初等函数-课件PPT
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函数的概念与基本初等函数函数模型及其应用课件文ppt
函数的概念与基本初等函数函数 模型及其应用课件文ppt
xx年xx月xx日
目录
• 函数的概念与基本初等函数 • 函数模型的选择与建立 • 函数模型的应用领域 • 建立函数模型的实例分析 • 函数模型的进阶应用与挑战 • 总结与展望
01
函数的概念与基本初等函数
函数定义与性质
函数定义
设x和y是两个变量，D是一个数集，如果对于D中的每个x值，都有唯一确定的y值与之对应，那么称y 是x的函数，记作y=f(x)。
06
总结与展望
函数模型的重要性和应用前景
函数模型在各个领域 的应用广泛
无论是自然科学、社会科学还是工程 技术，函数模型都扮演着重要的角色 。
函数模型在数据处理 和分析中的重要性
通过函数模型可以对数据进行拟合、 预测和推断，进而为决策提供科学依 据。
函数模型在算法设计 和优化中的关键作用
函数模型可以描述算法的性能、复杂 度和精度，为算法优化提供基础。
在工程设计中，利用已知的设计 参数，建立函数模型，优化设计 方案。
03
函数模型的应用领域
函数模型在物理中的应用
力学
利用函数模型描述物体的运动轨迹、受力情况等。
电磁学
函数模型可以描述电路、电磁波的传播等。
光学
用函数模型研究光的传播、折射、反射等。
函数模型在化学中的应用
物质结构
函数模型可以描述分子、原子等微观粒子的结构和 运动。
图解法
通过绘制变量之间的关系图，建立函数模型。
最小二乘法
通过最小化预测值与实际值之间的平方误差 ，建立函数模型。
函数模型的应用实例
01
02
03
经济预测
科学计算
工程设计
xx年xx月xx日
目录
• 函数的概念与基本初等函数 • 函数模型的选择与建立 • 函数模型的应用领域 • 建立函数模型的实例分析 • 函数模型的进阶应用与挑战 • 总结与展望
01
函数的概念与基本初等函数
函数定义与性质
函数定义
设x和y是两个变量，D是一个数集，如果对于D中的每个x值，都有唯一确定的y值与之对应，那么称y 是x的函数，记作y=f(x)。
06
总结与展望
函数模型的重要性和应用前景
函数模型在各个领域 的应用广泛
无论是自然科学、社会科学还是工程 技术，函数模型都扮演着重要的角色 。
函数模型在数据处理 和分析中的重要性
通过函数模型可以对数据进行拟合、 预测和推断，进而为决策提供科学依 据。
函数模型在算法设计 和优化中的关键作用
函数模型可以描述算法的性能、复杂 度和精度，为算法优化提供基础。
在工程设计中，利用已知的设计 参数，建立函数模型，优化设计 方案。
03
函数模型的应用领域
函数模型在物理中的应用
力学
利用函数模型描述物体的运动轨迹、受力情况等。
电磁学
函数模型可以描述电路、电磁波的传播等。
光学
用函数模型研究光的传播、折射、反射等。
函数模型在化学中的应用
物质结构
函数模型可以描述分子、原子等微观粒子的结构和 运动。
图解法
通过绘制变量之间的关系图，建立函数模型。
最小二乘法
通过最小化预测值与实际值之间的平方误差 ，建立函数模型。
函数模型的应用实例
01
02
03
经济预测
科学计算
工程设计
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件 (1)
原函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α∈Q*)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
f(x)＝ax
导函数 f′(x)＝_0__ f′(x)＝_α_x_α_－_1_ f′(x)＝_c_o_s_x__ f′(x)＝__－__s_in__x_ f′(x)＝ axln a (a>0)
f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝ln x
∴所求的最短距离
d＝1本初等函数的导数公式
知识点一 几个常用函数的导数
原函数 f(x)＝c f(x)＝x f(x)＝x2 f(x)＝ 1
x f(x)＝ x
导函数 f′(x)＝_0__ f′(x)＝_1__ f′(x)＝__2_x_ f′(x)＝_－__x1_2 _
1 f′(x)＝_2__x__
知识点二 基本初等函数的导数公式
命题角度2 求切点坐标问题 例3 求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离.
解 设切点坐标为(x0，x20)，依题意知与直线 x－y－2＝0 平行的抛物线 y ＝x2 的切线的切点到直线 x－y－2＝0 的距离最短.
∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝12，
∴切点坐标为12，41，
f′(x)＝_e_x_
1 f′(x)＝ xln a (a>0且a≠1)
1 f′(x)＝__x_
类型一 利用导数公式求函数的导数
例1 求下列函数的导数. (1)y＝sin π6； 解 y′＝0. (2)y＝12x； 解 y′＝12xln12＝－12xln 2.
(3)y＝lg x；
解 y′＝xln110.
(4)y＝ x2x；
解
∵y＝
x2x＝x
3 2
人教版《第二章 基本初等函数》PPT完美课件1
例2：求下面对数式中x 的取值范围.
lo2g x1x2
2x 1 0 解： 2 x 1 1
x 2 0
x 1 2
x1
x 2
x
x
1,且x 2
1
人教版《第二章 基本初等函数》PPT完美课件1
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例3：解方程.
lo2lgo4xg 0
解 所l： 以 to 4 x 2 0g t ,则 1,设 即 llo 2 ot4 gx0 g 1注 验 大意 证 于0： 真，一 数底定 是数要 否是
思考：你发现了什么？
lo a a g 1 a 0 ,且 a 1
人教版《第二章 基本初等函数》PPT完美课件1
人教版《第二章 基本初等函数》PPT完美课件1
4.求下列各式的值：
12log28
2 3log327
3
1
log
18
2
2
猜想： a lo a N g ? a 0 ,且 a 1
赋予它的含义就是：1.2的多少次幂等于2.
人教版《第二章 基本初等函数》PPT完美课件1
人教版《第二章 基本初等函数》PPT完美课件1
对数的定义：
若ax N（a0,a1） ,则数 x叫做
以a为底 N的对数，x记 lo作 ga N,
其中 a为底数N为 ，真.数loga N
指数
对数
幂
真
ax N
数 loga Nx
ax N
xloga N
等函数》PPT完美课件1
人教版《第二章 基本初等函数》PPT完美课件1
对数的性质：
1零和负数没有对数
2 lo a 1 0 g a 0 ,且 a 1 3 lo a a 1 g a 0 ,且 a 1
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件ppt
5. 若 fx ax,则f ' x ax ln a;
6. 若 fx ex,则f ' x ex ;
7.
若 fx loga x,则 f ' x
1 ;
x ln a
8.
若 fx ln x,则 f ' x
1 .
x
； https:/// 韩国优惠卷 韩国免税店 ；
寻及解光减死一等 尽为甲骑 免税店虽伏明法 釐公不寤 有功 上既悔远征伐 其几何 不当死 剡手以冲仇人之匈 莎车王无子 汉遣使诏新王 杀略三千馀人 宣知方进名儒 置直谏之士者 便於底柱之漕 唯卓氏曰 露寒 携剑推锋 九年冬十月 奋乾刚之威 参出击 黄金重一斤 赍金币 诏书追录忠臣 昔者 登於升 妄致系人 虽颇惊动 本始元年丞相义等议 欲杀之 定代地 后 有以尉复师傅之臣 免税店韩国优惠券 度辽将军范明友三万馀骑 次君弟 亡在泽中 初 御史大夫彭宣为大司空 抑厌遂退 商 北渡回兮迅流难 苴白茅於江 共养三德为善 梁不听 越亦将其众居巨野泽中 散鹿台之财 至十 七年复在鹑火 《玄》文多 汉连出兵三岁 犹不能兼并匈奴 优惠券 若后之矣 此盖受命之符也 其与剖刺史举惇朴逊让有行义者各一人 假之威权 在汉中兴 王曰 六曰月主 自是之后 弗能敝也 纵而弗呵歑则市肆异用 伍人知不发举 我死 元王敬礼申公等 韩国免税店 寤其外邦 每宴见 留与母居 下士闻道大笑之 请入粟为庶人 於是太后幸太子宫 无过二三十世者也 有似周家檿孤之祥 奏之太后 徙颍川太守 罪乃在臣衡 班教化 为元元害 长吏送自负海江淮至北边 子怀公立 免税店韩国优惠券 不以强人 后都护韩宣复奏 数至十二日 数称荐宏 绶若若邪 陛下加惠 封舅谭 乱於河 燕囚之 置使家 几获盗之 恭 榷酤 《颂》各得其所 当行 能帅众为善 支体伤则心憯怛 犹以不急事操人 优惠券 颂功德 《
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则课件
f′(x)＝__ex__ 1
f′(x)＝__x_ln__a__(a>0且a≠1)
1
f′(x)＝__x___
类型一 利用导数公式求出函数的导数 (1)y＝sin π3；(2)y＝5x；(3)y＝x13； (4)y＝4 x3；(5)y＝log3x；(6)y＝1－2sin22x.
类型二 利用导数公式解决切线有关问题 例2 (1)已知P，Q为抛物线y＝1 x2上两点，点P，Q横坐标分别为4，－2，
2 过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的坐标为
________.
(2)已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共 点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由. 解 设存在一个公共点(x0，y0)使两曲线的切线垂直， 则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝ y′| xx0 ＝cos x0，k2＝y′|xx0 ＝－sin x0， 要使两切线垂直，必须k1k2＝cos x0(－sin x0)＝－1， 即sin 2x0＝2，这是不可能的. ∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直.
∴所求的最短距离
d＝|21－142－2|＝78
2 .
几个常用函数的导数 基本初等函数的导数 公式及导数的运算法则
知识点一 几个常用函数的导数
原函数 f(x)＝c f(x)＝x f(x)＝x2 f(x)＝ 1
x f(x)＝ x
导函数
f′(x)＝_0__
f′(x)＝ _1_
f′(x)＝_2_x__ f′(x)＝_－__x1_2 __
1 f′(x)＝__2__x__
类型三 利用导数公式求最值问题
例3 求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离.
f′(x)＝__x_ln__a__(a>0且a≠1)
1
f′(x)＝__x___
类型一 利用导数公式求出函数的导数 (1)y＝sin π3；(2)y＝5x；(3)y＝x13； (4)y＝4 x3；(5)y＝log3x；(6)y＝1－2sin22x.
类型二 利用导数公式解决切线有关问题 例2 (1)已知P，Q为抛物线y＝1 x2上两点，点P，Q横坐标分别为4，－2，
2 过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的坐标为
________.
(2)已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共 点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由. 解 设存在一个公共点(x0，y0)使两曲线的切线垂直， 则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝ y′| xx0 ＝cos x0，k2＝y′|xx0 ＝－sin x0， 要使两切线垂直，必须k1k2＝cos x0(－sin x0)＝－1， 即sin 2x0＝2，这是不可能的. ∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直.
∴所求的最短距离
d＝|21－142－2|＝78
2 .
几个常用函数的导数 基本初等函数的导数 公式及导数的运算法则
知识点一 几个常用函数的导数
原函数 f(x)＝c f(x)＝x f(x)＝x2 f(x)＝ 1
x f(x)＝ x
导函数
f′(x)＝_0__
f′(x)＝ _1_
f′(x)＝_2_x__ f′(x)＝_－__x1_2 __
1 f′(x)＝__2__x__
类型三 利用导数公式求最值问题
例3 求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离.
二常用函数与基本初等函数一 .ppt
(5)x [3, 0) (0, 3) 2
例2.求下列函数的值域
jbhs.gsp
(1) y 1 5 3 2 cos x
(3)
y
1 x2 1
1
(5)
y
2 x2 1
(2) y 2 1 sin x
(4) y 1 2 cos x 1
结论：
jbhs.gsp
(1)若a b 0，a x b； 1 1 1 bxa
(ⅱ)
logam
an
n. m
(5)"loga N "是一个实数，且aloga N N.
例2. log3 1 3ln e lg1000 eln2 log9 27 log2 2 2 ——————
(6) a 0,a 1时，loga x c x ac； a 1时， loga x c x ac ,
jbhs.gsp
（1）y ln x 1 3ln x 2
（3）y 1 cos x 2 cos x 1
（2）y 2sin x 3 2sin x
（4）y 1 2ex ex 2
【3】形如y ax b (a b 0)的函数 x
1. 图象是以原点为中心（奇函数）, 以x轴及直线y=ax为渐近线的双曲线；
例3.已知函数f (x) ax2 (a 3)x b， (1)若f (x)在区间( ,1)上单调递减， 则实数a的取值范围是------------------------- .
(2)若a 0，x1, x2是函数f (x)的两个零点, 且x1 1 x2，则实数b的取值范围是-----------
(h m n) 2
1.5基本初等函数、初等函数、复合函数PPT
求arccos x
在[0, ]内确定一点 使cos x 则arccos x
例 如 求 a 1 r ) ccos(
2
因 为 c 2 o 1 所 s 以 a r 1 ) 2 c cos
3 2
2 3
《微积分》(第三版) 电子教案
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二、复合函数
设yf(u) ug(x) 如果将ug(x)代入f(u)中 得到的表达式 f[g(x)]是有意义的 则yf[g(x)]是一个以x为自变量 y为因变量 的新函数 称为由yf(u)和ug(x)复合而成的复合函数
( 1 ) y 3 x 1 ; ( 2 ) y ( 1 l g x ) 5 ; ( 3 ) y e e x 2
答案：1.y 2cos2 x
2.(1)y u,u3x1
(2)yu5,u1v,vlgx
(3)yeu,uev,vx2
《微积分束
例1.15
(3）两角和公式
s in (x y ) s in x c o sy c o s x s in y ,
cos(x y) cosxcos ysin xsin y
《微积分》(第三版) 电子教案
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(4)倍角公式
sin2x2sinxcosx,
c o s 2 x c o s 2 x s i n 2 x 1 2 s i n 2 x 2 c o s 2 x 1
《微积分》(第三版) 电子教案
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(1)什么样的函数有反函数?
一一对应函数有反函数
(2)互为反函数图象之间有什么关系
关于直线y=x对称
(3)正弦函数y=sinx ,余弦函数y=cosx,
正切函数y=tanx在定义域上有反函数吗?
基本初等函数及其图像精品PPT课件
9
5.反三角函数 反正弦函数 y arcsin x
y arcsin x
y A sin x
10
反余弦函数 y arccos x
y arccos x
y A rccos x
11
反正切函数 y arctan x
y arctan x
y A rc tan x
12
反余切函数 y arccot x
y 1ex 2
y shx
y 1ex 2
14
双曲正切
thx
sh ch
x x
ex ex
ex ex
D : (,) 奇函数, 有界函数,
15
双曲函数常用公式
sh(x y) shxchy chxshy;
sin(x y) sin x cos y cos x sin y ;
ch(x y) chxchy shxshy;
y loga x
(1,0)
•
(a 1)
y log 1 x
a
自然对数函数y ln x loge x
3
4.三角函数
正弦函数 y sin x
y sin x
4
余弦函数 y cos x
y cos x
5
正切函数 y tan x
y tan x
D {x | x R, x (2n 1) }
y arthx
1 ln 1 x . 2 1 x
D : (1,1)
奇函数,
在 (1,1)内单调增加 .
y ar tanh x
19
.思考
设x 0 ，函数值 f ( 1 ) x 1 x2 ， x
求函数 y f ( x) ( x 0)的解析表达式.
20
5.反三角函数 反正弦函数 y arcsin x
y arcsin x
y A sin x
10
反余弦函数 y arccos x
y arccos x
y A rccos x
11
反正切函数 y arctan x
y arctan x
y A rc tan x
12
反余切函数 y arccot x
y 1ex 2
y shx
y 1ex 2
14
双曲正切
thx
sh ch
x x
ex ex
ex ex
D : (,) 奇函数, 有界函数,
15
双曲函数常用公式
sh(x y) shxchy chxshy;
sin(x y) sin x cos y cos x sin y ;
ch(x y) chxchy shxshy;
y loga x
(1,0)
•
(a 1)
y log 1 x
a
自然对数函数y ln x loge x
3
4.三角函数
正弦函数 y sin x
y sin x
4
余弦函数 y cos x
y cos x
5
正切函数 y tan x
y tan x
D {x | x R, x (2n 1) }
y arthx
1 ln 1 x . 2 1 x
D : (1,1)
奇函数,
在 (1,1)内单调增加 .
y ar tanh x
19
.思考
设x 0 ，函数值 f ( 1 ) x 1 x2 ， x
求函数 y f ( x) ( x 0)的解析表达式.
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初等函数—用初等方法讨论初等函数(初等数学课件)
4
方程有实数解的充要条件是 （6 y 2） 36(1 y ) 0,即y
3
2
2
例题讲解
1
例 2 求函数 y 2
的值域
x x 3
解：把函数变形为关于 x 的二次方程
yx 2 yx 3 y 1 0
当 y 0 时，方程无解，故 y 0 不在函数值域中。
f ( x1 ) f ( x2 )
1 1 x2 x1
x1 x2
x1 x2
， x1 x2 ，所以 x2 - x1 0，x1x2 0
因为 x1，x2 0，
即
f ( x1 ) f ( x2 ) 0 f ( x1 ) f ( x2 )
因此
函数 f x
任何非零实数都是它的周期，但它没有最小正周期。
例题讲解
例 1 求函数 y cos 2 x 的最小正周期。
解 设 T 0 是函数 y cos 2 x 的周期，则对一切实数 x ，有
cos2 x T cos2 x
令 x0
2
，有 sin 2 T 0 。所以 T k k Z且k 0
数。
k
k为非零常数 是在 x f x 0, x M 上以 T 为最小正周期的
（2）函数
f x
周期函数。
cos x T cos x 2
2
令 x 0 ，有 cosT 2 1 ，所以 T 2k k N
例题讲解
2
cos 2 1 2k cos4k 1
所以 2 2 1 k 2n n Z ，从而
人教版高中数学基本初等函数(1)复习课(共21张PPT)教育课件
2 2
,
1
小结：1、构造两个函数，研究函数图象， 利用数形结合求解；
2、数形结合是解决方程、不等式的重要工具；
3、考查函数思想、数形结合思想、分类讨论思想
四、核心考点 突破练
例2：复习参考题B组第3题 (课后练习）
对于函数f
x
a
2 2x 1
a
R ：
1 探索函数f x的单调性；
2是否存在实数a使函数f x为奇函数？
•
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
高等数学第一章第九节连续函数的运算与初等函数的连续性课件.ppt
x
三、初等函数的连续性
★ 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是
连续的.
★ 指数函数 y ax (a 0, a 1)
在(,)内单调且连续;
★ 对数函数 y loga x (a 0, a 1)
在(0,)内单调且连续;
★ y x a
loga x
在(0, )内连续,
y au,
u log x. a
二、反函数与复合函数的连续性
定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连
续反函数.
例如,
y sin x在[ , ]上单调增加且连续,
22
故 y arcsin x 在[1,1]上也是单调增加且连续.
同理 y arccos x 在[1,1]上单调减少且连续; y arctan x, y arccot x 在[,]上单调且连续. 反三角函数在其定义域内皆连续.
定义区间与定义域的区别; 求极限的又一种方法.
一、填空题：
练习题
1、lim x 2 3 x 4 ____________. x0
2、lim x 1 1 ____________.
x0
x
3、lim ln(2cos 2x) ____________. x 6
4、lim x
2 2cos x ____________. tan2 x
讨论不同值,
(均在其定义域内连续 )
定理5 基本初等函数在定义域内是连续的.
定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连 续的.
定义区间是指包含在定义域内的区间.
注意 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在 其定义域内不一定连续;
例如, y cos x 1, D : x 0,2,4,
这些孤立点的邻域内没有定义.
三、初等函数的连续性
★ 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是
连续的.
★ 指数函数 y ax (a 0, a 1)
在(,)内单调且连续;
★ 对数函数 y loga x (a 0, a 1)
在(0,)内单调且连续;
★ y x a
loga x
在(0, )内连续,
y au,
u log x. a
二、反函数与复合函数的连续性
定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连
续反函数.
例如,
y sin x在[ , ]上单调增加且连续,
22
故 y arcsin x 在[1,1]上也是单调增加且连续.
同理 y arccos x 在[1,1]上单调减少且连续; y arctan x, y arccot x 在[,]上单调且连续. 反三角函数在其定义域内皆连续.
定义区间与定义域的区别; 求极限的又一种方法.
一、填空题：
练习题
1、lim x 2 3 x 4 ____________. x0
2、lim x 1 1 ____________.
x0
x
3、lim ln(2cos 2x) ____________. x 6
4、lim x
2 2cos x ____________. tan2 x
讨论不同值,
(均在其定义域内连续 )
定理5 基本初等函数在定义域内是连续的.
定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连 续的.
定义区间是指包含在定义域内的区间.
注意 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在 其定义域内不一定连续;
例如, y cos x 1, D : x 0,2,4,
这些孤立点的邻域内没有定义.
课件(PPT版)2.3_初等函数
六、反双曲函数
定义 反双曲正弦函数 Arsh z Ln (z z2 1 );
P 44
反双曲余弦函数 Arch z Ln (z z2 1 );
反双曲正切函数 Arth z 1 Ln 1 z ; 2 1 z
反双曲余切函数 Arcoth z 1 Ln z 1 . 2 z1
i Lni
i ( i2kπi)
2
( 2kπ)
2
,
(k 0, 1, 2,) .
可见，i i是正实数，它的主值是
e
2
.
例 求 1 2 的值。
解 1 2 e 2 Ln1 e 2[0i(02k )] e2 2kπi
cos (2 2 kπ) i sin (2 2 kπ) , (k 0, 1, 2,).
(w)
一、指数函数
性质 (7) 映射关系： 由 w ez ex (cos y i sin y) ex ei y , 有
|w| ex,
Arg w y 2kπ ,
(k 0, 1, 2,)
由 z 的实部得到 w 的模； 由 z 的虚部得到 w 的辐角。
How beautiful the sea is!
u ln r ln| z|,
v
Arg z .
由 z 的模得到 w 的实部 ； 由 z 的辐角得到 w 的虚部 。
即 w Ln z ln| z | i Arg z
ln| z | i arg z 2kπi , (k 0, 1, 2,).
其中，m 与 n 为互质的整数，且 n 1.
此时，za 除原点与负实轴外处处解析， 且 (za ) a za 1.
高三数学复习专题-函数与基本初等函数-第2章第2节-课件
第二章 函数与基本初等函数
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学
课堂典例讲练
第二章 函数与基本初等函数
走向高考 ·高考总复习 ·北师大版 ·数学
求函数的单调区间 (文)求出下列函数的单调区间： (1)f(x)＝|x2－4x＋3|； (2)f(x)＝log2(x2－1)． [思路分析] 注意(1)函数含有绝对值，故可将其转化为分 段函数并作出图像求解；(2)中的函数为函数y＝log2u， u＝x2－1的复合函数，要注意其定义域．
第二章 函数与基本初等函数
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2．函数的最值
前 提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条 对于任意x∈I，都有
对于任意x∈I，都有
件 _f_(_x)_≤_M___；
f_(x_)_≥_M__；
存在x0∈I，使得f_(_x0_)_＝__M 存在x0∈I，使得f_(_x_0)_＝__M
6．已知函数 f(x)为 R 上的减函数，则满足 f(|1x|)<f(1)的实数 x 的取值范围是________．
[答案] (－1,0)∪(0,1) [解析] 由函数 f(x)为 R 上的减函数且 f(|1x|)<f(1)，
得|1x|>1， x≠0，
即x|x≠|<10，. ∴0<x<1 或－1<x<0.
3 课堂典例讲练
2 课前自主导学
4 课时作业
第二章 函数与基本初等函数
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第二章 函数与基本初等函数
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考纲要求
1.理解函数 的单调性、最大 值、最小值及其 几何意义．
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(2)∵π4 ∈0，π2 ，∴fπ4 ＝－tanπ4 ＝－1， ∴ffπ4＝f(－1)＝2×(－1)3＝－2.
解决分段函数求值问题的方法： (1)求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相 应段的解析式求解，有时每段交替使用求值． (2)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取 值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所 求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围，做到分段 函数分段解决．
【解】(1)法一：设 t＝ x＋1，则 x＝(t－1)2(t≥1)； 代入原式有 f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1. 故 f(x)＝x2－1(x≥1)． 法二：∵x＋2 x＝( x)2＋2 x＋1－1＝( x＋1)2－1， ∴f( x＋1)＝( x＋1)2－1( x＋1≥1)，即 f(x)＝x2－1(x≥1)．
基本初等函数、导数及其应用
• 2015高考导 航
知识点
考纲下载
1.了解构成函数的要素；会求一些简单函数的定义
函数及 其表示
域和值域；了解映射的概念． 2．在实际、 情境中，会根据不同的需要选择恰当 的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
3．了解简单的分段函数，并能简单地应用.
单调性
1.理解函数的单调性及其几何意义． 2．理解函数最大值、最小值及其几何意义.
求函数的解析式
(1)已知 fx2＋1＝lg x，求 f(x)；
(2)已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋ 17，求 f(x)的解析式； (3)定义在(－1，1)内的函数 f(x)满足 2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)， 求函数 f(x)的解析式． [课堂笔记]
奇偶性 结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.
知识点
考纲下载
解指数函数模型的实际背景．
指数与 指数函
数
2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义， 掌握幂的运算． 3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性与指 数函数图象图象所过的特殊点．
4．知道指数函数是一类重要的函数模型.
1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将
A．±1
B．－1
C．－2 或－1
D．±1 或－2
2x3，x<0， (2)(2013·高考福建卷)已知函数 f(x)＝－tan x，0≤x<π2，则 ffπ4＝___－__2___．
[课堂笔记]
【解析】(1)当 a≥0 时，f(a)＝12×a－1＝a，a＝－2，不合题 意，舍去；当 a＜0 时，f(a)＝1a＝a，a＝－1(a＝1 舍去)，故 选 B.
(2)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则 f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2，∴a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x＋c. 又∵方程 f(x)＝0 有两个相等实根，
∴Δ＝4－4c＝0，c＝1，故 f(x)＝x2＋2x＋1.
分类讨论思想在分段函数中的应用
已知实数 a≠0，函数 f(x)＝2－x＋x－a，2ax，<x1， ≥1.若 f(1 －a)＝f(1＋a)，则 a 的值为__－__34____． [解析] 首先讨论 1－a，1＋a 与 1 的关系，当 a<0 时，1－ a>1，1＋a<1，所以 f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a；f(1＋ a)＝2(1＋a)＋a＝3a＋2.
1．设函数f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)的表达式是 (B) A．g(x)＝2x＋1 B．g(x)＝2x－1 C．g(x)＝2x－3 D．g(x)＝2x＋7
2．已知 a，b 为实数，集合 M＝ba，1，N＝{a，0}，f：x→x
表示把 M 中的元素 x 映射到集合 N 中仍为 x，则 a＋b 等于
均相同，所以 f(x)与 g(t)表示同一函数；对于(4)，由于 f12＝ 12－1－12＝0，∴ff12＝f(0)＝1.综上可知，正确的判
断是(2)，(3)．
分段函数
(1)(2014·湖北武汉模拟)设函数 f(x)＝
21x－1（x≥0）
1x（x＜0）
，若 f(a)＝a，则实数 a 的值为( B )
对应关系 f：A→B
应关系f，使对于集合A 中的__任__意__一个数x， 在集合B中都有唯一确
关系f，使对于集合A中的 _任___意__一个元素x，在集
合B中都有唯一确定的元
定的数f(x)和它对应 素y与之对应
名称
函数
映射
称__f：__A__→__B_为从集 称对应f：A→B为从
合A到集合B的一个 集合A到集合B的一
(B) A．－1
B．1
C．0
D．±1
x，x≥0，
3．设函数 f(x)＝
若 f(a)＋f(－1)＝2，则 a＝
－x，x＜0，
( D) A．－3
B．±3
C．－1
D．±1
4．(2014·安徽省“江南十校”联考)函数y＝(x＋1)0＋ln(－x)的定
义域为____(_－__∞_，__－__1_)_∪__(－__1_，__0．)
函数解析式的四种求法： (1)配凑法：由已知条件 f(g(x))＝F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x 替代 g(x)，便得 f(x)的解析式； (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)， 可用待定系数法； (3)换元法：已知复合函数 f(g(x))的解析式，可用换元法，此 时要注意新元的取值范围；
一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简
对数与 对数函
数
化运算中的运用． 2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌 握对数函数图象所过的特殊点． 3．知道对数函数是一类重要的函数模型．
4．了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数 (a＞0，且a≠1).
知识点
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1.了解幂函数的概念． 幂函数 2．结合函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图
1＜x＜2
x≥2
y
1
2
3
(3)f1：y＝2x；f2：如图所示．
[课堂笔记]
【解】(1)不同函数．f1(x)的定义域为{x∈R|x≠0}，f2(x)的定 义域为 R. (2)同一函数．x 与 y 的对应关系完全相同且定义域相同，它 们是同一函数的不同表示方式．
(3)同一函数．理由同(2)．
两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关 系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同 时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用 x 表示， 但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x－1，g(t)＝2t－1，h(m) ＝2m－1 均表示同一函数．
知识点
考纲下载
1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函 数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数一般 不超过三次)． 导数的 2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 应用 会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数一般 不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(对 多项式函数一般不超过三次)． 3．会利用导数解决某些实际问题.
【解】(1)(换元法)令 t＝2x＋1，则 x＝t－2 1，∴f(t)＝lgt－2 1，
即 f(x)＝lgx－2 1(x＞1)．
(2)(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设 f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.
即
ax
＋
(5a
＋
b)
＝
2x
＋
17
知识点
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1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义．
变化率 与导 数、导 数的运 算
2．能根据导数定义求函数 y＝C，y＝x，y＝x2，y＝x3， y＝1x，y＝ x的导数． 3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法 则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如
f(ax＋b)的复合函数)的导数.
函数
个映射
记法 y＝f(x)(x∈A)
对应f：A→B是一个 映射
温馨提醒：(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A与 集合B只能是非空数集，即函数是非空数集A到非空数集B 的映射． (2)映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若 不 是 数集，则这个映射便不是函数．
2．函数的有关概念 (1)函数定义中，集合A、B分别是定义域、值域吗？ 提示：由定义可知,集合A是定义域，而值域是集合B的子集 (2)函数三要素是什么？ 提示：定义域、值域、对应关系 (3)函数的三种常用表示法是什么？ 提示：解析法、图象法、列表法
象，了解它们的变化情况.
函数的 图象
会运用函数图象理解和研究函数的性质.
1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的 函数与 关系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
方程 2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程 的近似解.
知识点
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1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知 道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增 函数模 长的含义． 型及其 2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、 应用 分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广 泛应用.
5．已知函数
f(x)＝xx－＋62，则
1 f(f(4))＝___9_____；若
f(a)＝2，
则 a＝___1_4____．
函数的基本概念
以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？ 为什么？
(1)f1：y＝xx；f2：y＝1；
1，x≤1， (2)f1：y＝2，1＜x＜2，
3，x≥2；
f2：
x
x≤1
(4)消去法：已知关于 f(x)与 f1x或 f(－x)的表达式，可根据
解决分段函数求值问题的方法： (1)求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相 应段的解析式求解，有时每段交替使用求值． (2)若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取 值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所 求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围，做到分段 函数分段解决．
【解】(1)法一：设 t＝ x＋1，则 x＝(t－1)2(t≥1)； 代入原式有 f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1. 故 f(x)＝x2－1(x≥1)． 法二：∵x＋2 x＝( x)2＋2 x＋1－1＝( x＋1)2－1， ∴f( x＋1)＝( x＋1)2－1( x＋1≥1)，即 f(x)＝x2－1(x≥1)．
基本初等函数、导数及其应用
• 2015高考导 航
知识点
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1.了解构成函数的要素；会求一些简单函数的定义
函数及 其表示
域和值域；了解映射的概念． 2．在实际、 情境中，会根据不同的需要选择恰当 的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．
3．了解简单的分段函数，并能简单地应用.
单调性
1.理解函数的单调性及其几何意义． 2．理解函数最大值、最小值及其几何意义.
求函数的解析式
(1)已知 fx2＋1＝lg x，求 f(x)；
(2)已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋ 17，求 f(x)的解析式； (3)定义在(－1，1)内的函数 f(x)满足 2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)， 求函数 f(x)的解析式． [课堂笔记]
奇偶性 结合具体函数，了解函数奇偶性的含义.
知识点
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解指数函数模型的实际背景．
指数与 指数函
数
2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义， 掌握幂的运算． 3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性与指 数函数图象图象所过的特殊点．
4．知道指数函数是一类重要的函数模型.
1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将
A．±1
B．－1
C．－2 或－1
D．±1 或－2
2x3，x<0， (2)(2013·高考福建卷)已知函数 f(x)＝－tan x，0≤x<π2，则 ffπ4＝___－__2___．
[课堂笔记]
【解析】(1)当 a≥0 时，f(a)＝12×a－1＝a，a＝－2，不合题 意，舍去；当 a＜0 时，f(a)＝1a＝a，a＝－1(a＝1 舍去)，故 选 B.
(2)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则 f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2，∴a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x＋c. 又∵方程 f(x)＝0 有两个相等实根，
∴Δ＝4－4c＝0，c＝1，故 f(x)＝x2＋2x＋1.
分类讨论思想在分段函数中的应用
已知实数 a≠0，函数 f(x)＝2－x＋x－a，2ax，<x1， ≥1.若 f(1 －a)＝f(1＋a)，则 a 的值为__－__34____． [解析] 首先讨论 1－a，1＋a 与 1 的关系，当 a<0 时，1－ a>1，1＋a<1，所以 f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a；f(1＋ a)＝2(1＋a)＋a＝3a＋2.
1．设函数f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)的表达式是 (B) A．g(x)＝2x＋1 B．g(x)＝2x－1 C．g(x)＝2x－3 D．g(x)＝2x＋7
2．已知 a，b 为实数，集合 M＝ba，1，N＝{a，0}，f：x→x
表示把 M 中的元素 x 映射到集合 N 中仍为 x，则 a＋b 等于
均相同，所以 f(x)与 g(t)表示同一函数；对于(4)，由于 f12＝ 12－1－12＝0，∴ff12＝f(0)＝1.综上可知，正确的判
断是(2)，(3)．
分段函数
(1)(2014·湖北武汉模拟)设函数 f(x)＝
21x－1（x≥0）
1x（x＜0）
，若 f(a)＝a，则实数 a 的值为( B )
对应关系 f：A→B
应关系f，使对于集合A 中的__任__意__一个数x， 在集合B中都有唯一确
关系f，使对于集合A中的 _任___意__一个元素x，在集
合B中都有唯一确定的元
定的数f(x)和它对应 素y与之对应
名称
函数
映射
称__f：__A__→__B_为从集 称对应f：A→B为从
合A到集合B的一个 集合A到集合B的一
(B) A．－1
B．1
C．0
D．±1
x，x≥0，
3．设函数 f(x)＝
若 f(a)＋f(－1)＝2，则 a＝
－x，x＜0，
( D) A．－3
B．±3
C．－1
D．±1
4．(2014·安徽省“江南十校”联考)函数y＝(x＋1)0＋ln(－x)的定
义域为____(_－__∞_，__－__1_)_∪__(－__1_，__0．)
函数解析式的四种求法： (1)配凑法：由已知条件 f(g(x))＝F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x 替代 g(x)，便得 f(x)的解析式； (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)， 可用待定系数法； (3)换元法：已知复合函数 f(g(x))的解析式，可用换元法，此 时要注意新元的取值范围；
一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简
对数与 对数函
数
化运算中的运用． 2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌 握对数函数图象所过的特殊点． 3．知道对数函数是一类重要的函数模型．
4．了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数 (a＞0，且a≠1).
知识点
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1.了解幂函数的概念． 幂函数 2．结合函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图
1＜x＜2
x≥2
y
1
2
3
(3)f1：y＝2x；f2：如图所示．
[课堂笔记]
【解】(1)不同函数．f1(x)的定义域为{x∈R|x≠0}，f2(x)的定 义域为 R. (2)同一函数．x 与 y 的对应关系完全相同且定义域相同，它 们是同一函数的不同表示方式．
(3)同一函数．理由同(2)．
两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关 系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同 时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用 x 表示， 但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x－1，g(t)＝2t－1，h(m) ＝2m－1 均表示同一函数．
知识点
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1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函 数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数一般 不超过三次)． 导数的 2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 应用 会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数一般 不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(对 多项式函数一般不超过三次)． 3．会利用导数解决某些实际问题.
【解】(1)(换元法)令 t＝2x＋1，则 x＝t－2 1，∴f(t)＝lgt－2 1，
即 f(x)＝lgx－2 1(x＞1)．
(2)(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设 f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.
即
ax
＋
(5a
＋
b)
＝
2x
＋
17
知识点
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1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义．
变化率 与导 数、导 数的运 算
2．能根据导数定义求函数 y＝C，y＝x，y＝x2，y＝x3， y＝1x，y＝ x的导数． 3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法 则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如
f(ax＋b)的复合函数)的导数.
函数
个映射
记法 y＝f(x)(x∈A)
对应f：A→B是一个 映射
温馨提醒：(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A与 集合B只能是非空数集，即函数是非空数集A到非空数集B 的映射． (2)映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若 不 是 数集，则这个映射便不是函数．
2．函数的有关概念 (1)函数定义中，集合A、B分别是定义域、值域吗？ 提示：由定义可知,集合A是定义域，而值域是集合B的子集 (2)函数三要素是什么？ 提示：定义域、值域、对应关系 (3)函数的三种常用表示法是什么？ 提示：解析法、图象法、列表法
象，了解它们的变化情况.
函数的 图象
会运用函数图象理解和研究函数的性质.
1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的 函数与 关系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．
方程 2．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程 的近似解.
知识点
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1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知 道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增 函数模 长的含义． 型及其 2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、 应用 分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广 泛应用.
5．已知函数
f(x)＝xx－＋62，则
1 f(f(4))＝___9_____；若
f(a)＝2，
则 a＝___1_4____．
函数的基本概念
以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？ 为什么？
(1)f1：y＝xx；f2：y＝1；
1，x≤1， (2)f1：y＝2，1＜x＜2，
3，x≥2；
f2：
x
x≤1
(4)消去法：已知关于 f(x)与 f1x或 f(－x)的表达式，可根据