狄拉克函数ppt课件

性质 4. x (x) 0
f (x) (x x0 ) f (x0 ) (x x0)
证明：对任意的连续函数 f (x)，均有：


x (x) f (x)dx
xf (x) (x 0)dx [xf (x)]x0 0
连续函数 f (x)的任意性得
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数学物理方法
第一节 一维 函数的定义和性质
一、一维 函数的定义
通过点电荷密度的计算，引入 函数的定义。
设：均匀带电细线，中心位于 x0，长度：l ，总电量： 单位电荷 1。
线电荷密度
(x)

0 1
l
( x x0

l) 2
( x x0

l) 2
(1) (2)
总电量 Q

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数学物理方法
二、 函数的性质
性质 1：若 f (x)是定义在区间(,)的任一连续函数，则

f (x) (x x0)dx f (x0)
—将 (x x0 )乘上 f (x)进行积分，其值为将 f (x)的 x换为 x0或
者说： 函数具有挑选性（把 f (x)在 x x0的值挑选出来）
x0 x0

(
x

x0
)dx

1
所以

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f (x) (x x0)dx
f (x0 )
特别地： x0
0时，

f (x) (x)dx
f (0)
说明：

f
(x) (x
x0 )dx

f
( x0 ) 也可作为δ函数的定义，即
δ函数可以通过它在积分号下对任一连续函数 f (x)的运算
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数学物理方法
说明：
1. 函数并不是通常意义下的函数，而是广义函数：
它没有给出函数与自变量之间的对应关系，仅给出
(x)
0
(x 0) (x 0)
这在通常情况下没有意义。
2. 函数所给出的“函数值”只是在积分运算中才有意义。
例：

f (x) (x)dx f (0)


f (x0 ) ( )d f (x0 ) f (x) (x x0)dx
(x0 x)与 (x x0 )在积分号下对任一连续函数 f (x)的运
算性质相同 (x0 x)= (x x0 )
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数学物理方法
性质 3. f (x) (x x0 ) f (x0) (x x0)
证明：由一维 函数的定义可得


(x)
x (x) 0
另一种证法：由性质 3 中令 f (x) x，则
x (x x0 ) x0 (x x0 ) 令 x0 0，则 x (x) 0
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数学物理方法
性质 5：若(x)为连续函数，且(x) 0只有单根
xk (k 1, 2
N ),则 [(x)] N (x xk ) k1 (xk )
上式的确切含义：在等式左右两边乘上任意连续函数
(x)以后，对 x 积分相等


(x) f (x) (x x0)dx


(
x)
f
(
x0
)
(
x

x0
)dx
证明：当 x x0时，等式两边均为零
当 x x0时，等式两边均为 f (x0 ) (x x0 )
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数学物理方法
(x x0)
0
(x x0 ) (x x0 )

(x x0 )dx 1

（5）
（6）
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数学物理方法
(x x0)
0
(x (x
x0 ) x0 )
（5）

(x x0 )dx 1（6）

根据（5）式，在 x x0时， (x x0 ) 0，所以（6）式左边

(
x

x0
)dx
(x0 x0 )
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数学物理方法

f (x) (x x0 )dx
f ( )
x0 x0

(
x

x0
)dx
(x0 x0 )
当 0时， x0，连续函数 f ( ) f (x0)，且

(x)dx 1

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数学物理方法
当l 0时，电荷分布可看作位于 x x0的单位点电荷。此时
(x)
0
(x x0 ) (x x0 )
(3)

(x)dx 1
（4）

把定义在区间(, )上，满足上述这两个要求的函数称为
函数，并记作 (x x0 )，即
第八章 狄拉克 函数
在物理和工程技术中, 常常会碰到狄拉克函数 （单位脉冲函数）。因为有许多物理现象具有脉冲性 质, 如在电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的 电势作用后产生的电流; 在力学中, 要研究机械系统 受冲击力作用后的运动情况等。 研究此类问题就会产 生我们要介绍的狄拉克函数。下面我们将从物理实例 出发引入狄拉克函数，并介绍函数的基本知识。
性质来定义。 7
数学物理方法
性质 2.（对称性）： (x x0 ) (x0 x) 函数是偶函数
证明：设 f (x)为定义在( )的连续函数，则

x0 x
f (x) (x0 x)dx f (x0 ) ( )(d )
的积分不需要在 (, ) 的区间进行，而只需要在一个包含
x x0点在内的区间内进行，即
b
a (x x0 )dx
1 0
(a x0 b) (a x0,b x0 )
引入 函数后，位于 x0处、电量为q的点电荷的线电荷密度为： (x) q (x x0)。位于坐标原点，质量为 m 的质点的质量线 密度为： (x) m (x 0) m (x)
证明：设 是任意小的正数，则由于 (x x0 )在 x x0时为零，
所以

f (x) (x x0 )dx
x0 x0
f
(x) (x x0)dx
由积分中值定理有：

f (x) (x x0 )dx
f ( )
x0 x0