桁架弹塑性分析

几何方程
1
x
l
sin cos
y
l
cos2
3
2
x
l
sin cos
y
l
cos2
y
l
弹性分析:物理方程（见前述）
Q P 1 cos2 2 cos3 1 3 A(1 2 cos ) 2 A sin A 1 2 cos3
F1 F3
P s A 2 cos
继续加载，杆1、3也达到屈服，结构丧失承载能力。 极限载荷Pl： Pl s A(1 2 cos )
Pl 1 2 cos Pe 1 2 cos3
•A点位移Δ分析
P小于或等于Pe时，
y 2l
当Pe <P<Pl时，
F2
P 1 2 cos3
F2 F1 F3
载荷增加时，杆2首先屈服，此时σ2＝σs，1、3杆仍处于弹性状态。
F2 s A
屈服载荷Pe：
Pe 1 2 cos3
B l 1 D C 3
Pe s A(1 2 cos3 )
s A
θ θ A P
超静定结构→静定结构
P cos2
2
P A(1 2 cos )
3
,
Q P cos2 1 2 cos3 3 3 A(1 2 cos ) 2 A sin A 1 2 cos3
P cos2
可以看出，杆1中应力的绝对值最大，故先进入塑性变形状态
Pe s A
2
E
l
Pl EA(1 2 cos )
3
ye
s
E
l
P s A l1 1l1 1 l y l 2 3 cos cos E cos 2EAcos
P=Pl时
s l1 1 3 s l / cos E
yl / ye
3 s ,
1 2 3 s , 3 s
2
s
cos
2
,
1 s (1 2 cos2 ),
xl s l (1 cos2 ) E sin cos
1 3 s
xl
yl
2 s l E sin cos

A P

A
加载 步2
yl
yl
A
xl
路径2: 水平载荷和竖向载荷成比例加载至极限状态
B C D

A
tan 2 sin

F
• 路径1：中间态由前述分析，知
1 2 3 s ,
yl
百度文库s
E cos
2
l
对加载步2，如果可实现，则必然存在竖向卸载。设此过程中竖向载 荷增量为 P ，水平载荷增量为 Q ，相应地各杆应变增量为
1 , 2 , 3 ，应力增量为 1 , 2 , 3
平衡方程： 1 sin 3 sin Q / A
1 cos 3 cos 2 P / A
几何关系：
1l / cos x sin y cos 3l / cos x sin y cos 2l y
xl 2 s l /(E sin cos )
• 最终态为
1 2 3 s
xl
2 s l E sin cos
yl
s
E cos
2
l,
1
xl
l l l
sin cos
yl
l l
cos2
2
3 s E
3
Pf Pe P s A Q f 2 s A sin
2
yl
l

s
E
yl
s
E
l
3
xl
l
xl
l
sin cos
yl
l
cos2
s
E
xl
s l (1 cos2 ) E sin cos
1
sin cos
杆3先屈服，则
s s
cos2 1 2 cos3 1 cos 2 cos
2 3

2 P A
s A cos2 P 1 2 cos3 cos2
杆2和杆3同时 屈服，故达到 极限状态
• 达到最终极限态时
1 2 3 s
| 2 | s ,
2r s (1 P / Pe ) 0,
？
完全卸载时残余应变：
1r 3r
2r yr / l
P / Pe 1 s 0, 2E cos
P EA(1 2 cos )
3
( P s A) 2 EAcos
P cos2 Q 1 Pe Qe
P 1 Pe
Q s 3 A(1 2 cos ) 2 A sin
yl
s
E
l,
s
E cos
2
l,
塑性变形过程，应力应变状态与加载路径相关
• 小结 1) 对拉压杆系进行弹塑性分析时, 一般先进行 弹性分析,根据屈服准则判断塑性变形杆件, 在塑性变形过程中, 一般还需要判断是处于 加载还卸载阶段
2) 卸载为弹性变形 3) 塑性变形与加载路径相关
2.5 弹性极限曲线
3 Q / A sin Q / A sin ,
P Q cot
1 2 s , 3 s Q / A sin ,
s 当 3 ，杆 3进入反向屈服，
x Ql /(EAsin2 cos )
Ql 2 s A sin
物理方程
Fi EAli / li
• 水平加载
F1 F3 Q / 2 sin , F2 0,
B
D
C
1 3 Q / 2 A sin , 2 0

A
Q
x l1 / sin Ql /(2EAsin2 cos )
Q 2 s A sin Qe
卸载： 杆1，2和3均发生弹性变形。设卸载量为 P
2 y P A(1 2 cos )
3
,
1 3
P cos2 A(1 2 cos )
3
,
Pl EA(1 2 cos3 )
Pl
3
杆中应力
2 s
P A(1 2 cos )
3

P / Pe 1 2 E cos
3
s >0
由于
ir ir / E ip
可见，残余变形并不一定 等于塑性应变
• 水平加载
平衡方程
F1 sin F3 sin Q F1 cos F3 cos F2 0
B
D
C

A
Q
几何协调
l1 l3 x sin l 2 0
,
Pe
P / A s P cos2 1 3 , 3 2 cos A(1 2 cos )
结点位移
y
( P s A)l 2 EAcos3

Pl EA(1 2 cos3 )
完全卸载时，可得到残余应力：
1r 3r
P / Pe 1 s 0, 2 cos
2
xl
sin cos
yl
cos
s
E
yl
s
E cos2
Q f 2 s A sin Pf Pl P s A
• 路径2
平衡方程
F1 sin F3 sin F sin Q F1 cos F3 cos F2 F cos P
1 0, 于是由平衡方程 • 继续加载，
3 2P / A, 2 P(1 2 cos ) / A,
若在此过程中，杆2先屈服，则
s
s P (1 2 cos ), 3 2 A 1 2 cos cos
s A cos2 P 1 2 cos3 cos2
xe
s l (1 2 cos3 ) , 2 2 3 E sin cos (1 cos 2 cos )
1 s ,
s 2 , 3 2 1 2 cos cos
3 s
cos2 1 2 cos3 1 cos2 2 cos3
1 2 cos3 1 2 cos3 cos2
• 杆1刚进入塑性状态时各杆的应力应变状态
s 1 s , 2 , 3 2 1 2 cos cos
ye sl E (1 cos2 2 cos3 )
3 s
cos2 1 2 cos3 1 cos2 2 cos3
yl
l
cos
2
s (1 2 cos2 )
E
路径2
PT Pe P s A QT 2 PT sin 2 s A sin
路径1
P
1 2 Q
Pf s A Q f 2 s A sin
1 2 3 s ,
2 s,
• 考虑桁架同时受垂直载荷P和水平 载荷Q作用，三根杆都处于弹性变 形，则可求出各杆中应力
Q 1 3 A(1 2 cos ) 2 A sin P cos2
B
l 1
D
2 θ θ A P
C
3
2
P A(1 2 cos )
3
,
3
P cos2 A(1 2 cos3 )
1 cos2
yl
s l1 l 2 cos E cos
Pl Pe
当P<Pe时，三杆处于弹性状态，结构的刚度比较大；
当Pe<P<Pl时，杆2屈服，丧失进一步承载力，但杆1和3仍处于弹性状 态，A点位移由1、3杆的变形控制，故杆2的塑性变形不能任意增长， 这种状态称为约束塑性变形。该阶段与载荷P的关系仍是线性的，但刚 度有所降低； 当P=Pl时，结构屈服，失去抵抗变形能力，即使载荷不再增加位移也 会不断增加。
§2.4 拉伸和压缩杆系的弹塑性分析
弹性极限载荷（屈服载荷）：结构出现塑性变形时的载荷 塑性极限载荷（极限载荷）：使整个结构屈服，从而丧失 承载能力时的载荷
s
理想弹塑性材料
当 s时， E , 当 s时， s sign
o

s
以一次超静定三杆桁架为例进行弹塑性分析
已知：三杆材料相同，弹性模量均为E； 横截面积相同，均为A，l1=l3，l2=l，试 讨论杆系的极限载荷和A点的铅垂位移 Δ。 l 解：在载荷P 较小时，杆系处于弹 性状态，各杆轴力为：
F1 F3 P cos2 1 2 cos3
B
1
D
2 θ θ A P F2 F3 A P
C
3
F1
当
杆1和3进入塑性变形状态
Ql Qe
由于杆2始终不受力，此时继续加载，变形无限制。故
x s l1 / sin
x s l /(E sin cos )
• 不同加载路径的影响
路径1: 加竖向载荷至极限状态，保持竖向位移不变，再加水平载荷至极限状态
B C D 加载 步1 B C D

Q 2 A sin
• 各杆处于弹性变形要求
| i | s
则P和Q应满足(利用) Pe s A(1 2 cos3 )
Q s 3 A(1 2 cos ) 2 A sin P A(1 2 cos3 ) P cos2 s P cos2
Qe 2 s A sin
• 在加载步2过程中，A点竖向位移不变，则
1l 3l x sin cos ,
y 0
2 0
而 x 0 ，这说明在此过程中，杆1和2仍处于塑性状态，只 有杆3卸载, 所以
1 2 0, 3 sin Q / A, 3 cos P / A