全等三角形培优专题训练

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八年级数学培优专题训练（二）

探索三角形全等的条件

1、一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片，再将这两张纸片摆成如下图形式，使点

B、F. C. D 在同一条直线上.

⑴求证：AB1ED；

⑵若PB = BC，请找出图中与此条件有关的

一对全等三角形，并给予证明

2、如图，在Z\ABC 中…AC = BC, ZACB = 90° , AD 平分ZBAC, BE±AD 交AC的延长线于F, E为垂足，则结论：①AD = BF；②CF=CD；®AC +CD=AB；④BE=CF；⑤BF = 2BE・其

中正确的是（）

3、如图，点C在线段AB上，DA丄AB, EB丄AB, FC丄AB,且DA = BC, EB =AC,

FC=AB, ZAFB = 51° ,求ZDFC 的度数.

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4、如图，四边形ABCD中，AB〃CD, AD〃BC, 0为对角线AC的中点，过点0

作一条直线分别与AB、CD交于点\仁N,点E、

OE=OF ・

⑴图中共有几对全等三角形，请把它们都写下来；

⑵求证：ZMAE=ZNCF

5、在Z\ABC中，高所在直线AD和BE交于H点，且BH=AC,则ZABC = ________________________

6、下列三个判断：

⑴有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等；

⑵有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等；

⑶一边及其它两边上的高对应相等的两个三角形全等.

上述判断是否正确？若正确，说明理由；若不正确，请举出反例.

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八年级数学培优专题训练（三）

全等三角形的应用

全等三角形常用来转移线段和角，用它来证明：

①线段和角的等量关系

②线段和角的和差倍分关系

③直线与直线的平行或垂直等位置关系

1、如图，已知BD、CE分别是Z\ABC的边AC和AB上的高，点P在 BD的延长线上，BP=AC,点Q在CE上，CQ=.AB.试判断AP与AQ的关系，并证明.

2、如图，AD是ZXABC的高，E为AC上一点，BE交AD于点F,且 BF=AC,

FD=CD,

求证：BE丄AC

3、（2012 ・阜新中考）如图，在AABC 中，AB=AC, AD=AE, ZBAC = ZDAC = 90° .

⑴当点D在AC上时，如图®，线段BD,CE有怎样的数量和位置关系？证明你猜想的结论.

⑵将图①中的ZXADE绕点A顺时针旋转a角（0° Va<90° ）,如图②，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？问明理由.

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4、在△ ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），

以AD为一边在AD的右侧作AADE,使AD=AE, ZDAE=ZBAC, 连接CE.

⑴如图①，当点D在线段BC上时，若ZBAC=90° ,则ZBCE= 度.

⑵设 ZBAC=a, ZBCE=B

a、如图②，当点D在线段BC上移动时，a, B之问有怎样的数量

①

关系？请说明理由.

b、当点D在直线BC上移动时，a, B之间有怎样的数量关系？

请直接写出你的结论.

E

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八年级数学培优专题训练(四)

辅助线作法之连接法

在几何证明中，常通过添加辅助线来构造全等三角形•常见的添加辅助线方法有：连接法、截长补短法.倍长中线法.翻折法.旋转法以及利用特殊条件构造全等三角形等等.

1、如图，AABC的两条高BD, CE相交于点P,且PD = PE. 证明：AC=AB

2、已知 AB = DE, BC = EF, ZB=ZE, AF=CD 求证:AC〃DF

3、如图，AB交CD于点0, AD. CB的延长线相交于点E,且0A =

0C, EA = EC. ZA=ZC吗？点()在ZAEC的平分线上吗？

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八年级数学培优专题训练（五）

辅助线作法之倍长中线法

在题目条件中含有中线的问题，我们常用的辅助线就是将中线延长一倍，其目的是为了得一对全等三角形，将分散的条件集中到一个三角形中去.

1、ZXABC中，AB = 5, AC=3,求中线AD的取值范围.

2、如图，在△ ABC中,AD是ZBAC的平分线，又是BC上的中线

求证:AB=AC

3、（2014 •襄阳初三模拟）在ZXABC中，D是边BC上的一点, 且

CD=AB, ZBAD=ZBDA, AE 是ZXABD 的中线.

求证:AC=2AE

6、（竞赛015）例：已知AD是Z\ABC的中线，BE交AC于点E, 交AD于点F,且AE = EF. 求证:AC = BF

八年级数学培优专题训练（六）

辅助线作法之截长补短法

截长法：在第三条线段上截下一段使其等于两条线段中的一条，再证明剩余部分与另一条相等.

补短法：把两条线段中的一条补到另一条线段上去，证明所得新线段与第三条线段相等.

2、在四边形ABCD中,

AD)

求证：ZB+ZD=180°

1、已知 AC〃BD, EA, 在CD上.

求证：AB=AC + BD

3、如图，已知Z\ABC 中，ZA=90° , AB=AC, D 为 AC 的中点，AE丄BD于E,延长AE交BC于F.

求证：ZADB=ZCDF