圆轴扭转时的应力(材料力学)
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圆轴扭转时的应力
材料力学（第五版） 刘鸿文 主编
1、变形几何关系
Me
Me
pq
pq
Me
pq
Me
pq
圆周线长度形状不变，各圆周线 间距离不变，只是绕轴线转了一个微 小角度；纵向平行线仍然保持为直线 且相互平行，只是倾斜了一个微小角
度。
x
圆轴扭转的平面假设：
圆轴扭转变形前原为平
面的横截面，变形后仍
保持为平面，形状和大
A
dx
dx
2dA
A
I p
2dA
A
Ip
横截面对形心的极惯性矩
(截面二次极矩，单位为m4)
d
T GI p dx
G
d
dx
T Ip
R
在圆截面边缘上有最大切应力：
max
TR Ip
m
ax
TR Ip
T Ip
R
令
Wt
Ip R
抗扭截面系数
(单位：m3)
公式适用条件：
1）圆杆
2） max
p
max
T Wt
dx
2、物理关系
根据剪切胡克定律
距圆心为 处的切应力：
G
G
G
d
dxபைடு நூலகம்
d
dx 尚未求出
3、静力关系
Me
dA
微分面积： dA dd
dA上的微内力对圆心的力矩：
dA
对上式进行积分： A dA T
横截面上的扭矩应与截面一侧的外力偶矩相平衡
(扭矩定义)
T
A dA
G ddA G d
（2） 强度校核
max
T Wt
1930 29 106
66.7106 Pa
66.7MPa [ ] 70MPa 满足强度要求
以上有不当之处，请大家给与批评指正， 谢谢大家！
11
I
与
p
Wt
的计算
在实心轴的情况下：
I p
2dA
A
2
0
R 3dd R4 D4
0
2 32
其中D为圆截面直径
Wt
Ip R
R3
2
D3
16
在空心轴的情况下：
Ip
2dA
A
2
0
D
2 3dd
d 2
D4 d 4 D4 1 4
32
32
Wt
D3
16
1 4
d
D
扭转强度条件： max
x
小不变，半径仍保持为
直线；且相邻两截面间
的距离不变。
p
q
d
a
d
c
a' O b
R
p
b′ q
dx
边缘上a点的错动距离：
aa Rd
则a点的切应变：
aa Rd R d
ad dx dx
( sin tan )
p
q
d
ae
d
c
a ' e′O b
R
p
b′ q
dx
距圆心为处的切应变：
d
dx
d —扭转角 沿x轴的变化率。
Tmax Wt
例3.2 由无缝钢管制成的汽车传动
轴 ， 外 径 D=89mm、 壁 厚 = 2 . 5 mm，
材料为20号钢，使用时的最大扭矩
T=1930N·m, [ ] = 7 0 MPa. 校 核 此 轴
的强度。
解：（1）计算抗扭截面模量
d 0.945
D
Wt 0.2D3 (1 4 ) 0.2 8.93 (1 0.9454 ) 29 cm3
材料力学（第五版） 刘鸿文 主编
1、变形几何关系
Me
Me
pq
pq
Me
pq
Me
pq
圆周线长度形状不变，各圆周线 间距离不变，只是绕轴线转了一个微 小角度；纵向平行线仍然保持为直线 且相互平行，只是倾斜了一个微小角
度。
x
圆轴扭转的平面假设：
圆轴扭转变形前原为平
面的横截面，变形后仍
保持为平面，形状和大
A
dx
dx
2dA
A
I p
2dA
A
Ip
横截面对形心的极惯性矩
(截面二次极矩，单位为m4)
d
T GI p dx
G
d
dx
T Ip
R
在圆截面边缘上有最大切应力：
max
TR Ip
m
ax
TR Ip
T Ip
R
令
Wt
Ip R
抗扭截面系数
(单位：m3)
公式适用条件：
1）圆杆
2） max
p
max
T Wt
dx
2、物理关系
根据剪切胡克定律
距圆心为 处的切应力：
G
G
G
d
dxபைடு நூலகம்
d
dx 尚未求出
3、静力关系
Me
dA
微分面积： dA dd
dA上的微内力对圆心的力矩：
dA
对上式进行积分： A dA T
横截面上的扭矩应与截面一侧的外力偶矩相平衡
(扭矩定义)
T
A dA
G ddA G d
（2） 强度校核
max
T Wt
1930 29 106
66.7106 Pa
66.7MPa [ ] 70MPa 满足强度要求
以上有不当之处，请大家给与批评指正， 谢谢大家！
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I
与
p
Wt
的计算
在实心轴的情况下：
I p
2dA
A
2
0
R 3dd R4 D4
0
2 32
其中D为圆截面直径
Wt
Ip R
R3
2
D3
16
在空心轴的情况下：
Ip
2dA
A
2
0
D
2 3dd
d 2
D4 d 4 D4 1 4
32
32
Wt
D3
16
1 4
d
D
扭转强度条件： max
x
小不变，半径仍保持为
直线；且相邻两截面间
的距离不变。
p
q
d
a
d
c
a' O b
R
p
b′ q
dx
边缘上a点的错动距离：
aa Rd
则a点的切应变：
aa Rd R d
ad dx dx
( sin tan )
p
q
d
ae
d
c
a ' e′O b
R
p
b′ q
dx
距圆心为处的切应变：
d
dx
d —扭转角 沿x轴的变化率。
Tmax Wt
例3.2 由无缝钢管制成的汽车传动
轴 ， 外 径 D=89mm、 壁 厚 = 2 . 5 mm，
材料为20号钢，使用时的最大扭矩
T=1930N·m, [ ] = 7 0 MPa. 校 核 此 轴
的强度。
解：（1）计算抗扭截面模量
d 0.945
D
Wt 0.2D3 (1 4 ) 0.2 8.93 (1 0.9454 ) 29 cm3