运筹学实验二灵敏度分析
灵敏度分析(运筹学)
最优基不变，即在最终表中求得的经过变化后 的b列的所有元素要求不小于0
目标函数 m ax z 2 x1 3x2 x1 2 x2 8 4x 16 1 约束条件 : 4 x2 12 x1 , x2 0
0 x3 1 -2 1/2 -3/2 0 x4 1/4 1/2 -1/8 -1/8 0 x5 0 1 0 0 θ
（5）按照下表所列情况得出结论或继续计算的步 骤。
原问题 可行解 可行解 非可行解 非可行解 对偶问题 可行解 非可行解 可行解 非可行解 结论或继续计算的步骤 原最优基不变 用单纯形法继续迭代 用对偶单纯形法继续迭 代 引入人工变量 ，扩大原 单纯形表继续计算
资源数量变化是指资源中某系数 br 发生变化，即 br′=br+Δ br。并假设规划问题的其他系数都不变。 这样使最终表中原问题的解相应地变化为 XB′=B-1(b+Δ b) 这里 Δ b=(0,… ， Δ br,0,… ， 0)T 。只要 XB′≥0 ， 因最终表中检验数不变，故最优基不变，但最优 解的值发生了变化，所以 XB′ 为新的最优解。新 的最优解的值可允许变化范围用以下方法确定。
(d) (e) -2
· · ·
1 0 0
0 1 0
cj - zj
XB x1 x5 cj - zj
b (f) 4
x1
x2
x3
x4
x5
(g) (h) 0
2 (i) 7
-1 1 (j)
1/2 1/2 (k)
0 1 (l)
--7--
--第2章 对偶问题--
以前讨论线性规划问题时，假定αij，bi,cj都是常数。 但实际上这些系数往往是估计值和预测值。如市场 条件一变，cj值就会变化；αij往往是因工艺条件的 改变而改变；bi是根据资源投入后的经济效果决定 的一种决策选择。显然，当线性规划问题中某一个 或几个系数发生变化后，原来已得结果一般会发生 变化。 因此，所谓灵敏度分析，是指当线性规划问题中的 参数发生变化后，引起最优解如何改变的分析。
运筹学灵敏度分析
只需由 j 0解得c j的范围。
(2) c j 是基变量x j的价格系数 这时要影响所有的检验 数
i ci (c1 ci ci cm ) B Pi , 应由所有的 i 0解得公共的c j。
1
p11-2
例1：在（煤电油例）中，其单纯形终表如下：
0 x 7 x 12 x
3 1
运筹学
2
84 20 24
0 1 0
0
0 0 1
0
1 0 0
0
- 0.32 0.4 - 0.12
- 1.36
1.16 - 0.2 0.16
- 0.52
z 428
（1）甲产品的价格在何范围内变化时，现最优解不变？
解：甲产品的价格c1是基变量的价格系数。 0.32 由 4 0 0 7 c1 12 0.4 2.8 0.4c1 1.44 0 0.12 得 c 3.4， 1.16 由 5 0 0 7 c1 12 - 0.2 1.4 0.2c1 1.92 0 0.16 得 c 2.6，
2
运筹学
例1：在（煤电油例）中，其单纯形终表如下：
0 x 7 x 12 x
3
1
2
84 20 24
0 1
0
0 0 1
1 0
0
- 3.12 1.16 0.4 - 0.2
- 0.12 0.16
z 428
0
0
0
- 1.36
- 0.52
（3）若有人愿以每度1元的价格向该厂供应25度电，是 否值得接受？
§3.4 灵敏度分析
灵敏度分析——研究系数变化对最优解的影响.
运筹(第二章对偶与灵敏度分析)(1)
5x2 3x3 30
x1 0, x2无约束，x3 0
2023/2/22
17
解：将原问题模型变形, 令x1 x1
min z 7x1 4x2 3x3
4x1 2x2 6x3 24
3x1 6x2 4x3 15 5x2 3x3 30
y1 y2 y3
x1 0, x2无约束，x3 0
则对偶问题是
max w 24 y1 15y2 30 y3
4 y1 3y2
7
x1
2 y1 6 y2 5 y3 4
x2
6 y1 4 y2 3x3 3
x3
y1, y2 0, x3无约束
2023/2/22
18
小结：对偶问题与原问题的关系：
目标函数：MAX
原 约束条件：m个约束
对
问
y1 y2
ym
2023/2/22
12
类似于前面的资源定价问题，每一个约束条件对 应一个“ 对偶变量”，它就相当于给各资源的单 位定价。于是我们有如下的对偶规划：
min W b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1 a21 y2 am1 ym c1 a12y1 a22y2 am2ymc2 a1n y1 a2n y2 amn ym cn y1, y2 ,, ym 0
分别是原问题和对偶问题的可行解，则恒有
n
m
c j x j bi yi
j 1
i 1
m
n
考虑利用 c j aij yi 及
aij x j bi
i 1
j 1
代入。
2、无界性 如果原问题（对偶问题）有无界解，则
其对偶问题(原问题）无可行解。
2023/2/22
运筹学实验
1、实验题目运筹学实验2-线性规划灵敏度分析某公司生产三种产品A1、A2、A3，它们在B1、B2两种设备上加工，并耗用C1、C2两种原材料，已知生产单位产品耗用的工时和原材料以及设备和原材料的最多可使用量如表 C －7所示。
表 C －7 生产三种产品的有关数据已知对产品A2的需求每天不低于70件，A3不超过240件。
经理会议讨论如何增加公司收入，提出了以下建议：（a ）产品A3提价，使每件利润增至60元，但市场销量将下降为每天不超过210件； （b ）原材料C2是限制产量增加的因素之一，如果通过别的供应商提供补充，每千克价格将比原供应商高20元；（c ）设备B1和B2每天可各增加40 min 的使用时间，但相应需支付额外费用各350元； （d ）产品A2的需求增加到每天100件；（e ）产品A1在设备B2上的加工时间可缩短到每件2 min ，但每天需额外支出40元。
分别讨论上述各条建议的可行性，哪些可直接利用“敏感性报告”中的信息，哪些需要重新规划求解2、模型设1X 为A1的产量，2X 为A2的产量，3X 为A3的产量1）数学模型由题目可建立线性规划模型：321502030max x x x z ++=)3,2,1(0240703004204460234302323212131321=≥≤≥≤++≤+≤+≤++i x x x x x x x x x x x x x i2）用Excel 建模求解3、实验结果及敏感性分析1）实验结果以得出题得最优解 x1=0,x2=70,x3=230 时，最优值为 12900，即生产 A1,A2，A3 产品分别是 0 件， 70 件，230 件时，公司可获得最大利润 12900 元2）敏感性报告①A3 产品每件利润提到 60 元，这在灵敏度分析的最优基不变范围 A3[50-23.3333，5 0+∞]内，但市场销量下降为不超过 210 件，而从求解报告中中最优解 A3=230 时，有最大目标值，故此建议可行。
运筹学灵敏度分析(最全版)PTT文档
c + c YP 表中b列中有负数，即解答列有负数，故可用对偶单纯形法求最优解。
1、代表产品的单位利润或单位售价时，灵敏j度分析可用于j 预先确定保j持现有生产规模条件下单位产品利润或单价的可变范围。
解题步骤：先用单纯形法解题，然后考虑参数变化，最后确定变化范围。
△c2/2≤0和△c2/8-1/8≤0
br bi / air ;
i=1，2，…，m i=1，2，…，m
air < 0
br bi / air
得到公式:
5=-8, △b2≤2/0.
ma ab ix irai{r0} brm iab inira{ ir0}
（2）当cr是基底变量xr的系数，即cr CB，cr变化 cr后，有
故△c2的变化范围:
例题: 将上面例题进行实际应用。每台设备台时的影子 价格为元。若该厂又从别处抽出4台时用于生产两种产品， 求这时该厂生产两种产品的最优方案。
表中b列中有负数，即解答列有负数，故可用对偶单纯 形法求最优解。
最优解见下表
cj
CB XB b 2 x1 4 0 x3 2 3 x2 3
cj-zj
230 0 0 x1 x2 x3 x4 x5 1 0 0 0.25 0 0 0 1 -0.25 -05 0 1 0 0 0.25 0 0 0 -0.5 -0.75
5=-8, △b2≤2/0.
2每台3设例备0台：时的0求影子0第价格一为元章。 例题中当第二个约束条件b2变化范围△b2。
△c2≥-1.
每台设备台时的影子价格为元。
设基变量x2的系数c2变化△c2，在原最优解不变的条件下，确定△c2的变化范围。
x1 x2 x3 x4 x5 0 0 1 -0.
运筹学灵敏度分析
原始和对偶问题都取得最优解时，最大利润 max z=min y
单击此处添加小标题
资源价格（元/吨）
单击此处添加小标题
资源限量（吨）
对偶问题是资源定价问题，对偶问题的最优解y1、y2、...、ym称为m种资源的影子价格（Shadow Price） 影子价格为当bi有单位增量，若原最终优基不变，总收益Z的变化，也可以说yi是对第i种资源的一种价格估计，由于影子价格是指资源增加时对最优收益的贡献，所以又称它为资源的机会成本或者边际产出 当市场价格低于影子价格时，企业应该买进资源用于扩大生产，高于影子价格时，企业应该将已有资源卖掉。 影子价格的计算
CS XS b
B E N1
CB XB B-1b
E B-1 B-1N1
σ
0 CS－CB B-1 CN1－CB B-1N1
初始表
对偶的定义
max ω=-Yb s.t. -YA≤-C Y ≥0
min z’=-C X s.t. -AX≥-b X ≥0
2、其他形式问题的对偶
原始问题约束条件的性质，影响对偶问题变量的性质。 原始问题变量的性质，影响对偶问题约束条件的性质。
max z=C X s.t. AX≤b X ≥0
以B为基的单纯形表
当XS为松弛变量时CS=0,松弛变量检验数为－CB B-1 ， CB B-1称为单纯形乘子
Cj
CB CN
CB XB B-1b
XB XN
b
B N
B-1b
E B-1N
例4 某工厂要用三种原材料C,P,H混合调配出三种不同规格的产品A,B,D。已知产品的规格要求、单价和原料的供应量、单价如下表。该厂应如何安排生产，能使利润最大？
运筹学 线性规划灵敏度分析
可变单元格 单元格 名字 $B$4 可变单元格→ Max Z=∑cjxj $C$4 可变单元格→ 约束 单元格 名字 $D$7 a1j→ ∑aijxj $D$8 a2j→ ∑aijxj $D$9 a3j→ ∑aijxj 终 阴影 约束 允许的 允许的 值 价格 限制值 增量 减量 2 0 4 1E+30 2 12 150 12 6 6 18 100 18 6 6 终 递减 目标式 允许的 允许的 值 成本 系数 增量 减量 2 0 300 450 300 6 0 500 1E+30 300
线性规划
不是最优表， 继续迭代， 得， 最优解 X*=（5/3，13/2， 7/3，0，0）生产品种保持 不变。最优值变为
7/3 0 500 300 13 / 2 3750 5/3
300
xB
x3
500
0
0
0
b’ 2 6 2
x1
0 0 1
x2
0 1 0 0
x3
1 0 0 0
x4
1/3 1/2 -1/3 -150
x5
-1/3 0 1/3 -100
x2 x1
-3600 200
总利润增加了 150 元。
运筹学
设 b1 , b2 , b3 的增量为 b1 , b2 , b3
2 1 1 / 3 1 / 3 b1 b * b B 1b 6 0 1 / 2 0 b2 2 0 1 / 3 1 / 3 b 3 2 b1 b2 / 3 b3 / 3 2 b1 b2 / 3 b3 / 3 6 b2 / 2 6 b2 / 2 2 b / 3 b / 3 2 b / 3 b / 3 2 3 2 3 若要解仍可行，则 b * 0 ，即
运筹学课件灵敏度分析
运筹学教程
Cj
210
CB 基 b X1 x2 x3
0 x3 15 0
51
2 x1 5 1
10
0 x4 2 0
-4 0
Cj-Zj
0
-1 0
00 x4 x5 00 01 1 -6 0 -2
工厂的最优生产计划改为只生产产品1，每天 的生产数量5件。
解：（2）
设每天的调试可用能力为5
运筹学教程
1 b' B1b 0
x5
x4
5
24
x1, x2 , x3, x4 , x5 0
用单纯形法求解如下：
运筹学教程
Cj
210 0 0
CB 基 b X1 x2 x3 x4
x5
0 x3 15/2 0 2 x1 7/2 1 1 x2 3/2 0
01 00 10
5/4 -15/2 ¼ -1/2 -1/4 3/2
Cj-Zj
0
8
2
3 / 2 0 2
运筹学教程
将其反映到最终的单纯形表，原问题非可行解， 采用dual单纯形法
Cj
2
CB 基 b X1
0 x3 35/2 0
2 x1 11/2 1
1 x2 -1/2 0
Cj-Zj
0
10 x2 x3 01 00 10 00
00 x4 x5 5/4 -15/2 ¼ -1/2 [-1/4] 3/2 -1/4 -1/2
aij
y i
i 1
运筹学教程
（2）、检查原问题是否仍为可行解。 （3）、检查对偶问题是否仍为可行解。
原问题
可行解 可行解 非可行解 非可行解
对偶问题
可行解 非可行解 可行解 非可行解
运筹学第二章灵敏度分析
CB
-3 -5 -Z’
xB x1 X2
2.4 对偶解的经济解释
一、对偶线性规划 的解： P55
Cj xB x3 x1 x2 z b 7/2 7/2 3/2 x1 1 0 0 y4 Cj yB b y1 15/2 0 原问题变量 x2 0 0 1 0 y5 对偶问题变量 y2 y3 x3 1 0 0 0 y1 原问题变量 x4 5/4 1/4 -1/4 1/4 y2 x5 -15/2 -1/2 3/2 1/2 y3
T.G.Koopman（库普曼）和 L.V.Kamtorovich（康脱罗维奇）
二人因此而共同分享了1975年的第7届诺贝尔经 济学奖。
2.5 灵敏度分析
一、灵敏度分析的含义 是指系统或事物因周围条件变化显示出来的敏感性程度的分析。 对于线性规划问题的灵敏度分析是指参数A，b，C变化引起的 对原问题解的变化的分析。 其中：A为技术参数矩阵，b为资源向量，C为价值向量 可以用参数变化后的问题重新用单纯形法求解？ 没必要，意义不大，有些问题看不出来。 把相应的变化反映到最终单纯形表中，再根据情况用相应的方 法求解。
Z 50 x1 30 x2
2.1 线性规划的对偶问题与对偶理论
假设现有乙公司准备租借用(购买)该木器厂的木工和 油漆工两种劳力的劳务，需要考虑这两种劳务以什么 样的价格租入最合算？而同时甲公司要以什么条件才 会租让？甲公司肯定会以自己利用两种劳力的劳务组 织生产所获得的利润最大为条件，设每个木工的租用 价格为y1，每个油漆工的租用价格为y2，则乙公司愿 意租用的出资为：
0 变量 0 无限制
型 约束 型 型
0 变量 0 无限制
型 约束 型 型
运筹学2对偶理论与灵敏度分析
三、增加新变量的灵敏度分析
在管理中经常遇到的问题：已知一 种新产品的技术经济指标，在原有最优 生产计划的基础上，怎样最方便地决定 该产品是否值得投入生产，可在原线性 规划中引入新的变量 ； 无论增加什么样的新变量，新问题 的目标函数只能向好的方向变化。
例2.16 （续例2.14）
设企业研制了一种新产品，对三种资源的消耗系数 列向量以P6表示。试问它的价值系数c6符合什么条件， 才必须安排它的生产？设c6=3，新的最优生产计划是 什么？
1. 强制生产30件A x1 必须等于30 目 标值下降; 下降程度可用 x1 的检验数进行 计算：
cj CB 0 5 4 0 XB x3 x1 x2 x6 σ
j
5 b 25 35 10 150 x1 0 1 0 4 0
4 x2 0 0 1 2 0
0 x3 1 0 0 0 0
0 x4 2 1 -1 0 -1
0 x5 -5 -1 2 0 -3
0 x6 0 0 0 1 0
0 5 4 0
0 5 4 0
90 1 = 80 0 b 0 3
250 - 5b3 - 5 90 80 = 80 b 3 ≥0 1 1 80 2b b3 -1 2 3
2
解得40≤b3≤50，即当3∈[40，50]时，最优基B不变， 最优解为： * x3 250- 5b3 * x1 80 b 3 * = x2 80 2b 3
x4*=x5*=0, z*=5×(80－b3)+4×(－80+2b3)=80+3b3
例2.14 某企业利用三种资源生产两种产品 的最优计划问题归结为下列线性规划
运筹学第二章灵敏度分析
m ax z 300 x1 500 x2
x1 4
s
.t
.
2 3
x2 x1
1 2
2 x
2
18
x 1 , x 2 0
m ax z 300 x1 500 x2 400 x3
x1 2 x3 4
s.t
.
2 3
x2 x1
x3 2x
12 2 x3
18
x1 , x2 , x3 0
改进多少，才能得到该决策变量的正数解。0表示不需再改进。
目标式系数： 指目标函数中的系数 允许增量、允许减量：表示目标函数中的系数在允许的增
量与减量范围内变化时，原问题的最优解不变。
450和1E+30的含义是什么？
2.2.2 图解法
0<=c1<=750
x2
8
7 6
5
4
3
2
可行域
1
c1=0(z=0x1+500x2) c1=300(z=300x1+500x2)
约束条件系数 a i j 变化的灵敏度分析
变量 x j 变化的灵敏度分析
约束条件数量变化的灵敏度分析
2.2 单个目标函数系数变化的灵敏度分析
只有一个系数cc j j 发生变化，即其他条件均不变，把
300 改成 500
m ax z 300 x1 500 x2
x1 4
s
.t
.
2 3
x x
2 1
规划求解得到
2.8 增加一个约束条件
增加一个约束条件，比如增加电力供应限制时， 最优解是否会发生变化？
假设生产一扇门和窗需要消耗电力分别为20kw和 10kw，工厂可供电量最多为90kw，此时应该在原 有的模型中加入新的约束条件：
运筹学实验二灵敏度分析
实验概述：实验二、灵敏度分析（操作型）【实验目的及要求】1、进一步掌握管理运筹学、LINDO和LINGO软件的基本入门知识，学习使用管理运筹学、LINDO和LINGO软件对线性规划问题进行灵敏度分析。
2、熟练掌握用单纯形法求解线性规划问题。
【实验原理】单纯形法迭代原理及其基本步骤【实验环境】（使用的软件）管理运筹学软件、LINDO软件，信息中心6机房计算机实验内容：【实验方案设计】1、分别打开管理运筹学、LIND软件；2、在打开的软件中输入课本例题和习题数据，对线性规划问题进行灵敏度分析；3、运行实验并保存实验结果。
【实验过程】使用管理运筹学、LINDO软件分别对线性规划问题进行灵敏度分析。
1、使用管理运筹学软件对线性规划问题进行灵敏度分析：（1）打开管理运筹学软件，选择“线性规划”，单击“新建”菜单，输入P59-例题2.6.1的变量个数、约束条件个数并选择目标函数，点击“确定”。
在目标函数中输入价值系数，再输入变量的约束条件数据，然后选择变量的正、负、无。
选择“解决”得到线性规划结果，保存文件于指定文件夹。
（2）将例2.6.1中的右端向量b=(2 1)T变为b1=(-2 1)T，其他数据不变。
（3）在“线性规划”界面中，单击“新建”菜单，输入P77-习题20的变量个数、约束条件个数并选择目标函数，点击“确定”。
在目标函数中输入价值系数，再输入变量的约束条件数据，然后选择变量的正、负、无。
选择“解决”得到线性规划结果，保存文件于指定文件夹。
（4）将P77-习题20中的价值系数C1由1变为（-5/4）；C1由1变为（-5/4），C3由1变为2；b由(5 3)T变为b1=(-2 1)T；b=(5 3)T变为b1=(2 3)T。
2、使用LINDU软件对线性规划问题进行灵敏度分析：（1）打开LINDU软件，在空白框中输入P79-习题B（1）的目标函数和约束条件，点击靶形工具，是否进行灵敏度分析选择“是”，得到线性规划及灵敏度分析结果，保存文件到LINDO文件夹。
《运筹学》第2章 线性规划灵敏度分析
2.9 灵敏度分析的应用举例
该公司在运营了一年后，管理层为第二年的运营进行了以下的预想（假设以下问 题均单独出现）：
问题1：由于建材市场受到其他竞争者的影响，公司市场营销部门预测当年的产 品甲的价格会产生变化：产品甲的单位利润将会在3.8万元～5.2万元之间 波动。公司该如何应对这种情况，提前对生产格局做好调整预案？
▪ 方法1：使用电子表格进行分析（重 新运行规划求解）
总利润为3750元， 增加了：37503600=150元。由 于总利润增加了， 而目标函数系数不 变，所以最优解一 定会发生改变，从 图中可以看出，最 优解由原来的（2， 6）变为（1.667， 6.5）
2.4 单个约束右端值变动
▪ 方法2：从敏感性报告中获得关键信息
2.3 多个目标函数系数同时变动
▪ 假如，以前把门的单位利润（300元）估 计得太低了，现在把门的单位利润定为 450 元 ； 同 时 ， 以 前 把 窗 的 单 位 利 润 （ 500元）估计得过高了，现在定为400元 。这样的变动，是否会导致最优解发生变 化呢
▪ 方法1：使用电子表格进行分析（重新运 行规划求解）
2.4 单个约束右端值变动
▪ 单个约束右端值变动对目标值的影响 ▪ 如果车间2的可用工时增加1个小时，
总利润是否会发生变化？如何改变? 最优解是否会发生变化? ▪ 方法1：使用电子表格进行分析（重 新运行规划求解） ▪ 方法2：从敏感性报告中获得关键信 息（影子价格）；
2.4 单个约束右端值变动
本章主要内容框架图
目标函数系数变动
单个 多个
单个
灵敏度分析
内容
约束右端值变动
多个 影子价格
约束条件系数变化
增加新变量
运筹学灵敏度分析目标规划
3 灵敏度分析
例3 7:
例3 4增加3x1+ 2x2≤15;原最优解不 满足这个约束 于是
Ci
2 3000
0
CB XB b X1 X2 X3 X4 X5
X6
2 X1 4 1 0 0 1/4 0
0
0 X5 4 0 0 -2 1/2 1
0
3 X2 2 0 1 1/2 -1/8 0
0
0 X6 -1 0 0 -1 -1/2 0
故恒有d+×d=0
目标规划问题及其数学模型
2 统一处理目标和约束
对有严格限制的资源使用建立系统约束;数学形式同线性规划中 的约束条件 如C和D设备的使用限制
4 x 1 16 4 x 2 12
对不严格限制的约束;连同原线性规划建模时的目标;均通过目 标约束来表达 1例如要求甲 乙两种产品保持1:1的比例;系统约束表达为： x1=x2 由于这个比例允许有偏差; 当x1<x2时;出现负偏差d;即： x1+d =x2或x1x2+d =0 当x1>x2时;出现正偏差d+;即： x1d+ =x2或x1x2d+ =0
-z
m
f
0…
m
0 σm+1 … σn
其中：f = ∑ ci bi’ j = cj ∑ ci aij’ 为检验数 向量 b’ = B1 b
i=1
i=1
A= p1; p2; …; pn ; pj’ = B1 pj; pj’ = a1j’ ; a2j’ ; … ; amj’ T ; j = m+1; … ; n
0
0
-1.5-ΔC2/2 -1/8+ΔC2/8
0
σj=cjc1×a1j+c5 × a5j+c2+Δc2 ×a2jj=3;4 可得到 3≤Δc2≤1时;原最优解不变
实验二运筹学
实验二线性规划模型的对偶问题及灵敏度分析一、实验目的：进一步掌握线性规划模型的基本原理，理解线性规划的对偶问题，掌握R软件在线性规划问题灵敏度分析中的运用。
二、实验内容：（1）教材P127 习题1。
利用线性规划的最终单纯形表，对目标函数系数和约束方程的常数项进行灵敏度分析，并在R软件中验证你的计算结果；（2）教材P131 习题11。
写出该问题的对偶问题，并用R 软件求解原问题和对偶问题。
指出二者最优解与对偶价格之间的联系。
（3）建立教材P130 习题7的数学模型并用R软件分析。
三、实验要求：（1）利用线性规划基本原理对所求解问题建立数学模型；（2）熟练写出线性规划问题的对偶问题；（3）给出R软件中的输入并求解；（4）对目标函数系数及约束方程的常数项进行灵敏度分析四、实验报告要求：实验过程描述（包括变量定义、分析过程、分析结果及其解释、实验过程遇到的问题及体会）。
（1）maxz=20X1+8X2+6X38X1+3X2+2X3<=2502X1+X2<=504X1+3X3<=150X 1,X2,X3>=0> library(lpSolve)> obj<-c(20,8,6)> mat<-matrix(c(8,3,2,2,1,0,4,0,3),nrow=3,byrow=T) > dir<-c("<=","<=","<=")> rhs<-c(250,50,150)> x<-lp("max",obj,mat,dir,rhs,compute.sens=1)> x$status;x$solution;x$objval[1] 0[1] 0 50 50[1] 700> x$sens.coef.from;x$sens.coef.to[1] -1e+30 6e+00 3e+00[1] 2.4e+01 1.0e+30 1.0e+30C1范围是（-∞，24），C2范围是（6，+∞），C3范围是（3，+∞）> library(lpSolve)> obj<-c(20,8,6)> mat<-matrix(c(8,3,2,2,1,0,4,0,3),nrow=3,byrow=T) > dir<-c("<=","<=","<=")> rhs<-c(250,50,150)> x<-lp("max",obj,mat,dir,rhs,compute.sens=1)> x$status;x$solution;x$objval[1] 0[1] 0 50 50[1] 700> x$duals;x$duals.from;x$duals.to[1] 0 8 2 -4 0 0[1] -1.000000e+30 7.105427e-15 -2.842171e-14 0.000000e +00 -1.000000e+30 -1.000000e+30[1] 1.0e+30 5.0e+01 1.5e+02 2.5e+01 1.0e+30 1.0e+30b1,b2,b3的对偶价格分别为0、8、2；b1范围为(250，∞)，b2范围为(0, 50)，b3范围为(0, 150)。
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实验概述：实验二、灵敏度分析（操作型）
【实验目的及要求】
1、进一步掌握管理运筹学、LINDO和LINGO软件的基本入门知识，学习使用管理运筹学、LINDO和LINGO软件对线性规划问题进行灵敏度分析。
2、熟练掌握用单纯形法求解线性规划问题。
【实验原理】
单纯形法迭代原理及其基本步骤
【实验环境】（使用的软件）
管理运筹学软件、LINDO软件，信息中心6机房计算机
实验内容：
【实验方案设计】
1、分别打开管理运筹学、LIND软件；
2、在打开的软件中输入课本例题和习题数据，对线性规划问题进行灵敏度分析；
3、运行实验并保存实验结果。
【实验过程】
使用管理运筹学、LINDO软件分别对线性规划问题进行灵敏度分析。
1、使用管理运筹学软件对线性规划问题进行灵敏度分析：
（1）打开管理运筹学软件，选择“线性规划”，单击“新建”菜单，输入P59-例题2.6.1的变量个数、约束条件个数并选择目标函数，点击“确定”。
在目标函数中输入价值系数，再输入变量的约束条件数据，然后选择变量的正、负、无。
选择“解决”得到线性规划结果，保存文件于指定文件夹。
（2）将例2.6.1中的右端向量b=(2 1)T变为b1=(-2 1)T，其他数据不变。
（3）在“线性规划”界面中，单击“新建”菜单，输入P77-习题20的变量个数、约束条件个数并选择目标函数，点击“确定”。
在目标函数中输入价值系数，再输入变量的约束条件数据，然后选择变量的正、负、无。
选择“解决”得到线性规划结果，保存文件于指定文件夹。
（4）将P77-习题20中的价值系数C1由1变为（-5/4）；C1由1变为（-5/4），C3由1变为2；b由(5 3)T变为b1=(-2 1)T；b=(5 3)T变为b1=(2 3)T。
2、使用LINDU软件对线性规划问题进行灵敏度分析：
（1）打开LINDU软件，在空白框中输入P79-习题B（1）的目标函数和约束条件，点击靶形工具，是否进行灵敏度分析选择“是”，得到线性规划及灵敏度分析结果，保存文件到LINDO文件夹。
3、打开“新建”，在空白框中输入P79-习题B（2）的目标函数和约束条件，点击靶形工具，是否进行灵敏度分析选择“是”,得到线性规划及灵敏度分析结果。