四川大学2011年数学分析考研试题解答
2011年考研数学试题详解及评分参考
(1) 曲线 y = (x -1)(x - 2)2 (x - 3)3 (x - 4)4 的拐点是
(A) (1, 0)
(B) (2, 0)
(C) (3, 0)
(D) (4, 0)
【答】 应选 (C) .
【解】 显然 x = 1, 2, 3, 4 分别是 y(x) 的一、二、三、四重根，因此有 y¢¢(2) ¹ 0, y¢¢(3) = 0, y¢¢(4) = 0, y¢¢¢(3) ¹ 0, y¢¢¢(4) = 0 ，由此可见，点 (2, 0) 不是拐点，点 (3, 0) 是拐点.故选 (C) .
(0, 0) 处取得极小值的一个充分条件是
(A) f (0) > 1, f ¢¢(0) > 0
(B) f (0) > 1, f ¢¢(0) < 0
(C) f (0) < 1, f ¢¢(0) > 0
(D) f (0) < 1, f ¢¢(0) < 0
【答】 应选 (A) .
2011 年 • 第 1 页
æ1 0 0ö
æ1 0 0ö
位矩阵.
记 P1
=
ç ççè
1 0
1 0
0 1
÷ ÷÷ø
， P2
=
ç ççè
0 0
0 1
1 0
÷ ÷÷ø
，则
A
=
(A) P1P2
(B) P1-1P2
(C) P2P1
(D) P2 P1-1
【答】 应选 (D) .
【解】 易见 P1, P2 正是与题中所给初等变换相对应的初等矩阵，故由初等矩阵的性质，有 B = AP1 ， E = P2B ，从而 E = P2 AP1 ，即 A = P2-1P1-1 . 又 P2-1 = P2 ， P1-1 ¹ P1 ，所以 A = P2P1-1 ，但 A ¹ P2P1 ，故选 (D) .
2011考研数学一真题及答案解析
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． (1) 曲线234(1)(2)(3)(4)y x x x x =−−−−的拐点是( )(A) (1,0)． (B) (2,0)． (C) (3,0)． (D) (4,0)． (2) 设数列{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞=，1(1,2,)nn kk S an ===∑ 无界，则幂级数1(1)nn n a x ∞=−∑的收敛域为( )(A) (1,1]−． (B) [1,1)−． (C) [0,2)． (D) (0,2]． (3) 设函数()f x 具有二阶连续导数，且()0f x >，(0)0f '=，则函数()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( )(A) (0)1f >，(0)0f ''>． (B) (0)1f >，(0)0f ''<． (C) (0)1f <，(0)0f ''>． (D) (0)1f <，(0)0f ''<．(4) 设4ln sin I x dx π=⎰，40ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是( )(A) I J K <<． (B) I K J <<． (C) J I K <<． (D) K J I <<．(5) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A =( ) (A) 12PP ． (B) 112P P −． (C) 21P P ． (D) 121P P −．(6) 设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T是方程组0Ax =的一个基础解系，则*0A x =的基础解系可为( )(A) 13,αα． (B) 12,αα． (C) 123,,ααα． (D) 234,,ααα．(7) 设1()F x ，2()F x 为两个分布函数，其相应的概率密度1()f x ，2()f x 是连续函数，则必为概率密度的是( )(A)12()()f x f x ． (B)212()()f x F x ．(C)12()()f x F x ． (D)1221()()()()f x F x f x F x +．(8) 设随机变量X 与Y 相互独立，且()E X 与()E Y 存在，记{}max ,U X Y =，{}min ,V X Y =则()E UV =( )(A)()()E U E V ⋅． (B)()()E X E Y ⋅． (C)()()E U E Y ⋅． (D)()()E X E V ⋅．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上． (9) 曲线0tan (0)4π=≤≤⎰xy tdt x 的弧长s = ．(10) 微分方程cos xy y e x −'+=满足条件(0)0y =的解为y = ．(11) 设函数2sin (,)1xytF x y dt t =+⎰，则222x y F x ==∂=∂ ．(12) 设L 是柱面方程221x y +=与平面=+z x y 的交线，从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分22L y xzdx xdy dz ++=⎰ ．(13) 若二次曲面的方程22232224x y z axy xz yz +++++=，经过正交变换化为221144y z +=，则a = ．(14) 设二维随机变量(),X Y 服从正态分布()22,;,;0N μμσσ，则()2E X Y = ．三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15)(本题满分10分)求极限110ln(1)lim()x e x x x−→+．(16)(本题满分9分)设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导且在1x =处取得极值(1)1g =，求211x y zx y==∂∂∂．(17)(本题满分10分)求方程arctan 0k x x −=不同实根的个数，其中k 为参数．(18)(本题满分10分)(Ⅰ)证明：对任意的正整数n ，都有111ln(1)1n n n<+<+ 成立． (Ⅱ)设111ln (1,2,)2n a n n n=+++−=，证明数列{}n a 收敛．(19)(本题满分11分)已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0f y =，(,1)0f x =，(,)Df x y dxdy a =⎰⎰，其中{}(,)|01,01D x y x y =≤≤≤≤，计算二重积分''(,)xy DI xy f x y dxdy =⎰⎰．(20)(本题满分11分)设向量组123(1,0,1)(0,1,1)(1,3,5)T T T ααα===，，，不能由向量组1(1,1,1)T β=，2(1,2,3)T β=，3(3,4,)T a β=线性表示．(I) 求a 的值；(II) 将123,,βββ由123,,ααα线性表示．(21)(本题满分11分)A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为2，即()2r A =，且111100001111A −⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭．(I) 求A 的特征值与特征向量； (II) 求矩阵A ． (22)(本题满分11分)设随机变量X 与Y且{}221P X Y ==．(I) 求二维随机变量(,)X Y 的概率分布； (II) 求Z XY =的概率分布； (III) 求X 与Y 的相关系数XY ρ．（23）（本题满分 11分） 设12,,,n X X X 为来自正态总体20(,)μσN 的简单随机样本，其中0μ已知，20σ>未知．X 和2S 分别表示样本均值和样本方差．(I) 求参数2σ的最大似然估计量2σ∧； (II) 计算2()E σ∧和2()D σ∧．2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． (1)【答案】(C)．【解析】记1111,1,0y x y y '''=−==，2222(2),2(2),2,y x y x y '''=−=−= 32333(3),3(3),6(3),y x y x y x '''=−=−=− 432444(4),4(4),12(4),y x y x y x '''=−=−=− (3)()y x P x ''=−，其中(3)0P ≠，30x y =''=，在3x =两侧，二阶导数符号变化，故选(C)．(2)【答案】(C)．【解析】观察选项：(A)，(B)，(C)，(D)四个选项的收敛半径均为1，幂级数收敛区间的中心在1x =处，故(A)，(B)错误；因为{}n a 单调减少，lim 0n n a →∞=，所以0n a ≥，所以1nn a∞=∑为正项级数，将2x =代入幂级数得1nn a∞=∑，而已知S n =1nkk a=∑无界，故原幂级数在2x =处发散，(D)不正确．当0x =时，交错级数1(1)nn n a ∞=−∑满足莱布尼茨判别法收敛，故0x =时1(1)nn n a ∞=−∑收敛．故正确答案为(C)．(3)【答案】(A)． 【解析】(0,0)(0,0)|()ln ()|(0)ln (0)0zf x f y f f x∂''=⋅==∂, (0,0)(0,0)()|()|(0)0,()z f y f x f y f y '∂'=⋅==∂故(0)0f '=, 2(0,0)(0,0)2|()ln ()|(0)ln (0)0,zA f x f y f f x∂''''==⋅=⋅>∂22(0,0)(0,0)()[(0)]|()|0,()(0)z f y f B f x x y f y f ''∂'==⋅==∂∂222(0,0)(0,0)22()()[()][(0)]|()|(0)(0).()(0)z f y f y f y f C f x f f y f y f ''''∂−''''==⋅=−=∂ 又22[(0)]ln (0)0,AC B f f ''−=⋅>故(0)1,(0)0f f ''>>．(4)【答案】(B)． 【解析】因为04x π<<时， 0sin cos 1cot x x x <<<<，又因ln x 是单调递增的函数，所以ln sin ln cos ln cot x x x <<． 故正确答案为(B)． (5)【答案】 (D)．【解析】由于将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，故100110001A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 即1AP B =，11A BP −=．由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵，故100001010B E ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 即2,P B E =故122B P P −==．因此，121A P P −=，故选(D)．(6)【答案】(D)．【解析】由于(1,0,1,0)T 是方程组0Ax =的一个基础解系，所以(1,0,1,0)0TA =，且()413r A =−=，即130αα+=，且0A =．由此可得*||A A A E O ==，即*1234(,,,)A O =αααα，这说明1234,,,αααα是*0A x =的解．由于()3r A =，130αα+=，所以234,,ααα线性无关．又由于()3r A =，所以*()1r A =，因此*0A x =的基础解系中含有413−=个线性无关的解向量．而234,,ααα线性无关，且为*0A x =的解，所以234,,ααα可作为*0A x =的基础解系，故选(D)．(7)【答案】(D)． 【解析】选项(D)1122()()()()f x F x f x F x dx +∞−∞⎡⎤+⎣⎦⎰2211()()()()F x dF x F x dF x +∞−∞⎡⎤=+⎣⎦⎰21()()d F x F x +∞−∞⎡⎤=⎣⎦⎰12()()|F x F x +∞−∞=1=． 所以1221()()f F x f F x +为概率密度．(8)【答案】(B)．【解析】因为 {},,max ,,,X X Y U X Y Y X Y ≥⎧==⎨<⎩ {},,min ,,Y X Y V X Y X X Y ≥⎧==⎨<⎩．所以，UV XY =，于是()()E UV E XY = ()()E X E Y =．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上． (9)【答案】(ln 1+．【解析】选取x 为参数，则弧微元sec ds xdx ===所以440sec ln sec tan ln(1s xdx x x ππ==+=+⎰． (10)【答案】sin xy e x −=．【解析】由通解公式得(cos )dx dxx y e e x e dx C −−⎰⎰=⋅+⎰(cos )x e xdx C −=+⎰(sin )xe x C −=+．由于(0)0,y =故C =0．所以sin xy e x −=．(11)【答案】4． 【解析】2sin 1()F xy y x xy ∂=⋅∂+， 22222cos sin 2[1()]F y xy xy xy y x xy ∂−⋅=⋅∂+， 故2(0,2)2|4Fx∂=∂． (12)【答案】π．【解析】取22:0,1S x y z x y +−=+≤，取上侧，则由斯托克斯公式得，原式=22SS dydz dzdx dxdyydydz xdzdx dxdy x y z y xzx∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰．因'',1, 1.x y z x y z z =+==由转换投影法得221[(1)(1)1]Sx y ydydz xdzdx dxdy y x dxdy +≤++=⋅−+−+⎰⎰⎰⎰．221(1)x y x y dxdy π+≤=−−+=⎰⎰221x y dxdy π+≤==⎰⎰．(13)【答案】1a =．【解析】由于二次型通过正交变换所得到的标准形前面的系数为二次型对应矩阵A 的特征值，故A 的特征值为0，1，4．二次型所对应的矩阵1131111a A a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，由于310ii A λ===∏，故113101111a a a =⇒=．(14)【答案】()22μμσ+．【解析】根据题意，二维随机变量(),X Y 服从()22,;,;0N μμσσ．因为0xy ρ=，所以由二维正态分布的性质知随机变量,X Y 独立，所以2,X Y ．从而有()()()()()()22222E XY E X E Y D Y E Y μμμσ⎡⎤==+=+⎣⎦． 三、解答题：15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定的位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(15)(本题满分10分)【解析】110ln(1)lim[]x e x x x−→+0ln(1)1lim[1].1x x x x e e →+−−=2ln(1)limx x xx e →+−=22201()2lim x x x o x x x e→−+−=22201()2lim x x o x x e→−+=12e −=．(16)(本题满分9分) 【解析】[],()z f xy yg x =[][]12,(),()()zf xy yg x y f xy yg x yg x x∂'''=⋅+⋅∂ [][]211112,()(,())(,())()zf xy yg x y f xy yg x x f xy yg x g x x y∂'''''=++∂∂ []{}21222(),()()[,()][,()]()g x f xy yg x yg x f xy yg x x f xy yg x g x '''''''+⋅+⋅+． 因为()g x 在1x =可导，且为极值,所以(1)0g '=，则21111121|(1,1)(1,1)(1,1)x y d zf f f dxdy =='''''=++． (17)(本题满分10分)【解析】显然0x =为方程一个实根． 当0x ≠时，令(),arctan xf x k x=−()()22arctan 1arctan xx x f x x −+'=． 令()2arctan 1x g x x x R x =−∈+，()()()222222211220111x x x x g x x x x +−⋅'=−=>+++， 即(),0x R g x '∈>． 又因为()00g =，即当0x <时，()0g x <； 当0x >时，()0g x >． 当0x <时，()'0f x <；当0x >时，()'0f x >．所以当0x <时，()f x 单调递减，当0x >时，()f x 单调递增 又由()00lim lim1arctan x x xf x k k x→→=−=−，()lim lim arctan x x xf x k x→∞→∞=−=+∞， 所以当10k −<时，由零点定理可知()f x 在(,0)−∞，(0,)+∞内各有一个零点； 当10k −≥时，则()f x 在(,0)−∞，(0,)+∞内均无零点．综上所述，当1k >时，原方程有三个根．当1k ≤时，原方程有一个根．(18)(本题满分10分)【解析】(Ⅰ)设()()1ln 1,0,f x x x n ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦显然()f x 在10,n⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足拉格朗日的条件，()1111110ln 1ln1ln 1,0,1f f n n n n n ξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=+−=+=⋅∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以10,n ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， 11111111101n n n nξ⋅<⋅<⋅+++，即：111111n n n ξ<⋅<++， 亦即：111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭． 结论得证．（II ）设111111ln ln 23nn k a n n n k==++++−=−∑． 先证数列{}n a 单调递减．()111111111ln 1ln ln ln 1111n n n n k k n a a n n k k n n n n ++==⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫−=−+−−=+=−+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∑∑，利用（I ）的结论可以得到11ln(1)1n n <++，所以11ln 101n n ⎛⎫−+< ⎪+⎝⎭得到1n n a a +<，即数列{}n a 单调递减．再证数列{}n a 有下界．1111ln ln 1ln nnn k k a n n k k ==⎛⎫=−>+− ⎪⎝⎭∑∑，()11112341ln 1ln ln ln 1123nnk k k n n k k n ==++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==⋅⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∏，()1111ln ln 1ln ln 1ln 0nnn k k a n n n n k k ==⎛⎫=−>+−>+−> ⎪⎝⎭∑∑．得到数列{}n a 有下界．利用单调递减数列且有下界得到{}n a 收敛．(19)(本题满分11分) 【解析】11''(,)xy I xdx yf x y dy =⎰⎰11'0(,)x xdx ydf x y =⎰⎰()()111'000,|,x x xdx yf x y f x y dy ⎡⎤'=−⎢⎥⎣⎦⎰⎰ ()11''0(,1)(,)x x xdx f x f x y dy =−⎰⎰．因为(,1)0f x =，所以'(,1)0x f x =．11'(,)xI xdx f x y dy =−⎰⎰11'0(,)x dy xf x y dx =−⎰⎰111000(,)|(,)dy xf x y f x y dx ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦⎰⎰1100(1,)(,)dy f y f x y dx ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦⎰⎰ Dfdxdy =⎰⎰a =．(20)(本题满分11分)【解析】(I)由于123,,ααα不能由123,,βββ线性表示，对123123(,,,,,)βββααα进行初等行变换：123123113101(,,,,,)12401313115a ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭βββααα113101011112023014a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−⎝⎭113101011112005210a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−−⎝⎭． 当5a =时，1231231(,,)2(,,,)3r r ββββββα=≠=，此时，1α不能由123,,βββ线性表示，故123,,ααα不能由123,,βββ线性表示．(II)对123123(,,,,,)αααβββ进行初等行变换：123123101113(,,,,,)013124115135⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αααβββ101113013124014022⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭ 1002150104210001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭， 故112324βααα=+−，2122βαα=+，31235102βααα=+−．(21)(本题满分11分)【解析】(I)由于111100001111A −⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭，设()()121,0,1,1,0,1T T αα=−=，则()()1212,,A αααα=−，即1122,A A αααα=−=，而120,0αα≠≠，知A 的特征值为121,1λλ=−=，对应的特征向量分别为()1110k k α≠，()2220k k α≠．由于()2r A =，故0A =，所以30λ=．由于A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设30λ=对应的特征向量为()3123,,Tx x x α=，则13230,0,T T⎧=⎨=⎩αααα即13130,0x x x x −=⎧⎨+=⎩． 解此方程组，得()30,1,0Tα=，故30λ=对应的特征向量为()3330k k α≠．(II) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：))()3121231231,0,1,1,0,1,0,1,0T T Tαααβββααα==−====． 令()123,,Q βββ=，则110TQ AQ −⎛⎫⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭， TA Q Q =Λ22122001102201022⎛−⎛⎫⎪ ⎪−⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪ ⎪− ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭220012200000002210001022⎛−⎛⎫− ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭．（22）（本题满分11分）【解析】(I)因为{}221P X Y==，所以{}{}222210≠=−==P X Y P X Y．即{}{}{}0,10,11,00P X Y P X Y P X Y==−=======．利用边缘概率和联合概率的关系得到{}{}{}{}1 0,000,10,13P X Y P X P X Y P X Y====−==−−===；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y==−==−−==−=；{}{}{}11,110,13P X Y P Y P X Y====−===．即,X Y的概率分布为(II)Z的所有可能取值为1,0,1−．{}{}111,13P Z P X Y=−===−=．{}{}111,13P Z P X Y=====．{}{}{}101113P Z P Z P Z==−=−=−=．Z XY=的概率分布为(III)因为XY Cov XY E XY E X E Y ρ−⋅==其中()()1111010333E XY E Z ==−⋅+⋅+⋅=，()1111010333E Y =−⋅+⋅+⋅=．所以()()()0−⋅=E XY E X E Y ，即X ，Y 的相关系数0ρ=XY ． （23）（本题满分 11分）【解析】因为总体X 服从正态分布，故设X 的概率密度为202()2()x f x μσ−−=，x −∞<<+∞．(I) 似然函数22002211()()22222211()(;)](2)ni i i x nnnx i i i L f x eμμσσσσπσ=−−−−−==∑===∏∏；取对数：222021()ln ()ln(2)22ni i x n L μσπσσ=−=−−∑； 求导：22022221()ln ()()22()ni i x d L nd μσσσσ=−=−+∑2202211[()]2()nii x μσσ==−−∑．令22ln ()0()d L d σσ=，解得22011()n i i x n σμ==−∑． 2σ的最大似然估计量为02211()ni i X n σμ∧==−∑．(II) 方法1：20~(,)μσi X N ，令20~(0,)i i Y X N μσ=−，则2211n i i Y n σ=∧=∑．2212221()()()()[()]n i i i i i E E Y E Y D Y E Y n σσ=∧===+=∑．2222212221111()()()()n i n i i D D Y D Y Y Y D Y n nnσ∧===+++=∑442244112{()[()]}(3)σσσ=−=−=i i E Y E Y n n n． 方法2：20~(,)μσi X N ，则~(0,1)i X N μσ−，得到()2201~ni i X Y n μχσ=−⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，即()2201ni i Y X σμ==−∑．()()222222011111()n i i E E X E Y E Y n n n n n μσσσσσ=∧⎛⎫⎡⎤=−===⋅= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑．()()22444022222111112()2n i i D D X D Y D Y n nn n n n μσσσσσ=∧⎛⎫⎡⎤=−===⋅= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑．。
2011考研数学(一二三)真题(含答案)
(B) 1,2 ．
(C) 1,2,3 ． (D) 2 ,3,4 ．
【解析】由 x 0 的基础解系只有一个知 r(A) 3 ，所以 r( A) 1，
f
(0),
B
2z xy
|(0,0)
f
(x)
f ( y) f (y)
|(0,0)
[
f (0)]2 f (0)
0,
C
2z y2
|(0,0)
f
(x)
f
( y) f
(y) [ f f 2(y)
( y)]2
|(0,0)
f (0) [ f (0)]2 f (0)
较强。
观察选项：(A)，(B)，(C)，(D)四个选项的收敛半径均为 1，幂级数收敛区间的中心在 x 1 处，
故(A)，(B)错误；
因为
an
单调减少，lim n
an
0 ，所以 an
0 ，所以
n1
an
为正项级数，将
x
2 代入幂级数得
n1
an
，
n
而已知 Sn ak 无界，故原幂级数在 x 2 处发散，(D)不正确． k 1
2011 年全国硕士研究生入学 统一考试
数学（一、二、三） 试题及解析
山东考研辅导专家 苏老师
1
2011 年全国硕士研究生入学统一考试
数学（一）试题
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要 求，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上．
2
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及答案解析
f (0) f (0)
f (0) 0 ， zxx
x0
f (0) ln
f (0) ，
y0
y0
z
yy
x0
f (0)
f (0) f (0) ( f (0))2 f 2 (0)
f (0) .
y0
要使得函数 z f (x)ln f ( y) 在点(0,0)处取得极小值，仅需
f (0) ln f (0) 0 ， f (0) ln f (0) f (0) 0 ,
0
0
5.【答案】
【解】由初等矩阵与初等变换的关系知
AP1
B
，P2 B
E
，所以
A
BP11
P2
P 1 1 1
P2 P11
，
故选 D.
6.【答案】D
【解】由 x 0 的基础解系只有一个知 r( A) 3 ，所以 r( A) 1，又由 A A A E 0 知，
1,2 ,3,4 都是 x 0 的解，且 x 0 的极大线生无关组就是其基础解系，又
0
2
2
.
13.【答案】 1
【解】本题等价于将二次型 f (x, y, z) x2 3y2 z2 2axy 2xz 2 yz 经正交变换后化为
了 f y12 4z12 .由正交变换的特点可知，该二次型的特征值为1, 4, 0 .
1 a 1
该二次型的矩阵为
A
a
3
1 ，可知 A a2 2a 1 0 ，因此 a 1 。
an
单调减少，
lim
n
an
0 ，说明级数
an
n 1
1n
收敛，可知幂级数
an
n 1
x 1n
2011年考研数学二真题及解析
2011年考研数学二考试真题试题及答案
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2011全国硕士研究生入学统一考试数学二真题答案解析
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数2--11真题答案
2011年考研数学(二)试题答案速查一、选择题（1）C （2）B （3）C （4）C （5）A （6）B （7）D （8）D 二、填空题（9（10）e sin xx − （11）ln(1 （12）1λ（13）712（14）2 三、解答题 （15）13α<<. （16）极小值13y =−，极大值1y =， 凸区间为1(,)3−∞，凹区间为1(,)3+∞，拐点为11(,)33.（17）11112(1,1)(1,1)(1,1)f f f '''''++. （18）π()arcsin4x y x =−. （19）略. （20）（Ⅰ）9π4V =.（Ⅱ）27π8W g ρ=. （21）a .（22）（Ⅰ）5=a .（Ⅱ）112324=+−βααα，2122=+βαα，31235102=+−βααα.（23）（Ⅰ）1112223331231101,0,1,0,0,1,0110p k p k p k k k k λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=−=====≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（Ⅱ）001000100⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A .2011年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）参考答案一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）【答案】C ．【解答】由泰勒展开定理33sin ()3!x x x o x =−+，33(3)sin 33()3!x x x o x =−+.所以，333339()3sin sin 33(3)()4()22x x f x x x x x o x x o x =−=−−−+=+.当0x →时，3()4f x x ，所以选择C.（2）【答案】B ．【解答】2330()2()lim x x f x f x x →−22330()(0)2()2(0)lim x x f x x f f x f x →−−+= 330()(0)()(0)lim 2x f x f f x f x x →⎡⎤−−=−⎢⎥⎣⎦(0)2(0)(0)f f f '''=−=−. 故应选B. （3）【答案】C ．【解答】(2)(3)(1)(3)(1)(2)()(1)(2)(3)x x x x x x f x x x x −−+−−+−−'=−−−231211(1)(2)(3)x x x x x −+=−−− 令2()31211g x x x =−+，由于2124311120∆=−⨯⨯=>,故()g x 有两个不同的实根，且不是1,2,3，所以()f x 有两个不同的驻点. （4）【答案】C.【解答】由题可知特征方程为 220r λ−=，特征根12r r λλ==−,，则齐次方程通解为12e e x x y C C λλ−=+. 方程2e x y y λλ''−=的特解可设为1e x y x a λ=⋅⋅，方程2e xy y λλ−''−=的特解可设为2exy x b λ−=⋅⋅，则由微分方程解的结构可知，方程2e e xx y y λλλ−''−=+可设特解(e e )x x y x a b λλ−=+.（5）【答案】A ． 【解答】由题设条件，(0,0)(0,0)()()(0)(0)0zf xg y f g x ∂''===∂，(0,0)(0,0)()()(0)(0)0zf xg y f g y ∂''===∂.故，(0,0)点为函数()()z f x f y =的驻点.又22(0,0)(0)(0)z A f g x ∂''==∂，2(0,0)(0)(0)0z B f g x y ∂''===∂∂，22(0,0)(0)(0)zC f g y∂''==∂.所以2(0)(0)(0)(0)AC B f g g f ''''−=.如果(0,0)点为函数()()z f x f y =的极小值点， 则要求20,0A AC B >−>，已知有()0,(0)0f x g ><，所以，(0)0,g (0)0f ''''<>， 故正确答案选A ． （6）【答案】B ． 【解答】当π04x <<时,有0sin cos 1cot x x x <<<<,所以ln sin ln cos ln cot x x x <<，由定积分的性质，答案选B ． （7）【答案】D ．【解答】易知100110,001⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭A B 100001010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B =E即12,=AP B P B =E ,所以1112121−−−A =P P =P P ,选答案D ． （8）【答案】D ．【解答】易知**,()3,()1r r ==AA =O A A ,*=A x 0的基础解系有3个线性无关的向量,1234,,,αααα是*=A x 0的解；又因为T (1,0,1,0)是方程组0Ax =的一个基础解系，即13+=0αα，所以13,αα线性相关，则方程组*=A x 0的基础解系为234,,ααα，选答案D ．二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）.【解答】0012121ln 1(1)ln()22limlim 012lim e e 2x x x x x xxxx →→⎡⎤+++−⎢⎥⎢⎥⎣⎦→⎛⎫+== ⎪⎝⎭00212ln 21limlimln 2222eeex x x x x →→−⋅====（10）【答案】esin xx −.【解答】d d e (e cos e d )x xx y x x C −−⎰⎰=⋅+⎰e (cos d )x x x C −=+⎰e (sin )x x C −=+由于(0)0,y =故0C =,所以e sin x y x −=. （11）【答案】ln(1+.【解答】ππ440sec d ln |sec tan |ln(1s x x x x ===+=⎰.（12）【答案】1λ【解答】()()0111()d ed ed e d xxt t x xf x x x x x x t t λλλλλλλλλ+∞+∞+∞+∞−−−−∞==⋅==⎰⎰⎰⎰. （13）【答案】712. 【解答】由题设条件令cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩， 其中ππ,02sin 42r θθ，所以， ππ2sin 2sin 322ππ044d d cos sin d sin cos d d Dxy r r r r r r θθσθθθθθθ=⋅⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ππ4622ππ44(2sin )27sin cos d sin 4312θθθθθ===⎰. （14）【答案】2.【解答】由于二次型f 对应矩阵111131111⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，()()111131140111λλλλλλλ−−−−=−−−=−−=−−−E A ， 得1230,1,4λλλ===，因此f 的正惯性指数为2.三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分）解：当0α时，220ln(1)d limlim ln(1)d xxx x t t x t t x αα−→+∞→+∞+=⋅+=+∞⎰⎰与已知矛盾，不和题意. 因为22230110000ln(1)d ln(1)1limlim lim lim 0xx x x x t t x x x x x x ααααααα++++−−−→→→→++===⋅=⎰， 所以30α−>，即3α<.又因为223201222ln(1)d ln(1)210lim lim lim lim(1)(1)1xx x x x xt t x x x x x x x ααααααααα−−−→+∞→+∞→+∞→+∞+++====−−+⎰， 所以32α−<，即1α>. 综上可得，13α<<.（16）（本题满分11分）解：对参数方程求导，得22d 1d ()d 1d yt t y x x t t−'==+， 2222222231d()12(1)(1)2141()d d (1)1(1)d t t t t t t t y x x t t t t t−+−−⋅+''=⋅=⋅=+++. 令()0y x '=，得1t =±. 当1t =时，得53x =，13y =−，0y ''>. 故13y =−为极小值. 当1t =−时，得1x =−，1y =，0y ''<. 故1y =为极大值. 令()0y x ''=，得0t =，13x y ==. 当0t <时，得13x <，0y ''<；当0t >时，13x >，0y ''>. 所以曲线()=y y x 的凸区间为1,3⎛⎫−∞ ⎪⎝⎭，凹区间为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，11(,)33为拐点. （17）（本题满分9分） 解：[][]12,(),()()zf xy yg x y f xy yg x yg x x∂'''=⋅+⋅∂ []211112,()(,())(,())()zf xy yg x y f xy yg x x f xy yg x g x x y∂'''''⎡⎤=++⎣⎦∂∂ []{}22122(),()()[,()][,()]()g x f xy yg x yg x f xy yg x x f xy yg x g x '''''''+⋅+⋅+又()g x 在1x =可导，且为极值,所以(1)0g '=，所以，21111121d |(1,1)(1,1)(1,1).d d x y zf f f x y =='''''=++ （18）（本题满分10分）解: 由题当0x =时，有d 0,(0)1,tan d yy y xα'===. 方程d tan d y x α=两边对x 求导，可得222d d sec d d y x x αα⋅=① 由d d d d y x x α=,则①式可化为222d d d 1d d d y y y x x x⎡⎤⎛⎫+⋅=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即方程()21y y y ''''=+ ② 令y p '=，有d d py py''=，则②式可化为3d d p p p p y =+ ③由于0y p '=≠，所以③变为2d 1d pp y=+ ④ 解方程④得1arctan p y C =+. 再有(0)0,(0)1,y y '==可得1π4C =. 所以，πtan 4y y ⎛⎫'=+⎪⎝⎭，分离变量，两边积分得2πsin e 4xy C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 由(0)0y =，得22C =，因此π()4x y x =−.（19）（本题满分10分）证：（Ⅰ）设()()1ln 1,0,f x x x n ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦.显然()f x 在10,n⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足拉格朗日中值定理:()1111110ln 1ln1ln 1,0,1f f n n n n n ξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=+−=+=⋅∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭当10,n ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，11111111101n n n nξ⋅<⋅<⋅+++,即111111n n n ξ<⋅<++，x111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭. 结论得证.（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论,可以得到11ln(1)1n n <++，所以11ln 101n n ⎛⎫−+< ⎪+⎝⎭得到1n n a a +<，即数列{}n a 单调递减.因为，1111ln ln 1ln nnn k k a n n k k ==⎛⎫=−>+− ⎪⎝⎭∑∑，而，()11112341ln 1ln ln ln 1123nnk k k n n k k n ==++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==⋅⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∏， 所以，()1111ln ln 1ln ln 1ln 0nnn k k a n n n n k k ==⎛⎫=−>+−>+−> ⎪⎝⎭∑∑.（20）（本题满分11分） 解:（Ⅰ）12V V V =+()()12222112π2d π1d y y y y y −=−+−⎰⎰23212π3y y ⎛⎫=− ⎪⎝⎭+1321π3y y −⎛⎫− ⎪⎝⎭=π1534⎛⎫+− ⎪⎝⎭=9π4（Ⅱ）22d π(2)(1)d π(2)1(1)d W g y y y g y y y ρρ⎡⎤=−−+−−−⎣⎦12222112π(2)(1)d π(2)1(1)d W g y y y g y y y ρρ−⎡⎤=−−+−−−⎣⎦⎰⎰1232322112π(22)d (44)d g y y y y y y y y ρ−⎛⎫=−−++−+ ⎪⎝⎭⎰⎰11122432231222222111121112224π2243243yy y y y g yy ρ−−−−⎛⎫⎪=−−++−+ ⎪ ⎪⎝⎭27π8g ρ=.（21）（本题满分11分） 解：110d (,)d xyI x x yf x y y ''=⎰⎰1100d (,)d x x x ydf x y y '=⎰⎰ ()()111000d ,,d x x x x y f x y f x y y ⎡⎤''=−⎢⎥⎣⎦⎰⎰()11d (,1)(,)d x x x x f x f x y y ''=−⎰⎰.因为(,1)0f x =,所以(,1)0x f x '=.110d (,)d x I x x f x y y '=−⎰⎰1100d (,)d x y xf x y x '=−⎰⎰111000d (,)(,)d y xf x y f x y x ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦⎰⎰1100d (1,)(,)d y f y f x y x ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦⎰⎰ d (,)d Df x y x y =⎰⎰a =.（22）（本题满分11分）解:（Ⅰ）由于123,,ααα不能由123,,βββ线性表示，则对于123123(,,,,,)βββααα进行初等行变换：123123(,,,,,)βββααα= 11310112401313115a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭113101011112023014a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−⎝⎭113101011112005210a ⎛⎫ ⎪→− ⎪ ⎪−−⎝⎭. 当5a =时，1231231(,,)2(,,,)3r r =≠=ββββββα,此时，1α不能由123,,βββ线性表示，故5a =.（Ⅱ）对123123(,,,,,)αααβββ进行初等行变换:123123(,,,,,)=αααβββ101113013124115135⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124014022⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭1002150104210001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭.故112324=+−βααα，2122=+βαα，31235102=+−βααα.（23）（本题满分11分）解:（Ⅰ）设()()TT121,0,1,1,0,1=−=αα，则()()1212,,=−ααααA ，即1122,=−=ααααA A ，从而A 有特征值121,1λλ=−=，对应的特征向量分别为()1110k k ≠α，()2220k k ≠α. 由于()2A =R ,所以30λ=.由于A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设30λ=对应的特征向量为()T3123,,x x x =α，则T 13T230,0.⎧=⎨=⎩αααα即13130,0.x x x x −=⎧⎨+=⎩ 解此方程组，得()T30,1,0=α,故30λ=对应的特征向量为()3330k k ≠α.故A 的所有特征值为1231,1,0λλλ=−==，对应的特征向量分别为()1110k k ≠α，()2220k k ≠α和()3330k k ≠α.（Ⅱ）由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：))()T T T3121231231,0,1,1,0,1,0,1,0==−====αααβββααα. 令()123,,=βββQ ，则T110−⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ΛQ AQ ， T =A Q QΛ022012200110220010022⎛⎫−⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪−⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪− ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭222200002201022⎛⎫−⎛⎫ ⎪− ⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭001000100⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭.。
2011年考研数学二真题及答案
2011年考研数学二真题及答案一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)． (1)． 设ln(13)xy -=+,则dy =＿＿＿＿＿＿. (2)． 曲线2x y e -=的上凸区间是＿＿＿＿＿＿. (3)．21ln xdx x+∞=⎰＿＿＿＿＿＿. (4)． 质点以速度2sin()t t 米每秒作直线运动,则从时刻1t =秒到2t =过的路程等于＿＿＿＿＿＿米.(5)． 1101lim x x xex e+→-=+＿＿＿＿＿＿.二、选择题(每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)．(1)． 若曲线2y x ax b =++和321y xy =-+在点(1,1)-处相切,其中,a b 是常数,则 ( )．(A)． 0,2a b ==- (B)． 1,3a b ==- (C)． 3,1a b =-= (D)． 1,1a b =-=-(2)． 设函数2 , 01,()2,12,x x f x x x ⎧≤≤=⎨-<≤⎩记0()(),02x F x f t dt x =≤≤⎰,则 ( )．(A)． 32 , 013()12,1233x x F x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩ (B)． 32, 013()72,1262x x F x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+-<≤⎪⎩(C)． 322 , 013()2,1232x x F x x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪+-<≤⎪⎩ (D)． 32 , 013()2,122x x F x x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩(3)． 设函数()f x 在(,)-∞+∞内有定义,00x ≠是函数()f x 的极大点,则( )．(A)． 0x 必是()f x 的驻点 (B)． 0x -必是()f x --的极小点 (C)． 0x -必是()f x -的极小点 (D)． 对一切x 都有0()()f x f x ≤(4)． 曲线2211x x e y e--+=-( )．(A)．没有渐近线 (B)． 仅有水平渐近线(C)． 仅有铅直渐近线 (D)． 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (5)． 如图,x 轴上有一线密度为常数μ,长度为l 的细杆,有一质量为m 的质点到杆右端的距离为a ,已知引力系数为k ,则质点和细杆之间引力的大小为 ( )．(A)． 02()l km dx a x μ--⎰ (B)． 20()l km dx a x μ-⎰ (C)． 0222()l km dx a x μ-+⎰ (D)． 2202()lkm dx a x μ+⎰三、(每小题5分,满分25分.)．(1)． 设cos sin x t t y t t =⎧⎨=⎩,求22d ydx .(2)． 计算41(1)x x +⎰.(3)． 求 20sin lim(1)xx x xx e →--. (4)． 求 2sin x xdx ⎰.(5)． 求微分方程xxy y xe '+=满足(1)1y =的特解.四、(本题满分9分)．利用导数证明：当1x >时,有不等式ln(1)ln 1x xx x+>+成立.五、(本题满分9分)．求微分方程cos y y x x ''+=+的通解.六、(本题满分9分)．曲线(1)(2)y x x =--和x 轴围成一平面图形,求此平面图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积.七、(本题满分9分)．如图,A 和D 分别是曲线xy e =和2xy e-=上的点,AB 和DC 均垂直x 轴,且:2:1AB DC =,1AB<,求点B和C的横坐标,使梯形ABCD 的面积最大.八、(本题满分9分)．设函数()f x 在(,)-∞+∞内满足()()sin f x f x x π=-+,且(),[0,)f x x x π=∈, 计算3()f x dx ππ⎰.答案一、填空题(每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上.)． (1)．【答案】：ln 331xdx -+ (2)．【答案】：( (3)．【答案】：1(4)．【答案】：12(5)．【答案】：1-二、选择题(每小题3分,满分15分.)． (1)．【答案】：(D)． (2)．【答案】：(B)． (3)．【答案】：(B)． (4)．【答案】：(D)． (5)．【答案】：(A)．三、(每小题5分,满分25分.)．(1)．/sin cos /cos sin dy dy dt t t tdx dx dt t t t+==-, 221sin cos 1()()cos sin cos sin d y d dy d t t t dx dx dt dx dt t t t t t tdt+=⋅=⋅-- 2(2cos sin )(cos sin )(2sin cos )(sin cos )1(cos sin )cos sin t t t t t t t t t t t t t t t t t t--+++=⋅-- 2222232(cos sin )(sin cos )3sin cos 3sin cos (cos sin )t t t t t t t t t t tt t t +++-+=- 232(cos sin )t t t t +=-. (2)．用换元法求定积分.令t =,则2,2x t dx tdt ==,则422211111122()(1)1tdt dt t t t t ⋅=-++⎰⎰⎰ 212142ln 2(ln ln )2ln 1323t t ⎡⎤==-=⎢⎥+⎣⎦. (3)．利用等价无穷小和洛必达法则.当0x →时,有sin ,1xxx e x +,所以22232220000022sin sin sin 1cos 122lim lim lim lim lim (1)3336x x x x x x x x x x x x x x e x x x x →→→→→⎛⎫ ⎪---⎝⎭====-洛. (4)．用分部积分法求不定积分.21cos 21sin (cos 2)22x x xdx x dx x x x dx -=⋅=-⎰⎰⎰ 21111cos 2(sin 2)2244xdx x xdx x xd x =-=-⎰⎰⎰ 2111sin 2sin 2444x x x xdx =-+⎰ 2111sin 2cos 2448x x x x C =--+. (5)．所给方程是一阶线性方程,其标准形式为1xy y e x'+=.通解为111()()dx dx xx x x y e e e dx C xe dx C x-⎰⎰=+=+⎰⎰111()()()x x x x x xde C xe e dx C xe e C x x x=+=-+=-+⎰⎰. 代入初始条件(1)1y =得1C =,所以特解为11xx y e x x-=+.四、(本题满分9分)．首先应简化不等式,从中发现规律.当1x >时,原不等式即(1)ln(1)ln x x x x ++>,即(1)ln(1)ln 0x x x x ++->. 证法一：令()(1)ln(1)ln f x x x x x =++-,则只需证明在1x >时()0f x >即可, 可利用函数的单调性证明,对于()f x 有1()ln(1)1ln 1ln()x f x x x x+'=++--=. 因1x >,故11x x+>,即()0f x '>,所以在(1,)+∞上()f x 是严格递增函数,所以 ()(1)2ln 20f x f >=>,故(1)ln(1)ln 0x x x x ++->,所以当1x >时,有不等式ln(1)ln 1x xx x+>+成立. 证法二：当1x >时,原不等式即(1)ln(1)ln x x x x ++>,不等式左右两端形式一致,故令()ln f x x x =,则()ln 10(1)f x x x '=+>>,所以()ln f x x x =在1x >时严格单调递增,故(1)()f x f x +>，即(1)ln(1)ln x x x x ++>.所以当1x >时,有不等式ln(1)ln 1x xx x+>+成立.五、(本题满分9分)．微分方程cos y y x x ''+=+对应的齐次方程0y y ''+=的特征方程为210r +=, 特征根为1,2r i =±,故对应齐次通解为12cos sin C x C x +.方程y y x ''+=必有特解为1Y ax b =+,代入方程可得1,0a b ==. 方程cos y y x ''+=的右端cos cos xex x αβ=,i i αβ+=为特征根,必有特解2cos sin Y x A x x B x =⋅+⋅,代入方程可得10,2A B ==. 由叠加原理,原方程必有特解12sin 2xY Y Y x x =+=+. 所以原方程的通解为121cos sin sin 2y C x C x x x x =+++.六、(本题满分9分)．利用定积分求旋转体的体积,用微元法,曲线为一抛物线,与x 轴的交点是11,x =22x =,顶点坐标为31(,)24-.方法一：考虑对x 积分,如图中阴影部分绕y 轴旋转一周,环柱体的体积为222()2dV x dx y x y x y dx y dx ππππ=+-=+其中2dx 为0dx →的高阶无穷小,故可省略,且y 为负的, 故y y =-,即22(1)(2)dV xydx x x x dx ππ=-=---. 把x 从12→积分得2223112(1)(2)2(32)V x x x dx x x x dx ππ=--=--⎰⎰234211122(0)442x x x πππ⎡⎤=--=+=⎢⎥⎣⎦.方法二：考虑对y 的积分,如图中阴影部分绕y 轴旋转一周的体积为抛物线两半曲线分别绕y 轴旋转一周后的体积差,即2221dV x dy x dy ππ=-其中,12,x x 为Y y =与抛物线的交点,且21x x >, 把Y y =代入抛物线方程(1)(2)y x x =--,解得12x x ==, 故旋转体体积为0221214()V x x dy π-=-⎰.把12,x x 的值代入化简,得32114432323(14)43432V y πππ--⎡⎤==⋅+=⋅=⎢⎥⎣⎦⎰.七、(本题满分9分)． 可以利用函数的极值求解.设B 、C 的横坐标分别为1,x x ,因为||1AB <,所以10,x <0x >.依题设:2:1AB DC =,所以有122x x e e -=,两边同时取自然对数,得1ln 22,x x =-而 1(ln 22)3ln 2,(0)BC x x x x x x =-=--=->, 所以梯形ABCD 的面积为122211()(3ln 2)(2)(3ln 2)22x x x x S e e x e e x ---=+-=+-23(3ln 2)2x x e -=-.求函数23(3ln 2)2xS x e -=-,(0x >)．的最值,满足一般函数求最值的规律,两边对x 求导,并令0S '=有23(362ln 2)02x S x e -'=-+=,得驻点11ln 223x =+,在此点S '由正变负,所以11ln 223x =+是极大值点.又驻点唯一,故11ln 2023x =+>是23(3ln 2)2xS x e -=-最大值点.此时11ln 223x =+,11ln 213x =-时,梯形ABCD 面积最大,故B 点的坐标为1(ln 21,0)3-,C 点的坐标为11(ln 2,0)23+.八、(本题满分9分)．这是个抽象函数求定积分,由题知()()sin()sin ,[0,)f x f x x x x x πππ+=++=-∈,(2)()sin(2)sin sin ,[0,)f x f x x x x x x x ππππ+=+++=-+=∈,而3232()()()f x dx f x dx f x dxππππππ=+⎰⎰⎰,对于2()f x dxππ⎰,令t xπ=-,则,x t dx dtπ=+=,所以200()()(sin)f x dx f t dt t t dtπππππ=+=-⎰⎰⎰;对于32()f x dxππ⎰,令2t xπ=-,则2,x t dx dtπ=+=,所以3200()(2)f x dx f t dt tdtπππππ=+=⎰⎰⎰;所以3232()()()f x dx f x dx f x dxππππππ=+⎰⎰⎰00(sin)t t dt tdtππ=-+⎰⎰002sintdt tdtππ=-⎰⎰[]22cos2t tπππ⎡⎤=+=-⎣⎦.。
2011考研数一真题答案及详细解析
所以 x1= -./k二［是极小值点， X2 =.fl..厂二了是极大值点；
由千 f(O)=O, 则 f(x) 的极大值 f (./1..言刁-)>0, J(x) 的极小值 f(- ,/k — 1 ) < 0.
又lim f(x)= +=,lim J(x) = —=,J(O) =0,
工j—00
.,•-•j-0<>
00) e一1 sinx
解 由条件知： P(x)=1,Q(x) =尸cosx'于是微分方程通解为
(J (J y=e-I压）扛 Q(x)eJP<x)d丑'dx +c) =e寸ld工 尸cosx ef1凸 dx +c) (J =e一1 cosxdx +C)=尸(sinx +C),
由y(O)=O得C=O,因此所求特解为
J'(y) , f(y)
a飞 a正
=f
，，(x)lnf(y),
一3一五—= 妇办
J'(x)•
J'(y) f(y)'
a飞
尸(y汀(y) -[f'(y)J 2
ay2 =f(x)
尸(y)
若函数乏 = f位） Inf Cy)在(0,0) 处取得极小值 ， 则
�o, (�'"·"�J'(O)ln::�:
-I f ay co.o> = f(O)• Co) = O,
则E(XY 2 )
=EX• E(Y2 )
=EX•
[DY+(EY) 2 ]
= 叭矿＋矿）
= µ
rJ
2
+矿．
三、解答题
ln(l +x)�
2011年研究生入学统一考试数学二试题及解析
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1、已知当0x →时，函数()3sin sin 3f x x x =-与k cx 等价无穷小，则（A ）1,4k c == （B ）1,4k c ==- （C ） 3,4k c == （D ）3,4k c ==- 【分析】本题考查等价无穷小的有关知识.可以利用罗必达法则或泰勒公式完成。
【详解】法一:由题设知 13sin sin 33cos 3cos 31=lim=limkk x x x xx xcxkcx-→→--233sin 9sin 33cos 27cos 3=lim=lim(1)(1)(2)k k x x x x x x k k cxk k k cx--→→-+-+---324=lim(1)(2)k x k k k cx-→--从而(1)(2)243k k k c k --=⎧⎨=⎩，故3,4k c ==。
从而应选（C ）。
法二:333333(3)()3(())(3())4()3!3!xx f x x o x x o x x o x =-+--+=+所以3,4k c ==。
，从而应选（C ）。
2、已知()f x 在0x =处可导，且(0)0f =，则233()2()limx x f x f x x→-=（A ）2'(0)f - （B ）'(0)f - （C ） '(0)f （D ）0【分析】本题考查导数的定义。
通过适当变形，凑出()f x 在0x =点导数定义形式求解。
【详解】23223333()2()()(0)()(0)limlim[2]x x x f x f x x f x x f f x f xxx→→---=-()22333()(0)()(0)lim2lim'0x x x f x x f f x f f xx→→--=-=-故应选（B ）。
2011考研数学真题+答案
2 z 所以 xy
f1 (1,1) f11 (1,1) f12 (1,1) .
(17)（本题满分 10 分） 求方程 k arctan x x 0 不同实根的个数，其中 k 为参数. 解：令 f ( x) k arctan x x ，则 f ( x) 是 (, ) 上的奇函数，且
2011 年 • 第 3 页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·2011 年数学试题答案和评分参考
1 1 ln n (n 1, 2,) ，证明数列 {an } 收敛. 2 n 解： （I）根据拉格朗日中值定理，存在 (n, n 1) ，使得 1 1 1 1 1 1 ln(1 ) ln(n 1) ln n ，所以 ln(1 ) . n n 1 n n 1 1 （II）当 n 1 时，由（I）知 an1 an ln(1 ) 0 ， n 1 n 1 1 1 1 且 an 1 ln n ln(1 1) ln(1 ) ln(1 ) ln n 2 n 2 n ln(1 n) ln n 0 ，所以数列 {an } 单调下降且有下界，故 {an } 收敛.
(A) P1P2 (B) P11P2 (C) P2 P1
*
（D）
(D) P2 P11
T
(6) 设 A (1,2 ,3 ,4 ) 是 4 阶矩阵， A 为 A 的伴随矩阵.若 (1, 0,1, 0) 是方程组 Ax 0
* 的一个基础解系， 则 A x 0 的基础解系可为
（D） (D)
（A） (B) f (0) 1, f (0) 0 (D) f (0) 1, f (0) 0
(4) 设 I 4 ln sin xdx , J 4 ln cot xdx , K 4 ln cos xdx , 则 I , J , K 的大小关系为 （B）
2011年考研数二真题及答案解析
=
1
1
0
，
P2
=
0
0
1
，则
A
=
(
)
0 0 1
0 1 0
(A) P1P2 ．
(B) P1−1P2 ．
(C) P2P1 ．
(8) 设 A = (α1,α2 ,α3,α4 ) 是 4 阶矩阵， A* 为 A 的伴随矩阵，若 (1, 0,1, 0)T 是方程组
0
0
0
小关系是( )
(A) I < J < K ． (B) I < K < J ． (C) J < I < K ． (D) K < J < I ． (7) 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ，再交换 B 的第 2 行与第 3
1 0 0
1 0 0
行得单位矩阵，记
P1
(A) f ′′(0) < 0, g′′(0) > 0.
(B) f ′′(0) < 0, g′′(0) < 0.
(C) f ′′(0) > 0, g′′(0) > 0.
(D) f ′′(0) > 0, g′′(0) < 0.
π
π
π
∫ ∫ ∫ (6) 设 I = 4 ln sin x dx ， J = 4 ln cot x dx ， K = 4 ln cos x dx ，则 I , J , K 的大
(B) ax(eλx + e−λx ) ．
(C) x(aeλx + be−λx ) ．
(D) x2 (aeλx + be−λx ) ．
(5) 设函数 f (x), g(x) 均有二阶连续导数，满足 f (0) > 0, g(0) < 0, 且 f= ′(0) g= ′(0) 0 ，
2011年考研数学(二)及参考答案
2011年考研数学试题（数学二）一、选择题1. 已知当时，函数A k=1,c=4B k=a, c=-4C k=3,c=4D k=3,c=-42.A B C D03. 函数的驻点个数为A0 B1 C2 D34. 微分方程A BC D5设函数具有二阶连续导数，且，则函数在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件A BC D6.设A I<J<KB I<K<JC J<I<KD K<J<I7.设A为3阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换B的第二行与第一行得单位矩阵。
记则A=A B C D8设是4阶矩阵，是A的伴随矩阵，若是方程组的一个基础解系，则的基础解系可为A B C D二、填空题9.10. 微分方程11.曲线的弧长s=____________12.设函数 ，则13.设平面区域D由y=x,圆及y轴所组成，则二重积分14.二次型，则f的正惯性指数为________________三、解答题15. 已知函数，设，试求的取值范围。
16. 设函数y=y(x)有参数方程，求y=y(x)的数值和曲线y=y(x)的凹凸区间及拐点。
17. 设，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且在x=1处取得极值g(1)=1,求18. 设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l:y=y(x)与直线y=x相切于原点，记是曲线l在点（x,y)外切线的倾角，求y(x)的表达式。
19.证明：1）对任意正整数n，都有2）设,证明收敛。
20.一容器的内侧是由图中曲线绕y旋转一周而成的曲面，该曲面由连接而成。
（1）求容器的容积。
（2）若从容器内将容器的水从容器顶部全部抽出，至少需要多少功？（长度单位：m；重力加速度为；水的密度为）21.已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数，且f(1,y)=0,f(x,1)=0,，其中，计算二重积分。
22.X01P1/32/3Y-101P1/31/31/3求：（1）（X，Y）的分布；（2）Z=XY的分布；（3）23.A为三阶实矩阵，，且（1）求A的特征值与特征向量；（2）求A参考答案选择题：CBCC ABDD填空题：9. 10. 11. 12. 13 14. 解答题：15. 解：16.解：sss17.解：18. 解：19.解：20. 解：21. 解：22. 解：23. 解：。
2011年考研数学试题(数学一)答案解析
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案解析一、选择题1、【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。
直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。
【解析】由()()()()4324321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是()()()()23412340y x x x x =----=的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知(1)0y '≠，(2)(3)(4)0y y y '''===(2)0y ''≠，(3)(4)0y y ''''==，(3)0,(4)0y y ''''''≠=，故（3，0）是一拐点。
2、【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。
主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。
【解析】()∑===n k kn n a S 12,1 无界，说明幂级数()11nnn a x ∞=-∑的收敛半径1R ≤；{}n a 单调减少，0lim =∞→nn a ，说明级数()11nn n a ∞=-∑收敛，可知幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛半径1R ≥。
因此，幂级数()11nn n a x ∞=-∑的收敛半径1R =，收敛区间为()0,2。
又由于0x =时幂级数收敛，2x =时幂级数发散。
可知收敛域为[)0,2。
3、【答案】C 【考点分析】本题考查二元函数取极值的条件，直接套用二元函数取极值的充分条件即可。
【解析】由)(ln )(y f x f z =知()()ln (),()()x y f x z f x f y z f y f y ''''==，()()()xy f x z f y f y ''''= ()ln ()xx z f x f y ''''=，22()()(())()()yy f y f y f y z f x f y '''-''=所以00(0)(0)0(0)xy x y f z f f ==''''==，00(0)ln (0)xx x y z f f ==''''=，2200(0)(0)((0))(0)(0)(0)yy x y f f f z f f f =='''-''''==要使得函数)(ln )(y f x f z =在点(0,0)处取得极小值，仅需(0)ln (0)0f f ''>，(0)ln (0)(0)0f f f ''''⋅>所以有0)0(1)0(>''>f f ，4、【答案】B 【考点分析】本题考查定积分的性质，直接将比较定积分的大小转化为比较对应的被积函数的大小即可。
2011考研数二真题及解析
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．) (1) 已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与k cx 是等价无穷小，则( ) (A) 1,4k c ==． (B) 1,4k c ==-． (C) 3,4k c ==． (D) 3,4k c ==-．(2) 已知()f x 在0x =处可导，且()00f =，则()()2332limx x f x f x x→-=( )(A) ()20f '-． (B) ()0f '-． (C) ()0f '． (D) 0． (3) 函数()ln (1)(2)(3)f x x x x =---的驻点个数为( )(A) 0． (B) 1． (C) 2． (D) 3． (4) 微分方程2(0)x x y y e e λλλλ-''-=+>的特解形式为( ) (A) ()x x a e e λλ-+． (B) ()x x ax e e λλ-+． (C) ()x x x ae be λλ-+． (D) 2()x x x ae be λλ-+．(5) 设函数(),()f x g x 均有二阶连续导数，满足(0)0,(0)0,f g ><且(0)(0)0f g ''==，则函数()()z f x g y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( )(A) (0)0,(0)0.f g ''''<> (B) (0)0,(0)0.f g ''''<< (C) (0)0,(0)0.f g ''''>> (D) (0)0,(0)0.f g ''''><(6) 设40ln sin I x dx π=⎰，4ln cot J x dx π=⎰，40ln cos K x dx π=⎰，则,,I J K 的大小关系是( )(A) I J K <<． (B) I K J <<． (C) J I K <<． (D) K J I <<． (7) 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵，记1100110001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2100001010P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A =( ) (A) 12PP ． (B) 112P P -． (C) 21P P ． (D) 121P P -．(8) 设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T 是方程组0Ax =的一个基础解系，则*0A x =的基础解系可为( )(A) 13,αα． (B) 12,αα． (C) 123,,ααα． (D) 234,,ααα． 二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．) (9) 1012lim()2x x x →+= ．(10) 微分方程'cos x y y e x -+=满足条件(0)0y =的解为 ． (11) 曲线0tan (0)4xy tdt x π=≤≤⎰的弧长s = ．(12) 设函数,0,()0,0,0,x e x f x x λλλ-⎧>=>⎨≤⎩则()xf x dx +∞-∞=⎰ ．(13) 设平面区域D 由直线,y x =圆222x y y +=及y 轴围成，则二重积分Dxyd σ=⎰⎰ ．(14) 二次型222123123121323(,,)3222f x x x x x x x x x x x x =+++++，则f 的正惯性指数为 ．三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)(15) (本题满分10分)已知函数20ln(1)()xat dt F x x +=⎰，设0lim ()lim ()0,x x F x F x +→+∞→==试求a 的取值范围． (16) (本题满分11分)设函数()y y x =由参数方程3311,3311,33x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩确定，求()y y x =的极值和曲线()y y x =的凹凸区间及拐点．(17) (本题满分9分)设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导且在1x =处取得极值(1)1g =，求211x y zx y==∂∂∂．x(18) (本题满分10分)设函数()y x 具有二阶导数，且曲线:()l y y x =与直线y x =相切于原点，记α为曲线l 在点(,)x y 处切线的倾角，若,d dydx dxα=求()y x 的表达式． (19) (本题满分10分)(I)证明：对任意的正整数n ，都有111ln(11n n n<+<+ 成立． (II)设111ln (1,2,)2n a n n n=+++-=，证明数列{}n a 收敛． (20) (本题满分11分)一容器的内侧是由图中曲线绕y 轴旋转一周而成的曲面，该曲线由2212()2x y y y +=≥与2211(2x y y +=≤连接而成的．(I) 求容器的容积；(II) 若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？(长度单位：m ，重力加速度为2/gm s ，水的密度为3310/kg m )．图１(21) (本题满分11分)已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数，且(1,)0f y =，(,1)0f x =，(,)Df x y dxdy a =⎰⎰，其中{}(,)|01,01D x y x y =≤≤≤≤，计算二重积分(,)xyDI xy f x y dxdy ''=⎰⎰．(22) (本题满分11分) 设向量组123(1,0,1),(0,1,1),(1,3,5)TTTααα===，不能由向量组1(1,1,1)T β=，2(1,2,3)T β=，3(3,4,)T a β=线性表示．(I) 求a 的值；(II) 将123,,βββ由123,,ααα线性表示． (23) (本题满分11分)A 为三阶实对称矩阵，A 的秩为2，即()2r A =，且111100001111A -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．(I) 求A 的特征值与特征向量； (II) 求矩阵A ．2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题(1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．) (1)【答案】(C)． 【解析】因为03sin sin 3limk x x x cx →-03sin sin cos 2cos sin 2lim kx x x x x xcx →--=()20sin 3cos 22cos limkx x x x cx →--=2103cos 22cos lim k x x xcx -→--= ()22132cos 12cos limk x x xcx -→---=22110044cos 4sin lim lim k k x x x x cx cx --→→-== 304lim1k x cx -→==．所以4,3c k ==，故答案选(C)． (2)【答案】(B)．【解析】()()2332limx x f x f x x →-()()()()22330220limx x f x x f f x f x →--+=()()()()33000lim 2x f x f f x f x x →⎡⎤--⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦()()()0200f f f '''=-=-．故答案选(B)． (3)【答案】(C)．【解析】()ln 1ln 2ln 3f x x x x =-+-+-111'()123f x x x x =++--- 231211(1)(2)(3)x x x x x -+=---令'()0f x =，得1,263x =，故()f x 有两个不同的驻点．(4)【答案】(C)．【解析】微分方程对应的齐次方程的特征方程为220r λ-=，解得特征根12r r λλ==-,． 所以非齐次方程2x y y e λλ''-=有特解1x y x a e λ=⋅⋅,非齐次方程2x y y e λλ-''-=有特解2x y x b e λ-=⋅⋅，故由微分方程解的结构可知非齐次方程2x x y y e e λλλ-''-=+可设特解().x x y x ae be λλ-=+ (5)【答案】(A)． 【解析】由题意有()()z f x g y x ∂'=∂， ()()z f x g y y∂'=∂ 所以，()0,0(0)(0)0zf g x ∂'==∂，()0,0(0)(0)0z f g y ∂'==∂，即()0,0点是可能的极值点． 又因为22()()z f x g y x ∂''=∂，2()()z f x g y x y ∂''=∂∂，22()()zg y f x y ∂''=∂， 所以，2(0,0)2|(0)(0)z A f g x ∂''==⋅∂，2(0,0)|(0)(0)0zB f g x yα''==⋅=∂∂，2(0,0)2|(0)(0)zC f g y∂''==⋅∂，根据题意由()0,0为极小值点，可得20,AC B A C -=⋅>且(0)(0)0A f g ''=⋅>，所以有(0)(0)0.C f g ''=⋅>由题意(0)0,(0)0f g ><，所以(0)0,(0)0f g ''''<>，故选(A)．(6)【答案】(B)． 【解析】因为04x π<<时， 0sin cos 1cot x x x <<<<，又因ln x 是单调递增的函数，所以ln sin ln cos ln cot x x x <<． 故正确答案为(B)．(7)【答案】 (D)．【解析】由于将A 的第2列加到第1列得矩阵B ，故100110001A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 即1AP B =，11A BP -=．由于交换B 的第2行和第3行得单位矩阵，故100001010B E ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 即2,P B E =故122B P P -==．因此，121A P P -=，故选(D)．(8)【答案】(D)．【解析】由于(1,0,1,0)T 是方程组0Ax =的一个基础解系，所以(1,0,1,0)0T A =，且()413r A =-=，即130αα+=，且0A =．由此可得*||A A A E O ==，即*1234(,,,)A O =αααα，这说明1234,,,αααα是*0A x =的解．由于()3r A =，130αα+=，所以234,,ααα线性无关．又由于()3r A =，所以*()1r A =，因此*0A x =的基础解系中含有413-=个线性无关的解向量．而234,,ααα线性无关，且为*0A x =的解，所以234,,ααα可作为*0A x =的基础解系，故选(D)．二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．)(9)【解析】原式=0121lim (1)2x x xe →+-00212ln 21limlimln 2222x x x x x eee→→-⋅====(10)【答案】sin x y e x -=． 【解析】由通解公式得(cos )dx dxx y e e x e dx C --⎰⎰=⋅+⎰(cos )x e xdx C -=+⎰(sin )x e x C -=+．由于(0)0,y =故C =0．所以sin x y e x -=．(11)【解析】选取x 为参数，则弧微元sec ds xdx ===所以4400sec ln sec tan ln(1s xdx x x ππ==+=+⎰． (12)【答案】1λ．【解析】原式0x x x e dx xde λλλ+∞+∞--==-⎰⎰1lim0x x xx x x xee dx ee λλλλλ+∞-+∞--+∞→+∞=-+=-+-⎰01111limlim x x x x e e e λλλλλ→+∞→+∞⎛⎫=---= ⎪⎝⎭． (13)【答案】712． 【解析】原式2sin 2sin 322044cos sin cos sin d r r rdr r d r dr ππθθππθθθθθθ=⋅=⋅⎰⎰⎰⎰4241sin cos 16sin 4d ππθθθθ=⋅⋅⋅⎰5522444cos sin 4sin sin d d ππππθθθθθ=⋅=⎰⎰66447sin 612ππθ==． (14)【答案】2．【解析】方法1：f 的正惯性指数为所对应矩阵的特征值中正的个数．二次型f 对应矩阵为111131111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．111000131131132111111112E A λλλλλλλλλλλ-----=---=---=------------ ()()321412λλλλλλ--==----， 故1230,1,4λλλ===．因此f 的正惯性指数为2．方法2：f 的正惯性指数为标准形中正的平方项个数．()222123123121323,,3222f x x x x x x x x x x x x =+++++()2222212322332323232x x x x x x x x x x x =++---+++ ()2212322x x x x =+++，令11232233,,,y x x x y x y x =++⎧⎪=⎨⎪=⎩则22122f y y =+，故f 的正惯性指数为2． 三、解答题(15～23小题，共94分．请将解答写在答题纸．．．指定位置上．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)(15) (本题满分10分) 【解析】如果0a ≤时，220(1)limlim ln(1)xxa ax x ln t dt x t dt x -→+∞→+∞+=⋅+=+∞⎰⎰，显然与已知矛盾，故0a >． 当a >时，又因为22230110000ln(1)ln(1)1limlim lim lim 0xaa a a x x x x t dtx x x x ax ax a++++---→→→→++===⋅=⎰． 所以30a ->即3a <．又因为223201222ln(1)ln(1)210lim lim lim lim (1)(1)1xa a a a x x x x xt dt x x x x ax a a x a a x---→+∞→+∞→+∞→+∞+++====--+⎰ 所以32a -<，即1a >，综合得13a <<．(16) (本题满分11分)【解析】因为221()1dyt dt y x dx t dt-'==+，2222222231()12(1)(1)2141(),(1)1(1)t d t t t t t t y x dx dt t t t dt-+--⋅+''=⋅=⋅=+++ 令()0y x '=得1t =±， 当1t =时，53x =，13y =-，此时0y ''>，所以13y =-为极小值．当1t =-时，1x =-，1y =，此时0y ''<，所以1y =为极大值． 令()0y x ''=得0t =，13x y ==． 当0t <时，13x <，此时0y ''<；当0t >时，13x >，此时0y ''>． 所以曲线的凸区间为13⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，，凹区间为13⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，，拐点为11(,)33． (17) (本题满分9分) 【解析】[],()z f xy yg x =[][]12,(),()()zf xy yg x y f xy yg x yg x x∂'''=⋅+⋅∂ [][]211112,()(,())(,())()zf xy yg x y f xy yg x x f xy yg x g x x y∂'''''=++∂∂ []{}21222(),()()[,()][,()]()g x f xy yg x yg x f xy yg x x f xy yg x g x '''''''+⋅+⋅+． 因为()g x 在1x =可导，且为极值,所以(1)0g '=，则21111121|(1,1)(1,1)(1,1)x y d zf f f dxdy =='''''=++． (18) (本题满分10分)【解析】由题意可知当0x =时，0y =，'(0)1y =，由导数的几何意义得tan y α'=,即arctan y α'=，由题意()arctan d dy y dx dx '=，即 21y y y'''='+． 令y p '=，y p '''=，则21p p p '=+，3dpdx p p=+⎰⎰，即 21dp p dp dx p p -=+⎰⎰⎰，211ln ||ln(1)2p p x c -+=+，即2211x p ce -=-．当0x =，1p =，代入得2c =，所以'y =则0()(0)t xxy x y -==⎰⎰004t t xx π===⎰．又因为(0)0y =，所以()4x y x π=-． (19) (本题满分10分)【解析】(Ⅰ)设()()1ln 1,0,f x x x n ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦显然()f x 在10,n⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足拉格朗日的条件，()1111110ln 1ln1ln 1,0,1f f n n n n n ξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+=⋅∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以10,n ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， 11111111101n n n nξ⋅<⋅<⋅+++，即：111111n n n ξ<⋅<++， 亦即：111ln 11n n n⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭． 结论得证．（II ）设111111ln ln 23nn k a n n n k==++++-=-∑． 先证数列{}n a 单调递减．()111111111ln 1ln ln ln 1111n n n n k k n a a n n k k n n n n ++==⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+--=+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∑∑，利用（I ）的结论可以得到11ln(1)1n n <++，所以11ln 101n n ⎛⎫-+< ⎪+⎝⎭得到1n n a a +<，即数列{}n a 单调递减．再证数列{}n a 有下界．1111ln ln 1ln nnn k k a n n k k ==⎛⎫=->+- ⎪⎝⎭∑∑，()11112341ln 1ln ln ln 1123nnk k k n n k k n ==++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+==⋅⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∏， ()1111ln ln 1ln ln 1ln 0nnn k k a n n n n k k ==⎛⎫=->+->+-> ⎪⎝⎭∑∑．得到数列{}n a 有下界．利用单调递减数列且有下界得到{}n a 收敛． (20) (本题满分11分)【解析】(I)容器的容积即旋转体体积分为两部分12V V V =+()()1222211221y y dy y dy ππ-=-+-⎰⎰232123y y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭+13213y y π-⎛⎫- ⎪⎝⎭=π1534⎛⎫+- ⎪⎝⎭=94π．(II) 所做的功为22(2)(1)(2)(2)dw g y y dy g y y y dy πρπρ=--+--12222112(2)(1)(2)(2)w g y y dy g y y y dy πρπρ-=--+--⎰⎰1232322112(22)44)g y y y dy y y y dy πρ-⎛⎫=--+++-+ ⎪⎝⎭⎰⎰111224322312222221111211122242243243yy y yy g y yπρ----⎛⎫⎪=--++-+ ⎪ ⎪⎝⎭3271033758g g ππ⨯==．(21) (本题满分11分)【解析】因为(,1)0f x =，(1,)0f y =，所以(,1)0x f x '=．110(,)xyI xdx yf x y dy ''=⎰⎰11(,)x xdx ydf x y '=⎰⎰ ()()111000,|,x x xdx yf x y f x y dy ⎡⎤''=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰()1100(,1)(,)x x xdx f x f x y dy ''=-⎰⎰ 1100(,)x xdx f x y dy '=-⎰⎰1100(,)x dy xf x y dx '=-⎰⎰111000(,)|(,)dy xf x y f x y dx ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 1100(1,)(,)dy f y f x y dx ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦⎰⎰(,)Df x y dxdy =⎰⎰a =．(22) (本题满分11分)【解析】(I)由于123,,ααα不能由123,,βββ线性表示，对123123(,,,,,)βββααα进行初等行变换：123123113101(,,,,,)12401313115a ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭βββααα113101011112023014a ⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪-⎝⎭113101011112005210a ⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪--⎝⎭． 当5a =时，1231231(,,)2(,,,)3r r ββββββα=≠=，此时，1α不能由123,,βββ线性表示，故123,,ααα不能由123,,βββ线性表示．(II)对123123(,,,,,)αααβββ进行初等行变换：123123101113(,,,,,)013124115135⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αααβββ101113013124014022⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪⎝⎭101113013124001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪--⎝⎭ 1002150104210001102⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪--⎝⎭， 故112324βααα=+-，2122βαα=+，31235102βααα=+-． (23) (本题满分11分)【解析】(I)由于111100001111A -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，设()()121,0,1,1,0,1T T αα=-=，则()()1212,,A αααα=-，即1122,A A αααα=-=，而120,0αα≠≠，知A 的特征值为121,1λλ=-=，对应的特征向量分别为()1110k k α≠，()2220k k α≠．由于()2r A =，故0A =，所以30λ=．由于A 是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设30λ=对应的特征向量为()3123,,Tx x x α=，则13230,0,T T⎧=⎨=⎩αααα即13130,0x x x x -=⎧⎨+=⎩． 解此方程组，得()30,1,0Tα=，故30λ=对应的特征向量为()3330k k α≠．(II) 由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：))()3121231231,0,1,1,0,1,0,1,0T T Tαααβββααα==-====． 令()123,,Q βββ=，则110TQ AQ -⎛⎫⎪=Λ= ⎪ ⎪⎝⎭， T A Q Q =Λ001001100010022⎛⎫ ⎪⎪-⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭02200010000000100010022⎛⎫-⎛⎫ ⎪⎪⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭．。
(完整)11年川大高等代数及答案
四川大学2011年攻读硕士学位研究生入学考试题一、（本题满分20分）1. (5分)设V 是数域F 上的线性空间，V s ∈ααα,,,21Λ.令}{1F k k W i si i i ∈=∑=α.证明：W是V 的子空间（称为由s ααα,,,21Λ生成的子空间）. 证明：取W ∈βα,且∑==si i i k 1αα，∑==si i i k 1ββ∑∑∑===+=+=+s i i i i si i i si i i k k k 111)(βαβαβα，则W ∈+βα ①∑∑====si i i s i i i k k k k k 11)(ααα，则W k ∈α ②由①、②，得W 是V 的子空间2. （15分）设)(2F M 是数域F 上的2阶方阵组成的线性空间，设V 是由如下的4个矩阵生成的)(2F M 的子空间：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=02411A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=30152A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=41233A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=54924A ， （1）求V dim 并写出V 的一个基.（2）设映射f ：F f →为：)()(A tr A f =，其中)(A tr 表示矩阵A 的迹. 求f ker dim 并写出f ker 的一个基.解：（1）取)(2F M 的一个基11E 、12E 、21E 、22E ，V F M →)(2在这个基下对应的矩阵是B有),,,(),,,(432122211211A A A A B E E E E =，则⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=5430410292142351B⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----00003618005430235154300510011021023515430410292142351则3dim =V ，故V 的一个基为1A 、2A 、3A（2）取矩阵C ，使得0)(=C f ，根据题意，有02211=+c c 由332211A x A x A x C ++=，有方程048321=++-x x x此方程的基础解系由2个线性无关的向量构成，即)'1,0,7(、)'8,7,0(- ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==413264)'1,0,7)(,,(3211A A A C ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=1182311)'8,7,0)(,,(3212A A A C 则有2ker dim =f ，故f ker 的一个基为1C 、2C 二、（本题满分20分）设F ，K 都是数域且K F ⊆.1.(5分)设s ααα,,,21Λ是F 上的n 维列向量.证明：s ααα,,,21Λ在F 上线性相关当且仅当s ααα,,,21Λ在K 上线性相关.证明：取s ααα,,,21Λ的极大无关组为F r ∈γγγ,,,21Λ 必要性：s ααα,,,21Λ在F 上线性相关，则方程i r X αγγγ=),,,(21Λ有解（s i ,,2,1Λ=）有K X ∈，则方程i r X αγγγ=),,,(21Λ在K 上有解 故s ααα,,,21Λ在K 上线性相关 充分性：s ααα,,,21Λ在K 上线性相关，则方程i r X αγγγ=),,,(21Λ在K 上有解在K 上有),,,,(),,,(2121i r r r r αγγγγγγΛΛ=由F i r ∈αγγγ,,,,21Λ，则在F 上也有),,,,(),,,(2121i r r r r αγγγγγγΛΛ= 故方程i r X αγγγ=),,,(21Λ在F 上有解 故s ααα,,,21Λ在F 上线性相关2.（5分）设A ，B 为F 上的n 阶方阵.证明：A ，B 在F 上相似当且仅当A ，B 在K 上相似.证明：必要性：由A ，B 在F 上相似，存在可逆矩阵)(F M P n ∈，使得B AP P =-1 又)(K M P n ∈，则A ，B 在K 上相似 充分性：由A ，B 在K 上相似，则在K 上A ，B 有相同的行列式因子)(λk D （n k ,,2,1Λ=） 由A ，)(F M B n ∈，有)(λk D 属于F则在F 上A ，B 也有相同的行列式因子)(λk D 故A ，B 在F 上相似3.（5分）设F 上的n 次多项式)(x f 在K 上有n 个根n x x x ,,,21Λ. 证明：∏≤<≤-112)(j i j i x x 属于F .证明：令0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=--Λ （F a a a n n ∈-01,,,Λ）由根与系数的关系，有n n x x x a +++=--Λ211、n n n x x x x x x a 121212--+++=Λ、……由∏≤<≤-112)(j i j i x x 为对称多项式，则可由01,,,a a a n n Λ-表示故∏≤<≤-112)(j i j i x x 属于F4.(5分)证明：关于数的加法和乘法K 是F 上的线性空间. 证明：取K 上的元素α、β，数a 、F b ∈ 由K F ⊆， αββα+=+，有αβ+为K 上的元素βαβαβαb b a a b a +++=++))((，βαβαb b a a +++为K 上的元素则关于数的加法和乘法K 是F 上的线性空间三、(本题满分20分)给定任意的可逆矩阵A .请说出4种求1-A 的方法（使用计算机程序的方法除外），并简要说明理由. 解：法1：通过初等变换由行变，有()()1-→A E E A M M ；由列变，有⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1A E E A ΛΛ法2：通过伴随矩阵由E A AA =*，有⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==-nn n n n n A A A A A A A A A A A A A ΛM MM ΛΛ21222121211111*1法3：通过H-C 定理令A 的特征多项式为0111)(a a a A E f n n n ++++=-=--λλλλλΛ如00=a ，有)()(1211a a f n n n +++=---Λλλλλ，则A 含特征值0，A 不可逆 故00≠a ，则O E a A a A a A A f n n n =++++=--0111)(Λ有E a a A a a A a A n n n 012011011----=----Λ 法4：通过A 的最小多项式令A 的最小多项式0111)(a a a m m m m ++++=--λλλλΛ 同上，有00≠a ，则O E a A a A a A A m m m m =++++=--0111)(Λ有E a a A a a A a A m m m 012011011----=----Λ 四、（本题满分20分）设1)(121++++=--x x x x f p p Λ，p 是素数.1.（10分）证明)(x f 在有理数域Q 上不可约.2.（10分）令})()({O A f C M A n =∈=M ，其中)(C M n 是全体n 阶复矩阵组成的集合.把M 中的矩阵按相似关系分类，即A ，B 属于同一类当且仅当存在可逆的复矩阵C 使得1-=CBC A .问M 中的全部矩阵可以分成几类？说明理由. 1.证明：11)(--=x x x f p ，令1+=y x ，有yy Cy y y f pk k kpp 11)1()1(0-=-+=+∑=1221111)1(p p p p p p p p pk k k p C y C y C y C y C y f ++++==+---=-∑Λ由艾森斯坦判别法，p 为素数，121,,,-p p p p C C C p Λ、p 不能整除p p C 、2p 不能整除1p C 故)1(+y f 在有理数域不可约，即)(x f 在有理数域不可约.2.证明： 由O A f =)(，又1)0(=f ，则0不是A 的特征值 由)(C M A n ∈，则A 有n 个特征值0≠i λ（n i ,,2,1Λ=） 则存在可逆矩阵P ，使得J AP P =-1J 除去排列次序外是由A 唯一确定的，则J 可能为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ11121OO ，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ11021OO ，……，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ00021OO 共有n 种，则M 中的全部矩阵可分为n 类五、（本题满分20分）设V 是数域F 上的n 维线性空间，)(V End 表示V 上的全体线性变换组成的线性空间.1.（10分）求)(dim V End 并写出)(V End 的一个基.2.（10分）设)(V End ∈A ，设A 的特征多项式为)(x f .证明：如果V 可以分解为非平凡的-A 不变子空间的直和，那么，)(x f 在F 上可约.问：此结论的逆命题是否成立？说明理由.1.解：设nn E E E ,,,1211Λ是n n ⨯P 的一组基，n n ⨯P 是2n 维的，可知V 的全体线性变换与n n ⨯P 同构， 故V 的全体线性变换组成的线性空间是2n 维的。
2011年考研数学一试卷真题与答案解析
2011 年考研数一真题及答案解析一、选择题1、曲线y x 1 x 2 2 x 3 3 x 4 4的拐点是（）（A）（ 1， 0）（ B）（ 2， 0）（ C）（ 3， 0）（ D）（4， 0）【答案】 C 【考点分析】本题考查拐点的判断。
直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。
【解析】由 y x 1 x 2 2x 3 3 x 4 4可知 1,2,3,4 分别是y x 12x34 x 23x 40的一、二、三、四重根，故由导数与原函数之间的关系可知y (1) 0， y (2)y (3)y (4)0y (2)0， y (3)y (4)0， y(3) 0, y(4) 0 ，故（3，0）是一拐点。
n n2、设数列a n单调减少， lim a n0 ，S n a k n1,2a n x 1无界，则幂级数的收敛域n k 1n1为（）（ A） (-1， 1]（B） [-1 ， 1)（ C） [0，2)（ D） (0， 2]【答案】 C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。
主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论，综合性较强。
n n1；【解析】 S n a k n1,2a n x 1无界，说明幂级数的收敛半径 Rk 1n 1a n单调减少，lim a n0a n1n a n x1n1。
，说明级数收敛，可知幂级数的收敛半径 R n n 1n1a n x n的收敛半径 R10,2。
又由于 x0时幂级数收敛， x 2 时因此，幂级数1，收敛区间为n 1幂级数发散。
可知收敛域为0,2。
3、设函数f (x)具有二阶连续导数，且 f ( x)0 ， f (0)0 ，则函数 z f (x) ln f ( y)在点 (0,0)处取得极小值的一个充分条件是（）（A） f (0)1， f (0)0(B) f (0)1， f(0)0(C) f (0)1， f ( 0)0(D) f (0)1， f(0)0【答案】 C 【考点分析】本题考查二元函数取极值的条件，直接套用二元函数取极值的充分条件即可。
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案详解
= f ′(0) − 2 f ′(0) = − f ′(0)
（3） 函数 f ( x) = ln ( x − 1)( x − 2)( x − 3) 的驻点个数为（ （A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 3 ）
【答案】应选（C） 【详解】令 f ′( x ) = 0 ，解得驻点 x = 2 ± （4） 微分方程 y′′ − λ y = e
dy t 2 − 1 d 2 y 4t = 2 ， 2 = 3 dx t + 1 dx ( t 2 + 1)
5 1 ， y = − 是极小值 3 3
当 t = 1 时， x =
当 t = −1 时， x = −1 ， y = 1 是极大值 当 t = 0 时， x =
1 1 ， y = 是拐点 3 3
（12）设函数 f ( x ) = ⎨ 【答案】 【详解】
1
λ
∫
+∞
−∞
xf ( x )dx = ∫
+∞
0
xλ e − λ x dx =
1
λ
2
或者指数函数的数学期望。 （13）设平面区域 D 由直线 y = x 圆 x + y = 2 y 及 y 轴所组成，则二重积分
2
∫∫ xydσ =
D
【答案】
7 12
海天教育
2011 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题及答案详解
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1） 已知当 x → 0 时，函数 f ( x ) = 3sin x − sin 3 x 与 cx k 是等价无穷小，则（ （A） k = 1, c = 4 （C） k = 3, c = 4 【答案】应选（C） 【分析】由泰勒公式及无穷小阶的比较可得。 【详解一】 sin x = x − （B） k = 1, c = −4 （D） k = 3, c = −4 ）