【校级联考】浙江省重点中学2019届高三12月期末热身联考数学试题
浙江省重点中学2019届高三12月期末热身联考数学答案
2018年12月浙江省重点中学高三期末热身联考数学参考答案选择题：1-5：BCDBA 6-10：BCDAD 填空题：11.23 14912.136 1 13. 16316+14. 1-15. 2- 16. 1417.计算题：18. 解：（1）sin cos 0a B A =2sin sin 2sin cos 0R A B R B A = …………………………2分则sin 0A A = ………………………………4分tan A = ……………………………..6分3A π∴=……………………………..7分（2）方法一：在ABC △中，222222cos a b c bc BAC b c bc =+-∠=+- 即2216b c bc +=+ .…………………………9分在ABD △中222229413cos 223212AD BD AB c c ADB AD BD +-+--∠===⋅⨯⨯，…..10分同理ACD △中222229413cos 223212AD CD AC b b ADC AD CD +-+--∠===⋅⨯⨯，….11分而ADB ADC π∠+∠=，有cos cos 0ADC ADB ∠+∠=，即222213130261212b c b c --+=⇒+= . …..12分联立得162610bc bc +=⇒=，. . .. .. .. ..13分11=sin 102222ABC S bc BAC ∠=⨯⨯=△. ….14分方法二：又222221cos 1622b c a A b c bc bc +-==⇒+-=①…………………9分2A B A CAD += ………………10分222294AB AC AB AC AD ++⋅== ………………11分22222cos 9364c b bc Ab c bc ++=⇒++=②②-①得10bc = …………13分11=sin 1022ABC S bc A =⨯=△ ………14分方法三：（极化式）()()cos 945AB AC AB AC A AD DB AD DB ⋅==+⋅-=-=………………11分510cos AB AC A ∴== …………13分1=sin 2ABC S AB AC A ∴=△ ………14分19. 解：（1）证明：直角ABC △中∠B 是直角，即BC AB ⊥，……………1分 ABC ABEF ⊥平面平面， …………………2分 ABC ABEF AB =平面平面， ………………3分 BC ABC ⊂平面， ………………………4分 BC ABEF ∴⊥平面，又BF ABEF ⊂平面，BC BF ∴⊥. ………………6分 （2）方法一：作BG EF ⊥，连结CG . 由（1）知BC ⊥平面ABEF ， 得到BC EF ⊥，又BG EF ⊥，所以EF ⊥平面BCG .……………8分 又因为EF ⊂平面CEF ，所以平面BCG ⊥平面CEF .作BH CG ⊥，易得BH ⊥平面CEF ，则BFH ∠即为所求线面角. …………………………10分设1AF=，由已知得2AB BE ==，BF =7BG =，5BH =，………………12分sin5BHBFHBF∠===.…………………………14分则直线BF与平面CEF.…………………15分方法二：建立如图所示空间直角坐标系B xyz-，……8分设1AF=.由已知()0,0,0B，()0,2,0C，32F⎛⎝⎭，(E-，……………………………10分3,0,22BF⎛=⎝⎭，………………………………11分(1,2,EC=，5,0,2EF⎛=⎝⎭，设平面CEF的法向量为(),,n x y z=，则有n ECn EF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，2052x yx z⎧+-=⎪⎨=⎪⎩令x=5,z y==.即()3,2n=. ………………13分所以直线BF与平面CEF所成角的正弦值3sin cos,5n BFθ+===.…15分方法三（等积法）：设2AF =AB=BE=2，ABC△为等腰三角形，AB=BC=2∠F AB=60°，2AF=AB 90AFB∴∠=，又AF//BE，EB BF⊥.…………8分由（1）知，BC ABEF⊥平面，EB ABEF⊂平面EB BC∴⊥，CB BF B=，BF BCF BC BCF⊂⊂平面，平面，EB BCF∴⊥平面，………………10分又BC BF ⊥，则有BF CF EF CE ===………12分令B 到平面EFC 距离为d12225d =⨯⇒=，………14分故所求线面角sin 5θ==. ………………………15分20. 解：（1）1n =时11a =，………………………………………………………1分2n =时122220a a a +=⇒=……………………………………………2分12121222n n n n a a a a n ---++++= ①23121221n n n a a a n ---+++=-()2n ≥ ②…………………………4分①-2×②2n a n ⇒=-()2n ≥……………………………………………6分11a =满足上式，故2n a n =-.……………………………………………7分（2）()122nn n b b n +-=-，有()()121232111202322n n n b b b b b b n n --⎧-=⨯⎪-=⨯⎪⎨⎪⎪-=-⨯≥⎩累加整理…………9分()()12111202322n n b n n -=+⨯+⨯++-⨯≥，① …………………10分 ()()23221202322n n b n n =+⨯+⨯++-⨯≥，② ………………12分②-① 得()()()2212121232425212n n n n b n n n --=-+⨯-=--≥-+……14分 11b =满足上式，故()425n n b n =--.….… ….….….….….….….….…15分21. 解：（1得c =….… ….….….….….….….….…2分 由21223S c b a =⋅⋅==得a = ….….….….….….…4分b = ….….….….….….…5分….….….….….….…6分（2）解：设直线():2AB l y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，AB 中点()00,M x y ．联立方程()222360y k x x y ⎧=-⎪⎨--=⎪⎩得()222213121260k x k x k +-+-=，2212122212126,1313k k x x x x k k -+==++. ….….….….…8分()2122113k AB x x k +=-=+． ….….….….…10分所以202613k x k=+，点M 到直线1x =的距离为22022316111313k k d x k k-=-=-=++．.….….…12分由以线段AB 为直径的圆截直线1x =22222AB d ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()22222221311313k k k k ⎤+⎛⎫-⎥-= ⎪++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 解得1k =±， ….….….….….….….….….….….…14分所以直线l 的方程为2y x =-或2y x =-+．….….….….….….….….….…15分22. 解：（1）当1a =时，()()ln 21244x f x x x e =++-+()2'2421x f x e x =+-+. … .….….….….….…2分因为12x >-时，()()24''4021x f x e x =--<+ 所以()'f x 在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上为减函数. ….…. ….…. ….….….…4分（()'f x 递减说明言之有理即可） 又()'02240f =+-=，所以当102x -<<时，()'0f x >，函数()f x 单调递增； 当0x >时，()'0f x <，函数()f x 单调递减； … .….….….….….…6分故()()max 00f x f ==. … .….….….….….…7分 （2）()2'2421x f x a ae x =+-+，()()24''421x f x ae x =--+， 当0a >，且12x >-时，()''0f x <. 所以()'f x 在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上为减函数12x →-时，()'f x →+∞，x →+∞时，()'f x →-∞，故存在0x 使得()0'0f x =，且有()f x 在01,2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，在()0,x +∞递减，()()0max f x f x =.….….….….….….….….….…9分①当1a =时由（1）知只有唯一零点②当01a <<时，()0440f a =->即有()()000f x f >>， 此时有2个零点….….….….….…11分 ③当1a >时，()0002'024021x f x a ae x =⇒+-=+，()()()00000002ln 21244ln 2122421x f x x ax ae x ax a x ⎛⎫=++-+=++-++ ⎪+⎝⎭又有()'0220f a =-<，故0102x -<<.令()()2ln 2122421g x x ax a x ⎛⎫=++-++⎪+⎝⎭，102x ⎛⎫-<≤ ⎪⎝⎭….…….…13分 ()()224'202121g x a x x =++>++，故()g x 在定义域内单调递增. 而()0220g a =-<，故()0g x <，于是()00f x <，所以1a >时不存在零点. 综上：函数()f x 的零点个数为2个，a 的取值范围为()0,1．….….….….…15分。
浙江省杭州第十四中学2019届高三12月月考试数学试题
杭十四中高三月考数学学科问卷(12月)本试卷满分150分，考试时间120分钟参考公式：台体的体积公式：121()3V h S S =(其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积， h 表示台体高)柱体的体积公式：V S h =⋅(其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高) 锥体的体积公式：13V Sh =(其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高) 球的表面积公式：24πS R =，球的体积公式：34π3V R =(其中R 表示球的半径) 选择题部分(共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A 4{|log (1)1}x x =+≤，{|21,}B x x k k ==-∈Z ，则A B =（ ▲ ）A ．{1,1,3}-B ．{1,3}C ．{1,3}-D ．{1,1}-2. 已知复数201812i z i=-，则复数的共轭复数的虚部为（ ▲ ）A ．15-B ．25iC ．25D ．25i -3.已知1sin(),cos(2)633ππαα-=-=则（ ▲ ）A.97-B .924 C .97 D.924-4．已知的展开式中，含项的系数为70，则实数的值为（ ▲ ）A. 1B. -1C. 2D. -25．已知函数)6sin()(πω+=x A x f 的图象上的相邻最高点与最低点之间的距离为52；相邻的两个对称中心的距离为2；则函数的对称轴方程可能是（ ▲ ） A.1=xB.41=x C.32=x D.1-=x6．已知一个几何体的三视图如图所示，图中长方形的长为2r ，宽为r ，圆半径为r ，则该几何体的体积和表面积分别为（ ▲ ）A ．343r π，2(3r πB ．323r π，2(3r πC ．343r π，2(4r πD ．323r π，2(4r π7. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的焦距为，直线与双曲线的一条渐近线垂直且在y 轴上的截距为2c b-；以双曲线的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线交于两点，若MN =，则双曲线的渐近线方程为（ ▲ ）A.B.C.D. y =±8．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ▲ ）AB CD 9．设)(x f 在),[+∞a 的导函数为)(' x f ，且当a x >时，有)(0)(' 为常数k k x f >>，若0)(<a f ，则在区间))(,(ka f a a -内，方程0)(=x f 的解的个数为（ ▲ ）A.0B.1C.0或1D.410.已知向量,,a b c 满足||2,||3a b a b ==⋅=，(0,0)c xa yb x y =+>>，若向量2c a -与向量23c b -的夹角为3π，则1||2c a -的取值范围是（ ▲ ）A.⎤⎦B. (3⎤⎦C.[)13，D.⎤⎦非选择题部分(共110分)二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．等差数列{}n a 中，59,a =且3226a a =+，则公差d = ▲ ；7a = ▲ .12．函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2()1||,20,2x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪⎩-则(2)f -的值为 ▲ ；((15))f f 的值为 ▲ ．13．某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，已知在这8个试题中甲能答对6个，则甲通过自主招生初试的概率为 ▲ ；记甲答对试题的个数为，则数学期望()E X = ▲ .14．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ▲ ．15．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．则AB BD ⋅= ▲ ；若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ▲ ． 16．函数2()l n (1)f x a xx =+-在区间[0,1]内任取两个实数,p q ，且p q ¹，不等式(1)(1)1f p f q p q+-+>-恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ .17．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为 ▲ ． 三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 18．(本小题满分14分)已知A B C ∆三个内角A,B,C的对边分别是c b a ,,，S 表示A B C ∆的面积，.0s i n 3c o s =--+C a A c b a（1）求角C 的值；（2）若32=c ，a b 2=，求S 的值.如图，已知在等腰梯形ABCD 中，AE CD ⊥，BF CD ⊥，1AB =，2AD =，ADE ∠=60°，沿AE ，BF 折成三棱柱AED BFC -．(1)若M ，N 分别为AE ，BC 的中点，求证：MN ∥平面CDEF ；(2)若BD =E AC F --的余弦值20．(本小题满分15分)已知数列{}n a 满足111122()(2),1,7n n n n a a a a n a a +---=+≥==，令n n n a a b +=+1 （1）求证数列{}n b 为等比数列，并求n b 通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标；②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程．22．(本小题满分15分)设函数21()ln ()()2f x x x b x b R =+-∈,曲线y=f (x )在x=1处的切线与直线y=3x 平行.(1)判断函数f (x )在区间10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上的单调性，并说明理由; (2)当01x <<时,|()|f x m ≤恒成立，求m 的取值范围.杭十四中高三月考数学学科(12月)答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．B 2. C 3. C 4．A 5． C 6．B 7. D 8．A 9. B 10. B 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 11． d = 3 ；7a = 15 . 12． (2)f -的值为 -1 ；((15))f f 的值为． 13．甲通过自主招生初试的概率为 1114； ()E X = 3 . 14． 4a c +的最小值为 9 ．15． AB BD ⋅ 20- ；若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 3 ． 16．实数a 的取值范围是 [15,)+∞ . 17． n 的最小值为 27 ．三、解答题：共70分。
2019届浙江省联盟校高三下学期第二次联考数学试题(解析版)
2019届浙江省联盟校高三下学期第二次联考数学试题一、单选题1．已知集合{1,2,3,4,5}M =，{2,4,6}N =，则M N =I （ ）．A ．{2,4,6}B ．{2,4}C ．{1,2,3,4,5,6}D ．{3,5,6} 【答案】B【解析】根据交集的定义求解.【详解】因为{1,2,3,4,5}M =，{2,4,6}N =，所以{2,4}M N ⋂=.故选：B ．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题.2．已知21i z i =+（其中z 为z 的共轭复数，i 为虚数单位），则复数z =（ ）． A ．1i -B ．1i --C ．1i +D ．1i -+ 【答案】A【解析】先根据复数代数形式的四则运算将z 化简为a bi +（其中a ，b 为实数）的形式，然后根据共轭复数的概念求复数z 即可．【详解】 由题意得，22(1)(1)11(1)(1)i i i z i i i i i i -===-=+++-， 故1z i =-.故选：A ．【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算、共轭复数的概念，还考查运算求解的能力，属于基础题. 3．已知双曲线2221(0)x y a a-=>的实轴长为4，则该双曲线的渐近线方程为（ ）． A ．14y x =± B ．12y x =± C ．2y x =± D ．4y x =±【答案】B【解析】先根据双曲线的实轴长为4求得a 的值，再求双曲线的近线方程即可．【详解】因为双曲线的实轴长为4，所以24a =，2a =， 所以双曲线的渐近线方程为12y x =±. 故选：B ．【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程及几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 4．函数||2x y x e =-的图象大致为（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】用特殊值法取4x =，排除A ，B ，再用导数法研究当0x >时的单调性，再用特殊值进一步确定.【详解】取4x =，则2422440y ee =-=->，排除A ，B ； 当0x >时，22x y x e x '=-⨯∴1214111e e012222xy==-⨯=-<⨯'，因此在原点右侧附近，2xy x e=-应该为减函数.故选：C．【点睛】本题主要考查函数图象的判断，对函数性质的理解、求导运算、数值估算，还考查了运算求解辨析的能力，属于基础题.5．已知,a b∈R，则“||||a ba b>”是“a b>”的（）．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由||||a ba b>可得0a>，0b<，判断充分性，用特殊值法取2a=，1b=，判断必要性．【详解】由||||a ba b>可得0a>，0b<，故a b>，故充分；取2a=，1b=，则a b>，此时||||=a ba b，故不必要．故选：A．【点睛】本题考查充要关系的判断及不等式的有关知识，还考查了逻辑推理的能力，属于基础题．6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）．A．6 B．62C．14 D．2【解析】由三视图可知该几何体是从长、宽、高分别为4，4，3的长方体截取而来，其中高为4，底面是一个等腰梯形.【详解】将几何体放入长、宽、高分别为4，4，3的长方体中，可知该几何体的直观图如图中四棱锥A BCDE -所示，故S 四边形114422622BCDE =⨯⨯-⨯⨯=， 四棱锥A BCDE -的高3h =， 故该几何体的体积13V S =四边形16363BCDE h =⨯⨯=， 故选：A ．【点睛】本题主要考查空间几何体的三视图及体积的计算，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.7．已知随机变量ξ的分布列为 ξ0 1 2 Px y 2y x -则当102x <<时，随着x 的增大，（ ）． A ．()D ξ减小 B ．()D ξ增大C ．()D ξ先减小再增大D ．()D ξ先增大再减小 【答案】D【解析】先根据分布列的性质求得y 的值，进而可求出随机变量ξ的数学期望和方差的表达式，然后根据二次函数的图象与性质即可判断()D ξ的变化趋势．因为21x y y x ++-=， 所以13y =，所以5()2(2)23E y y x x ξ=+-=-， 所以()D x ξ=⨯2225550212(2)22333⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++⨯-++-⨯-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭x y x y x x ， 282439=-++x x ， 212433⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭x ， 因为102x <<， 所以由二次函数的图象和性质知，随着x 的增大，()D ξ先增大再减小.故选：D ．【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列、数学期望和方差，二次函数的图象与性质，还考查了运算求解能力及分析问题、解决问题的能力，属于中档题.8．在正方体1111ABCD A B C D -中，已知AC 与BD 交于点O ，E 是1DD 的中点，F 为棱11A B 上的任意一点（不与端点重合），则平面ABE 与平面1OFB 所成角的大小为（ ）．A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒ 【答案】D【解析】先根据线线垂直证得AE ⊥平面1OFB ，然后根据面面垂直的判定定理证平面ABE ⊥平面1OFB ，即可得到平面ABE 与平面1OFB 所成角的大小．【详解】如图所示：在正方体1111ABCD A B C D -中，过点O 作OP AD ⊥于点P ，则P 为AD 的中点， 因为11A B ⊥平面11ADD A ，AE ⊂平面11ADD A ，所以11AE A B ⊥．在正方形11ADD A 中，连接1A P ，易知1AE A P ⊥，又1111A B A P A ⋂=，所以AE ⊥平面11OB A P ，所以AE ⊥平面1OFB ，又AE ⊂平面ABE ，所以平面ABE ⊥平面1OFB ，因此平面ABE 与平面1OFB 所成角的大小为90︒.故选：D ．【点睛】本题主要考查线面位置关系、二面角的求法，还考查了空间想象能力和推理论证的能力，属于中档题.9．已知函数(1)ln ,1(),1f x x x f x ex +≥⎧⎪=⎨<⎪⎩，其中e 为自然对数的底数，则函数(())1y f f x =-的零点个数为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】先将函数的零点个数问题等价转化为方程根的个数问题，再分情况讨论方程的根的个数，即可得到函数(())1y f f x =-的零点个数．【详解】函数(())1y f f x =-的零点个数即方程(())1f f x =的根的个数．令()f x t =，则原问题转化为()1(0)f t t =≥的根的个数问题．当1t ≥时，由ln 1t =，解得t e =，所以()f x e =，则当1x ≥时，ln x e =，解得e e x =；当1x <时，(||1)f x e e +=，得(||1)1f x +=，又||11x +≥，所以ln(||1)1x +=，解得1x e =-或1x e =-，又1x <，所以1x e =-．当01t ≤<时，由(||1)1f t e +=，得(||1)0f t +=，所以ln(||1)0t +=，解得0t =，所以()0f x =，所以ln 0x =，解得1x =．综上，函数(())1y f f x =-有e e ，1e -，1这3个零点．故选：C ．【点睛】本题主要考查分段函数、函数的零点等，还考查了转化化归的思想好运算求解能力，属于难题.10．已知数列{}n a 满足112a =，211n n n a a a +=++，若12111n n S a a a =++⋯+，对任意的*n N ∈，n S M <恒成立，则M 的最小值为（ ）．A ．83B ．269C ．2627D ．3【答案】D【解析】先根据已知的递推关系式得到0n a >，然后结合基本不等式得到1103n n a a +<<，进而得到*11111(2,3)n n n n N a a -<⋅≥∈，最后利用此不等式对n S 放缩，并利用等比数列的前n 项和公式求解即可．【详解】由211n n n a a a +=++，得2111n n n a a a +-=+>，又112a =，所以0n a >． 由211n n n a a a +=++， 可得1113n n n na a a a +=++≥，当且仅当21n a =时等号成立， 因为112a =，11n n a a +->， 所以21n a ≠，所以1103n n a a +<<， 所以111103n na a +<<⋅， 所以()*2112111111112,333n n n n n n N a a a a ---<⋅<⋅<<⋅≥∈…， 所以2111211111111111111111111313333333n n n n n S a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫=++++⋅+⋅++⋅=+++=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………． 又对任意的*n N ∈，n S M <恒成立，所以3M ≥，故M 的最小值为3．故选：D【点睛】本题主要考查数列的递推关系式、放缩法的应用、基本不等式、等比数列的前n 项和公式、不等式恒成立问题等，还考查了运算求解和逻辑推理能力．属于难题.二、双空题11．我国唐代天文学家、数学家张逐曾以“李白喝酒”为题编写了如下一道题：“李白街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗（计量单位），三遇店和花，喝光壶中酒．”问最后一次遇花时有酒________斗，原有酒________斗．【答案】1 78【解析】用倒推的方法，根据最后一次喝光酒，且见花喝一斗，可知最后一次遇花时有酒1斗，然后设原有酒x 斗，根据他三遇店和花，遇店加一倍，见花喝一斗，递推可得第三次见店又见花后酒有()222111x ---⎡⎤⎣⎦斗，再根据最后一次喝光酒，令()2221110x ⎡⎤⎣⎦---=求解即可.【详解】因为最后一次喝光酒，且见花喝一斗，所以最后一次遇花时有酒1斗，设原有酒x 斗，由他三遇店和花，遇店加一倍，见花喝一斗得：第一次见店又见花后酒有21x -斗，第二次见店又见花后酒有()2211x --斗，第三次见店又见花后酒有()222111x ---⎡⎤⎣⎦斗，因为最后一次喝光酒，所以()2221110x ⎡⎤⎣⎦---=， 解得78x =. 故答案为：(1). 1 (2).78 【点睛】本题主要考查合情推理，还考查了逻辑推理的能力，属于基础题.12．已知实数x ，y 满足约束条件0,02020x y x y x y ≥≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩，则2x y +的最小值为________，最大值为________．【答案】0 10【解析】先根据约束条件作出可行域，然后数形结合求最值即可．【详解】作出可行域如图中阴影部分所示：阴影三角形区域的三个顶点坐标分别为(0,0)，(2,0)，(4,2)，作出直线20x y +=并平移，当平移后的直线经过点(0,0)时，2x y +取得最小值，且最小值为0；当平移后的直线经过点(4,2)时，2x y +取得最大值，且最大值为10．故答案为：(1). 0 (2). 10【点睛】本题主要考查线性规划问题，还考查作图能力和运算求解能力，属于基础题.13．若1n x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64，则n =________，二项展开式中的常数项为________．【答案】6 20【解析】先根据二项式系数之和为64求得n 的值，然后根据二项式定理写出二项展开式的通项，令x 的次数为0，求得r 的值，即可求得二项展开式中的常数项．【详解】由二项式系数之和为64，得264n =，故6n =， 所以二项展开式的通项6161r r r r T C xx -+⎛⎫= ⎪⎝⎭626r r C x -=， 令620r -=，得3r =，则项展开式中的常数项为34620T C ==．故答案为： (1). 6 (2). 20【点睛】本题主要考查二项式系数之和及二项展开式中的常数项的求解，还考查了运算求解能力，属于基础题.14．在ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且222sin sin sin sin sin A C A C B +-=，则角B 的大小为________，若b =AB AC ⋅uu u r uuu r的最大值为________．【答案】3π6+ 【解析】先根据正弦定理将已知等式转化为a ，b ，c 之间的关系，然后利用余弦定理即可求出角B 的大小，最后利用正弦定理及向量数量积的几何意义求AB AC ⋅uu u r uuu r的最大值． 【详解】因为222sin sin sin sin sin A C A C B +-=， 所以222a c ac b +-=，即222a c b ac +-=，所以2221cos 22a cb B ac +-==．又(0,)B π∈， 所以3B π=．设ABC V 的外接圆半径为r ，则2sin b r B=42==， 即2r =．cos AB AC bc A ⋅=u u u r u u u r ，且cos c A 为AB u u u r 在AC u u ur 方向上的投影，而max (cos )c A 2b r =+，故max ()62b AB AC b r ⎛⎫⋅=+=+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v故答案为：(1). 3π(2). 6+ 【点睛】本题主要考查正、余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、填空题15．某人将编号分别为1，2，3，4，5的5个小球随机放入编号分别为1，2，3，4，5的5个盒子中，每个盒子中放一个小球若球的编号与盒子的编号相同，则视为“放对”，否则视为“放错”，则全部“放错”的情况有________种． 【答案】44【解析】可以利用计数原理从正面求解问题，先算出所有情况的种数，然后分别计算有1，2，3，4，5个小球“放对”的情况，最后相减即可得到结果． 【详解】解法一 第一步，若1号盒子“放错”，则1号盒子有14C 4=种不同的情况；第二步，考虑与1号盒子中所放小球的编号相同的盒子中的情况，若该盒子中的小球编号恰好为1，则5个小球全部“放错”的情况有122C =（种），若该盒子中的小球编号不是1，则5个小球全部“放错”的情况有()113219C C +=（种）． 由计数原理可知，5个小球全部“放错”的情况有4(29)44⨯+=（种）．解法二 将5个小球放入5个盒子中，共有55120A =种不同的放法，其中恰有1个小球“放对”的情况有()111532145C C C +=（种），恰有2个小球“放对”的情况有215220C C =（种），恰有3个小球“放对”的情况有3510C =（种）， 恰有4个小球“放对”的情况有0种， 恰有5个小球“放对”的情况有1种，故全部“放错”的情况有120452010144----=（种）． 故答案为：44 【点睛】本题主要考查排列组合的有关知识，还考查了逻辑推理的能力，属于中档题.16．在四边形ABCD 中，3AB BC ==，4CD =，5DA =，则AC BD ⋅=u u u r u u u r________．【答案】92【解析】先根据平面向量的线性运算将AC BD ⋅u u u v u u u v转化为AC AD AC AB ⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，然后根据平面向量的数量积和余定理求解即可． 【详解】因为()AC BD AC AD AB AC AD AC AB ⋅=⋅-=⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，||||cos ,AC AB AB AC AB AC ⋅=⋅〈〉u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，222||||||||||2||||+-=⋅⋅⋅AB AC BC AB AC AB AC u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ， 222||||||2+-=AB AC BC u u u r u u u r u u u r ， ||||cos AC AD AD AC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ,〈〉AD AC u u u r u u u r ，222||||||||||2||||+-=⋅⋅⋅AD AC CD AD AC AD AC u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 222||||||2+-=AD AC CD u u u r u u u r u u u r 因为3AB BC ==，4CD =，5DA =， 所以BD A A C AD B C AC A ⋅=⋅-⋅uu u u u u u r u u u r u u u r u u u r r u ur ，222||||||2AD AC CD +-=-u u u r u u u r u u u r 222||||||922AB AC BC +-=u u u r u u u r u u u r ． 故答案为：92【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算、数量积，余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力和化归与转化思想，属于中档题.17．已知圆()()2200:8M x x y y -+-=，点(2,4)T -，从坐标原点O 向圆M 作两条切线OP ，OQ ，切点分别为P ，Q ，若切线OP ，OQ 的斜率分别为1k ，2k ，121k k =-，则||TM 的取值范围为________．【答案】4]-+【解析】先根据题意得到直线OP ，OQ 的方程，再根据直线与圆的位置关系得到12k k ，结合121k k =-，即可求得圆心M 的轨迹方程，最后数形结合可得||TM 的取值范围． 【详解】由题意可知，直线1:OP y x k =，2:OQ y k x =， 因为直线OP ，OQ 与圆M 相切，==两边同时平方整理可得()2221010008280k x k x y y -++-=，()2222020008280k x k x y y -++-=，所以1k ，2k 是方程()2220008280(0)kx kx yy k -++-=≠的两个不相等的实数根，所以212288y k k x -=-．又121k k =-， 所以202818y x -=--，即220016x y +=．又||TO ==， 所以||4||||4TO TM TO -≤≤+，即4||4TM ≤≤．故答案为：4] 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，还考查了数形结合思想和运算求解能力，属于中档题.四、解答题18．已知向量(cos ,1)(0)m a x a =-≠r，cos ,)n x x b =-r，函数()f x m n =⋅r r． （1）求函数()f x 的最小正周期与()f x 图象的对称轴方程； （2）若0a >，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 的最小值是1-，最大值是2，求实数a ，b 的值．【答案】（1）22T ππ==；（2）实数a ，b 的值分别为2，1-． 【解析】（1）先由向量的数量积及三角恒等变换求出函数()f x 的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，求出函数()f x 的最小正周期与()f x 图象的对称轴方程即可；（2）先根据x 的取值范围求出26x π-的取值范围，然后根据正弦函数的图象和性质求出函数()f x 的最值，最后根据已知条件列出方程组，解之即可得实数a ，b 的值． 【详解】（1）由题意得()cos cos )=⋅=--f x m n a x x x b r r31cos 2sin 22⎛⎫+=-- ⎪ ⎪⎝⎭x a x b， sin =a 262ax b π⎛⎫--- ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 的最小正周期22T ππ==． 令262x k πππ-=+，k Z ∈，解得32k x ππ=+，k Z ∈，所以函数()f x 图象的对称轴方程为32k x ππ=+，k Z ∈．（2）因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 因为0a >， 所以当266x ππ-=-，即0x =时，函数()f x 取得最小值，最小值为22a ab ---，即a b --，当226x ππ-=，即3x π=时，函数()f x 取得最大值，最大值为2a ab --，即2ab -， 所以122a b a b --=-⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩．故实数a ，b 的值分别为2，1-． 【点睛】本题主要考查向量的数量积、三角恒等变换、三角函数的图象与性质，还考查了运算求解能力与分析问题、解决问题的能力，属于中档题.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知四边形ABCD 是菱形，60BAD ︒∠=，PD AD =，PB AB =，二面角A DB P --的大小为120︒，E 是PC 的中点．（1）求证：//PA 平面BDE ；（2）求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）21313. 【解析】（1）连接AC 交BD 于点O ，连接OE ，根据三角形的中位线定理证得//OE AP ，然后利用线面平行的判定定理证明即可；（2）先根据（1）得到直线AP 与平面PBC 所成的角，即直线OE 与平面PBC 所成的角，然后过点O 作OF BE ⊥，利用面面垂直的性质定理得到OF ⊥平面PBC ，进而得OEB ∠为直线OE 与平面PBC 所成的角，最后求OEB ∠的正弦值即可． 【详解】 （1）如图所示：连接AC 交BD 于点O ，则O 是AC 的中点，连接OE ． 又E 是PC 的中点，所以//OE AP ， 因为OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ， 所以//PA 平面BDE ．（2）过点O 作OF BE ⊥，垂足为F ，连接OP ． 由（1）知//OE AP ，所以直线AP 与平面PBC 所成的角，即直线OE 与平面PBC 所成的角． 易知BP BC =，又E 是PC 的中点， 所以BE PC ⊥．同理DE PC ⊥，又DE BE E ⋂=， 所以PC ⊥平面BDE ， 因为PC ⊂平面PBC ， 所以平面BDE ⊥平面PBC ．因为平面BDE ⋂平面PBC BE =，OF ⊂平面BDE ，OF BE ⊥， 所以OF ⊥平面PBC ，所以OEB ∠为直线OE 与平面PBC 所成的角．因为PD PB =，所以EO DB ⊥，又AC DB ⊥，EO AC O =I ， 所以DB ⊥平面ACP ，所以AOP ∠为二面角A DB P --的平面角， 所以120AOP ∠=o ，设菱形ABCD 的边长2AB =，又60BAD ︒∠=，所以AO OP ===由余弦定理得：2222cos1209AP AO OP AO OP =+-⋅=o ， 所以3AP =，在Rt EOB V 中，1322OE AP ==，1OB =，BE ==所以sin OB OEB BE ∠==， 所以直线AP 与平面PBC所成角的正弦值为13． 【点睛】本题主要考查线面平行的证明、线面角的寻找与求解，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题.20．已知数列{}n a 满足132a =，111,213,2n n n a n n k a a n k--+-=+⎧=⎨=⎩，其中*k N ∈．记2112n n b a n -=++，*n N ∈． （1）求证：数列{}n b 是等比数列；（2）记212212n n n S a a a a -=++++…，试比较2(1)133n n S +++与233n nS +的大小，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）2(1)213333n n n nS S ++++>理由见解析. 【解析】（1）根据题意求1n nb b +及1b ，即可得到数列{}n b 是等比数列；（2）根据（1）得到数列{}n b 的通项公式及前n 项和，然后根据题意将2n S 和数列{}n b 的前n 项和联系起来，得到2n S ，进而得22n S +，最后利用作差法比较2(1)133n n S +++与233n nS +的大小即可． 【详解】（1）由题意得21221121212113312332223111222n n n n nn n n a n a n n a n b b a n a n a n +-+---++++++++====++++++， 且11332b a =+=，所以数列{}n b 是以3为首项，3为公比的等比数列．（2）由（1）知，3nn b =，所以()11231333132n n n b b b +--+++==-…．因为2112n n b a n -=++，*n ∈N ， 所以123112n n b a n --=+-+，……23122b a =++， 11112b a =++，所以()121321(1)22n n n n nb b b a a a -++++=+++++……． 而212212n n n S a a a a -=++++…，11212133…--=++++n n a a a a ，()13214…-=+++n a a a .所以1212233242324622n n n n n S n n ++⎛⎫-+=-=⨯--- ⎪⎝⎭，故222222232(1)4(1)6232812n n n S n n n n +++=⨯-+-+-=⨯---，而()2(1)2(1)22111333333333+++++++++-=-n n n n n n n n S S S S ， ()221211232893232433+++⎡⎤=⨯----⨯---⎣⎦n n n n n n n ， ()2114403n n n +=+>，故2(1)213333n n n nS S ++++>． 【点睛】本题主要考查等比数列的证明、通项公式，数列求和，作差法比较大小等，还考查了逻辑推理和运算求解的能力，属于中档题．21．已知椭圆22122:1(0)y x C a b a b +=>>的离心率e =且经过点(1,0)，P 是抛物线22:2(0)C x py p =>上一点，过点P 作抛物线2C 的切线l ，与椭圆1C 交于A ，B 两点．（1）求椭圆1C 的方程；（2）若直线14x =-平分弦AB ，求p 的取值范围．【答案】（1）2214y x +=；（2）0p <<【解析】（1）易得1b =，结合椭圆的离心率及222a b c =+即可求出a ，c 的值，进而可得椭圆1C 的方程；（2）先根据题意得出切线l 的方程，然后将切线方程代入椭圆方程，最后利用根的判别式、根与系数的关系、函数的单调性求解即可． 【详解】（1）由题意可知，c e a ==，1b =， 又222a b c =+，所以2a =，c =，所以椭圆1C 的方程是2214y x +=．（2）由题意可设20,2x P x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为22x py =，即22x y p=，所以x y p '=，所以切线l 的方程是()20002x x y x x p p -=-，即2002x x y x p p=-， 将其代入椭圆方程得23420002224404x x x x x p p p ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭， 故62400042244404x x x p p p ⎛⎫⎛⎫∆=-+-> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即422004160x x p --<．① 设()11,A x y ，()22,B x y ，则312224x x x p x +=+， 又直线14x =-平分弦AB ，所以1212x x +=-，所以30220142x p x =-+，即2320042p x x =--，② 将②代入①得430080x x +<，③由②③得0182x -<<-． 设32()2f x x x =--，则21()62603⎛⎫'=--=-+< ⎪⎝⎭f x x x x x ，18,2⎛⎫∈--⎪⎝⎭x 恒成立， 所以()f x 在18,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减， 所以320()288960f x <<⨯-=， 所以294006<<p ，解得0p << 【点睛】本题主要考查椭圆的离心率、直线与椭圆的位置关系、抛物线方程等，还考查了直观想象、逻辑推理、运算求解的能力，属于难题． 22．已知函数()322133222f x ax x a x =-+，其中a R ∈． （1）若函数()f x 在1x =处取得极大值，求实数a 的值 （2）函数()()()232g x f x f x a x '=+-，当[]0,2x ∈时，()g x 在0x =处取得最大值，求实数a 的取值范围.【答案】（1）2a =-；（2）6,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【解析】（1）由题意得出()10f '=，可求得实数a 的值，然后将实数a 的值代入导数，就函数()y f x =是否在1x =处极大值进行检验，由此可得出实数a 的值； （2）求得()()32213313222g x ax a x x a =+--+以及()()232122g x ax a x '⎡⎤=+--⎣⎦，对实数a 分0a =、0a >、0a <三种情况讨论，利用导数分析函数()y g x =在区间[]0,2的单调性，结合函数()y g x =在0x =处取得最值进行验证或得出不等式，进而可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）()322133222f x ax x a x =-+Q ，()2233322f x ax x a '∴=-+， 由题意可得()23313022f a a '=-+=，整理得220a a +-=，解得1a =或2a =-. 当1a =时，()()22333310222f x x x x '=-+=-≥恒成立， 此时，函数()y f x =在R 上单调递增，无极值；当2a =-时，()()()()2233632312f x x x x x x x '=--+=-+-=--+. 令()0f x '>，得21x -<<；令()0f x '<，得2x <-或1x >.此时，函数()y f x =在1x =处取得极大值，合乎题意.综上所述，2a =-；（2）()()()()23223133132222g x f x f x a x ax a x x a '=+-=+--+， ()()()223331321222g x ax a x ax a x '⎡⎤∴=+--=+--⎣⎦. ①当0a =时，()330g x x '=--<对任意的[]0,2x ∈恒成立，此时，函数()y g x =单调递减，()()max 0g x g =，合乎题意；②当0a >时，对于函数()y g x '=，()2910a ∆=+>恒成立， 设方程()0g x '=的两根分别为1x 、2x ，则1220x x a=-<，设12x x <，则120x x <<. （i ）若202x <<，则当20x x <<时，()0g x '<，此时函数()y g x =单调递减； 当22x x <≤时，()0g x '>，此时函数()y g x =单调递增.所以，()()(){}()max max 0,20g x g g g ==，则()()20g g ≤，即10120a -≤，解得65a ≤， 此时()()23430g a '=->，解得34a >，则3645a <≤； （ii ）当22x ≥时，即()()23430g a '=-≤，得304a <≤， 则()0g x '≤对任意的[]0,2x ∈恒成立，此时，函数()y g x =在区间[]0,2上单调递减， 则()()max 0g x g =，合乎题意；③当0a <时，对任意的[]0,2x ∈，()0g x '<，此时，函数()y g x =在区间[]0,2上单调递减，则()()max 0g x g =，合乎题意.综上所述，实数a 的取值范围是6,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题考查利用导数的极值点和最值点求参数，解题时要注意对参数的取值范围进行分类讨论，并学会利用导数分析函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.。
浙江省重点中学高2019届高2016级高三12月期末热身联考数学答案
2018年12月浙江省重点中学高三期末热身联考数学参考答案选择题:1－5:BCDBA 6－10:BCDAD 填空题:11.23 14912.1361 13. 163 16+14. 1-15. 2- 16. 1417.计算题:18. 解:（1）sin cos 0a B A =2sin sin 2sin cos 0R A B R B A = …………………………2分则sin 0A A = ………………………………4分tan A = ……………………………..6分3A π∴=……………………………..7分（2）方法一:在ABC △中,222222cos a b c bc BAC b c bc =+-∠=+- 即2216b c bc +=+ .…………………………9分在ABD △中222229413cos 223212AD BD AB c c ADB AD BD +-+--∠===⋅⨯⨯,…..10分同理ACD △中222229413cos 223212AD CD AC b b ADC AD CD +-+--∠===⋅⨯⨯,….11分而ADB ADC π∠+∠=,有cos cos 0ADC ADB ∠+∠=,即222213130261212b c b c --+=⇒+= . …..12分联立得162610bc bc +=⇒=,. . .. .. .. ..13分11=sin 102222ABC S bc BAC ∠=⨯⨯=△. ….14分方法二:又222221cos 1622b c a A b c bc bc +-==⇒+-=①…………………9分2A B A CAD += ………………10分222294AB AC AB AC AD ++⋅== ………………11分22222cos 9364c b bc Ab c bc ++=⇒++=②②-①得10bc = …………13分11=sin 1022ABC S bc A =⨯=△ ………14分方法三:（极化式）()()cos 945AB AC AB AC A AD DB AD DB ⋅==+⋅-=-=………………11分510cos AB AC A ∴== …………13分1=sin 2ABC S AB AC A ∴=△ ………14分19. 解:（1）证明:直角ABC △中∠B 是直角,即BC AB ⊥,……………1分ABC ABEF ⊥平面平面, …………………2分 ABC ABEF AB =平面平面, ………………3分 BC ABC ⊂平面, ………………………4分 BC ABEF ∴⊥平面,又BF ABEF ⊂平面,BC BF ∴⊥. ………………6分 （2）方法一:作BG EF ⊥,连结CG . 由（1）知BC ⊥平面ABEF , 得到BC EF ⊥,又BG EF ⊥,所以EF ⊥平面BCG .……………8分 又因为EF ⊂平面CEF ,所以平面BCG ⊥平面CEF .作BH CG ⊥,易得BH ⊥平面CEF ,则BFH ∠即为所求线面角. …………………………10分设1AF=,由已知得2AB BE ==,BF =7BG =,5BH =,………………12分sin5BHBFHBF∠===.…………………………14分则直线BF与平面CEF.…………………15分方法二:建立如图所示空间直角坐标系B xyz-,……8分设1AF=.由已知()0,0,0B,()0,2,0C,32F⎛⎝⎭,(E-,……………………………10分3,0,22BF⎛=⎝⎭,………………………………11分(1,2,EC=,5,0,2EF⎛=⎝⎭,设平面CEF的法向量为(),,n x y z=,则有n ECn EF⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,2052x yx z⎧+-=⎪⎨=⎪⎩令x=则5,z y==.即()3,2n=. ………………13分所以直线BF与平面CEF 所成角的正弦值3sin cos,5n BFθ+===.…15分方法三（等积法）:设2AF=AB=BE=2,ABC△为等腰三角形,AB=BC=2∠F AB=60°,2AF =AB 90AFB∴∠=,又AF//BE,EB BF⊥.…………8分由（1）知,BC ABEF⊥平面,EB ABEF⊂平面EB BC∴⊥,CB BF B=,BF BCF BC BCF⊂⊂平面，平面,EB BCF∴⊥平面,………………10分又BC BF ⊥,则有BF CF EF CE ===………12分令B 到平面EFC 距离为d ,12225d =⨯⇒=,………14分故所求线面角sin 5θ==. ………………………15分20. 解:（1）1n =时11a =,………………………………………………………1分2n =时122220a a a +=⇒=……………………………………………2分12121222n n n n a a a a n ---++++= ①23121221n n n a a a n ---+++=-()2n ≥ ②…………………………4分①-2×②2n a n ⇒=-()2n ≥……………………………………………6分11a =满足上式,故2n a n =-.……………………………………………7分（2）()122nn n b b n +-=-,有()()121232111202322n n n b b b b b b n n --⎧-=⨯⎪-=⨯⎪⎨⎪⎪-=-⨯≥⎩累加整理…………9分()()12111202322n n b n n -=+⨯+⨯++-⨯≥，① …………………10分 ()()23221202322n n b n n =+⨯+⨯++-⨯≥，② ………………12分②-① 得()()()2212121232425212n n n n b n n n --=-+⨯-=--≥-+……14分 11b =满足上式,故()425n n b n =--.….… ….….….….….….….….…15分21. 解:（1得c =….… ….….….….….….….….…2分 由21223S c b a =⋅⋅==得a = ….….….….….….…4分b = ….….….….….….…5分….….….….….….…6分（2）解:设直线():2AB l y k x =-,()11,A x y ,()22,B x y ,AB 中点()00,M x y ．联立方程()222360y k x x y ⎧=-⎪⎨--=⎪⎩得()222213121260k x k x k +-+-=,2212122212126,1313k k x x x x k k -+==++. ….….….….…8分()2122113k AB x x k +=-=+． ….….….….…10分所以202613k x k=+,点M 到直线1x =的距离为22022316111313k k d x k k-=-=-=++．.….….…12分由以线段AB 为直径的圆截直线1x =22222AB d ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以()22222221311313k k k k ⎤+⎛⎫-⎢⎥-= ⎪++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦, 解得1k =±, ….….….….….….….….….….….…14分所以直线l 的方程为2y x =-或2y x =-+．….….….….….….….….….…15分22. 解:（1）当1a =时,()()ln 21244x f x x x e =++-+()2'2421x f x e x =+-+. … .….….….….….…2分因为12x >-时,()()24''4021x f x e x =--<+ 所以()'f x 在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上为减函数. ….…. ….…. ….….….…4分（()'f x 递减说明言之有理即可） 又()'02240f =+-=,所以当102x -<<时,()'0f x >,函数()f x 单调递增; 当0x >时,()'0f x <,函数()f x 单调递减; … .….….….….….…6分故()()max 00f x f ==. … .….….….….….…7分 （2）()2'2421x f x a ae x =+-+,()()24''421x f x ae x =--+, 当0a >,且12x >-时,()''0f x <. 所以()'f x 在1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上为减函数12x →-时,()'f x →+∞,x →+∞时,()'f x →-∞,故存在0x 使得()0'0f x =,且有()f x 在01,2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增,在()0,x +∞递减,()()0max f x f x =.….….….….….….….….….…9分①当1a =时由（1）知只有唯一零点②当01a <<时,()0440f a =->即有()()000f x f >>, 此时有2个零点….….….….….…11分 ③当1a >时,()0002'024021x f x a ae x =⇒+-=+,()()()00000002ln 21244ln 2122421x f x x ax ae x ax a x ⎛⎫=++-+=++-++ ⎪+⎝⎭又有()'0220f a =-<,故0102x -<<.令()()2ln 2122421g x x ax a x ⎛⎫=++-++⎪+⎝⎭,102x ⎛⎫-<≤ ⎪⎝⎭….…….…13分 ()()224'202121g x a x x =++>++,故()g x 在定义域内单调递增. 而()0220g a =-<,故()0g x <,于是()00f x <,所以1a >时不存在零点. 综上:函数()f x 的零点个数为2个,a 的取值范围为()0,1．….….….….…15分。
2019届浙江省高三三校联考数学试题
2019届浙江省高三三校联考数学试题本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合{}210A x x =-≥，{}04B x x =<<，则AB =A ．(,1)-∞-B. [)0,4C. [)1,4D. (4,)+∞2．已知i 为虚数单位，2iiz +=，则z 的虚部为 A ．1B. 2-C. 2D. 2i -3．已知双曲线22221-=y x a b的渐近线方程为12=±y x ，则该双曲线的离心率为C. 3D. 24．函数1()||=-f x xx的图象是A. B. C. D. 5．已知随机变量ξ满足(0)ξ==P x，(1)1P xξ==-，若12<<x，则A．()Eξ随着x的增大而增大，()Dξ随着x的增大而增大B．()Eξ随着x的增大而减小，()Dξ随着x的增大而增大C．()Eξ随着x的增大而减小，()Dξ随着x的增大而减小D．()Eξ随着x的增大而增大，()Dξ随着x的增大而减小6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A.23B.43C.83D.1637．“21-<x y”是“ln0<xy”的A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件8．如图，圆O是半径为1的圆，12OA=，设,B C为圆上的任意2个点，则AC BC⋅的取值范围是A．1[,3]8-B．[1,3]-C．[1,1]-D．1[,1]8-9．在棱长为D ABC-中，过点D的平面Γ与底面ABC所成锐二面角的(第6题图)正视图侧视图俯视图（第8题图）Γ与底面ABC 的交线为l ，当平面Γ运动时，直线l 在ABC ∆内 的部分形成的区域的面积为 A．6π B．12π C．6πD．6π10．已知二次函数2()f x ax bx c =++有零点，且1a b c ++=，则max{min{,,}}a b c = A ．12B ．13C ．14D ．16第II 卷（共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)11．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”-P ABCD ，⊥PA 底面ABCD ，21PA AB AD ===，，则该“阳马” 的最长棱长等于 ▲ ；外接球表面积等于 ▲ ．12．设,x y 满足约束条件210201x y x y x ì-+?ïï-?íï£ïî，则23z x y =+的最大值为 ▲ ；满足条件的,x y 构成的平面区域的面积是 ▲ ．13．已知56016(2)(25)x x a a x a x +-=+++L ，则0a = ▲ ；5a = ▲ ． 14．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若6π=A，(4cos =+b a B ， 且1=b ，则B = ▲ ；△ABC 的面积为 ▲ ．15．从0,1,2,3,4,5这6个数中随机抽取5个数构成一个五位数abcde ，则满足条件a b c d e <<>>“”的五位数的个数有 ▲ ．16．已知函数220()1(2)042-≤<+≤⎧⎪=⎨-≤⎪⎩x x f x f x x ，，，．若函数()log ()y f x a x =--恰有两个零点，则实数a的取值范围为 ▲ ．17．如图，椭圆C 1：2214x y +=，椭圆C 2：22182yx +=．点P 为椭圆C 2上一点， 直线PO 与椭圆C 1依次交于 点A B ，，则||=||PA PB ▲ ． 三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)（第17题）18．(本小题满分14分)已知函数2()6cos 32xf x x ωω=+-(0)ω>的图象上相邻两对称轴之间的距离为4．（Ⅰ）求ω的值及()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若0()5f x =且0214(,)33∈x ，求0(1)+f x 的值．19． (本小题满分15分)如图，已知四棱锥A BCDE -中，2A B B C==，120ABC AE ︒∠==，，//CD BE ，24BE CD ==，60EBC ︒∠=.（Ⅰ）求证：⊥EC 平面ABC ；（Ⅱ）求直线AD 与平面ABE 所成角的正弦值.20．(本小题满分15分)已知数列{}n a 中，1212(13)323(3)n n n a a a a a a a a n --=≠≠-==+≥且，，. （I ）求{}1n n a a ++和{}13n n a a +-的通项公式； （II ）若数列{}n a 单调递增，求a 的取值范围.21. （本小题满分15分）如图，已知抛物线21:4C x y =与椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>交于点A ，B ，DCAE且抛物线1C 在点A 处的切线1l 与椭圆2C 在点A 处的切线2l 互相垂直. （I ）求椭圆2C 的离心率；（II ）设1l 与2C 交于点P ，2l 与1C 交于点Q ， 求APQ ∆面积的最小值.22．(本小题满分15分) 已知函数()()221ln 12ln f x x ax x x=--+-． （Ⅰ）当0a =时，求证：()0f x >；（Ⅱ）若0x >时，()0f x >，求a 的取值范围； （Ⅲ）求证：()()()()222ln 1213112ln 232*n n n n N⎡⎤++⋅⋅⋅+<+⨯⋅⋅⋅≥∈⎣⎦，且．参考答案一、选择题C B AD B C D A D C二、填空题11. 3, 9π 12. 11,2512 13. 160-, 15 14. 512π, 1415. 2116. (1,3] 17. 3-18.解：（1）()3cos ωω=f x x x )3πω=+x …………………3分由条件8=T ，所以284ππω== …………………4分 所以()sin()43ππ=+x f x 令22,2432ππππππ+≤+≤+∈x k k k Z ，得10288,33-+≤≤+∈k x k k Z 所以增区间为102[8,8],33-++∈k k k Z …………………7分（2）因为0()5=f x 由（1）知00()sin()435ππ=+=-x f x 即03sin()435ππ+=x ， …………………8分 因为0214(,)33∈x ，所以032432ππππ<+<x所以04cos()435ππ+=-x …………………10分所以00(1)sin()443πππ+=++x f x003[sin()cos cos()sin ]434434ππππππ=+++x x343(52525=⨯-=- …………………14分19解：（1）在ABC ∆中，由余弦定理得AC =在EBC ∆中，由余弦定理得EC =由222222,CE CA EA CE CB EB +=+=得， ,EC CA EC CB ⊥⊥,所以EC CAB ⊥面 ……………………7分(2)如图,建立空间直角坐标系-C xyz ，则()0,0,0,C E A B所以(3,1,0),(23,0,,23),(3,1=-=-=--AB AE BE 11(22==--CD BE 所以1(22--D ，1(22=--AD ……………………11分 所以(,,)n x y z =是面ABE 的一个法向量，则0⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩y取(1,3,1)=n ……………………13分 记直线AD 与平面ABE 所成角为α，则330sin AD n AD nα⋅==……………………15分20.解：（I ）21213333a a a a a a +=+-=-， ……………………2分 由1223n n n a a a --=+得1123()n n n n a a a a ---+=+1123(3)n n n n a a a a ----=-- ……………………4分 所以11+1123()(3)3n n n n a a a a a --+=+=+113(1)(33)n n n a a a -+-=-- ……………………7分（II ）由以上两式得111[(3)3(1)(33)]4--=+---n n n a a a ……………………8分 1111[(3)3(1)(33)]2n n n n a a a a --+-=++-- ……………………10分 当n 为奇数时111(3)3(1)(33)(33)33n n n n a a a ---++--=-++ 所以110(33)330n n n n a a a -+->⇒-++>当13=<n a 时，当113312333333n n n n a --+≥>-=----时关于n 递增所以33a -≤< . ……………………12分 当n 为偶数时111(3)3(1)(33)(33)33---++--=++-n n n n a a a所以111331203(33)33+---->⇒>-=-++n n n n n a a a 关于n 递减，所以1>-a ……………………14分 综上 (1,1)(1,3)a ∈- ……………………15分21.解：（I ）设点00(,)A x y ，00(,)B x y -，其中00x >，00y >.则抛物线1C 在点A 处的切线方程为100:2()l x x y y =+， .…………………2分 椭圆2C 在点A 处的切线方程为00222:1x x y yl a b+= ..…………………4分 由题意可知，12l l ⊥，则有20020()12x b x a y ⋅-=-，且2004x y =.所以：222a b =，从而椭圆2C的离心率为2e =.…………………6分 （II222212+=x y b b .…………………7分设2(2,)A t t ，设21:=-l y tx t ,由222222⎧=-⎪⎨+=⎪⎩y tx t x y b得22342(12)4220+-+-=t x t x t b所以22|||2|12=-=++P A tAP x x t t .…………………9分设221:2=-++l y x t t，同理可得4|||22|Q A AQ x x t t t=-=++ .…………………11分 所以1||||2APQS AP AQ ∆=323222144(1)2()812(12)++=+⋅=++t t t t t t t t.…………………12分 令232(1)(),0(12)+=>+t f t t t t ，则2222222(1)(21)(31)'()(12)+-+=+t t t f t t t令'()0=f t得2=t (0,)2上单调递减，在(,)2+∞上单调递增.所以()()2≥=f t f所以∆≥APQ S .…………………15分 法二：设点11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由2004x y =及2220022x y b +=可知：22002b y y =+.由10022222:2(),:12l x x y y x y C b b ì=+ïïïíï+=ïïïî消去x 得222220000(24)8420x y y y y b x +++-=， 由题意可知：2222220000000120004248(2)248421y b x y b y y b y y y x y y ---===+++， 则220001002322121y b y y y y y ---==++，01004(21)y x x y -=+ .……………………9分 由0022221:1,2:4x x y yl b b C x y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去y 得2200240y x x x b +-=， 由题意可知：0020028x x x y x +=-=-， 则2008x x x =--，222200000020002842(2)84422x b y y y y y y y y y +++++++===，…11分 所以323000120200008(1)(4)122(21)2(2)∆++=-⋅==++APQx y x S y y x y y x x ， ……………………13分 记232(4)()(2)x f x x x +=+，其中0x >，则22422222222222(4)(328)(4)(34)(2)()(2)(2)x x x x x x f x x x x x +--++-'==++， 由()0f x '=，得x =所以()f x在上递减，在)+∞上递增.所以3min()f x f===所以∆≥APQS………………15分22．解：（Ⅰ）当0a=时，()()22112f x xln x ln x=-+-因为()1ln x x+≤，当1x=时等号成立，所以222222221111111xln,ln,x,xx x x xlnx+⎛⎫+<<>⎪+⎝⎭即即所以()22112xln x ln x->+-，即()0f x>．……………………4分（Ⅱ）法一：显然0a≤成立，当0a>时，因为11ln xx≥-，当1x=时等号成立，所以22222111111xlnxx xx⎛⎫+>-=⎪++⎝⎭，即222111xxlnx<+⎛⎫+⎪⎝⎭，要()0f x>即22211x axxlnx+<⎛⎫+⎪⎝⎭，所以221x ax x+<+对一切0x>成立，显然0a>不符合，综上所述()0f x>时a的取值范围为0a≤．……………………9分法二：因为2a b a bln a lnb-+<-，所以()2222221211212211x x,,xln x ln xlnx++<<⎛⎫++-⎪⎝⎭即要()0f x>即22211x axxlnx+<⎛⎫+⎪⎝⎭，所以22212xx ax++<对一切0x>成立，显然0a>不符合，综上所述()0f x >时a 的取值范围为0a ≤． ……………………9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知()221ln 12ln x ax,x x>++- 取1a =-，2n ≥，则有()2210lnn 12ln n n ,x n >->+- 所以()221ln 12ln n n n n +-<-111n n=-- 所以()211ln 212ln212+-<- ()211ln 312ln323+-<- ……()211ln 12ln 1n n n n+-<-- 把以上不等式相加得： ()()()()()()22221ln 121314112ln 23412ln 234n n n n ⎡⎤++++<-+⨯⨯<+⨯⨯⎣⎦……… ……………………15分。
浙江省重点中学2020届高三数学12月期末热身联考试题(含解析)
2019年12月浙江省重点中学高三期末热身联考数学一、选择题（40分）1.已知M＝｛x｜x＞1｝，N＝｛x｜x2－2x－8≤0｝，则＝A. ［－4,2）B. （1,4］C. （1，＋∞）D. （4，＋∞）【答案】B【解析】【分析】化简集合M、N，根据交集的定义写出M∩N即可．【详解】：集合M＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}＝{x|﹣2≤x≤4}，集合N＝{x|x1}，∴M∩N＝{x|1x≤4}．故选：B．【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.已知i为虚数单位，复数，则＝A. 1B. 2C.D. 5【答案】C【解析】【分析】根据复数模长的定义直接进行计算即可．【详解】，所以故选：C。
【点睛】本题主要考查复数的运算及复数长度的计算，比较基础．3.已知双曲的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是A. B. C. 2 D.【答案】D【解析】【分析】利用双曲线的渐近线方程求出a，然后求解双曲线的离心率即可．【详解】双曲的渐近线方程为：，由题可知：，所以，即：，所以双曲线的离心率为：，故选：D。
【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．4.已知，则“m⊥n”是“m⊥l”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】构造长方体ABCD﹣A1B1C1D1，令平面α为面ADD1A1，底面ABCD为β，然后再在这两个面中根据题意恰当的选取直线为m，n即可进行判断．【详解】如图，取长方体ABCD﹣A1B1C1D1，令平面α为面ADD1A1，底面ABCD为β，直线=直线。
若令AD1＝m，AB＝n，则m⊥n，但m不垂直于若m⊥，由平面平面可知，直线m垂直于平面β，所以m垂直于平面β内的任意一条直线∴m⊥n是m⊥的必要不充分条件．故选：B．【点睛】本题考点有两个：①考查了充分必要条件的判断，在确定好大前提的条件下，从m⊥n⇒m⊥？和m⊥⇒m⊥n？两方面进行判断；②是空间的垂直关系，一般利用长方体为载体进行分析．5.函数的大致图像是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】通过函数的变化趋势，推出结果即可．【详解】当x0，且无限趋近于0时，f（x）0，排除B,C，当时，，且指数幂变化较快，故，排除D。
2019届浙江省部分重点中学高三调研考试数学试题(解析版)
2019届浙江省部分重点中学高三调研考试数学试题一、单选题1．已知集合{||1|2}A x x =-≤，{|04}B x x =<„，则()R A B =I ð（ ） A ．{|03}x x <≤ B ．{|34}x x -≤≤C ．{|34}x x <„D ．{|30}x x -<„【答案】C【解析】解绝对值不等式求出A R ð，再与集合B 取交集即可. 【详解】因为{||1|2}{|1R A x x x x =->=<-ð或3}x >，又集合{|04}B x x =<≤，所以(){|34}RA B x x ⋂=<„ð．故选：C 【点睛】本题主要考查集合的运算、绝对值不等式的解法，考查考生的运算求解能力，属于基础题．2．已知a R ∈，i 为虚数单位，且(1)(1)ai i ++为实数，则a =（ ） A ．1 B ．1-C ．2D ．2-【答案】B【解析】对(1)(1)ai i ++进行复数的乘法运算并化简为a bi +的形式，根据实数的虚部为0可列出方程求解a . 【详解】因为(1)(1)1(1)ai i a a i ++=-++为实数，所以10a +=，则1a =-. 故选：B 【点睛】本题主要考查复数的运算、实数的概念，考查考生的运算求解能力，属于基础题．3．设函数()ln ,1,1x x xf x e x ≤--⎧⎪=>-⎨⎪⎩，则()()2f f -的值为( )A ．1eB ．2eC ．12D ．2【答案】C【解析】由分段函数，先求()2f -=ln2，然后根据判断范围再由分段函数另一段求出值 【详解】21-≤-，()2f -=ln2，ln21>-，即()()()2ln2f f f -==1 2【点睛】本题主要考察分段函数求函数值，这类题目，需要判断自变量所在范围，然后带入相应的解析式解答即可4．若不等式组13220x y x y λλ⎧⎪⎨⎪-+-⎩„„…表示的平面区域经过四个象限，则实数λ的取值范围是（ ） A ．(,2)-∞ B ．[1,1]-C ．[1,2)-D ．(1,)+∞【答案】D【解析】由不等式组表示的平面区域经过四个象限，知(0,0)在平面区域内（不在边界上），则220λ->，解不等式即可. 【详解】由不等式组13220x y x y λλ⎧⎪⎨⎪-+-⎩„„…表示的平面区域经过四个象限，知(0,0)在平面区域内（不在边界上），所以220λ->，所以1λ>. 故选：D【点睛】本题主要考查线性规划知识的运用，考查考生的数形结合能力、运算求解能力，属于基础题.5．记n S 为数列{}n a 的前n 项和．“对任意正整数n ，均有0n a >”是“{}n S 为递增数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】利用单调性的定义和举特例来判断两个条件的充分性和必要性关系. 【详解】当0n a >时，则()102,n n n S S a n n N *--=>≥∈，1n n S S -∴>，则“对任意正整数n ，均有0n a >”是“{}n S 为递增数列”的充分条件；如数列{}n a 为1-、1、2、3、4、L ，显然数列{}n S 是递增数列，但是n a 不一定大于零，还有可能小于或等于零，所以，“对任意正整数n ，均有0n a >”不是“{}n S 为递增数列”的必要条件， 因此，“对任意正整数n ，均有0n a >”是“{}n S 为递增数列”的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，判断时可结合单调性的定义或特例来进行判断，考查推理能力，属于中等题.6．如图，已知双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的左焦点为F ，A 为虚轴的一端点.若以A 为圆心的圆与C 的一条渐近线相切于点B ，且AB tBF =u u u v u u u v()t R ∈，则该双曲线的离心率为（ ）A ．2B 5C 13+D 15+ 【答案】D【解析】【详解】由题得双曲线的第一、三象限的渐近线方程为0bx ay -=，所以点A到渐近线的距离ab AB c==，因为AB tBF =u u u v u u u v，所以A,B,F 三点共线.由题得ABO AFO ∆~∆,所以2222222||||||,()abOA AB AF b b c a b c c=⨯∴=∴=+ 222222422442()(2)30310c a c a c a c a c a e e ∴-=-∴-+=∴-+=22361()1242e e ++∴===∴=+，故选D. 7．正四面体ABCD ，E 为棱AD 的中点，过点A 作平面BCE 的平行平面，该平面与平面ABC 、平面ACD 的交线分别为12,l l ，则12,l l 所成角的正弦值为（ ） A．BC ．13D．2【答案】A【解析】由面面平行的性质可得1//l BC 、2//l CE ，则12,l l 所成的角等于BC 与CE 所成的角BCE ∠（或补角），利用余弦定理可求得cos BCE ∠，再由同角三角函数的平方关系可求得sin BCE ∠. 【详解】设所作的平面为α，则由//α平面BCE ，αI 平面1ABC l =， 平面BCE I 平面ABC BC =，得1//l BC ，同理可得2//l CE ， 所以12,l l 所成的角等于BC 与CE 所成的角，即BCE ∠（或补角）． 设正四面体ABCD 的棱长为2，则2BC =，CE BE ==在BCE V中由余弦定理，得222cos 3BCE ∠==，则sin 3BCE ∠==. 故选：A【点睛】本题主要考查空间平面与平面之间的平行关系、余弦定理的应用，考查考生的逻辑推理能力、空间想象能力、运算求解能力、化归与转化思想，属于中档题．8．已知向量,a b r r 满足||1a =r ，且对任意实数,,||x y a xb -r r 3||b ya -rr 的3||a b +=r r（ ）A 7B 523+C 73D 523+523-【答案】C【解析】不妨设向量(1,0),(,)a b m n ==r r ，求出a xb -r r 、b ya -rr 的坐标，2||a xb -r r 表示为关于x 的二次函数，根据二次函数的图象与性质可利用最小值列出等式，同理，2||b ya -r r 表示为关于y 的二次函数，利用最小值列出等式，两式联立求出m 、n ，即可求得向量 a b +r r的模.【详解】不妨设向量(1,0),(,)a b m n ==r r ，则(1,),(,)a xb xm xn b ya m y n -=---=-r r r r，()222222||(1)()21a xb mx xn m n x mx -=-+-=+-+r r ，又对任意实数x 有||a xb -r r 3()()2222224(2)34m n m m n +--=+⎝⎭，化简得223n m =． 222||()b ya m y n -=-+r r ，又对任意实数y 有||b ya -r r 3所以23n =，所以233m =，即1m =±．由(1,)a b m n +=+r r ，可得22222||(1)217a b m n m n m +=++=+++=r r 或3，故||7a b =+r r3【点睛】本题主要考查平面向量与二次函数最小值的综合问题，考查考生分析问题、解决问题的能力以及运算求解能力，属于中档题．本题求解的关键：一是设出向量,a b r r的坐标，有利于从“数”的角度加以分析；二是在“平方”变形的基础上，灵活运用二次函数的最小值． 9．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，对任意大于2的正整数n ，记集合{}|,,,1ijx x a a i N j N i j n =+∈∈<剟的元素个数为nc，把{}n c 的各项摆成如图所示的三角形数阵，则数阵中第17行由左向右数第10个数为（ ）A ．291B ．292C ．293D ．294【答案】C【解析】设1(1)(0)n a a n d d =+-≠，则12(2)i j a a a i j d +=++-，分析出2i j +-可取的数从而求出n c 的表达式，第17行由左向右数第10个数为148c ，148n =代入n c 即可得解. 【详解】设1(1)(0)n a a n d d =+-≠，则12(2)i j a a a i j d +=++-，由题意知1i j n <剟，当1,2i j ==时，2i j +-取最小值1，当1i n =-，j n =时，2i j +-取最大值23n -，易知2i j +-可取遍1,2,3,,23n -L ，即23(3)n c n n =-…．数阵中前16行共有12316136++++=L （个）数，所以第17行由左向右数第10个数为14821483293c =⨯-=.故选：C 【点睛】本题主要考查等差数列、归纳推理等知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 10．已知函数()()34xf x ax b e-=+⋅，则（ ）A ．当0a b >>时，()f x 在()-0∞，单调递减B ．当0b a >>时，()f x 在()-0∞，C ．当0a b <<时，()f x 在()0+∞，单调递增D ．当0b a ≤<时，()f x 在()0+∞，单调递增 【答案】D【解析】求导()()32324'343x x b f x ax ax b e ae x x a --⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭然后分析函数单调性，根据a ，b 取值情况，重点分析3243bx x a-+最值即可得出原函数的单调情况，从而得出结论. 【详解】()()32324'343x x b f x ax ax b e ae x x a --⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭，当3232401,334b bb a x x x x a a≤<⇒≥-+≥-+， 令()3234h x x x =-+，则()2'36h x x x =-，所以()h x 在()0,2递减，()2,+∞递增，()h x 的最小值是()20h =， 所以()0h x ≥则 ()()'0f x f x >⇒在()0,+∞单调递增，选D 【点睛】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数单调性的判断与应用，属于中档题．二、双空题11．在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数表，表中除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数之和.利用这一性质，36C =__________，47C =__________．（用数字作答）【答案】20 35【解析】323434655766C C C 101020,C C C 20+15=35=+=+==+=,故填20，35.12．已知随机变量ξ的分布如表所示，则()E ξ=______，()D ξ=______．ξ1-1P m13【答案】13-89【解析】利用分布列求解m ，求出期望，利用方差公式求方差． 【详解】由随机变量ξ的分布可得113m +=，可得23m =， 所以()21111333E ξ=-⨯+⨯=-．()22121181133339D ξ⎛⎫⎛⎫=-+⨯++⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：13-；89． 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布和数学期望、方差等基础知识，熟记期望、方差的公式是解题的关键．13．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_______,表面积为_______.【答案】13 3522++ 【解析】根据三视图画出其立体图形,由此计算出几何体的体积和表面积. 【详解】Q 根据其三视图可知其几何体是一个四棱锥,底面是边长为1正方形ABCD ,过E 向底面作垂线交AD 延长线于O ,根据其三视图可知1EO =,∴ 11111333E ABCD V S h -=⋅=⋅⋅=过O 作OF AB P 且OF AB =,则四边形OFBA 是边长为1正方形. 连接EF ,可得EF FB ⊥Q 在Rt EFO V 222EF EO OF =+∴ 2EF =故121222S EBC =⋅=V Q 1151522S EDC DC ED =⋅⋅=⋅=V 1121222S EAB AB EA =⋅⋅=⋅=V 11111222S EAD AD EO =⋅⋅=⋅⋅=V1S ABCD =Y其几何体表面积为:3522S ++=故答案为: 133522++. 【点睛】本小题主要考查了几何体体积和表面积的计算,解题关键是根据其三视图画出其立体图形.要注意三视图的三要素“高平齐,长对正,宽相等”,注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响,对简单组合体三视图问题,先看俯视图确定底面的形状,根据正视图和侧视图,确定几何体的形状.14．已知正数x ，y 满足22x y +=，则当x =__________时，1y x-取得最小值为__________．【答案】22 【解析】【详解】 由题得111(22)22,0y x x x x x x-=--=+->Q ，12222x x ∴+-≥=， 当且仅当012x x x>⎧⎪⎨=⎪⎩，即2x =时取等.故填（1）2（2）2.三、填空题15．已知正三角形ABC 的边长为4，O 是平面ABC 上的动点，且3AOB π∠=，则OC AB ⋅u u u v u u u v的最大值为_______．【答案】3【解析】【详解】以AB 所在的直线为x 轴，垂直平分线为y 轴建立直角坐标系,设(,),(20),(20),(0O x y A B C -则，，.由题得，022422tan 604122y yy x x y y x y x x --+-===+-+⋅+-，2204y +-=，即222+x y =（， 所以动点O的轨迹是圆222+x y =（，所以x ≤≤()(4,0)4OC AB x y x ⋅=-⋅=-u u u r u u u r，所以-4x的最大值为3.故答案为：163 3点睛:本题的难点在于想到利用解析法来解析,本题如果不用解析法解答,用其它方法,比较复杂,很难化简，但是利用解析法，先求出动点的轨迹，后面就简单了. 遇到正三角形、直角三角形、菱形等，可以尝试利用解析法解答.16．某翻译处有8名翻译，其中有小张等3名英语翻译，小李等3名日语翻译，另外2名既能翻译英语又能翻译日语，现需选取5名翻译参加翻译工作，3名翻译英语，2名翻译日语，且小张与小李恰有1人选中，则有____种不同选取方法.【答案】29【解析】据题意，对选出的3名英语教师分5种情况讨论：①若从只会英语的3人中选3人翻译英语，②若从只会英语的3人中选2人翻译英语，（包含小张），③若从只会英语的3人选小张翻译英语，④、若从只会英语的3人中选2人翻译英语，（不包含小张），⑤、若从只会英语的3人中选1人翻译英语，（不包含小张），每种情况中先分析其余教师的选择方法，由分步计数原理计算每种情况的安排方法数目，进而由分类计数原理，将其相加计算可得答案．【详解】根据题意，分5种情况讨论：①、若从只会英语的3人中选3人翻译英语，则需要从剩余的4人（不含小李）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有246C=种，②、若从只会英语的3人中选2人翻译英语，（包含小张）则先在既会英语又会日语的2人中选出1人翻译英语，再从剩余的3人（不含小李）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有11222312C C C⨯⨯=种，③、若从只会英语的3人选小张翻译英语，则先在既会英语又会日语的2人中选出2人翻译英语，再从剩余的2人（不含小李）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有22221C C ⨯=种，④、若从只会英语的3人中选2人翻译英语，（不包含小张）则先在既会英语又会日语的2人中选出1人翻译英语，再从剩余的4人（小李必选）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有2112236C C C ⨯⨯=种，⑤、若从只会英语的3人中选1人翻译英语，（不包含小张）则先在既会英语又会日语的2人中选出2人翻译英语，再从剩余的3人（小李必选）中选出2人翻译日语即可，则不同的安排方案有1212224C C C ⨯⨯=种，则不同的安排方法有61216429++++=种． 故答案为29． 【点睛】本题考查排列、组合的运用，注意根据题意对“既会英语又会日语”的教师的分析以及小张与小李恰有1人选中，是本题的难点所在．17．在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若224sin 6b c bc A π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则tan tan tan A B C ++的最小值是______．【答案】【解析】由余弦定理及所给等式可得22cos 4sin 6a bc A bc A π⎛⎫+=+⎪⎝⎭，化简得2sin a A =，然后利用正弦定理进行边化角可整理得tan tan tan B C B C +=，再由tan tan()A B C =-+可推出tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅，令tan tan 1(0)B C m m ⋅-=>将所求式子整理为关于m 的函数，利用基本不等式即可求得最小值. 【详解】由余弦定理，得2222cos b c a bc A +=+，则由224sin 6b c bc A π⎛⎫+=+⎪⎝⎭，得22cos 4sin 2cos )6a bc A bc A bc A A π⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭，所以2sin a A =，由正弦定理，得2sin sin sin A B C A =⋅⋅，所以sin sin A B C =，所以sin()sin B C B C +=，sin cos cos sin sin B C B C B C +=，tan tan tan B C B C +=．因为tan tan tan tan()tan tan 1B CA B C B C +=-+=-，所以tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅， 则tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan 1tan tan 1B C B CA B C B C B CB C B C +++=⋅⋅=⋅⋅--．令tan tan 1B C m ⋅-=，而tan tan tan tan 1,0tan tan B CB C m A A⋅-=+∴> 则tan tan 1B C m ⋅=+，)221tan tan tan m m A B C m++++==122)m m ⎫=++=⎪⎭…当且仅当1m =时，等号成立，故tan tan tan A B C ++的最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，两角和的正弦公式、正切公式，基本不等式的应用，换元法的应用等，属于较难题．根据条件中边和角的关系求解三角形的相关问题的一般方法：（1）利用正弦定理将边化为角，然后利用三角函数的知识及其他知识求解；（2）利用正弦定理或余弦定理将角化为边，然后利用代数知识求解．四、解答题18．函数()2sin()10,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=++><<⎪⎝⎭的图象过点14π⎛⎫+⎪⎝⎭，且相邻两个最高点与最低点的距离为2．（1）求函数()f x 的解析式和单调增区间； （2）若将函数()f x 图象上所有的点向左平移38π个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的12，得到函数()g x 的图象，求()g x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．【答案】（1）()2sin 214π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭f x x ；3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）[1]- 【解析】（1）根据相邻两个最高点和最低点的距离，建立方程，求出ω，利用已知点，求出ϕ，可得函数的解析式，利用正弦函数的单调增区间，可得结论；（2）根据三角函数图象变换规则求出()g x 的解析式，根据角的范围，利用正弦函数的性质即可得出结论． 【详解】（1）相邻两个最高点和最低点的距离为2=，解得2ω=，()2sin(2)1f x x ϕ=++，14π⎛⎫⎪⎝⎭Q 在函数图象上，2sin 11sin cos 4222f πππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++=⇒+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0,24ππϕϕ<<∴=Q ，()2sin 214f x x π⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭．由222,242k x k k Z πππππ-+++∈剟，得3,88k x k k Z ππππ-++∈剟， ()f x ∴的单调增区间为3,,88k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦． （2）()f x 向左平移38π个单位长度得32sin[2()]2sin(2)12sin 2184y x x x πππ=++=++=-+， 2sin 21y x =-+图象上所有点的横坐标变为原来的12得()2sin 41g x x =-+，当123xππ剟时，4433x ππ≤≤，3sin 41x -剟， 1()31g x ∴-+剟，()g x ∴在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[1,31]-+．【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，三角函数图像变换规则，考查考生的化归与转化能力、运算求解能力，属于中档题．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，//AB CD ，4CD =，2PA AB BC AD ====，Q 为棱PC 上的一点，且13PQ PC =．(Ⅰ)证明：平面QBD ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求直线QD 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】(Ⅰ)见证明；（2）(Ⅱ)32114. 【解析】(Ⅰ)连结AC BD 、，交于点O ，推导出//QO PA ，QO ⊥平面ABCD ，由此能证明平面QBD ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)过D 作平面P BC 的垂线，垂足为H ，则DQH ∠即为直线QD 与平面PBC 所成角，设为θ，设DH h =，由Q BCD D BCQ V V --=，求出421h =，由此能求出直线QD 与平面PBC 所成角的正弦值． 【详解】(Ⅰ)连结AC ，BD ，交于点O ，则由ABO V ∽CDO V ，得13AO AC =， 13PQ PC =Q ，//QO PA ∴，PA Q ⊥平面ABCD ，QO ∴⊥平面ABCD ，又QO ⊂平面QBD ，∴平面QBD ⊥平面ABCD ．(Ⅱ)过D 作平面PBC 的垂线，垂足为H ，则DQH ∠即为直线QD 与平面PBC 所成角，设为θ， 设DH h =，Q BCD D BCQ V V --=Q ，1133BCD BCQ S QO S h ∴⋅=⋅V V ， 即14122373333h ⨯⨯=⨯⨯， 解得421h =， 22283QD QO OD =+=Q ，∴直线QD 与平面PBC 所成角的正弦值321sin h DQ θ==． 【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查数形结合思想与空间想象能力，是中档题．求线面角的方法：1、传统法：根据图形正确作出线面角是解决问题的关键，这要求学生必须具有较强的空间想象能力，同时还应写出必要的作、证、算过程；2、向量法：对于特殊的几何体，如长方体、正方体等当比较容易建立空间直角坐标系时，也可采用向量法求解. 20．已知数列的前项和为，且满足（且）Ⅰ当，时，求数列的前项和：Ⅱ若是等比数列，证明：．【答案】Ⅰ;Ⅱ证明见解析.【解析】Ⅰ当，时，，运用分组求和方法，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和；Ⅱ可得，时，，运用等比数列的通项公式，可得，的值，进而得到，利用裂项相消法求和，结合放缩法即可得证．【详解】Ⅰ当，时，，前n项和；Ⅱ可得，时，，由是等比数列，可得，且，即，，，则，则，．【点睛】本题考查数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和，考查等差数列与等比数列的求和公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．利用“分组求和法”求数列前项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减.21．已知椭圆M：22221x ya b+=(0)a b>>3A，B分别为M的右顶点和上顶点，且5AB=（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若C ，D 分别是x 轴负半轴，y 轴负半轴上的点，且四边形ABCD 的面积为2，设直线BC 和AD 的交点为P ，求点P 到直线AB 的距离的最大值.【答案】(1) 2214x y += (2)5105【解析】试题分析：（1）第（Ⅰ）问，根据题意得到关于,,a b c 的方程组，解方程组即可. (2)第（Ⅱ）问，先转化四边形ABCD 的面积为2，得到点P 的轨迹，再结合点P 的轨迹球点P 到AB 的距离的最大值. 试题解析：（Ⅰ）由32c a =得2a b =. 又225AB a b =+=1b =，2a =.所以椭圆M 的方程为2214x y +=.（Ⅱ）设()00,P x y ，(),0C s ，()0,D t ，其中0s <，0t <.因为()2,0A ，()0,1B ， 所以0022y tx =--，0011y x s --=，得0022y t x =--，001x s y =--. 又四边形ABCD 的面积为2，得()()214s t --=，代入得0000221412x y y x ⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，即()20022x y +- ()()00421x y =--，整理得220044x y +=.可知，点P 在第三象限的椭圆弧上. 设与AB 平行的直线12y x m =-+ (0)m <与椭圆M 相切. 由224412x y y x m⎧+=⎪⎨=-+⎪⎩消去y 得222220x mx m -+-=，2840m ∆=-=，2m =-.所以点P 到直线AB 的距离的最大值为21114++252105+=.点睛：本题的难点在于转化条件得到动点P 的轨迹，对于四边形ABCD 的面积为2的转化，最好是把这个四边形分成两个三角形的面积来求解. 22．设函数3()(1)f x x ax b =---，x ∈R ，其中a,b ∈R. （Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若f （x ）存在极值点x 0，且f （x 1）= f （x 0），其中x 1≠x 0，求证：x 1+2x 0=3； （Ⅲ）设a ＞0,函数g （x ）= |f （x ）|,求证：g （x ）在区间[0,2]上的最大值不小于14. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数'()f x ，再根据导函数零点是否存在，分类讨论；（Ⅱ）由题意得，计算可得00(32)()f x f x -=.再由及单调性可得结论；（Ⅲ）实质研究函数最大值：主要比较(1),(1)f f -，33(,()33a a f f -的大小即可，可分三种情况研究：①3a ≥；②334a ≤<；③304a <<. 试题解析：（Ⅰ）解：由，可得.下面分两种情况讨论： （1）当时，有恒成立，所以的单调递增区间为.（2）当时，令，解得313a x =+，或31ax =-. 当变化时，，的变化情况如下表：3(,1)3a-∞-313a -33(1,1)33a a -+313a+3(1,)3a++∞＋0 －0 ＋单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以的单调递减区间为33(1,1)33a a-+，单调递增区间为3(,1)3a-∞-，3(1,)3a++∞.（Ⅱ）证明：因为存在极值点，所以由（Ⅰ）知，且，由题意，得，即，进而.又，且，由题意及（Ⅰ）知，存在唯一实数1x满足，且，因此，所以.（Ⅲ）证明：设在区间上的最大值为，表示两数的最大值.下面分三种情况讨论：（1）当时，331021a a-≤<≤+，由（Ⅰ）知，在区间上单调递减，所以在区间上的取值范围为，因此{}{}max(2),(0)max12,1M f fa b b==----， 所以.（2）当时，2333231011213333a a a a -≤<-<+<≤+，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，233(0)(1)(1)33a a f f f ≥-=+，233(2)(1)(1)33a a f f f ≤+=-， 所以在区间上的取值范围为33[(1),(1)]33a a f f +-，因此 3322max (1),(1)max 3,33399a a a a M f f a a b a a b ⎧⎫⎧⎫⎪⎪=+-=-----⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭.（3）当时，2323011233a a <-<+<，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知， 233(0)(1)(1)a a f f f <-=+，233(2)(1)(1)a a f f f >+=-， 所以在区间上的取值范围为，因此.综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.【考点】导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式【名师点睛】1．求可导函数单调区间的一般步骤：（1）确定函数f （x ）的定义域（定义域优先）；（2）求导函数f ′（x）；（3）在函数f（x）的定义域内求不等式f ′（x）＞0或f ′（x）＜0的解集；（4）由f ′（x）＞0（f ′（x）＜0）的解集确定函数f（x）的单调增（减）区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．2．由函数f（x）在（a，b）上的单调性，求参数范围问题，可转化为f ′（x）≥0（或f ′（x）≤0）恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．。
浙江省重点中学2019届高三上学期期末热身联考数学试卷及答案
浙江省重点中学2019届高三上学期期末热身联考数学试题一、选择题（40分）1、已知M ＝｛x ｜x ＞1｝，N ＝｛x ｜x 2－2x －8≤0｝，则M N ＝A 、［－4,2）B 、（1,4］C 、（1，＋∞）D 、（4，＋∞）2、已知i 为虚数单位，复数12i z i-+=，则||z ＝ A 、1 B 、2 CD 、53、已知双曲2221y x a-=的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率是 A、3B、 C 、2 D4、已知,,,m n l αβαβαβ⊥⊂⊂=，则“m ⊥n ”是“m⊥l ”的A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件5、函数2||sin x x x y e=的大致图像是6、51⎫⎪⎭展开式中，21x 的系数是 A 、80 B 、－80 C 、40 D 、－407、已知实数x ，y 满足约束条件101020x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则z ＝x+4y 的取值范围是A 、［－6,4］B 、［2,4］C 、［2，+∞）D 、［4，+∞）8、已知函数1()|4sin cos |2f x x x =-，若()()f x a f x a -=-+恒成立，则实数a 的最小正值为 A 、2π B 、π C 、2π D 、4π 9、已知方程|cos |(0)x k k x=>有且仅有两个不同的实数解,()θϕθϕ>，则以下有关两根关系的结论正确的是A 、cos sin ϕϕθ=B 、sin cos ϕϕθ=-C 、cos cos θθϕ=D 、sin sin θθϕ=-10、如图，将边长为2的正方形ABCD 沿PD 、PC 翻折至A 、B 两点重合，其中P 是AB 中点，在折成的三棱锥A （B ）－PDC 中，点Q 在平面PDC 内运动，且直线AQ 与棱AP 所成角为60º，则点Q 运动的轨迹是A 、圆B 、椭圆C 、双曲线D 、抛物线二、填空题（36分）11、已知随机变量的ξ的分布列为：若E （ξ）＝13，则x+y ＝ ；D （ξ）＝ 12、若23a b =＝6，则4a -＝ ；11a b+＝ 13、某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ；表面积是。
浙江省2019届高三下学期数学五校联考试卷
浙江省2019届高三下学期数学五校联考试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．） (共10题；共40分)1．（4分）已知集合U={-1，1，3，5，7，9}，A={1，5}，B={-1，5，7}，则∁U（AUB)=（）A．{3，9}B．{1，5，7}C．{-1，1，3，9）D．{-1，1，3，7，9}2．（4分）如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何图的表面积为（）A．4+2 √6B．4+ √6C．4+2 √2D．4+ √23．（4分）已知数列{a n}，满足a n+1=3a n，且a2a4a6=9，则log3a5+log3a7+log3a9=（）A．5B．6C．8D．114．（4分）已知x+y>0，则“x>0”是“2|x|+x2>2|y|+y2的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件−x的大致图象为()5．（4分）函数y= 1−x1+x eA．B．C．D．6．（4分）已知实数x，y满足{y≥1y−2x+1≤0x+y−m≤0，如果目标函数z=x-y的最小值为-1，则实数m等于（）A．7B．5C．4D．37．（4分）已知M=tan a2-sina+cosa，N=tan π8（tan π8+2)，则M和N的关系是（）A．M＞N B．M<N C．M=N D．M和N无关8．（4分）已知函数f(x）= {|log2x|,x>01−x,x≤0，函数g（x）=|2f(x）-m|-1，且m∈Z，若函数g（x）存在5个零点，则m的值为(）A．5B．3C．2D．19．（4分）设a→，b→，c→为平面向量，|a→|=|b→|=2，若（2c→-a→)·（c→-b→)=0，则c→·b→的最大值为（）A．2B．94C．174D．510．（4分）如图，在三棱锥S-ABC中，SC=AC，∠SCB=θ，∠ACB=π-θ，二面角S-BC-A的平面角为a，则（）A．a≥θB．∠SCA≥αC．∠SBA≤αD．∠SBA≥α二、填空题（本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分）(共7题；共36分)11．（6分）已知复数z满足（1+2i）z=2+i，则z= ，|z|=．12．（6分）f(x)=(x2+x+1)(2x- 1x)5的展开式中各项系数的和为，该展开式中的常数项为．13．（6分）已知函数f(x)=cos（ϖx+φ)（ϖ>0，| φ|< π2）图象中两相邻的最高点和最低点分别为（π12，1），（7π12，1)，则函数f(x)的单调递增区间为，将函数f(x）的图象至少平移个单位长度后关于直线x=- π4对称．14．（6分）一个正四面体的四个面上分别标有1，2，3，4，将该正四面体抛掷两次，则向下一面的数字和为偶数的概率为 ，这两个数字和的数学期望为 ．15．（4分）已知双曲线 x 2a 2−y 2b2 =1（a>0，b>0）中，A 1，A 2是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点．若在线段BF 上（不含端点）存在不同的两点P i （i=1，2），使得 P i A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·P i A 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则双曲线离心率的取值 ．16．（4分）从0，1，2…，8这九个数字中取五个不同的数组成五位偶数，且奇数数字不能放在偶数位（从万位到个位分别是第一位，第二位…)，有 个不同的数．（用数字作答）17．（4分）已知实数x ，y ∈[-1，1]，max{a ，b}= {a ，a ≥bb ，a <b，则max{x 2-y 2+1，|x-2y|}的最小值为 ．三、解答题（本大题共5小题，共74分） (共5题；共74分)18．（14分）已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos A 2 -sin A 2 = √22（Ⅰ）求角A 的大小．（Ⅱ）当a= √7 ，sin(A+C)= √2114，求c 的值．19．（15分）如图，已知△ABC 中，AB-BC= √7 ，AC= √10 ，点A ∈平面α，点B ，C 在平面V的同侧，且B ，C 在平面α上的射影分别为E ，D ，BE=2CD=2．（Ⅰ）求证：平面ABE ⊥平面BCDE ．（Ⅱ）若M 是AD 中点，求平面BMC 与平面α所成锐二面角的余弦值．20．（15分）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，满足2S n+1=2a n2+a n(n∈N*)．（Ⅰ）（i）求数列{a n}的通项公式；（ii）已知对于任意的n∈N*，不等式1S1+1S2+1S3+....+1S n<M恒成立，求实数M的最小值．（Ⅱ）数列{b n}的前n项和为T n，满足42an-1=λT n-2(n∈N*)，是否存在非零实数λ，使得数列{b n}为等比数列？并说明理由．21．（15分）已知椭圆x24+y=1，抛物线x2=2y的准线与椭圆交于A，B两点，过线段AB上的动点P作斜率为正的直线l与抛物线相切，且交椭圆于M，N两点．（Ⅰ）求线段AB的长及直线l斜率的取值范围．（Ⅱ)已知点Q（0，14），求△MNQ面积的最大值．22．（15分）已知函数f(x）=e x-ax-b(a，b∈R其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若f(x）≥0恒成立，求ab的最大值．（Ⅱ)设F(x)=lnx+1-f(x)，若函数y=F(x)存在唯一零点，且对满足条件的a，b，不等式m(a-e+1）≥b恒成立，求实数m的取值集合．答案解析部分1．【答案】A【解析】【解答】解：∵A={1，5}，B={−1,5,7}∴A∪B={−1，1,5,7}又∵U={−1,1,3,5,7,9}∴C U(A∪B)={3,9}故答案为：A【分析】利用集合并集运算及补集的运算即可。
浙江省嘉兴市浙北四校2019届高三12月模拟联考数学试题+答案(PDF版)
， D
▲
．
22． （本题满分 15 分）设 a R ，已知函数 f ( x ) x 2 2a ln x ． （Ⅰ）求函数 f ( x ) 的单调区间； （Ⅱ）求函数 f ( x ) 在 [1, ) 上的最小值 g ( a ) ； （Ⅲ）若 a 0 , 求使方程 f ( x ) 2ax 有唯一解的 a 的值．
a a 2 4a 2
…11 分
设 g ( x ) 2 ln x x 1 ，易知 g ( x ) 在 0, 递增，且 g (1) 0 ∴方程 2 ln x0 x0 1 0 的解为 x0 1 即 x 0
2 ln x0 x0 1 0 ，
a a 2 4a 1 1 ，解得 a ， 2 2
② ，
…2 分
(n 1)an 1 (2n 2)an (n 1)an 1 0
所以 ∴
an 1 an 1 2an (n 2) ，
…5 分
数列 an 是等差数列．
又在①中令 n 1 得， 2a2 3a1 2 ，所以 a2 4 ， ∴数列 an 的公差为 d a2 a1 2 ， ∴数列 an 的通项公式为
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是
V = Sh 其中 S 表示柱体的底面积， h 表示柱体的高
锥体的体积公式
p ，那么 n
次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
Pn (k ) Cn k p k (1 p)nk (k 0，1，，2 n)
1 V = Sh 3 其中 S 表示锥体的底面积， h 表示锥体的高
2
, 3 ,1) (1, 3 ,1) =
2
2019届浙北四校高三12月模拟考数学试卷
浙北四校2019年12月高考模拟考试数学试卷考生须知：1.本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷。
参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+ V Sh如果事件A B ，相互独立，那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 锥体的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 13VS h次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()(1)(0)k k n k n n P k C p p k n -=-=，1，，2球的表面积公式台体的体积公式24πS R121()3V S Sh =球的体积公式 其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表 34π3V R示台体的高 其中R 表示球的半径选择题部分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 为虚数单位，=+1-i )1i (i 3 A ．iB ．i -C ．1D ．1-2．若02log 2log <<n m ，则A ．1<<n mB ．n m <<1C ．1<<m nD ．m n <<13．若函数)22cos()(x x f +=π，R ∈x ，则)(x f 是A ．最小正周期为π为奇函数B ．最小正周期为π为偶函数C ．最小正周期为2π为奇函数D ．最小正周期为2π为偶函数 4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积 （单位：cm 3）是A ．8B ．π8C ．16D ．π165．若非空集合A ，B ，C 满足C B A =⋃，且B 不是A 的子集， 则“C x ∈”是“A x ∈”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．如图，ABC ∆中，BC AB =，︒=∠120ABC ，若以B A ,为焦点的双曲线的渐近线经过点C ，则该双曲线的离心率为A ．332 B ．3C ．25D ．277．已知向量，满足4||=，10||≥⋅，则|2|-的最小值是A ．1B ．2C ．3D ．48．有6个人站成前后二排，每排3人，若甲、乙两人左右、前后均不相邻，则不同的站法种数为A ．384B ．480C ．768D ．2409．若直线1=+by ax 与不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤--≤0120121y x y x y 表示的平面区域无公共点，则b a 32+的取值范围是A ．)1,7(-B ．)5,3(-C ．)3,7(-D ．R10．已知数列}{n a 是一个递增数列，满足*N ∈n a ，21na a n =+,*N ∈n ，则4a =A ．4B ．6C ．7D ．8(第4题图)俯视图A BC（第6题图）非选择题部分二、填空题：本大题有7小题, 多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在答题卷的相应位置．11．已知R =U ，}4|{2≤=x x M ，}12|{>=x x N ，则=⋂N M ▲ ，=⋃N C M U ▲ ． 12．已知函数)(x f ，)(x g 分别由下表给出则)]1([g f 的值为 ▲ ，满足)]([)]([x f g x g f >的值是 ▲ ．13. 二项式6)21(x x -的展开式的各项系数之和为 ▲ ，2x 的系数为 ▲ ． 14．已知袋子中有大小相同的红球1个，黑球2个，从中任取2个．设ξ表示取到红球的个数，则=ξE ▲ ，=ξD ▲ ．15．化简=︒-︒70cos 370sin 1 ▲ ．16．如图，已知F E ,分别是正方形ABCD 的边CD AB ,的中点，现将正方形沿EF 折成︒60的二面角，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值是 ▲ ．17．如图，已知1F ,2F 分别是椭圆13422=+y x 的左，右焦点，A ，B ，C 是椭圆上x 轴上方的三点，且11////CF BO AF （O 为坐标原点），则||||21OB CF AF +的取值范围是 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，满分74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且3π=B ，54cos =A ，3=b ．（Ⅰ）求C sin 的值； （Ⅱ）求ABC ∆的面积．A BCD E FA BCD E F（第16题图）（第17题图）19．（本题满分15分）如图，三棱柱111C B A ABC -的各棱长均为2，侧面11B BCC ⊥底面ABC ，侧棱1BB 与底面ABC 所成的角为︒60．（Ⅰ）求直线C A 1与底面ABC 所成的角； （Ⅱ）在线段11C A 上是否存在点P ，使得平面⊥CP B 1平面11A ACC ？若存在，求出P C 1的长；若不存在，请说明理由．20.（本题满分15分）已知数列}{n a 满足21=a ，2)2()1(1=+-++n n a n a n （*N ∈n ）．（Ⅰ）证明数列}{n a 为等差数列，并求}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，若数列}{n b 满足nS n nn b )36(-⋅=，且M b n ≤对任意的*N ∈n 恒成立，求M 的最小值． 21．（本题满分15分）如图，已知直线PA ，PB ，PC 分别与抛物线x y 42=交于点A ，B ，C ，与x 轴的正半轴分别交于点L ，M ，N ，且||||MN LM =，直线PB 方程为042=--y x ． （Ⅰ）设直线PA ，PC 的斜率分别为1k ，2k ，求证：2121k k k k =+； （Ⅱ）求PBCPABS S ∆∆的取值范围．22．（本题满分15分）设R ∈a ，已知函数x a x x f ln 2)(2-=．（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）求函数)(x f 在),1[+∞上的最小值)(a g ；（Ⅲ）若0>a , 求使方程ax x f 2)(=有唯一解的a 的值．A B C 1A 1B1C （第19题图）Oyx（第21题图）PAM CBL N。
浙江省重点中学2019届高三第三次热身联考数学试题
浙江省重点中学2019届高三第三次热身联考数学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（40分）1.已知M＝｛x｜x＞1｝，N＝｛x｜x2－2x－8≤0｝，则＝A. ［－4,2）B. （1,4］C. （1，＋∞）D. （4，＋∞）【答案】B【解析】【分析】化简集合M、N，根据交集的定义写出M∩N即可．【详解】：集合M＝{x|x2﹣2x﹣8≤0}＝{x|﹣2≤x≤4}，集合N＝{x|x1}，∴M∩N＝{x|1x≤4}．故选：B．【点睛】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2.已知i为虚数单位，复数，则＝A. 1B. 2C.D. 5【答案】C【解析】【分析】根据复数模长的定义直接进行计算即可．【详解】，所以故选：C。
浙江省重点中学2018-2019学年高三数学12月期末热身联考试卷
浙江省重点中学2018-2019学年高三数学12月期末热身联考试卷一、单选题 (共10题；共10分)1．（1分）已知M ＝｛x ｜x ＞1｝，N ＝｛x ｜x 2－2x －8≤0｝，则 M ∩N ＝（ ）A ．［－4,2）B ．（1,4］C ．（1，＋∞）D ．（4，＋∞）2．（1分）已知i 为虚数单位，复数 z =−1+2ii，则 |z| ＝（ ） A ．1B ．2C ．D ．53．（1分）已知双曲 y 2a2−x 2=1 的一条渐近线方程为 y =√3x ，则该双曲线的离心率是（ ）A ．B ．C ．2D ．4．（1分）已知 α⊥β,m ⊂α,n ⊂β,α∩β=l ，则“m ⊥n”是“m ⊥l”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（1分）函数 y =x 2sinxe |x|的大致图像是（ ）A ．B ．C ．D ．6．（1分）(2√x−1)5 展开式中， 1x 2 的系数是（ ）A ．80B ．－80C ．40D ．－407．（1分）已知实数x ，y 满足约束条件 {x −y +1≥0x +y −1≥0x −2y ≤0 ，则z ＝x+4y 的取值范围是（ ）A ．［－6,4］B ．［2,4］C ．［2，+∞）D ．［4，+∞）8．（1分）已知函数 f(x)=|12−4sinxcosx| ，若 f(x −a)=−f(x +a) 恒成立，则实数a 的最小正值为（ ）A．2 B．C．D．9．（1分）已知方程|cosx|x=k(k>0)有且仅有两个不同的实数解θ,φ(θ>φ)，则以下有关两根关系的结论正确的是（）A．B．C．D．10．（1分）如图，将边长为2的正方形ABCD沿PD、PC翻折至A、B两点重合，其中P是AB中点，在折成的三棱锥A（B）－PDC中，点Q在平面PDC内运动，且直线AQ与棱AP所成角为60º，则点Q运动的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线二、填空题 (共7题；共11分)11．（2分）已知随机变量的ξ的分布列为：若E（ξ）＝13，则x+y＝；D（ξ）＝12．（2分）若2a=3b＝6，则4−a＝；1a+1b＝13．（2分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是；表面积是14．（2分）已知直线l:mx−y=1．若直线l与直线x−my−1=0平行，则m的值为；动直线l被圆x2+2x+y2−24=0截得弦长的最小值为．15．（1分）向量a⇀，b⇀满足：｜a⇀｜＝2，｜a⇀+ b⇀｜＝1，则a⇀·b⇀的最大值为16．（1分）如图，有7个白色正方形方块排成一列，现将其中4块涂上黑色，规定从左往右数，无论数到第几块，黑色方块总不少于白色方块的涂法有种。
浙江省嘉兴市浙北四校2019届高三12月模拟联考数学试题含答案
，∴ B1 BC ． 3 3
又 BCB1C1 是菱形，∴ OB1 BC ． ∴ OB1 底面 ABC ． …2 分
（Ⅰ）以 O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，
则 A( 3 ,0,0) , B (0,1,0) , C (0,1,0) , A1 ( 3 ,1, 3 ) , B1 (0,0, 3 ) , C1 (0,2, 3 )
14．
17． [ 3 ,2)
18. （Ⅰ） A 0, , A B C
sin A 1 cos 2 A
3 5
3 4 3 10
…7 分
sin C sin A B sin A B sin A cos B sin B cos A
an 2 2(n 1) 2n ．
…7 分
（Ⅱ）由（Ⅰ） ，得
Sn n(a1 an ) n(n 1) ， 2 6 n 1 ) ． 3
∴ ∴ ∴
bn n(
…9 分
当 n 为偶数时， bn 0 ；当 n 为奇数时， bn 0 ， 只需考虑 n 为奇数的情况．
…7 分
CP CC1 C1 P ( 3 ,1 , 3 ) ， B1C (0,1, 3 )
设平面 B1CP 的法向量 m ( x, y , z ) ， 令 z 1 ，则 y 3 ， x
…9 分
m B1C y 3z 0 m CP 3x (1 ) y 3z 0
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是
V = Sh 其中 S 表示柱体的底面积， h 表示柱体的高
锥体的体积公式
p ，那么 n
次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
2019届浙北四校高三12月模拟考数学试卷(word版)
浙北四校2019年12月高考模拟考试数学试卷考生须知：1.本卷共4页，满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷。
参考公式：如果事件A B ，互斥，那么 柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件A B ，相互独立，那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 13VS h =次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()(1)(0)k k n kn n P k C p p k n -=-= ，1，，2 球的表面积公式 台体的体积公式24πS R =121()3V S Sh =球的体积公式 其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表 34π3V R =示台体的高 其中R 表示球的半径选择题部分一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．i 为虚数单位，=+1-i )1i (i 3 A ．iB ．i -C ．1D ．1-2．若02log 2log <<n m ，则A ．1<<n mB ．n m <<1C ．1<<m nD ．m n <<13．若函数)22cos()(x x f +=π，R ∈x ，则)(x f 是A ．最小正周期为π为奇函数B ．最小正周期为π为偶函数C ．最小正周期为2π为奇函数D ．最小正周期为2π为偶函数4．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积 （单位：cm 3）是A ．8B ．π8C ．16D ．π165．若非空集合A ，B ，C 满足C B A =⋃，且B 不是A 的子集， 则“C x ∈”是“A x ∈”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 6．如图，ABC ∆中，BC AB =，︒=∠120ABC ，若以B A ,为焦点的双曲线的渐近线经过点C ，则该双曲线的离心率为A ．332 B ．3C ．25D ．277．已知向量，满足4||=，10||≥⋅，则|2|-的最小值是A ．1B ．2C ．3D ．48．有6个人站成前后二排，每排3人，若甲、乙两人左右、前后均不相邻，则不同的站法种数为A ．384B ．480C ．768D ．2409．若直线1=+by ax 与不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤--≤0120121y x y x y 表示的平面区域无公共点，则b a 32+的取值范围是A ．)1,7(-B ．)5,3(-C ．)3,7(-D ．R10．已知数列}{n a 是一个递增数列，满足*N ∈n a ，21na a n =+,*N ∈n ，则4a =A ．4B ．6C ．7D ．8(第4题图)俯视图A BC（第6题图）非选择题部分二、填空题：本大题有7小题, 多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在答题卷的相应位置．11．已知R =U ，}4|{2≤=x x M ，}12|{>=x x N ，则=⋂N M ▲ ，=⋃N C M U ▲ ． 12．已知函数)(x f ，)(x g 分别由下表给出则)]1([g f 的值为 ▲ ，满足)]([)]([x f g x g f >的值是 ▲ ．13. 二项式6)21(x x -的展开式的各项系数之和为 ▲ ，2x 的系数为 ▲ ．14．已知袋子中有大小相同的红球1个，黑球2个，从中任取2个．设ξ表示取到红球的个数，则=ξE ▲ ，=ξD ▲ ． 15．化简=︒-︒70cos 370sin 1 ▲ ．16．如图，已知F E ,分别是正方形ABCD 的边CD AB ,的中点，现将正方形沿EF 折成︒60的二面角，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值是 ▲ ．17．如图，已知1F ,2F 分别是椭圆13422=+y x 的左，右焦点，A ，B ，C 是椭圆上x 轴上方的三点，且11////CF BO AF （O 为坐标原点），则||||21OB CF AF +的取值范围是 ▲ ．三、解答题：本大题共5小题，满分74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）在ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，且3π=B ，54cos =A ，3=b ．（Ⅰ）求C sin 的值； （Ⅱ）求ABC ∆的面积．A BCD E FA BCD E F（第16题图）（第17题图）19．（本题满分15分）如图，三棱柱111C B A ABC -的各棱长均为2，侧面11B BCC ⊥底面ABC ，侧棱1BB 与底面ABC 所成的角为︒60．（Ⅰ）求直线C A 1与底面ABC 所成的角； （Ⅱ）在线段11C A 上是否存在点P ，使得平面⊥CP B 1平面11A ACC ？若存在，求出P C 1的长；若不存在，请说明理由．20.（本题满分15分）已知数列}{n a 满足21=a ，2)2()1(1=+-++n n a n a n （*N ∈n ）．（Ⅰ）证明数列}{n a 为等差数列，并求}{n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，若数列}{n b 满足nS n nn b )36(-⋅=，且M b n ≤对任意的*N ∈n 恒成立，求M 的最小值． 21．（本题满分15分）如图，已知直线PA ，PB ，PC 分别与抛物线x y 42=交于点A ，B ，C ，与x 轴的正半轴分别交于点L ，M ，N ，且||||MN LM =，直线PB 方程为042=--y x ．（Ⅰ）设直线PA ，PC 的斜率分别为1k ，2k ，求证：2121k k k k =+； （Ⅱ）求PBCPABS S ∆∆的取值范围．22．（本题满分15分）设R ∈a ，已知函数x a x x f ln 2)(2-=．（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）求函数)(x f 在),1[+∞上的最小值)(a g ；（Ⅲ）若0>a , 求使方程ax x f 2)(=有唯一解的a 的值．A B C 1A 1B1C （第19题图）（第21题图）浙北四校2019年12月高考模拟考试数学参考答案一、选择题1．D 2．C 3．A 4．B 5．B 6．D 7．A 8．A 9．C 10．B 二、填空题11．]2,0(，]2,(-∞ 12．1，213．641，1615 14．32，92 15．4- 16．10517．)2,3[三、解答题18. （Ⅰ）()ππ=++∈C B A A ,,0 53cos 1sin 2=-=∴A A ()()10343cos sin cos sin sin sin sin +=+=+=--=∴A B B A B A B A C π …7分 （Ⅱ）2sin sin ==BbA a56sin 2==∴A a ．503936sin 21+==∴C ab S ． …14分 19．解：设BC 的中点O ,连接O B 1，∵侧面11B BCC ⊥底面ABC ，侧棱B B 1与底面ABC 所成的角为3π，∴=∠BC B 13π．又11C BCB 是菱形，∴BC OB ⊥1． ∴⊥1OB 底面ABC ．…2分1（Ⅰ）以O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，则)0,0,3(-A ,)0,1,0(-B ,)0,1,0(C ,)3,1,3(1-A ,)3,0,0(1B ,)3,2,0(1C∴)3,0,3(1-=,又底面ABC 的法向量)1,0,0(=n…4分∴22sin ==θ, 45=θ 所以直线CE 与底面ABC 所成的角为 45．…7分（Ⅱ）假设在线段11C A 上存在点P ，设C 1=11C λ,即)0,1,3(1--=λC)3,1,3(11λλ--=+=C ，)3,1,0(1-=B…9分设平面CP B 1的法向量),,(z y x =，⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-=⋅=-=⋅03)1(3031z y x z y B λλ令1=z ，则3=y ，λλ-=2x ，)1,3,2(λλ-=∴m …11分设平面11A ACC 的法向量),,(z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=--=⋅=+=⋅03031z y C C n y x AC n令1=z ，则3-=y ，1=x ，)1,3,1(-=∴．…13分要使平面⊥CP B 1平面11A ACC ，则=⋅)1,3,2(λλ-)1,3,1(-⋅=022=--λλ．32=∴λ． 341=∴P C ．…15分20.（Ⅰ） 由 3)2()1(1=+-++n n a n a n ， ①得 3)1(1=+--n n a n na ． ② …2分 ①-② ，得 0)1()22()1(11=+++-+-+n n n a n a n a n ， 即 0211=+--+n n n a a a ，所以 )2(211≥=+-+n a a a n n n ， …5分 ∴ 数列{}n a 是等差数列． 又在①中令1=n 得，23212=-a a ，所以42=a ， ∴数列{}n a 的公差为212=-=a a d ，∴数列{}n a 的通项公式为n n a n 2)1(22=-+=． …7分 （Ⅱ）由（Ⅰ），得)1(2)(1+=+=n n a a n S n n ， ∴ 1)36(+-=n n n b ． …9分 ∴ 当n 为偶数时，0<n b ；当n 为奇数时，0>n b ，∴ 只需考虑n 为奇数的情况． …11分 当n 为奇数时，设)(,12*∈-=N k k n ， ∴ k k k k k b )32)(12()36)(12(212-=--=-． )325()32()32)(12()32)(12(11212kk k b b k k k k k -=--+=-+-+， …13分∴ >>><<97531b b b b b∴当3=k 时，2740512==-b b k 为数列}{n b 中的最大项． ∴ 2740≥M 即M 的最小值是2740． …15分21．解（Ⅰ）联立⎩⎨⎧=--=04242y x xy ，解得4,1=x ，由图象可知，()2,1-P …2分易知()0,2M ，由题意可设()()0,2,0,2t N t L +-，20<<t ∴ t k -=121（1≠t ），tk +=121121211121=++-=+t t k k 故2121k k k k =+． …6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，()04212:=-+-+t y t x l PA ，20<<t ，联立()()0842204212422=-+-+⇒⎩⎨⎧=-+-+=t y t y t y t x x y ，得)24,)2((2t t A --，同理，得)24,)2((2t t B ++ …10分 设A 点到PB 的距离为1d ，C 点到PB 的距离为2d ，∴ 5|62|5|4)24()2(2|221t t t t d -=----=，5|62|5|4)24()2(2|221t t t t d +=-+-+=∴13633|33|21-+=+-=+-==∆∆tt t t t d d S S PBC PAB ． …13分 因为 20<<t ，所以P B C P A B S S ∆∆的取值范围是)1,51(． …15分 22. （Ⅰ）()()()()a x xx a x x f x f -=-=+∞2222',,0定义域为 ()01≤a ，则()x f 在()+∞,0上递增()02>a ，则()x f 在在],0(a 上递减，),(+∞a 上递增， …4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，①当1≤a 时，)(x f 在),1[+∞上是增函数，∴1)1()()(min ===f x f a g ；②当1>a 时，)(x f 在],1(a 上递减，),(+∞a 上递增，∴a a a a f x f a g ln )()()(min -===；综上，()⎩⎨⎧>-≤=.1,ln ,1,1a a a a a a g …8分（Ⅲ）令()()x a ax x ax x f x h ln 2222--=-=，由题意，得方程0)(=x h 有唯一解，又()()a ax x xx a a x x h --=--=22222'，定义域为()+∞,0，0>a 令 ()0'=x h 得2420aa a x ++=()x h ∴在(]0,0x 递减，[)+∞,0x 上递增， ()0=x h 有唯一解，∴()00=x h ． …11分由⎩⎨⎧==,0)(',0)(00x h x h 即⎩⎨⎧=--=--,0,02ln 2020020a ax x ax x a x 得01ln 200=-+x x ，设1ln 2)(-+=x x x g ，易知)(x g 在()+∞,0递增，且0)1(=g∴方程01ln 200=-+x x 的解为10=x 即12420=++=a a a x ，解得 21=a ，故，当0>a 时，方程ax x f 2)(=有唯一解时a 的值为21．。
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【校级联考】浙江省重点中学2019届高三12月期
末热身联考数学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 已知，则（）A．B．C．D．
2. 已知为虚数单位，复数，（）
A．1 B．2 C．D．5
3. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率是（）
A．B．C．2
D．
4. 已知，则“m⊥n”是“m⊥l”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5. 函数的大致图像是A．
B．
C．
D．
6. 展开式中，的系数是
A．80 B．－80 C．40 D．－40
7. 已知实数满足约束条件，则的取值范围是（）A．B．
C．D．
8. 已知函数，若恒成立，则实数a 的最小正值为（）
A．B．
C．D．
9. 已知方程有且仅有两个不同的实数解，，则以下有关两根关系的结论正确的是（）
A．B．C．D．
10. 如图，将边长为2的正方形沿、翻折至、两点重合，其中是中点，在折成的三棱锥中，点在平面内运动，且直线与棱所成角为，则点运动的轨迹是（）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
二、双空题
-1 0 2
若，则__________；___________.
12. 若，则＝_______；______.
13. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是___________；表面积是____________.
14. 已知直线．若直线与直线平行，则的值为
____；动直线被圆截得弦长的最小值为______．
三、填空题
15. 向量，满足：｜｜＝2，｜+｜＝1，则的最大值为__
16. 如图，有个白色正方形方块排成一列，现将其中块涂上黑色，规定从左往右数，无论数到第几块，黑色方块总不少于白色方块的涂法有________ 种
17. 平行六面体中，已知底面四边形为矩形，
，其中，，，，体对角线，则的最大值是_____.
四、解答题
18. 已知分别为三个内角的对边，且满足
，.
（1）求；
（2）若是中点，，求面积.
19. 如图，等腰直角中是直角，平面平面，
，，.
（1）求证；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
20. 已知数列｛｝满足：，。
（1）求及数列｛｝的通项公式；
（2）若数列｛｝满足：，，求数列｛｝的通项公式。
21. 已知椭圆的离心率为，以椭圆的2个焦点与1个
短轴端点为顶点的三角形的面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，斜率为k的直线过椭圆的右焦点F，且与椭圆交与两点，以线段为直径的圆截直线所得的弦的长度为，求直线的方程．
22. 已知，．
（1）当时，求f（x）的最大值．
（2）若函数f（x）的零点个数为2个，求的取值范围．。