微波总复习

dz
dI (z) = −(G + jωC)V (z)
dz
电报方程
微波技术基础
电报方程求解
将电报方程联立求解可得
d
2V (z) dz 2
−
γ
2V
(z)
=
0
d
2I (z) dz 2
−
γ
2
I
(
z)
=
0
定义
dV (z) = −(R + jωL)I (z)
dz
dI (z) = −(G + jωC)V (z)
微波技术基础

：短路点、匹配点、开路点

|Γ|、SWR、θΓ

：顺时针（向源）/逆时针（向负
载），Z⇔Y（180o）
相位问题：圆图上转一圈(半波长)，相位改变

纯电阻线

：纯电抗圆

上班平面感性区、下半平面容性区
微波技术基础
1
已知阻抗 Z ，求反射系数 Γ和 ρ (或逆
问题)
2
已知负载阻抗 Z 和 θ (l)求输入阻抗 Zin
微波技术基础
并联双支节匹配
辅助圆位置
d2=λ/8
d2=3λ/8
d2=λ/4
微波技术基础
并联双支节匹配
完整过程
y1
d
b1 yL
b1′
b2′ y2′
匹配点
沿等SWR圆顺 时针旋转
y1′
逆时针旋 转后的 1+jb圆
b2 zL
Y0
y2
1+jb圆
微波技术基础
d
jB2 Y0
jB1 YL
l2
l1
并联双支节匹配
Z0
Z0
Z0
=
V0+
I
+ 0
=
−
V0−
I
− 0
特征阻抗由传输线本身特性决定，与外界条件无关
微波技术基础
无耗传输线
无耗： α = 0 定义：
β = ω LC
Z0 =
L C
ΓV
= Vref Vinc
ΓL
=
ZL ZL
− +
Z0 Z0
向源方向移动时，z=−l 处的反射系数
Γ(z=−l)
= Vref (−l) Vinc (−l)
∂i(z, t) ⋅ LΔz ∂t
∂v(z + Δz, t) ⋅ CΔz ∂t
微波技术基础
电报方程
由基尔霍夫电压和电流定律得
v(z, t) − RΔzi(z, t) − LΔz ∂i(z, t) − v(z + Δz, t) = 0 ∂t
i(z, t) − GΔzv(z + Δz, t) − CΔz ∂v(z + Δz, t) − i(z + Δz, t) = 0 ∂t
中華大微學波通技訊术系基础
1+ Γ VSWR =
1− Γ
VSWR<2.0 |Γ|<1/3
微波技术基础
阻抗归一 z = r + j x = Z 无单位
Z0
电长度归一
θ=
2π
l=
360 l
λg / 2 λg / 2
r圆与x圆曲线处处互相正交
每个交点对应于 z = r + j x
反射系数 Γ = Γ e jθΓ ，极坐标（Γ,θΓ ）
z = r + j x = Z = 1+Γ Z0 1− Γ
Z0=参考阻抗 z= 归一化阻抗 r= 归一化电阻 x= 归一化电抗
微波技术基础
+jx
r=0
r=1
x=1
r=0 x=1
z=0
x=0
r z=0
r=1 x=0
x=-1
x=-1
-jx
微波技术基础
z = r + j x = 1+Γ 1−Γ
r=1/5 r=0
r=1/2
r=1 r=2
r=5
Γ=-1 r=0 短路
Γ=-2/3
Γ=-1/3 Γ=0 r=1 匹配
Γ=1/3 Γ=2/3
Γ=1 r=∞ 开路
微波技术基础
z = r + j x = 1+Γ 1−Γ
x=0 阻性负载
x=1.0
x=0.5
x>0 感性负载
x=0
x<0 容性负载
x=-0.5
x=-1.0
x=2.0 x=-2.0
ΓIN ZIN= RIN+ jXIN
微波技术基础
有耗传输线
色散
波的相速、群速都随频率而变化
低耗线条件
R << ωL, G << ωC
无畸变传输线条件
β = K ⋅ω β是频率的线性函数！
R=G LC
γ = R C + jω LC
L
微波技术基础
阻抗匹配
用集总元件匹配（L网络） 单短截线调谐 双短截线调谐 四分之一波长变换器 小反射理论 二项式多节匹配变换器 切比雪夫多节匹配变换器
Zin
= V (−l) I (−l)
=
V0+e V0+e
jβ jβ
l l
+ V0−e− jβl − V0−e− jβl
Z0
=
1 1
+ −
Γ Γ
L L
e− e−
j j
2βl 2βl
Z0
=
Z0
ZL + Z0 +
jZ0 tan(βl) jZL tan(βl)
输入阻抗Zin与反射系数Γin之间的关系
Zin
=
1+ Γin 1− Γin
Z0
Γin
=
Zin Zin
− Z0 + Z0
微波技术基础
无耗传输线
终端开路ZL=∞，ΓL=1
ZL = ∞ ⇒ Zin = − jZ0 cot(β l)
终端短路ZL=0 ，ΓL=−1
ZL = 0 ⇒ Zin = jZ0 tan(β l)
微波技术基础
无耗传输线
二分之一波长——
3
已知阻抗 Z ，求导纳 Y (或逆问题)
4
已知驻波比和最小点 d min ,求 Zin
微波技术基础
源与负载匹配
反射系数为零：恒等匹配（源端和负载端） 从源获得最大功率传输：共轭匹配（源端）
：
ZIN = Zg* or ΓIN = Γg*
+
Vg
Γg
Zg= Rg+ jXg
IIN
+
PIN
ZIN VIN
→
沿反射系数圆顺时针旋转——在 传输线上向电源移动，目标是使
移动后输入阻抗变为Z0＋jX形式
开路点
z1
求短截线长度时，从开路点/短路
点出发，按顺时针方向旋转！
l2
微波技术基础
并联双支节匹配
Y0 = Ystub2 + Yd 2
Yd1+ stub1 = Ystub1 + Yd1
Y0
Ystub 2
Ystub1
=
V0−e− jβl V0+e jβl
=
V0− V0+
e−2 jβl
= ΓLe−2 jβl
V (z) = V0+[e− jβ z + Γe jβ z ] I (z) = V0+ [e− jβ z − Γe jβ z ]
Z0
微波技术基础
无耗传输线
定义：
RL
=
−10 lg
P− P+
= − 20lg Γ (dB)
⎪
⎪∇ × H = jωε E
⎨ ⎪∇ ⋅ E = 0 ⎪⎩∇ ⋅ H = 0
⎧⎪∇2E + k 2E = 0 ⎪⎩⎨∇2H + k 2H = 0
⎧⎪∇ ⎨ ⎪⎩∇
2 2
Ez Hz
+ k 2Ez + k2H
=0 z =0
Ex = f1( Ez , H z ) Ey = f2(Ez , Hz ) Hx = f3(Ez , Hz ) H y = f4(Ez , Hz )
同除以Δz，并令Δz →0，即得到传输线 方程/电报方程的时域形式
−
∂
u(z,
∂z
t
)
=
Ri( z,
t
)
+
L
∂
i(z,
∂t
t)
−
∂
i(z,t)
∂z
=
Gu ( z, t )
+
C
∂
u(z,t)
∂t
微波技术基础
电报方程
对于简谐稳态条件，上式简化为 dV (z) = −(R + jωL)I (z)
部分保持不变
归一化的X：x=1.2
——旋转距离较短，数值较小的一组解
微波技术基础
用集总元件匹配（先并后串）
计算LC的值
第 并联电容 b = 0.3 =2π fC
一
Z0 Z0
组
解 串联电感 xZ0 = 1.2Z0 = 2π fL
第 二
并联电感
1 = −b = 0.7
2π fL Z0 Z0
组 解
串联电容
λ/4
ZB
=
lim
βl→π 2
Z2
ZA + Z2 +
jZ2 jZ A
tan(β l ) tan(β l )
=
Z 22 ZA
ZB
=
Z
2 2
R
=Z1
⇒
Z2
=
Z1R = 50×100 ≈ 70.71Ω
微波技术基础
波导
从无源区域
中的Maxwell 方程出发
波动方程
纵向分量 方程
其它分量用 Ez和Hz表示
⎧∇ × E = − jωμH
D jX
Z0 jB
Zl
匹配点
x < 0 zL
微波技术基础
单支节匹配
并联单支节匹配
Y0
Y0
YL
串联单支节匹配
开路或短 路短截线
Y0 l
Y=1 z
Z0
Z0
ZL
微波技术基础
Z0 l Z = 1
Y
并联单支节匹配
Y0 Yd
Y0
YL
Yd + stub
Y0
Y stu b
Y0
YL
开路或短 路短截线
Y0 l
1
2π fC
=
− xZ 0
= 1.2Z0
微波技术基础
C = b = 0.92 pF
2π fZ0
L = xZ0 = 38.8 nH
2π f L = −Z0 = 46.1 nH
2π fb
C = −1 = 2.61 pF
2π fxZ0
用集总元件匹配（先串后并）
完整过程
电阻圆
1+ jb
D
b < 0 yL
微波技术总复习
传输线理论
长线理论
几何长度大于信号波长或可以比拟（一般l ≥ 0.05λ）
传输线的集总元件电路模型 电报方程 波动方程 电报方程的解 无耗传输线 输入阻抗、反射系数、传输系数等 传输线的工作状态：
行波、驻波、行驻波
微波技术基础
电报方程
R： Ω/m L： H /m G： S /m C： F /m
必须满足下式
β 2 = k 2 − kc2 > 0或k > kc
2π λ
>
2π λc
⇒λ
< λc
定义电磁波刚好被截止时，即k=kc, 即相移常数β=0，此时
的波长称为
kc为对应的

RL
=
−10 lg
P− P+
= − 20lg Γ (dB)
微波技术基础
Γ = Γr + j Γi Γ = Γ ∠θΓ
G=-1 Z=0 短路
14
反射系数以极坐标读取
Γi θΓ=63.4°
|Γ|=0.45
G=0 Z=Z0 匹配
Γr
Γ=1 Z=∞ 开路
中華大學 通訊系
Γ = Γr + j Γi Z = R + j X
dz
γ = α + jβ = (R + jωL)(G + jωC)
α β
微波技术基础
电报方程求解
V (z) = V0+e−γ z + V0−eγ z
I (z)
=
I
+ 0
e−γ
z
+
I0−eγ z
定义
Z0
=
R
+ jωL γ
=
R + jωL G + jωC
Z0 =
L C
I (z) = V0+ e−γ z − V0− eγ z
Y=1 z
Y0 =Yd+stub =Ystub +Yd
jX
Z0 jB
Zl
微波技术基础
Y2
Y1
并联单支节匹配
阻抗圆图解法
d1 L1
d2
L2
微波技术基础
串联单支节匹配
阻抗圆图解法
l1
Z0
Z1 / Z2 d
Z0
Z0
ZL
d2
短路点
z2
zL
O(匹配点)
d1
Z0 l Z = 1
Y
开路或短 路短截线
zL
微波技术基础
矩形波导的横向解
TEmn波
m—表示x方向变化的半周期数
n—表示y方向变化的半周期数

kc2
kc2
=
k
2 x
+
k
2 y
= k2 −β
=
2
⎛ ⎜⎝
mπ
a
⎞2 ⎟⎠
+
⎛ ⎜⎝
nπ
b
⎞2 ⎟⎠
kx2
+
k
2 y
+
β2
=
k2
—色散条件（分离参量方程）
微波技术基础
矩形波导的横向解
由于kc2 = k 2 − β 2 ，而传播的相位因子ejβz中β为实数，所以
定义： SWR = ρ = | Vmax | = 1+ | Γ | | Vmin | 1− | Γ |
1≤ ρ ≤∞
ΓL = 0 匹配负载
ΓL = 1 开路、短路
微波技术基础
Γ = VSWR − 1 VSWR + 1
无耗传输线
输入阻抗： 向负载 看过去 等于传输线上该点的电压与电流之比
对于无耗线，z=-l处的输入阻抗Zin
l
=
λ
2
⇒
Zin
=
lim
β l →π
Z0
ZL Z0
+ +
jZ0 jZ L
tan(β l ) tan(β l )
=
ZL
四分之一波长变换器——
l
=
λ
4
⇒
Zin
=
lim
βl→π 2
Z0
ZL Z0
+ +
jZ0 jZ L
tan(β l ) tan(β l )
=
Z
2 0
ZL
阻抗经四分之一 波长变换后
⎧ ⎨
Z
微波技术基础
用集总元件匹配（先并后串）
完整过程
电导圆
D
jX
Z0
jB ZL
旋转后的1 + jx圆
C
+ j0.3
yL
− j1.2
匹配点
yL → 沿电导圆旋转——jB为纯电
抗，附加一个电抗时，电阻 部分保持不变
归一化的B：b=0.3
+ j1.2 − j0.7
zL
D
D → 沿电阻圆旋转——jX为纯电
抗，附加一个电抗时，电阻

b1 yL b1′
y1′
逆时针旋 转后的 1+jx圆
d
d
Y0
jB2 Y0
jB1 YL
y1
沿等SWR圆
l2
l1
顺时针旋转
b2′ y2′
匹配点
b2 zL
y2
匹配盲区：与旋转后
的1+jx圆 。如果YL位于该区
域内，则ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ法实现匹
配。
1+jx圆
微波技术基础
λ/4阻抗变换器
ZB
ZA
Z1=50Ω
Z2=？
R=100Ω
L
⎩ZL
= =
0 ⇒ Zin = ∞ ∞ ⇒ Zin = 0
微波技术基础
传输系数
Γ = Z1 − Z0 Z1 + Z0

T = 1 + Γ = 2Z1 Z1 + Z0
⎧⎪V ⎨ ⎪⎩V
(Z (Z
) )
= =
V0+ (e− V0+Te−
jβ z jβ z
+
Γe
jβ
z
), ,
z z
< >
0 0

IL = −20 lg | T | （dB）