级数判别法

级数判别法
基本定理：正项级数收敛的充要条件是：
∑∞
=1
n n a
的部分和数列
}{n S 有界。

1、 比较判别法：设
∑∞=1
n n a 和∑∞
=1
n n b
是两个正项级数，且存在
0>N ，使当N n >时，有不等式n n b a ≤，则：
○
1：∑∞
=1n n b
收敛
∑∞
=⇒1
n n
a 收敛。

○
2：∑∑∞
=∞
=⇒10
1
n n n n b
a 发散发散。

2、 比较判别法极限形式：设
∑∞
=1
n n
a 和
∑∞
=1
n n
b 是两个正项级数，且
λ=+∞→n n
n b a lim
，则：
○
1：当+∞<<λ0时，∑∞
=1
n n
a 和
∑∞
=1
n n b
具有相同的敛散性。

○
2：当0=λ时，∑∞=1
n n b 收敛∑∞
=⇒1n n
a 收敛。

○
3：当+∞=λ时，∑∞=1
n n b 发散∑∞
=⇒1
n n
a 发散。

3、 比较判别法II ：设有两正项级数
∑∑∞
=∞
=10
1
n n
n n b a 和，)0,0(≠≠n n b a 满足：
n
n n n b b a a 1
1++≤，则：
○
1：∑∞
=1
n n b
收敛
∑∞
=⇒1
n n
a 收敛。

○
2：∑∞
=1
n n
a
发散∑∞
=⇒
1
n n b
发散。

4、 比值判别法（达朗贝尔）：设
∑∞
=1
n n a
为正项级数，则：
1°若当n 充分大时有：
11
<≤+q a a n n ，则级数∑∞
=1n n a 必收敛。

2°若当n 充分大时有：
11
≥+n n a a ，则级数∑∞=1
n n a 必发散。

5、 达朗贝尔判别法的极限形式：设
∑∞
=1
n n a
为正项级数，且
2111lim lim
λλ==+∞→+∞→n n n n n n a a
，a a ，+∞≤2,1λ，则：
1°：当11
<λ时，级数∑∞
=1n n a 收敛。

2°：当12>λ时，级数∑∞
=1
n n a 发散。

6、 根值判别法（Cauchy ）：设
∑∞
=1
n n a
为正项级数，则：
1°：若当n 充分大时，有1<≤q a n
n ，则级数∑∞
=1
n n
a 必收敛。

2°：若当n 充分大时，有1≥n
n a ，则级数∑∞
=1
n n
a 必收敛。

7、 Cauchy 判别法的极限形式：设为正项级数
∑∞
=1
n n a
，且
λ=∞
→n n n a lim ，+∞≤λ，则：
1°：当
1<λ时，级数∑∞
=1
n n a 必收敛。

2°：当1>λ时，级数∑∞
=1
n n a 发散。

8、 Cauchy 积分判别法：设
)(x f 是定义在),1[+∞上的非负单调下降函数，)(n f a n =，),,2,1( =n ，
令：
⎰=x
dt t f x F 1
)()(，则级数∑∞
=1
n n
a 与数列)}({n F 具有相同的敛散性。

9、 Cauchy 同敛判别法：设正项级数
∑∞
=1
n n a
的通项
n a 单调下降，则级数∑∞
=1
n n
a 与
∑∞
=0
22
k k
k
a 同敛散。

10、拉贝（Raabe ）判别法：设
∑∞
=1
n n a
为正项级数，那么
1°：若当n 充分大时，存在实数1>p ，使
n p
a a n n -≤+11，则级数∑∞
=1n n a 收敛。

2°：若当n 充分大时，存在实数1≤p ，使
n p
a a n n -≥+11，则级数∑∞=1
n n a 发散。

11、拉贝判别法的极限形式：设为正项级数
∑∞
=1
n n
a ，且p a a n n
n n =-
+∞
→)1(lim
1
，+∞≤p ，则 1°：当
1>p 时，级数收敛。

2°：当
1<p 时，级数发散。

12、 高斯判别法：设
∑∞
=1
n n
a 为正项级数，且
μ
θ+++-=111n n p a a n
n n ，其中
n θ为有界，0>μ，则：
1°：当
1>p ，时级数收敛。

2°：当
1≤p 时，级数发散。

13、 对数判别法：设有正项级数
∑∞
=1
n n a
，则当n 充分大时有：
1°：
1ln 1
ln
>≥p n a n
，则∑∞
=1
n n
a 收敛。

2°：：
1ln ln
1
≤n
n
a ，则∑∞
=1
n n
a 发散。