山东省青岛市2019届高三第一次模拟考试数学(理)参考答案

1 k2
(
8k 2 4k 2
) 3
2
4(4k 2 4k 2
12Fra Baidu bibliotek 3
12(k 2 1) 4k 2 3
·································· 11
分
所以 | MF | 1 为定值················································································· 12 分 | PQ | 4
所以，当 a 0 时， g(x) a x 0 ，即 g(x) 在 (0,) 上单调递减···················· 3 分 x
又因为 f (1) g(1) 0 ，所以，当 0 x 1时， f (x) 0 ；当 x 1 时， f (x) 0
所以， f (x) 在 (0,1) 上单调递增，在 (1, ) 上单调递减，
设“任取两件产品，至少有一件合格品”为事件 A
则 A 为“任取两件产品，两件均为不合格品”，且 P( A) p2 0.082 0.0064
所以 P( A) 1 P( A) 1 0.0064 0.9936
所以任取两件产品至少有一件为合格品的概率为 0.9936 ·····································12 分
则
m m
AB BE
x1 x1
3y1 0 3y1 2z1
0
，取
x1
3 ，得 m ( 3, 1, 0)
设平面B ED 的一个法向 量为 n (x2, y2, z2 ) ，
因则所为以nncBoDBBsDEm(,1nxx, 202,2)2,z3Bm2yE2 n02(z21,1053，, 2取··)··x··2·····2··，···得···n······(·2·,··0·,·1··)····························· 11 分
青岛市高三年级教学质量检测 数学（理科）答案 第 3页（共 6页）
20．（本小题满分 12 分）
解： （1）由乙流水线样本的频率分布直方图可知，合格品的个数为100 (1 0.04) 96 所以， 2 2 列联表是：
甲流水线
乙流水线
总计
合格品
92
96
188
不合格品 总计
8
4
12
100
100
200
1 ··········································· 11
分
2
所以 Wn
1 Tn
·····························································································
) 3
令
y
0
得，
M
(
k 4k 2
2
3
,
0)
所以 |
MF
|
3(k 2 4k 2
1) 3
···················································································
9
分
又 | PQ | 1 k 2 (x1 x2)2 4x1x2
，
y1
y2
k (x1
x2 )
2k
6k 4k 2 3
,
设
PQ
的中点为
N
，则
N
(
4k 2 4k 2
, 3
3k 4k 2
) 3
·····················································
7
分
则
MN
的方程为
y
3k 4k 2
3
1 k
(x
4k 2 4k 2
所以 DO 平面 ABC ················ 2 分 E
因为 AE 平面 ABC ， 所以 AE / / DO
z D
又因为 DO 2 AE
所以四边形 AODE 为平行四边形
所以 ED / / AO
A
C
因为三角形 ABC 为等边三角形，
所以 AO BC
Oy
又因为
AO
平面
ABC
，平面
所以 f (x) f (1) 0
所以 f (x) 只有一个零点·················································································5 分
青岛市高三年级教学质量检测 数学（理科）答案 第 4页（共 6页）
故存在
1
x1 (e a , a) ，满足
f
( x1 )
0, x (0, x1),
f
(x)
0; x (x1, a),
f
(x)
0;
又 x (a,1), f (x) 0; x (1, ), f (x) 0 ；
所以，此时 x 1 是 f (x) 的唯一极大值点，且 f (1) 0 ，符合题意. ······················ 8 分 ②当 a 1 时，因为 x (0,1), g(x) 0; x (1,), g(x) 0; 且 g(1) 0 ， 所以 g(x) 0 ，即 f (x) 在 (0,) 上单调递减无极值点，不合题意························ 9 分 ③当 a 1 时，因为当 x (0, a) 时， g(x) 0 ；当 x (a, ) 时， g(x) 0 ；
则 A(0, 3, 0), B(1, 0, 0), D(0, 0, 2), E(0, 3, 2) ···············································7 分
设平面ABE 的一个法向量为 m （x1, y1, z1) ，
因为AB (1, 3, 0), BE (1, 3, 2)
|m||n| 5
设二面角 A EB D 的平面角为 ，则 cos 15 ···································· 12 分 5
青岛市高三年级教学质量检测 数学（理科）答案 第 2页（共 6页）
19．（本小题满分 12 分）
解：（1）由
x2 a2
y2 b2
1，令 x
设等比数列{bn}的公比为 q ，
因为 b1
4b3
，所以 q2
b3 b1
1 ,q 4
1 2
若q
1 2
，则 b1
b2 q
1 2
b2
，符合题意
若q
1 2
，则 b1
b2 q
1 2
b2
，不符合题意
所以 bn
1 (1)n1 22
(1)n 2
············································································· 6
c 得，
y
b2 a
所以 | PQ | 2b2 ， a
S四边形APBQ
1 2
|
AB
||
PQ
|
1 2
2a
2b2 a
2b
2
6
， b2
3 ······························
3
分
又离心率 e c 1 ， a2 b2 c2 a2
所以 a2 4
所以椭圆 C 的方程为： x2 y2 1································································· 5 分 43
分
（2）因为
1 an an 1
1 n(n 1)
1 n
1 n 1
所以 Wn
1
1 2
1 2
1 3
......
1 n
1 n 1
1
1 n 1
1········································8
分
又 Tn
1 (1 (1)n ) 22
1 1
1 (1)n 2
(0,1) ，所以 1 Tn
1 P( z ) 1 P( z 2 )
2
2
1 (0.6826 0.9544) 0.8185 2
即: P(200 12.2 z 200 12.2 2) P(187.8 z 224.4) 0.8185
所以质量指标落在 (187.8, 224.4) 的概率为 0.8185 ·············································· 9 分 （3）若以频率作概率，则从甲流水线任取一件产品是不合格品的概率 p 0.08
（2）由（1）知：当 a 0 时， f (x) 的极大值等于 0 ，符合题意··························· 6 分 ①当 0 a 1时，因为当 x (0, a) 时， g(x) 0 ；当 x (a, ) 时， g(x) 0 ；
1
1
1
且 g(1) 0 ， g(e a ) 1 e a 1 e a 0
21．（本小题满分 12 分）
解：（1）由题知: f (x) 1 x a ln x ······························································ 1 分
令 g(x) 1 x a ln x, g(x) a x (x 0) ······················································2 分 x
考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求解答．
（一）必考题：共 60 分．
17. （本小题满分 12 分）
解：（1）因为在数列{an}中， Sn1 1 Sn an ，所以 Sn1 Sn an 1， 所以 an1 an 1 ，数列{an}是公差为1的等差数列 又 a1 1， an 1 (n 1)1 n ·································································· 3 分
（2）由题知， F (1, 0) ，直线 l 的方程为 y k (x 1)
由
x2 4
y2 3
1 得， (4k 2
3)x2
8k 2x 4k 2
12
0
y k (x 1)
设 P(x1, y1) ， Q(x2, y2 )
则
x1
x2
8k 2 4k 2 3
，
x1x2
4k 2 12 4k 2 3
BCD
平面
ABC
xB BC
，平面
BCD
平面
ABC
所以 AO 平面 BCD ，················································································ 5 分
所以 ED 平面 BCD ，
又因为 ED 平面 EBD
································································ 2 分
所以 K 2
n(ad bc)2
200 (92 4 96 8)2 1.418 2.072 ···· 4 分
(a b)(a c)(b d )(c d ) 100 100 18812
所以平面 EBD 平面 BCD ；········································································ 6 分
（2）由（1）得， AO 平面 BCD ， AO DO ，又 DO BC ， AO BC ，分别
以 OB, AO,OD 所在的直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz ，
12
分
青岛市高三年级教学质量检测 数学（理科）答案 第 1页（共 6页）
18．（本小题满分 12 分）
证明：（1）取 BC 的中点 O ，连结 AO ， DO
因为 BD CD 5 ，
所以 DO BC ， DO CD2 OC 2 2 又因为 DO 平面 BCD ，平面 DBC 平面 ABC BC ，平面 BCD 平面 ABC
2019 年青岛市高三年级教学质量检测
数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共 12 小题．每小题 5 分，共 60 分．
CAAD C
C BAB B
BD
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13． 3 5
14． 4
15． (14 6 5)
16． 3
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第 17 题~21 题为必
所以，在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下，不能认为产品的包装合格与两条自动包装流
水线的选择有关····························································································5 分
（2）乙流水线的产品生产质量指标 z 服从正态分布 N (200,12.22) 所以生产质量指标的数学期望为 200 ，数值波动的标准差为 12.2 因为 P( z ) 0.6826 , P( 2 z 2 ) 0.9544 所以 P( z 2 ) P( z 0) P(0 z 2 )