中一,闲对数六竿心自足十五。
二
十
自从十五都尉别六苏句,便一到司空送白辞。
3 数学文化，拓展视野
（动手操作）：如果用笔将杨辉三角中的偶数与奇数 分别标出，并保留全部的奇数，会出现什么现象？
对称性：Cnm
C nm n
递推性： Cnm
C m1 n 1
Cm n 1
1
C10 C11
C
0 2
C
1 2
C
2 2
C30
C
1 3
C32
C33
C
0 4
C
1 4
C
2 4
C
3 4
C
4 4
C
0 5
C
1 5
C52 C53
C
4 5
C
5 5
C 60
C
1 6
C
2 6
C
3 6
C
4 6
C
5 6
C
6 6
2 善于观察，发现“秘密”
2022年高中数学新人教版A版精品教案《探究与发现 “杨辉三角”中的一些秘密》
探究数学秘密，发现数学之美——“杨辉三角〞中的一些秘密一、教材背景分析1．教材的地位和作用“杨辉三角〞是我国古代数学重要成就之一，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，应抓住这一题材，对学生进行爱国主义教育，鼓励学生的民族自豪感。
2．学情分析本节课面对的是高二年级的学生,这个年龄段的学生思维活泼,求知欲强,但在思维习惯上还有待教师引导。
通过之前的学习学生已经掌握了分类加法计数原理和分步乘法计数原理,理解了排列、组合的概念,掌握了二项式定理和二项展开式的性质。
同时对于数形结合、类比、转化的数学思想方法也有了初步的认识。
对于本节探究与发现的研究性学习,可以激发学生学习热情,提高课堂效率,使知识得到螺旋式的稳固与提高。
而对于加强学生自身对于数学的应用意识及实际问题的分析能力方面,还有待于教师的指导帮助。
学生根据教师提供的情境,采用观察、分析、抽象、概括等方式探索知识,归纳知识。
通过创设情境疑问,引导学生开展独立思考、主动探究、合作交流,探求解决问题的方法。
鼓励学生创新思考,加强数学实践,培养学生的理性思维,同时注重培养学生良好的数学学习习惯。
3．教学重点与难点重点:掌握二项式展开式的性质,理解二项展开式的系数与杨辉三角之间的联系。
难点:通过探究杨辉三角的规律,初步体验数学中“合情推理〞、“归纳假设〞等研究问题的数学方法。
二、教学目标新课标指出教学目标应表达学生学会知识与技能的过程,也要同时表达学生学会学习形成正确价值观的过程。
结合本节课的教学内容,制定如下教学目标:1．通过课前组织学生开展“了解杨辉三角、探究与发现杨辉三角包含的规律〞的学习活动，让学生感受我国古代数学成就及其数学美，激发学生的民族自豪感。
2．掌握二项式展开式的性质,理解二项展开式的系数与杨辉三角之间的联系。
3．通过探究杨辉三角的规律,初步体验数学中“合情推理〞、“归纳假设〞等研究问题的数学方法。
4．采用学生课前自主探究、课上合作探究、课下延伸探究的学习方式，培养学生问题意识，提高学生思维能力，孕育学生创新精神，激发学生探索、研究我国古代数学的热情。
全国高中数学 青年教师展评课 杨辉三角导学案
“杨辉三角”中的一些秘密阅读材料：杨辉三角的历史《易·系辞上》：“河出图，洛出书，圣人则之。
”相传，伏羲在黄河边思考天地的至理，突然，一匹龙马从黄河中奔腾而出，伏羲发现，龙马的身上又一幅图画，伏羲从图中领悟了八卦，这幅图就是传说中的河图。
大禹在治理洪水时，有一只大乌龟从洛水中浮出，背上刻有纹理，大禹依据这些纹理划分了九州，这些纹理就是洛书。
河图，洛书是我们华夏文化的起源，同时，他们也是世界上最古老的数阵。
数阵的概念与数列很相似，我们将数字按一定的顺序排列成图形就构成了数阵。
杨辉三角就是一个特殊的数阵，其最早出现在北宋贾宪的“开方作法本源图”中，南宋时期的杨辉在他的著作《详解九章算术中》引用了这幅图，并注明了“出释锁算书，贾宪用此术”。
元朝的朱世杰对杨辉三角作了进一步研究，从中推导出了高阶差分数列的求和。
在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了这个三角,所以“杨辉三角”在国外又被称为“帕斯卡三角”。
世界著名数学家华罗庚在他的《从杨辉三角谈起中》将其称为“杨辉三角”，于是才有了“杨辉三角”的说法。
近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”（Chinese triangle）杨辉三角在整个数学史中扮演着重要的角色，宋朝的贾宪用它手算高次方根，元朝的朱世杰用它研究高阶差分数列（垛积术），牛顿用它算微积分。
,华罗庚老先生思路更广，差分方程，无穷级数都谈到了。
同学们，我们又能发现杨辉三角的哪些秘密呢？一:回顾杨辉三角第 1行 1第 2行 1 1第 3行 1 2 1第 4行 1 3 3 1第 5行 1 4 6 4 1第 6行 1 5 10 10 5 1第 7行 1 6 15 20 15 6 1第8行_________________________________________……………………………..我们已经学习过杨辉三角的哪些性质？____________________________________________________________________________________________________________________________三:初探杨辉三角研究角度一：第 1行 1第 2行 1 1第 3行 1 2 1第 4行 1 3 3 1第 5行 1 4 6 4 1第 6行 1 5 10 10 5 1第 7行 1 6 15 20 15 6 1第 8行 1 7 21 35 35 21 7 1第 9行 1 8 28 56 70 56 28 8 1第10行 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1第11行 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1第12行 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1第13行 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1 第14行______________________________________________________________________……………………………..第n+1行_______________________________________________________________________012100121111211101665646362616065545352515054434241404332313032212021101............1nn n r n n n n n n n-r n-r n-n-n-n C C ... .. C . C C C C ... C C ... C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C C -----结论1：_______________________________________________________________________ 结论2：_______________________________________________________________________ 结论3：_______________________________________________________________________ 结论4：_______________________________________________________________________ 结论5：_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ ______________________________________________________________________________ 四:再探杨辉三角第 1行 1第 2行 1 1第 3行 1 2 1第 4行 1 3 3 1第 5行 1 4 6 4 1第 6行 1 5 10 10 5 1第 7行 1 6 15 20 15 6 1第 8行 1 7 21 35 35 21 7 1第 9行 1 8 28 56 70 56 28 8 1第10行 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1第11行 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1第12行 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1第13行 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1提示：将杨辉三角摆放成直角三角形，谈谈你们组的发现________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 2 3 4 5 6 7 8 91 3 6 10 15 21 28 361 4 10 20 35 56 841 5 15 35 70 1261 6 21 56 1261 7 28 841 8 361 91提示：将杨辉三角摆放成以上形状，谈谈你们组的发现________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________五:三探杨辉三角1 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 11 7 21 35 35 21 7 11 8 28 56 70 56 28 8 11 9 36 84 126 126 84 36 9 11 10 45 120 210 252 210 120 45 10 11 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 11 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1提示：将杨辉三角中的奇数涂黑，又会有怎样的发现？________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________________________________________________________________ __________________________________________________________六:小结与收获：通过本节课，你对数阵的研究有什么心得？________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________七:课后探索1查找资料，并阅读华罗庚的《从杨辉三角说起》，看看杨辉三角中还有哪些我们没发现的秘密。
杨辉三角中的一些秘密——数学课本“探索与发现”的进一步探索
周刊
杨辉三角中的一些秘密
数学课本 探索与发现 的进一步探索 杨海跃
杨辉三角出发 , 探索它的精妙绝伦的性质 . 用研究与总结来揭开它神秘的面纱 . 关键词 : 三角的秘密 ; 杨辉三角 ; 数学探索 摘㊀要: 作为中国数学史上重要的发现 , 杨辉三角带我们领略数字的奥秘 , 为我 们 打 开 二 项 式 系 数 的 大 门 . 现 在 , 让我们从
１ n－ １ n－ １ n－ １ n － 则 Cn ＋Cn＋１ ＋ ������ ＋Cn＋m－２ ＝ Cn＋m－１ n－ １ ＋C n
所以 k ＝ m ＋１ 时成立 . ＋Cn＋m－１ ＝ Cn＋m ＝ Cn＋mห้องสมุดไป่ตู้１＋１ ,
n－ １ n n
������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������ ������
) 边的一列就是它的一阶差数 列 . 并 且 从 右 向 左 第 n( n ȡ０
Cn ＋ ������ ＋Cn＋ Cn ＋ ������ ＋Cn＋ Cn＋１ ＋ ������ k－ ２ ＝C n＋ k－ ２ ＝C n＋ １＋
１
０ １ ０ ㊁n ㊁ ������Ck , 列, 可表示为Cn １ C n－ １ k 所以它们的前k 项和C n－ １＋ － ＋
杨辉三角及其空间拓展PPT教学课件
P|(w,x,y,z) = × × Cw wxyz
Cz x yz
Cy x y
对应为 (a+b+c+d)n的展开项axbyczdw的系数
• N维杨辉三角中位于P(a1,a2,a3…an-1,an)点的杨辉三角数
P |(a ,a ,a …a ,a )= ×……× × n 1 2 3
n-1 n
Can a1a2an
杨辉三角及其空间拓展
小组成员：刘雅儒 郭良美 指导老师：
2020/12/10
1
• 杨辉（约十三世纪）字 谦光，钱塘（今浙江杭 州）人，是我国南宋时 的数学家，杨辉的数学 著作有《讲解九章算法》 十二卷，流传至今的只 是其中的一部分，其中 “开方作法本源”载有 二项式系数三角形，后 人称为杨辉三角形，此 外，他还著有《日用算 法》二卷，《乘除通变 算宝》三卷，《田亩比 类乘除捷法》二卷、 《续古摘奇算法》二卷 等。
即所有的偶数依次排出 以 （ 2 n-1）（nN*） 的 长 度为边长的倒立的等边 三角形。
2020/12/10
3
直角坐标系中的杨辉三角
• 为了研究方便，我借鉴平面直角坐标系将杨辉三
角放了进去。在平面直角坐标系中（这里只考虑
整点），点与坐标就有一一对应的关系，这其中
就必然有规律，经过我们的推理，得出了杨辉三
7
PPT教学课件
谢谢观看
Thank You For Watching
8
Ca3 a1a2a3
Ca2 a1a2
对应为(d1+d2+d3+…+dn-1+dn)n的展开项的系数
2020/12/10
6
杨辉三角数与数之间的关系式：
浙教版数学七年级下册 第3章 阅读材料 杨辉三角与两数和的乘方 一等奖创新教案_1
浙教版数学七年级下册第3章阅读材料杨辉三角与两数和的乘方一等奖创新教案杨辉三角与两数和的乘方【学情分析】《杨辉三角与两数和的乘方》是教材中安排的一篇阅读材料，是在学习了整式乘法的基础上进行，是对整式乘法的拓展，为今后学习二项式的展开式奠定基础.通过本节探究杨辉三角规律的教学，既能构建完整知识框架，又能多方位提高学生数学素养. 平时，在数学竞赛中时常有的公式应用，也曾看到中考把杨辉三角作为考点.对此，本节内容体现出：既是整式乘法的整合和补充，又是学生知识缺陷的弥补.【教学目标】知识与技能1. 了解有关杨辉三角的简史，掌握杨辉三角中隐含的基本规律，以拓宽整式乘法；2. 通过研究杨辉三角的数字规律，培养学生由特殊到一般的归纳猜想能力和发展数学方法（如赋值法等）.在小组讨论、探索过程中初步培养合作意识，发展创造性思维能力；3. 运用杨辉三角的数学规律解决一些与之相关的中考题和实际问题。
过程与方法1. 通过“求和”等活动，让学生充分感受知识的产生和发展过程，让学生始终处于积极思维状态之中；2.通过探究杨辉三角规律等活动，让学生亲历发现事物特征和规律，激发学习兴趣，引发自行学习的内在动机。
情感、态度与价值观1. 创造性使用阅读材料，使之探究化、价值化，从中不仅扩展了学生的知识，培养了学生学数学的兴趣，而且展现了数学的科学价值和人文价值；2. 通过杨辉三角数学史的介绍，增强学生民族自豪感，【教学重难点】教学重点：杨辉三角的发现、理解和初步应用.教学难点：对赋值法验证理解。
【教法学法】本学段的学生具有对与自己的直观经验相冲突的现象和对有挑战性任务感兴趣的特点，也初步具备个体和群体参与“探究性问题”、“开放性问题”活动的能力，并结合本节内容的特点，采用探究式学习方式.对于学生在探究过程中出现不全面、易出错等问题，教师给予即时的引导、点拨和激励评价.对新知学习都力求从学生实际出发，以他们熟悉或感兴趣的问题情景引入主题，展开数学探究【教学过程】一：创设情境，引发思考引入：若今天是星期一，再过8 天后是星期几？怎么算？生1：星期二，将问题转化为求“后的余数”是1.变式;8改为生：星期二，将问题转化为求“后的余数”是1，生2：（此方法学生若未提及，教师给予讲解）.变式2：改为生：星期二，将问题转化为求“后的余数”是1.变式3：改为生：猜想星期二。
全国高中数学青教师展评课：杨辉三角中的一些秘密课件(浙江宁波正始中学陈碧文)
1 11 121 1331 14641 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126126 84 36 9 1
…….
111111111 1 … 123456789… 1 3 6 10 15 21 28 36 … 1 4 10 20 35 56 84 … 1 5 15 35 70 126 … 1 6 21 56 126 … 1 7 28 84 … 1 8 36 … 19… 1… …
1 1C860 728C2611563C5672.0.3..5C.5.636.2..1..2.C8647 8C1651 C66
法 本 源 图
,
隅算中Cn10C1nC0Cn11n1CCnC1-1n2n1-CC1 nn22-C1 .rnCr.-.1Cn1.rn-r.1..C.....nr.-1.....C.nnC-1nnC2n1n-112C1nn1Cn01Cn0
藏 (a b)n Cn0an Cn1an1b... Cnr anrbr ... Cnn1abn1 Cnnbn
》者 贾皆 宪廉
杨辉三角中,第n行第r个数为
an,r
C r1 n1
1
11
121
13 31
146 41
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
左 衺 乃 积 《数
,
贾宪
1C1405C143101CC0312410C162C11133100CC11442211CC531121CC12432C33C每 式 以44 一系写杨个数成数，组辉都都合三是可数角二都中项可的
浅谈杨辉三角的奥秘及应用
浅谈杨辉三角的奥秘及应用摘要文中阐述了杨辉三角中蕴涵的一些优美的规律及利用杨辉三角在以其为背景的一些现实生活问题中的应用来培养解决问题的思维能力。
关键词杨辉三角，最短路径，错位，幂0 引言杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。
在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形,称做“开方做法本源”,现在简称为“杨辉三角"，它是杨辉的一大重要研究成果。
随着素质教育的提倡，新课程标准的颁布，生活中很多问题都与杨辉三角有着或多或少的联系，那如何解决这些以“杨辉三角”为背景的问题呢？这就需要我们对杨辉三角本身蕴涵着许多优美的规律进行探讨和研究。
1 杨辉三角与数字11的幂的关系我们知道初中时老师要求我们背11的幂，11的1次幂、2次幂、3次幂还好背，后面就难起来了。
后来我受到一位老师的启发,并且查看了这方面有关资料，发现杨辉三角与11的n次幂的关系非常密切.假设y=11n当n=0时: y=1；当n=1时： y=11；当n=2时：y=121；当n=3时：y=1331；当n=4时: y=14641；以上是当n≤4时与扬辉三角的前5行多一致，接下来我们再来看一下当n≥5时的情况，如下：当n=5时: 1 4 6 4 1⨯ 1 11 4 6 4 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1当n=6时： 1 5 10 10 5 1⨯ 1 11 5 10 10 5 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1……由上可知:11的n 次幂的各位数字（不含进位）与杨辉三角中的各数字完全相等(证明还有待证明)即杨辉三角是11的幂按错位相加不进位的方法依次从小到大排列而成的图形。
如下图：1 (110) 1 1 (111）1 2 1 (112）1 3 3 1 (113)1 4 6 4 1 （114)1 5 10 10 5 1 （115）1 6 15 20 15 6 1 （116) ……其实这个关系我们早就学习过了,只是用另一种方式表达而已。
人教版高中数学选修2-31.3.2杨辉三角中的一些秘密(共24张PPT)
左 衺 乃 积 《数
,
贾宪
1C1405C143101CC0312410C162C11133100CC11442211CC531121CC12432C33C每 式 以44 系写一杨数成个，组数辉都合三都可数角是都中二可的项
——
开右
1C506 C1551 2C052 15C53 6 C154 C55
方衺 作乃
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
....................
1
Cn1-1 Cn2-1
...
Cr 1 n-1
Cnr-1 ...
1 Cn1 Cn2
... Cnr ...
Cn2 n-1
1
Cnn1 1
杨辉三角中每一个数均为肩上两数之和
C r1 n-1
Cr n-1
Cnr
杨辉恒等式
第 1行 1 第 2行 1 1 第 3行 1 2 1 第 4行 1 3 3 1 第 5行 1 4 6 4 1 第 6行 1 5 10 10 5 1 第 7行 1 6 15 20 15 6 1 第 8行 1 7 21 35 35 21 7 1 第 9行 1 8 28 56 70 56 28 8 1 第10行 1 9 36 84 126126 84 36 9 1
再见
宁波市正始中学 陈碧文
藏 (a b)n Cn0an Cn1an1b... Cnranrbr ... Cnn1abn1 Cnnbn
》者 贾皆 宪廉
杨辉三角中,第n行第r个数为
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C r1 n1
1
11
121
13 31
146 41
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Cnr 1-1Cnr1- Cnr 杨辉恒等式 8
第 1行 1 第 2行 1 1 第 3行 1 2 1 第 4行 1 3 3 1 第 5行 1 4 6 4 1 第 6行 1 5 10 10 5 1 第 7行 1 6 15 20 15 6 1 第 8行 1 7 21 35 35 21 7 1 第 9行 1 8 28 56 70 56 28 8 1 第10行 1 9 36 84 126126 84 36 9 1
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》者 贾皆 宪廉
杨辉三角中,第n行第r个数为
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Cr1 n1
7
1
11
121
13 31
146 41
1 5 10 10 5 1
方衺 作乃
1
1C860 728C261156C35672.0..3.C5..5..663..21.C.28647
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中
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“杨` 辉三角”
中的一些秘密
宁波市正始中学 陈碧文
1
《
圣河易
·
人 则
出 图
系 辞
之洛上
出》
书
2
图 形 ，将 就数 是字 数按 阵一
定 顺 序 排 列 成 一 个
数 阵
3
开方作法本源图
4
贾宪
手算高次方根
研究高阶等差级数（垛积术）
·
艾 萨
顿 克 研究微积分
牛
差分方程、无穷级数
朱世杰
5
第 1行 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
.......... ..........
1
C C 1
2
n-1 n-1
... C
r 1 n-1
Cr n-1
...
C n2 n-1
1
1
C
1 n
C
2 n
. ..
C
r n
...
C n1 n
1
杨辉三角中每一个数均为肩上两数之和
…
11
12
奇偶:第1,2,4,8,16…这些行即2k（k是自然数）行的各个数 字均为奇数，
第2k+1行除两端的1之外都是偶数。 13
14
15
16
奇异、美丽的图案-----超出想象！
17
18
是工艺美术大师的创作吗？
19
20
这是数学 的杰作！
21
斐
波 那
1、1、2、3、5、8、13、21、34 、55 、89 …
6
——
左 衺 乃 积 《数
,
贾宪
11 1C1405C1 43101CC0312410CC621113301C0C144221CC15
1
1
C
2 2
312C 143C杨辉三角来自的每一个数都是二项3 3
式系数，都可都可
C以44 写成组合数
开右
1C
0 5
6
C1551
C20
2 5
15C
3 5
6
C 154
C
5 5
……
9
1
11
121
1331
14641
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126126 84 36 9 1
2
…….
10
111111111 1 123456789… 1 3 6 10 15 21 28 36 … 1 4 10 20 35 56 84 … 1 5 15 35 70 126 … 1 6 21 56 126 … 1 7 28 84 … 1 8 36 … 19… 1… 2…
契
22
悄悄的我走了， 正如我悄悄的来； 我翻一翻课本， 让我收获点什么 。
23
再见
宁波市正始中学 陈碧文
24
贾宪
第 2行 1 1 第 3行 1 2 1
第 4行 1 3 3 1
第 5行 1 4 6 4 1
第 6行 1 5 10 10 5 1
第 7行 1 6 15 20 15 6 1
第 8行 1 7 21 35 35 21 7 1
第 9行 1 8 28 56 70 56 28 8 1
第10行 1 9 36 84 126126 84 36 9 1