正交函数

2.1 用完备正交函数集表示信号

将信号分解为正交函数分量的问题与将矢量分解为正交矢量的方法是类似的。下面我们首先从正交矢量开始讨论，进而引入正交函数集的概念。

为了给出正交函数的概念，并研究正交函数的分解方法，下面我们首先来回顾一下矢量的正交矢量分解。

2.1.1 正交矢量

设矢量与矢量的关系如下图所示其中，是它们的夹角，是在上的投影，是用投影来表示时的误差。由于直角边长小于斜边长，所以根据投影误差可知：如果要用上的矢量来表示，则应选择在上的垂直投影，这时的投影误差最小。

此时(选择垂直投影来表示)，

于是，可以求出系数为

式中的算子表示求两矢量的内积，定义如下

系数C

12

表示的是与的近似程度。当与重合时，=0， =1；

随着增大，C

12减小；当时，C

12

，此时与成为相互垂直的矢量，称

为正交矢量。

这样，我们就提出这样一个结论：

两个矢量是正交的充要条件是它们的内积为0，即

<=> 与垂直或正交

下面我们来看看，有了正交矢量后，对我们到底有什么好处？

对于二维平面上的矢量V在直角坐标中可分解为x方向的分量和y方向上的分量，其中Vx、Vy表示x和y方向上的正交单位矢量，即

为了便于研究矢量分解，把相互正交的两个矢量组成一个二维正交矢量集，在此平面上的任意矢量均可用二维正交矢量集的分量组合来表示。

同样，对于三维矢量V，也可以用一个三维正交矢量集{Vx,Vy,Vz}的分量组合来表示，即

V = C

1V

x

+C

2

V

y

+C

3

V

z

根据此原理，可以把K维空间中的任一矢量分解为K个互相正交的矢量的和。

2.1.2 正交函数

下面我们来考虑在区间(t

1,t

2

)内用函数来近似表示，即

此时，所选择的C

12应使得C

12

ƒ

2

(t)与ƒ

1

(t)之间的均方误差

最小。

为求使均方误差最小时的C

12

，须使。即

交换微分与积分次序，可得

上式中的第一项为零，因此

（2-2）

仿照矢量内积定义，定义两个函数和在区间上的内积为则式(2-2)可以改写为

(2-3)

可以看出，它与矢量正交分解的系数公式(2-1)很相似。

和正交矢量的定义类似，当C

12

=0时，则称与在区间内正交。由式(2-3)可知，两函数在区间内正交的充要条件是它们的内积为0，即

当两个函数正交时C

12=C

12

=0。

2.1.3 正交函数集

设有函数集，在区间上满足

(2-4)

其中

(2-5)

则称该函数集为正交函数集。大家要注意，这里的(n)是单位冲激序列，而不是单位冲激函数(t)，我们将在"离散时间信号的Z变换"一章中详细讨论它。

如果将任意一个函数f(t)在区间内利用此函数集内的n个函数的线性组合来表示，即

(2-6)

当要求均方误差最小时，各正交分量的系数为

其中，为非零常数。将式

(2-7)代入(2-6)中，得最小的均方误差为

(2-8)

若对有Kn=1 ，即，则该函数集称为归一化正交函数集，此时，相应的各系数和均方误差为：

(2-9)

2.1.4 正交复变函数集

以上的讨论仅限于实函数或实信号，下面我们来看看复变函数的正交条件。

若所讨论的函数和是实变量t的复变函数，则这两个复变函数在区间内相互正交的条件为

若在区间内由C12f2(t)来表示，即

则使均方误差最小的C12值为

(2-10)

如果在区间(t

1,t

2

)内，复变函数集满足(2-11)

其中，则称此函数集为正交复变函数集。

2.1.5 完备正交函数集

前面我们学习了"信号可以用正交函数集内的所有正交函数的线性组合来近似"，但我们还存在一些疑问没有解决：(1) 是否存在一个"完备的"正交函数集，即在此函数集外，没有函数与集内所有函数都正交。(2) 是否存在一个"精确的"正交函数集，即通过集内所有函数的线性组合，可以精确地表示任意信号？这些问题的回答，实际上涉及到了完备正交函数集的两种定义。下面我们来看看。

定义1：已知为正交函数集，若不存在函数x(t)能满足

则称此函数集为完备的正交函数集。

显然可见，这种定义强调的是函数集合的"完全性"，即集合"囊括"了所有的正交函数，是"完完全全的"。

显然，若能找到这样的函数，则就它归入正交函数集中，于是该函数集就不完备了。若找不到，则函数集就是完备的。

大家看，这个定义，实际上正是根据我们前面提出的第一个疑问来定义的。那么这样的集合到底有没有呢？当然是有的!后面我们会看到相应的例子。

那有人就会问了，若根据第二个疑问，又该如何来定义所谓的完备正交函数集呢？好，下面我们来看关于完备正交函数集的第二种定义方法。

定义2：用正交函数集在(t

1,t

2

)内表示函数f(t)

(2-12)

均方误差为

若，则称为完备的正交函数集。此时有：

(2-13)

当时，由式(2-8)立即可以得到

(2-14a)

如果是归一化完备正交函数集，则

(2-14b)

式(2-14)也被称为帕斯瓦尔方程，或帕斯瓦尔定理。此方程式表明，一信号所包含的功率等于此信号在完备正交函数集中各分量功率之总和，也即信号用不同方式表示时其能量是守恒的，功率不变。如果上述关系不成立，则正交函数集就是不完备的。

于是乎，从完备正交函数集的特性出发，我们证明了帕斯瓦尔方程。关于这个方程式，我们还可以用另外一种方法来证明它。

下面给出帕斯瓦尔方程的另外一种证明。

证明：由，可得

将积分项中差的平方展开，得

根据积分运算的可加性，把上式中的各积分子项分开，如下