灵敏度分析 之 价值系数
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运筹学灵敏度分析
只需由 j 0解得c j的范围。
(2) c j 是基变量x j的价格系数 这时要影响所有的检验 数
i ci (c1 ci ci cm ) B Pi , 应由所有的 i 0解得公共的c j。
1
p11-2
例1：在（煤电油例）中，其单纯形终表如下：
0 x 7 x 12 x
3 1
运筹学
2
84 20 24
0 1 0
0
0 0 1
0
1 0 0
0
- 0.32 0.4 - 0.12
- 1.36
1.16 - 0.2 0.16
- 0.52
z 428
（1）甲产品的价格在何范围内变化时，现最优解不变？
解：甲产品的价格c1是基变量的价格系数。 0.32 由 4 0 0 7 c1 12 0.4 2.8 0.4c1 1.44 0 0.12 得 c 3.4， 1.16 由 5 0 0 7 c1 12 - 0.2 1.4 0.2c1 1.92 0 0.16 得 c 2.6，
2
运筹学
例1：在（煤电油例）中，其单纯形终表如下：
0 x 7 x 12 x
3
1
2
84 20 24
0 1
0
0 0 1
1 0
0
- 3.12 1.16 0.4 - 0.2
- 0.12 0.16
z 428
0
0
0
- 1.36
- 0.52
（3）若有人愿以每度1元的价格向该厂供应25度电，是 否值得接受？
§3.4 灵敏度分析
灵敏度分析——研究系数变化对最优解的影响.
线性规划中价值系数的灵敏度分析研究
中图 分 类 号 ： ０ ２ ２ １ ． １ 文献 标 识 码 ： Ａ 文章编号 ： １ ０ ０ ９—８ ８ ７ ９ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ６— ０ ０ ２ ２— ０ ４
对 于线性 规划 问题 … ｍ ａ ｘ （ ｍ ｉ ｎ ） ｚ ：Ｃ Ｘ
ｒ Ａ ≤（ ≥， ＝） ｂ Ｓ ． ｔ 【 ≥０
，
话， ｃ ＝ ｃ ： 或是 ｃ ＝ ｃ ： 时， 反映到最终单纯形表
中， 重新 计 算 检 验数 ， 可 以 发 现 有 非 基 变 量 的 检
０ 口 ｊ
口 为工 艺 系数 ； （ Ｊ ． ＝１ ， …， ｎ ） 为决策变量 ， Ｘ＝
验数 为 ０ ， 意味着此时有无穷多最 优解 ， 而 软 件
≤１ ０ ０ １０ ＞
鬯 誓 数 中 一 个 价 值 系 数 变 化 的 灵 敏 ＿ ３ ０
度 分析
对某 一线性 规划 问题 应用 Ｌ ｉ ｎ ｇ ｏ软件 进行 灵
敏 ｘ ｚ 度 ＝ 分 ２ ０ 析 ， ｘ ２ ’
一… … 一一
见图 … … … 一
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ５— １ ０— ２ ６
例 １ 线 性规 划 问题
ｍａ ｘ ｚ＝７ ２ｘ １＋６ ４ ｘ ２ ｌ ４ － ２ ≤５ ０
最 优基 不变 ． 文章 主要 针 对价 值 系数 ， 应用 Ｌ ｉ ｎ ｇ ｏ
１ ２ ｘｌ＋８ ｘ ２ ＜４ ￣ ８ ０
３ １
１， ２
软件 和单纯形法原理进行灵敏度分析 ， 并分析两 Байду номын сангаас 方法 的联 系 与区别 ．
・
２ ２・
李 如兵 ，宗凤喜 ： 线性规划 中价值 系数 的灵敏度分析研 究
对 于线性 规划 问题 … ｍ ａ ｘ （ ｍ ｉ ｎ ） ｚ ：Ｃ Ｘ
ｒ Ａ ≤（ ≥， ＝） ｂ Ｓ ． ｔ 【 ≥０
，
话， ｃ ＝ ｃ ： 或是 ｃ ＝ ｃ ： 时， 反映到最终单纯形表
中， 重新 计 算 检 验数 ， 可 以 发 现 有 非 基 变 量 的 检
０ 口 ｊ
口 为工 艺 系数 ； （ Ｊ ． ＝１ ， …， ｎ ） 为决策变量 ， Ｘ＝
验数 为 ０ ， 意味着此时有无穷多最 优解 ， 而 软 件
≤１ ０ ０ １０ ＞
鬯 誓 数 中 一 个 价 值 系 数 变 化 的 灵 敏 ＿ ３ ０
度 分析
对某 一线性 规划 问题 应用 Ｌ ｉ ｎ ｇ ｏ软件 进行 灵
敏 ｘ ｚ 度 ＝ 分 ２ ０ 析 ， ｘ ２ ’
一… … 一一
见图 … … … 一
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ５— １ ０— ２ ６
例 １ 线 性规 划 问题
ｍａ ｘ ｚ＝７ ２ｘ １＋６ ４ ｘ ２ ｌ ４ － ２ ≤５ ０
最 优基 不变 ． 文章 主要 针 对价 值 系数 ， 应用 Ｌ ｉ ｎ ｇ ｏ
１ ２ ｘｌ＋８ ｘ ２ ＜４ ￣ ８ ０
３ １
１， ２
软件 和单纯形法原理进行灵敏度分析 ， 并分析两 Байду номын сангаас 方法 的联 系 与区别 ．
・
２ ２・
李 如兵 ，宗凤喜 ： 线性规划 中价值 系数 的灵敏度分析研 究
灵敏度分析(第三章线性规划4)
初始单纯形表 x1 x2 1 2 8 x3 1 2 6 x4 1 0 0 x5 0 1 0 bi
12 12
b2 20
0
0
x4 x5 f
1 1 5
0
最优单纯形表 x1 x2 0 1 0 x3 0 1 2 x4 2 1 2 x5 1 1 3 bi 424-b
2
5 x1 8 x2
f
1 0 0
实例1
产品 资源 原料甲 原料乙 A 1 1 5 B 1 2 8 C 1 2 6 资源拥 有量 12kg 20kg
利润 （元/kg）
在实例1中，假设产品C 的资源消耗量由 试分析最优解的变化情况。
1 2
2 变为 1
，
x4 x5 f
x1 1 1 5
•设XB=B1b是最优解，则有XB=B1b 0
•b的变化不会影响检验数 •b的变化量b可能导致原最优解变为非基可行解 设b’=b+ b 为保证最优基不变，必须满足XB=B-1b’ 0
1. 分析b1=16和b2=20时，最优基和最优解的变化
初始单纯形表 x1 x4 x5 f 1 1 5 x2 1 2 8 x3 1 2 6 x4 1 0 0 x5 0 1 0 bi
5 x1 8 x2
f
1 0 0
保持b1=12,分析b2在什么范围内 变化时，最优基不变?
2 B b' 1
1
1 12 1 b2
24 b 2 12 b 2
0
解之得：12≤b2≤24
即:当12≤b2≤24时，最优基不变
3.2 增加新约束条件的分析
产品 资源 原料甲 原料乙 原料丙 利润 （元/kg）
灵敏度分析
该种情况必须另找新的最优解。此时，只要在原来的单纯形表（注意：是 最终单纯形表）里增加一行，用对偶单纯形法求解即可。
例2.5.5 对于例2.5.1的原问题，如果增加一道生产工序 ，要求产品满足约束条件 x1+ 3 x2 ≤ 9 ，试问应如何安排生产计划，可以使利润最大？
解：首先把表13的最优解代入新约束条件，看是否满足。显然，由于原最优解 不满足新约束，所以，必须寻找新的最优解。
解：先计算B﹣1⊿b。
0 1/4 0
B﹣1⊿b = -2 1/2 1
1/2 -1/8 0 再把结果加到表16的 b 列中。
0
4
0
0 = -8-8
0
00
cj
CB
XB
b
2
3
x1
x2
0
0
x3
x4
2
x1
4 +0
1 00
1/4
0
x5
4 -8
0 0 [-2]
1/2
3
x2
2 +0
0 1 1/2
-1/8
(cj－zj) 或 j
1/3
0
0 -M
x5
x6
-1/6 0
-1
-1/6
0
1/3
0
7/6
1
5/6
-5/6
0
-1/3 -M+3
（五）、增加一个约束条件的分析
增加一个约束条件： 增加约束条件一般意味着可行域的缩小。 情况1:基变量没有改变（即最优解满足增加的约束条件）
该种情况，最优解没变化。（方法：把基变量的值代入约束条件中，如果 满足新的约束条件，就可断定最优解没有变化。） 情况2:基变量不适应新增加的约束条件
例2.5.5 对于例2.5.1的原问题，如果增加一道生产工序 ，要求产品满足约束条件 x1+ 3 x2 ≤ 9 ，试问应如何安排生产计划，可以使利润最大？
解：首先把表13的最优解代入新约束条件，看是否满足。显然，由于原最优解 不满足新约束，所以，必须寻找新的最优解。
解：先计算B﹣1⊿b。
0 1/4 0
B﹣1⊿b = -2 1/2 1
1/2 -1/8 0 再把结果加到表16的 b 列中。
0
4
0
0 = -8-8
0
00
cj
CB
XB
b
2
3
x1
x2
0
0
x3
x4
2
x1
4 +0
1 00
1/4
0
x5
4 -8
0 0 [-2]
1/2
3
x2
2 +0
0 1 1/2
-1/8
(cj－zj) 或 j
1/3
0
0 -M
x5
x6
-1/6 0
-1
-1/6
0
1/3
0
7/6
1
5/6
-5/6
0
-1/3 -M+3
（五）、增加一个约束条件的分析
增加一个约束条件： 增加约束条件一般意味着可行域的缩小。 情况1:基变量没有改变（即最优解满足增加的约束条件）
该种情况，最优解没变化。（方法：把基变量的值代入约束条件中，如果 满足新的约束条件，就可断定最优解没有变化。） 情况2:基变量不适应新增加的约束条件
运筹学24灵敏度分析
非基变量的价格系数变化，在原最优解 不变的条件下，确定的变化范围。
（2）当cj是基变量的价值系数——它的变化 将影响所有非基变量的检验数.
N CN CB B 1 N 为当最cj优变解化，时否，如则能可保用持单纯 N形法0 继，续则迭当代前求解出仍 新的最优解。
将cj看作待定参数，令 N CN CB B1N 0
②（B-1b）i<0, 当前基为非可行基, 可用对偶单纯形法 求出新的最优解；
③如何求出保持最优基不变的bi的范围? 把bi看作待定参数,令B-1b≥0,求解该不等式组即可；
b发生变化， XB B1(b b)
X B B 1b
B1(b b) B1b B1b
B1b B1(0 , 0 ,L , 0 , br , 0 ,L , 0)T (a1r br ,L , air br ,L , amr br )T br (a1r ,L , air ,L , amr )T
（或消耗的资源量）和单位产品利润，设该种 产 品 的 产 量 为 xk， 则 ck 和 Pk 已 知 ， 需 要 进 行 “是否投产”的决策。
如果算出的σk<0,说明新产品D不宜 投产，否则会使产品总利润下降！
(2) 增加1个约束条件：
相当于系数阵A增加1行
首先将原最优解代入新增约束检查是 否满足？是，则说明新增约束不影响最 优解。否则再作下面的讨论：
将新增约束标准化，添加到原最优表 格中（相当于约束矩阵新增1行）；
进行规格化处理——用矩阵的行变换 将当前基变成单位阵；
用适当方法（通常是对偶单纯形法） 进行迭代求出新的最优解。
（3）其他情况讨论： 某个产品工艺参数改变； 新品代替原产品等；
bi air br ≥ 0 i 1 , 2 ,L , m
（2）当cj是基变量的价值系数——它的变化 将影响所有非基变量的检验数.
N CN CB B 1 N 为当最cj优变解化，时否，如则能可保用持单纯 N形法0 继，续则迭当代前求解出仍 新的最优解。
将cj看作待定参数，令 N CN CB B1N 0
②（B-1b）i<0, 当前基为非可行基, 可用对偶单纯形法 求出新的最优解；
③如何求出保持最优基不变的bi的范围? 把bi看作待定参数,令B-1b≥0,求解该不等式组即可；
b发生变化， XB B1(b b)
X B B 1b
B1(b b) B1b B1b
B1b B1(0 , 0 ,L , 0 , br , 0 ,L , 0)T (a1r br ,L , air br ,L , amr br )T br (a1r ,L , air ,L , amr )T
（或消耗的资源量）和单位产品利润，设该种 产 品 的 产 量 为 xk， 则 ck 和 Pk 已 知 ， 需 要 进 行 “是否投产”的决策。
如果算出的σk<0,说明新产品D不宜 投产，否则会使产品总利润下降！
(2) 增加1个约束条件：
相当于系数阵A增加1行
首先将原最优解代入新增约束检查是 否满足？是，则说明新增约束不影响最 优解。否则再作下面的讨论：
将新增约束标准化，添加到原最优表 格中（相当于约束矩阵新增1行）；
进行规格化处理——用矩阵的行变换 将当前基变成单位阵；
用适当方法（通常是对偶单纯形法） 进行迭代求出新的最优解。
（3）其他情况讨论： 某个产品工艺参数改变； 新品代替原产品等；
bi air br ≥ 0 i 1 , 2 ,L , m
线性规划的灵敏度分析
资源有剩余，在 最优解中就有对 应松弛变量存在， 且其影子价为 0
影子价为 0， 资源并不一定有 剩余
4
5.2 价值系数 cj 的灵敏度分析
• cj 变动可能由于市场价格的波动，或生产成本的变动 • cj 的灵敏度分析是在保证最优解的基变量不变的情况下，分
析cj 允许的变动范围cj • cj 的变化会引起检验数的变化，有两种情况:
1300 4.25 5 5.75 4 0 0.25 1
zj-cj 3.25 0 2.75 0 0 0.25 1
c c j k
由于基变m量对应的价值系数 cj 在CB中出现，
2 基变量 zj zj (cjk c因jki )此ai它j 会影c响jk a所ij 有非cj基k a变kj (量z的j 检验zj数) 。
5.4 （技术系 数 aij 的灵敏 度分析）暂不 讲授(转5.5）
技术系数aij变化的影响比较复杂
对应基变量的 aij ，且资源bi已全部用完 对应基变量的 aij ，但资源bi未用完 对应非基变量的 aij ，且资源bi全用完或未用完
1、对应基变量的 aij ，且资源bi已全部用完 aij=0 2、对应基变量的 aij ，但资源bi未用完 aijxn+i /xj
3
z8c8 qiai8c8(5040.2 531)9 i1
50
结论：生产x8有利。 将B–1P8加入最优单纯型表中，以x8为入基变量进行迭代。 （过程学生完成）
17
5.6 新增约束 条件的分析
1、将最优解代入新的约束条件，若满足，则最优解不变 2、若不满足，则当前最优解要发生变化；将新增约束条件
(x)
b
i
i1
(C
B
运筹学第二章24灵敏度分析
（3）其他情况讨论： 某个产品工艺参数改变； 新品代替原产品等；
（2） N =？
舍弃中间计算过程
只考察初始表和最终表
B-1 = AB-1
2、价值系数C发生变化的情况： （1）当cj是非基变量的价值系数——它的变 化只影响 j 一个检验数。 ≤0 1 j c j CB B Pj ≥0 要进行基变换码？
j c j c j CB B Pj ≤ 0
' 1
c j ≤ CB B1 Pj c j
非基变量的价格系数变化，在原最优解 不变的条件下，确定的变化范围。
（ 2 ）当cj是基变量的价值系数 —— 它的变化 将影响所有非基变量的检验数. 1 N C N CB B N 当cj变化时，如能保持 0 ，则当前解仍 N 为最优解，否则可用单纯形法继续迭代求出 新的最优解。 1 C C B N 0 将cj看作待定参数，令 N N B 解这n-m个不等式，可算出保持最优解不变 时cj的变化范围 ！ 基变量的系数变化，仍用c2代表x2的价值系 数（看成待定参数），原最优表格即为：
(2) 增加1个约束条件： 相当于系数阵A增加1行 首先将原最优解代入新增约束检查是 否满足？是，则说明新增约束不影响最 优解。否则再作下面的讨论：
将新增约束标准化，添加到原最优表 格中（相当于约束矩阵新增1行）；
进行规格化处理 —— 用矩阵的行变换 将当前基变成单位阵； 用适当方法（通常是对偶单纯形法） 进行迭代求出新的最优解。
（1）增加1个新变量：相当于系数阵A增加1列 如开发出一种新产品，已知其有关工艺参数 （或消耗的资源量）和单位产品利润，设该种 产 品 的 产 量 为 xk ， 则 ck 和 Pk 已 知 ， 需 要 进 行 “是否投产”的决策。
线性规划中多个价值系数同时变化的灵敏度分析方法
m)
≤(
＝,≥ )
xj ≥０ (
２,,
n)
j ＝１,
其中cj (
２,,
n)为 价 值 系 数,对 其 中 多
j ＝１,
个价值系数同时变 化 的 情 况 进 行 灵 敏 度 分 析 时,就
遇到这种 情 况,理 论 上 有 一 个 定 理 (百 分 之 一 百 法
则)[３]:
对 于 所 有 变 化 的 目 标 函 数 中 的 决 策 变 量 系 数,
景德镇学院学报 ２０２１ 年第 ３ 期
生变化,对于这种多 个 目 标 函 数 系 数 同 时 发 生 改 变
的灵敏度分析,理论 上 应 用 “百 分 之 一 百 法 则”来 进
行分析.
由于:
７１
．－４
４
１－１
４
１
９－８
×１
０
０％＋
×１
０
０％＋
×１
所示,具体做法 [２]中有详细介绍.
Mi
nz ＝４x１ ＋１４x２ ＋８x３ ＋１８x４ ＋１０x５
ìï３x１ ＋２x２ ＋x３ ＋６x４ ＋１８x５ ≥７００
ïx１ ＋０．
５x２ ＋０．
２x３ ＋２x４＋０．
５x５ ≥３０
ï
ï０．
５x１ ＋x２ ＋０．
２x３ ＋２x４ ＋０．
８x５ ＝２００
ï
ïx１ ≤５０
所谓“互动分析”就 是 对 于 变 化 的 数 据,直 接 在
电子模型中修改,重 新 求 解,再 根 据 求 解 的 结 果,做
出问题的回答.例如,在电子表格中直接修改数据,
然后重新求解得到图 ４ 结果:
变化?
１．
１ 求最优解
≤(
＝,≥ )
xj ≥０ (
２,,
n)
j ＝１,
其中cj (
２,,
n)为 价 值 系 数,对 其 中 多
j ＝１,
个价值系数同时变 化 的 情 况 进 行 灵 敏 度 分 析 时,就
遇到这种 情 况,理 论 上 有 一 个 定 理 (百 分 之 一 百 法
则)[３]:
对 于 所 有 变 化 的 目 标 函 数 中 的 决 策 变 量 系 数,
景德镇学院学报 ２０２１ 年第 ３ 期
生变化,对于这种多 个 目 标 函 数 系 数 同 时 发 生 改 变
的灵敏度分析,理论 上 应 用 “百 分 之 一 百 法 则”来 进
行分析.
由于:
７１
．－４
４
１－１
４
１
９－８
×１
０
０％＋
×１
０
０％＋
×１
所示,具体做法 [２]中有详细介绍.
Mi
nz ＝４x１ ＋１４x２ ＋８x３ ＋１８x４ ＋１０x５
ìï３x１ ＋２x２ ＋x３ ＋６x４ ＋１８x５ ≥７００
ïx１ ＋０．
５x２ ＋０．
２x３ ＋２x４＋０．
５x５ ≥３０
ï
ï０．
５x１ ＋x２ ＋０．
２x３ ＋２x４ ＋０．
８x５ ＝２００
ï
ïx１ ≤５０
所谓“互动分析”就 是 对 于 变 化 的 数 据,直 接 在
电子模型中修改,重 新 求 解,再 根 据 求 解 的 结 果,做
出问题的回答.例如,在电子表格中直接修改数据,
然后重新求解得到图 ４ 结果:
变化?
１．
１ 求最优解
运筹学第二章第6讲
12
例题4：写出以下模型的对偶问题
max z = 3 x1 − 2 x2 − 5 x3 + 7 x4 + 8 x5 x2 − x3 + 3 x4 − 4 x5 = −6 2 x1 + 3 x2 − 3 x3 − x4 ≥ 2 − x1 + 2 x3 − 2 x4 ≤ −5 s.t. − 2 ≤ x1 ≤ 10 5 ≤ ≤ 25 x2 , ≥ 0, 为自由变量 x5 x3 x4
OR1
对偶问题（或原问题） 对偶问题（或原问题） 目标函数 MinW
约束条件数： 约束条件数：n 第i个约束条件类型为“≥” 个约束条件类型为“ ” 个约束条件类型为 个约束条件类型为“ ” 第i个约束条件类型为“≤” 个约束条件类型为 个约束条件类型为“ 第i个约束条件类型为“=” 个约束条件类型为 对偶变量数： 个 对偶变量数：m个 第i个变量 个变量≥0 个变量 个变量≤0 第i个变量 个变量 第i个变量是自由变量 个变量是自由变量
OR1
15
2 弱对偶性：极大化原问题的任一可行解的目标 弱对偶性： 函数值不大于其对偶问题任意可行解的目标函数 值。即： C X≤ Yb
证明：设原问题为maxZ=CX, AX ≤b ，X ≥0. ≥0. 证明： 原问题为maxZ=CX,
为原问题的可行解， ≤b， X 为原问题的可行解，有AX ≤b，
二.对偶线性规划的定义 对偶线性规划的定义
max Z = CX ( LP ) AX ≤ b S .T . X ≥ 0
称线性规划(DLP)为线性规划 为线性规划(LP)的对偶线性规划 称线性规划 为线性规划 的对偶线性规划
minω = yb ( DLP ) yA ≥ C S .T . y ≥ 0
例题4：写出以下模型的对偶问题
max z = 3 x1 − 2 x2 − 5 x3 + 7 x4 + 8 x5 x2 − x3 + 3 x4 − 4 x5 = −6 2 x1 + 3 x2 − 3 x3 − x4 ≥ 2 − x1 + 2 x3 − 2 x4 ≤ −5 s.t. − 2 ≤ x1 ≤ 10 5 ≤ ≤ 25 x2 , ≥ 0, 为自由变量 x5 x3 x4
OR1
对偶问题（或原问题） 对偶问题（或原问题） 目标函数 MinW
约束条件数： 约束条件数：n 第i个约束条件类型为“≥” 个约束条件类型为“ ” 个约束条件类型为 个约束条件类型为“ ” 第i个约束条件类型为“≤” 个约束条件类型为 个约束条件类型为“ 第i个约束条件类型为“=” 个约束条件类型为 对偶变量数： 个 对偶变量数：m个 第i个变量 个变量≥0 个变量 个变量≤0 第i个变量 个变量 第i个变量是自由变量 个变量是自由变量
OR1
15
2 弱对偶性：极大化原问题的任一可行解的目标 弱对偶性： 函数值不大于其对偶问题任意可行解的目标函数 值。即： C X≤ Yb
证明：设原问题为maxZ=CX, AX ≤b ，X ≥0. ≥0. 证明： 原问题为maxZ=CX,
为原问题的可行解， ≤b， X 为原问题的可行解，有AX ≤b，
二.对偶线性规划的定义 对偶线性规划的定义
max Z = CX ( LP ) AX ≤ b S .T . X ≥ 0
称线性规划(DLP)为线性规划 为线性规划(LP)的对偶线性规划 称线性规划 为线性规划 的对偶线性规划
minω = yb ( DLP ) yA ≥ C S .T . y ≥ 0
运筹学8_灵敏度分析
CB XB x1 x2 x3 x4 x5 x6 b
0 x4 0 -2 0 1 -1 -1 5
1 x1 1 1 0 0 1 -1 5
3 x3 0 1 1 0 0 1 15
σ
0 -3 0 0 -1 -2
对于b2：β12<0,
β22>0，所以
−
5
=
max{−
b2 }
β 22
≤
Δb1
≤
min{−
b1 }
β12
基变量 xi 的系数 ci 的变化范围
• 检验数 σj =cj - CBB-1 Pj
• 如果 ci 是基变量xi 的系数， ci 变化影响每一个非基 变量xj对应的检验数σj
• 当 ci 变为 ci’ = ci +Δci 时，要使得线性规划最优解不
变需要且只需要每一个非基变量xj对应的检验数都有
σj’= cj ’- CBB-1 Pj ≤ 0
什么是灵敏度分析
• 在以前讲的线性规划问题中，aij，bi，cj 均为已知常数， 但实际上这些数往往是一些估计和预测的数字，如随市 场条件变化， cj 的值就会变化； aij 也会随工艺条件的改 变而改变， bi 是各项资源的投入数量，随着企业资金水 平的变化也会变化。
• 问题：当这些参数中的一个或几个发生变化时，问题的 最优解会有什么变化？这些参数在多大范围内变化时， 问题的最优解不变？这就是灵敏度分析。
113000
CB XB x1
x2
x3
x4
x5
x6
b
0 x4 0 -2 0 1 -1 -1 5
1 x1 1 1 0 0 1 -1 5
3 x3 0 1 1 0 0 1 15
灵敏度分析
0 0 0 -1 -3
（1）
cj
5 c2 0 0
0
σ4=c2－5 ≤0 σ5=5－2c2 ≤0 5/2≤c2≤5
CB XB b x1 x2 x3 x4
x5
0 x3 25 0 0 1 2
-5
5 x1 35 1 0 0 1
-1
c2 x2 10 0 1 0 -1
2
0 0 0 c2－5 5－2c2
最优解X*=（35，10，25，0，0）T保持不变。
0
0
0
0
CB
XBbx1来自x2x3x4
x5
x6
0
x3
25
0
0
1
2
-5
0
5
x1
35
1
0
0
1
-1
0
4
x2
10
0
1
0
-1
2
0
0
x6
150
4
2
0
0
0
1
σj
0
0
0
-1
-3
0
0
x3
25
0
0
1
2
-5
0
5
x1
35
1
0
0
1
-1
0
4
x2
10
0
1
0
-1
2
0
0
x6
-10
0
0
0
[-2]
0
1
σj
0
0
0
-1
-3
0
0
x3
15
0
0
1
（1）
cj
5 c2 0 0
0
σ4=c2－5 ≤0 σ5=5－2c2 ≤0 5/2≤c2≤5
CB XB b x1 x2 x3 x4
x5
0 x3 25 0 0 1 2
-5
5 x1 35 1 0 0 1
-1
c2 x2 10 0 1 0 -1
2
0 0 0 c2－5 5－2c2
最优解X*=（35，10，25，0，0）T保持不变。
0
0
0
0
CB
XBbx1来自x2x3x4
x5
x6
0
x3
25
0
0
1
2
-5
0
5
x1
35
1
0
0
1
-1
0
4
x2
10
0
1
0
-1
2
0
0
x6
150
4
2
0
0
0
1
σj
0
0
0
-1
-3
0
0
x3
25
0
0
1
2
-5
0
5
x1
35
1
0
0
1
-1
0
4
x2
10
0
1
0
-1
2
0
0
x6
-10
0
0
0
[-2]
0
1
σj
0
0
0
-1
-3
0
0
x3
15
0
0
1
运筹学11-灵敏度分析-b
Operational Research
8
图解灵敏度分析（约束b）
该线性规划问题可以用图解法作如下表达
x2
2x1＋x2 ≤ 8
2x1＋x2 ≤ 9
x1＋3x2 ≤ 8 B G
机器A保持变化率的范围为： 从B到F B（0,2.67）；F（8,0） B点对机器A的限制是 2×0＋2.67＝2.67 F点对机器A的限制是 2×8＋0＝16 因此，当约束范围为〔2.67，16〕， 变化率一定，14USD/h
线性规划的参数 A B C 会在一定范围内波动。
A B C 代表什么？技术、资源与价值。
• 不变：参数在什么范围内变化，最优解不变？ • 规律变：在什么范围内变化，最优解可很快得到？怎样得到？
可以重新求解，但更为简单的是进行灵敏度分析。
• 再求解：如果不能很快得到最优解，如何继续求解？
Operational Research
因为范围为〔2.67，16〕，收入增加 14×（13-8）＝70 如果A工作能力增加到20小时？
最优解产生于F点
Operational Research
11
代数灵敏度分析（约束b）
讲代数解之前必须复习的一些知识
B 基的初始状态、 B* 最优基的初始状态 B*-1 最优基的逆矩阵，在哪里能够找到？初始E的最终状态 b 是初始约束条件， B*-1 b是最终约束条件
书上解法（公式法）： （1）找到B-1 （2）如求b1的改变， 则看矩阵中的第一列
正元素除-bi最大者为下限 负元素除-bi最小者为上限
Cj
58 6 0 0
b
CB XB x1 x2 x3 x4 x5
5 x1 1 0 0 2 －1 4
8 x2 0 1 1 －1 1 8
线性规划的灵敏度分析
23
,
b3
33
5
1
,
5 1
,
15
1
5,5,15
故有 15 b3 5,b3 在[0，20]上变化时最优基不变。
若线性规划模型是一个生产计划模型，当求出cj或bi 的最大允许变化范围时，就可随时根据市场的变化来掌握 生产计划的调整。
灵敏度分析方法还可以分析工艺系数aij的变化对最优解 的影响，对增加约束、变量或减少约束、变量等情形的分 析，下面以一个例子来说明这些分析方法。
（8）增加新约束 5x1 x2 2x3 10
§2.4 灵敏度分析
Ch2 Dual Problem
Sensitivity Analysis
2023年2月1日星期三 Page 19 of 34
【解】加入松弛变量x4、x5、x6，用单纯形法计算，最优表如2－7所 示。
表2－7
Cj
2 -1
4
0
0
0
b
CB XB x1
x2
x3
x4
x5
x6
4 x3 0 5/7
1
1/7 3/7
0
2
2 x1 1 2/7
0 －1/7 4/7
0
1
0 x6 0 －2
0
0
－1
1
1
λj
0 －31/7 0 －2/7 －20/7 0
§2.4 灵敏度分析 Sensitivity Analysis
Ch2 Dual Problem
2023年2月1日星期三 Page 20 of 34
§2.4 灵敏度分析 Sensitivity Analysis
cj
－2 1
－4
0
,
b3
33
5
1
,
5 1
,
15
1
5,5,15
故有 15 b3 5,b3 在[0，20]上变化时最优基不变。
若线性规划模型是一个生产计划模型，当求出cj或bi 的最大允许变化范围时，就可随时根据市场的变化来掌握 生产计划的调整。
灵敏度分析方法还可以分析工艺系数aij的变化对最优解 的影响，对增加约束、变量或减少约束、变量等情形的分 析，下面以一个例子来说明这些分析方法。
（8）增加新约束 5x1 x2 2x3 10
§2.4 灵敏度分析
Ch2 Dual Problem
Sensitivity Analysis
2023年2月1日星期三 Page 19 of 34
【解】加入松弛变量x4、x5、x6，用单纯形法计算，最优表如2－7所 示。
表2－7
Cj
2 -1
4
0
0
0
b
CB XB x1
x2
x3
x4
x5
x6
4 x3 0 5/7
1
1/7 3/7
0
2
2 x1 1 2/7
0 －1/7 4/7
0
1
0 x6 0 －2
0
0
－1
1
1
λj
0 －31/7 0 －2/7 －20/7 0
§2.4 灵敏度分析 Sensitivity Analysis
Ch2 Dual Problem
2023年2月1日星期三 Page 20 of 34
§2.4 灵敏度分析 Sensitivity Analysis
cj
－2 1
－4
0
运筹学2对偶理论与灵敏度分析
三、增加新变量的灵敏度分析
在管理中经常遇到的问题：已知一 种新产品的技术经济指标，在原有最优 生产计划的基础上，怎样最方便地决定 该产品是否值得投入生产，可在原线性 规划中引入新的变量 ； 无论增加什么样的新变量，新问题 的目标函数只能向好的方向变化。
例2.16 （续例2.14）
设企业研制了一种新产品，对三种资源的消耗系数 列向量以P6表示。试问它的价值系数c6符合什么条件， 才必须安排它的生产？设c6=3，新的最优生产计划是 什么？
1. 强制生产30件A x1 必须等于30 目 标值下降; 下降程度可用 x1 的检验数进行 计算：
cj CB 0 5 4 0 XB x3 x1 x2 x6 σ
j
5 b 25 35 10 150 x1 0 1 0 4 0
4 x2 0 0 1 2 0
0 x3 1 0 0 0 0
0 x4 2 1 -1 0 -1
0 x5 -5 -1 2 0 -3
0 x6 0 0 0 1 0
0 5 4 0
0 5 4 0
90 1 = 80 0 b 0 3
250 - 5b3 - 5 90 80 = 80 b 3 ≥0 1 1 80 2b b3 -1 2 3
2
解得40≤b3≤50，即当3∈[40，50]时，最优基B不变， 最优解为： * x3 250- 5b3 * x1 80 b 3 * = x2 80 2b 3
x4*=x5*=0, z*=5×(80－b3)+4×(－80+2b3)=80+3b3
例2.14 某企业利用三种资源生产两种产品 的最优计划问题归结为下列线性规划
运筹学灵敏度分析目标规划
3 灵敏度分析
例3 7:
例3 4增加3x1+ 2x2≤15;原最优解不 满足这个约束 于是
Ci
2 3000
0
CB XB b X1 X2 X3 X4 X5
X6
2 X1 4 1 0 0 1/4 0
0
0 X5 4 0 0 -2 1/2 1
0
3 X2 2 0 1 1/2 -1/8 0
0
0 X6 -1 0 0 -1 -1/2 0
故恒有d+×d=0
目标规划问题及其数学模型
2 统一处理目标和约束
对有严格限制的资源使用建立系统约束;数学形式同线性规划中 的约束条件 如C和D设备的使用限制
4 x 1 16 4 x 2 12
对不严格限制的约束;连同原线性规划建模时的目标;均通过目 标约束来表达 1例如要求甲 乙两种产品保持1:1的比例;系统约束表达为： x1=x2 由于这个比例允许有偏差; 当x1<x2时;出现负偏差d;即： x1+d =x2或x1x2+d =0 当x1>x2时;出现正偏差d+;即： x1d+ =x2或x1x2d+ =0
-z
m
f
0…
m
0 σm+1 … σn
其中：f = ∑ ci bi’ j = cj ∑ ci aij’ 为检验数 向量 b’ = B1 b
i=1
i=1
A= p1; p2; …; pn ; pj’ = B1 pj; pj’ = a1j’ ; a2j’ ; … ; amj’ T ; j = m+1; … ; n
0
0
-1.5-ΔC2/2 -1/8+ΔC2/8
0
σj=cjc1×a1j+c5 × a5j+c2+Δc2 ×a2jj=3;4 可得到 3≤Δc2≤1时;原最优解不变
第2章线性规划灵敏度分析
X’B=B-1b’
• 如果b1’=2200
cj
4300 0
CB XB b
x1 x2 x3 x4 x5
0 x5 500 0 0 0.5 -0.4 1 3 x2 1200 0 1 1 -0.4 0 4 x1 -100 1 0 -0.5 0.4 0
zj zj-cj
3200
43
1 0.4 0
00
1
0.4 0
价值系数c的变化
• 对于LP：max Z=CTX S.t. AX=b,X 0
• 当从最终的单纯形表上得到最优基B时，其 最优结果为： (XBT,XRT)=(B-1bT,0T) Max Z=CBTB-1b
• 相应的检验数为： =(z-c)=CBTB-1A-C 其中：
– 基变量的检验数为0，
– 非基变量的检验数为：
用对偶单纯形法求解得
cj CB XB b
4 3 00 0 x1 x2 x3 x4 x5
0 x5 400 1 0 0 0 1 3 x2 1000 2 1 0 0.4 0 0 x3 200 -2 0 1 -0.8 0
zj zj-cj
3000
6 3 0 1.2 0 2 0 0 1.2 0
技术系数变化的影响
43 0 0
x1 x2 x3 x4 100 0 1.5 1 0.5 0 1.25 0 -1.25 1 4.5 3 1.5 0 0.5 0 1.5 0
0
x5 1 0 0 0 0
新的最优解是： X=(0, 800, 0, 500, 400)T Zmax=2400
• 问题：在前例中，要求保持最优解不变的 技术消耗系数的变化范围？
cj
4 3+c2 0 0
0
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−19 1.4
，
−7.5 0.5
，
−0.5 0.3
}≤ ∆������2 ≤ ������������������{
−8
−0.2
，
−44 −0.6
}
也就是 -1.67≤ ∆������2 ≤ 40 28.33 ≤ ������2 ≤ 70
因为������2 减少 2 元超出下线，所以最优解要改变。由上式可以看出∆������2 的下限是 ������7 对应的列达到的，因此第 2 种生产方法的利润下降到 28.33 元以下时，检验数第 一个取得正数的非基变量为������7 ， 即������7 进入最优解。 有由表可以看出， 当������7 =1， , ������1 和������5 将分别增加 0.2 和 0.1，������2 将减少 0.3，������2 是换出变量，新最优解为： ������7 =0.3=533 1 2 ������1 = 26 + 0.2 ∗ 53 = 36 3 3 ������5 =8+0.1∗ 53 3=133
20 ������1
30 ������2 0 1 0 30 0
40 ������3 0.4 1.4 0.2 59 -19
5 ������4 1 0.5 -0.5 12.5 -7.5
45 ������5 0 0 1 45 0
0 ������6 -0.2 -��7 -0.2 0.3 -0.1 0.5 -0.5
1 1 16 1
灵敏度价值系数应用实例 某工厂使用五种生产方法，生产 A，B 和 C 三种产品，有关数据如表 1，2 所示
每 批 产品 A B C
生产方 法 产量
1 3 6 2
2 2 1 6
3 4 2 5
4 4 1 1
5 0 4 8
单位售价（元） 10 5 4
生产方 源 法 资源 消耗 工时（h) 机器小时 每批成本（元）
0 ������8 0.4 -0.6 1.2 44 -44
我们考虑如下几种互相独立的情况，应用灵敏度分析的结论。 （一） 如果第 2 种生产方法的每批成本提高到 21 元，是否会改变最优解？ 因������2 为基变量，成本增加 2 元就是利润减少 2 元，即������2 要变动，∆������2 的上下限为： ������������������{
资
1 0 1 48
2 4 1 19
3 6 2 30
4 1 1 44
5 2 1 7
可取得数量 80 50 -1
有一个合同 x 要求至少生产 110 单位的 A。 设������������ 为使用第j种生产方法的批数j = 1,2, … ,5,������6 为 A 的产量超过 110 单位的数字，������7 为松弛 公式������8 为松弛机器小时， 则求最大利润的模型是： ������������������ = 20������1 + 30������2 + 40������3 + 5������4 + 45������5 满足3������1 + 2������2 + 4������3 − ������6 = 110 4������2 + 6������3 + ������4 + 2������5 + ������7 = 80 ������1 + ������2 + 2������3 + ������4 + ������5 + ������8 = 50 ������������ ≥ 0，������ = 1，2, …,8 最优解如表 ������������ ������ℬ 20 30 45 ������������ ������������ − ������������ ������ℬ 26 16 8 1 0 0 20 0
，
−7.5 0.5
，
−0.5 0.3
}≤ ∆������2 ≤ ������������������{
−8
−0.2
，
−44 −0.6
}
也就是 -1.67≤ ∆������2 ≤ 40 28.33 ≤ ������2 ≤ 70
因为������2 减少 2 元超出下线，所以最优解要改变。由上式可以看出∆������2 的下限是 ������7 对应的列达到的，因此第 2 种生产方法的利润下降到 28.33 元以下时，检验数第 一个取得正数的非基变量为������7 ， 即������7 进入最优解。 有由表可以看出， 当������7 =1， , ������1 和������5 将分别增加 0.2 和 0.1，������2 将减少 0.3，������2 是换出变量，新最优解为： ������7 =0.3=533 1 2 ������1 = 26 + 0.2 ∗ 53 = 36 3 3 ������5 =8+0.1∗ 53 3=133
20 ������1
30 ������2 0 1 0 30 0
40 ������3 0.4 1.4 0.2 59 -19
5 ������4 1 0.5 -0.5 12.5 -7.5
45 ������5 0 0 1 45 0
0 ������6 -0.2 -��7 -0.2 0.3 -0.1 0.5 -0.5
1 1 16 1
灵敏度价值系数应用实例 某工厂使用五种生产方法，生产 A，B 和 C 三种产品，有关数据如表 1，2 所示
每 批 产品 A B C
生产方 法 产量
1 3 6 2
2 2 1 6
3 4 2 5
4 4 1 1
5 0 4 8
单位售价（元） 10 5 4
生产方 源 法 资源 消耗 工时（h) 机器小时 每批成本（元）
0 ������8 0.4 -0.6 1.2 44 -44
我们考虑如下几种互相独立的情况，应用灵敏度分析的结论。 （一） 如果第 2 种生产方法的每批成本提高到 21 元，是否会改变最优解？ 因������2 为基变量，成本增加 2 元就是利润减少 2 元，即������2 要变动，∆������2 的上下限为： ������������������{
资
1 0 1 48
2 4 1 19
3 6 2 30
4 1 1 44
5 2 1 7
可取得数量 80 50 -1
有一个合同 x 要求至少生产 110 单位的 A。 设������������ 为使用第j种生产方法的批数j = 1,2, … ,5,������6 为 A 的产量超过 110 单位的数字，������7 为松弛 公式������8 为松弛机器小时， 则求最大利润的模型是： ������������������ = 20������1 + 30������2 + 40������3 + 5������4 + 45������5 满足3������1 + 2������2 + 4������3 − ������6 = 110 4������2 + 6������3 + ������4 + 2������5 + ������7 = 80 ������1 + ������2 + 2������3 + ������4 + ������5 + ������8 = 50 ������������ ≥ 0，������ = 1，2, …,8 最优解如表 ������������ ������ℬ 20 30 45 ������������ ������������ − ������������ ������ℬ 26 16 8 1 0 0 20 0