高考数学函数方程思想专题复习

高考数学函数方程思想专题复习

函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多.函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决.

●难点磁场

1.（★★★★★）关于x 的不等式2·32x –3x +a 2–a –3＞0，当0≤x ≤1时恒成立，则实数a 的取值范围为 .

2.（★★★★★）对于函数f (x )，若存在x 0∈R ,使f (x 0)=x 0成立，则称x 0为f (x )的不动点.已知函数f (x )=ax 2+(b +1)x +(b –

1)(a ≠0)

（1）若a =1,b =–2时，求f (x )的不动点；

（2）若对任意实数b ，函数f (x )恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若y =f (x )图象上A 、B 两点的横坐标是函数f (x )的不动点，且A 、B 关于直线y =kx +1212 a 对

称，求b 的最小值.

［例1］已知函数f (x )=log m 3

3+-x x (1)若f (x )的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f (x )在定义域上的增减性，并加以说明；

(2)当0＜m ＜1时，使f (x )的值域为［log m ［m (β–1)］，log m ［m (α–1)］］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由.

命题意图：本题重在考查函数的性质，方程思想的应用.属★★★★级题目.

知识依托：函数单调性的定义判断法；单调性的应用；方程根的分布；解不等式组.

错解分析：第(1)问中考生易忽视“α＞3”这一关键隐性条件；第(2)问中转化出的方程，不能认清其根的实质特点，为两大于3的根.

技巧与方法：本题巧就巧在采用了等价转化的方法，借助函数方程思想，巧妙解题.

解：（1）⇔>+-03

3x x x ＜–3或x ＞3. ∵f (x )定义域为［α,β］,∴α＞3

设β≥x 1＞x 2≥α，有0)

3)(3()(6333321212211>++-=+--+-x x x x x x x x 当0＜m ＜1时，f (x )为减函数，当m ＞1时，f (x )为增函数.

（2）若f (x )在［α,β］上的值域为［log m m (β–

1),log m m (α–1)］

∵0＜m ＜1, f (x )为减函数. ∴⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-=+-=-=+-=)1(log 33log )()1(log 33log )(ααααββββm f m f m m m m 即3,0

)1(3)12(0)1(3)12(22>>⎪⎩⎪⎨⎧=---+=---+αβααββ又m m m m m m 即α,β为方程mx 2+(2m –1)x –3(m –1)=0的大于3的两个根 ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>-->+-=∆<<0)3(3212011616102mf m m m m m ∴0＜m ＜432-

故当0＜m ＜43

2-时，满足题意条件的m 存在.

［例2］已知函数f (x )=x 2–(m +1)x +m (m ∈R )

(1)若tan A ,tan B 是方程f (x )+4=0的两个实根，A 、B 是锐角三角形ABC 的两个内角.求证：m ≥5;

(2)对任意实数α,恒有f (2+cos α)≤0，证明m ≥3;

(3)在(2)的条件下，若函数f (sin α)的最大值是8，求m . 命题意图：本题考查函数、方程与三角函数的相互应用；不等式法求参数的范围.属

★★★★★级题目.

知识依托：一元二次方程的韦达定理、特定区间上正负号的充要条件，三角函数公式.

错解分析：第(1)问中易漏掉Δ≥0和tan(A +B )＜0，第(2)

问中如何保证f (x )在［1,3］恒小于等于零为关键.

技巧与方法：深挖题意，做到题意条件都明确，隐性条件注意列.列式要周到，不遗漏.

（1）证明：f (x )+4=0即x 2–(m +1)x +m +4=0.依题意： ⎪⎩⎪⎨⎧>+=⋅>+=+≥+-+=∆04tan tan 01tan tan 0)4(4)1(2m B A m B A m m 又A 、B 锐角为三角形内两内角 ∴2

π＜A +B ＜π ∴tan(A +B )＜0，即03

1tan tan 1tan tan )tan(<--+=-+=

+m m B A B A B A ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++>+>+≥--0310********m m m m m m ∴m ≥5

(2)证明：∵f (x )=(x –1)(x –m )

又–1≤cos α≤1，∴1≤2+cos α≤3，恒有f (2+cos α)≤0

即1≤x ≤3时，恒有f (x )≤0即(x –1)(x –m )≤0

∴m ≥x 但x max =3，∴m ≥x max =3

(3)解：∵f (sin α

)=sin 2α–(m +1)sin α+m =4)1()21(sin 2

2+-++-m m m α 且2

1+m ≥2,∴当sin α=–1时，f (sin α)有最大值8. 即1+(m +1)+m =8，∴m

=3

函数与方程的思想是最重要的一种数学思想，要注意函

数，方程与不等式之间的相互联系和转化.考生应做到：

（1）深刻理解一般函数y =f (x )、y =f –

1(x )的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换），熟练掌握基本初等函数的性质，这是应用函数思想解题的基础.

（2）密切注意三个“二次”的相关问题，三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系.掌握二次函数基本性质，二次方程实根分布条件，二次不等式的转化策略.

一、选择题

1.（★★★★★）已知函数f (x )=log a ［

x –(2a )2］对任意x ∈［21,+∞］都有意义，则实数a 的取值范围是( ) A.(0,41] B.(0,41) C.［4

1,1) D.(41,2

1） 2.（★★★★★）函数f (x )的定义域为R ，且x ≠1，已知f (x +1)为奇函数，当x ＜1时，f (x )=2x 2–x +1，那么当x ＞1时，f (x )的递减区间是( )

A.［45，+∞)

B.(1,45]

C.［4

7,+∞) D.(1,4

7］ 二、填空题

3.（★★★★）关于x 的方程lg(ax –1)–lg(x –3)=1有解，则a 的取值范围是 .