第三章-流体力学基本方程

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3.2 连续性方程
对于不可压缩流体的流动问题，D 0 ，不可
Dt
压缩流体流动的连续性方程为
u0
按求和约定，上式表示成
ui 0 xi
上式说明，由于流体微团的密度和质量在流动过 程中都不变，所以流体微团的体积在运动中也不 会改变。
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3.2 连续性方程
在圆柱坐标系(r,θ,z)中，流体流动的
连续性方程为
下标规定：第一个下标代表应力所在平面的外法线方
向，第二个下标代表应力的方向。例如，τxy表示作用在与x 轴垂直的平面上沿y方向的切应力。
由上述分析可见，要完全描述微元体上的应力，则需
要九个分量，这九个分量就组成了应力张量，应力张量可
表示成
xx xy xz
yx
yy
yz
zx zy zz
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3.3.1 流体的表面应力张量
可以证明，应力张量是二阶对称张量。正应力的正方
向为作用面外法线方向；对于切应力，当作用面的外法线
沿坐标轴的正方向时，取沿坐标轴正方向的切应力为正，
当作用面的外法线沿坐标轴的负方向时，取沿坐标轴负方
向的切应力为正。
这样，单位体积流体的表面力可写成
p x x p y y p z z x x x y y x z z x i x x y y y y z z y j
t 1 r ( r ru r) 1 r ( u ) ( z u z) 0
在球坐标系(r,θ,φ)中，流体流动的连
续性方程为
1 (r 2 u r )1 (siu n )1 (u ) 0 t r 2 r r sin r sin
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3.3 本构方程
一般而言，所谓本构方程是指描述物质对所受力的力 学响应的方程。对运动的粘性流体而言，应力与变形速度 之间的关系称为本构方程。
上。由此可得到作用在垂直于x轴的微元面上的表面力的合
力为
px dxdydz x
同理，作用在垂直于y轴和z轴的微元面上的表面力的
合力分别为
py dxdydz y
pz dxdydz z
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3.3.1 流体的表面应力张量
综和上述结果，可得到作用于单位体积流体的表面力
的合力
p x xd x d y d z p y yd x d y d z p zzd x d y d z d x d y d z px py pz x y z
3.3.1 流体的表面应力张量
为了建立流体动力学方程，需要分析流体微团上所受 到的各种作用力。流体微团受到的作用力可以分为两大类： 一类是质量力，它是作用在流体所有质点上的非接触力， 如重力、惯性力、电磁力等；另一类是表面力，它是作用 在流体微团界面上的接触力，如压力、摩擦力等。现只考 虑表面力。
.பைடு நூலகம்
3.3.1 流体的表面应力张量
如右图所示的 y
正六面体流体微团，
在垂直于x轴的左
右两个侧表面上，
分别作用有合应力
px
和
px px dx x
px dy
o
(x,y,z)
dx
px px dx
τxy
x
τxx
τxz dz
x
z
流体微. 团的表面应力张量
3.3.1 流体的表面应力张量
此处的下标x表示应力向量作用在与x轴垂直的微元面
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3.3.2 牛顿流体的本构方程
或者
ijp0 ij
ij 1 0
(ij) (ij)
τ p0I
式中的负号表示压力的方向总是与微元体表面外法
线方向相反，I为单位张量
1 0 0
I
0
1
0
0 0 1
实验证明，对大多数常见的液体和气体，上述
假设是对的。
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3.3.2 牛顿流体的本构方程
根据应力张量与变形率张量是线性关系以及流
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3.3.2 牛顿流体的本构方程
对于应力张量的线性不变量为 xxyyzz
对于变形率张量的线性不变量为
xx yy zz u
通过上述分析，可以写出标量b的一般关系式
b b 1 (x xy yz) z b 2 u b 3
式中的b1、b2、b3为待定常数。
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3.3.2 牛顿流体的本构方程
流体质量的减
少 量 应 等 于 从 ρux
o dx
x
dz
控制体净流出
的流体质量。
z
控制体内流体的流入与流出
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3.2 连续性方程
(1) 控制体内流体质量的变化 dt时间中控制体内流体密度的变化为
dt
t
dt时间中控制体内流体质量的减少量为
dxdydzdt
t
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3.2 连续性方程
(2) 通过控制面净流出控制体的流体质量
体是各向同性的假设，可以将应力张量τ与变形率
张量ε的线性关系式写成
τaεbI
式中的系数a和b应该是标量。
由于关系式是线性的，因此系数a不可能与张
量τ和ε中的分量有关，而应该与流体运动形态无关，
它是取决于流体的物理属性的系数。参照牛顿内摩
擦定律，令
a 2
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3.3.2 牛顿流体的本构方程
至于系数b，由于在应力张量与变形率张量线 性关系式中右边第二项是b与单位张量I的乘积，要 保持该式的线性关系，b只能由张量τ与ε的分量线性 地组成。又由于b是标量，因此它应该由张量τ与ε的 分量中，那些当坐标系转换时其值不变的分量组合 来构成。对二阶张量而言，主对角线上三个分量的 和为它的线性不变量(即第一不变量)。
即得
(u)0
t
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3.2 连续性方程
按求和约定，连续性方程可表示成
(ui) 0
t xi
使用恒等式 (u ) (u ) u ，连续性方程可写
成 D u0
Dt
其中：
D(u)
Dt t
.
3.2 连续性方程
对于定常流动， 0 ，连续性方程变成
t
(u)0 按求和约定，上式表示成
(ui ) 0
xi
它表示了单位时间流出单位体积空间的质量等于 流入该体积空间的质量，也可以说微元控制体内 的流体密度不随时间而改变。
( 1 3 b 1 )x ( x y y z ) z( 2 3 b 2 ) u 3 b 3
在静止状态下，u0，而且 xxyyzzp0，因
此，上式可以写成 p0(13b1)b3
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3.3.2 牛顿流体的本构方程
由于b1、b3均为常数，而且要求在静压力p0值为任意情
况下均成立，则只有
xxz
yz
y
zzzk
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3.3.2 牛顿流体的本构方程
物质所受到的应力与运动学参数之间存在着 一定的关系。在弹性力学中，这种关系是由虎克 定律表示的，即弹性固体中应力与应变成正比； 在流体力学中，不同性质的流体这种关系有不同 的类型，对于水、空气和润滑油等化学结构比较 简单的低分子流体，应力与变形速率成正比，也 就是说，应力与变形速率之间存在着线性关系， 服从这种线性关系的流体称为牛顿流体。
连续性方程是质量守恒定律在运动流体 中的数学表达式。连续性方程是运动学方程， 它与力无关，所以既适用于理想流体也适用 于粘性流体。
在流动空间中，考察一微元控制体，其 体积为dxdydz，对某一固定参考系统，它是 固定在空间中的，如下图所示。
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3.2 连续性方程
质量守恒
y
定律可表述如
下：控制体内
dy
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3.1 系统和控制体的概念
3.1.1 系统 包含着确定不变的物质的任何集合，称 之为系统，系统以外的一切，统称为外界。 系统的边界是把系统和外界分开的真实或假 想的表面。在流体力学中，系统就是指由确 定的流体质点所组成的流体团。
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3.1.1 系统
流体系统的边界有如下特点：①系统的 边界随着流体一起运动。系统的体积边界面 的形状和大小可以随时间变化；②在系统的 边界处没有质量交换，即没有流体进入或跑 出系统的边界；③在系统的边界上，受到外 界作用在系统上的表面力；④在系统边界上 可以有能量交换，即可以有能量(热或功)通 过边界进入或离开系统。
b3 0，b1 1
而
3
b2 －2
3
这三个系数确定以后，就可得出应力张量与变形率张量
之间的一般线性关系式
τ2 ε 1 3(xx yy z) z3 2 u I
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3.3.2 牛顿流体的本构方程
对于非粘性流体，一点的压强在各个方向是相等的，此
处引入平均压强的概念，即
p1(xxyyzz)
3 对于粘性流体来讲，类似地采用这样的平均法向应力，
上式中px、py和pz都是向量，可以将它们沿三个坐标方
向分解，即分解成垂直于各微元面的正应力和平行于各微
元面的切应力，例如上面图中作用于与x轴垂直的微元面上
的应力px可分解成
pxxx ixyjxz k
同理
pyyx iyyjyz k
pzzx izyj . zzk
3.3.1 流体的表面应力张量
dt时间内在x方向通过左右两个侧面(控制面)净流出的
流体质量为
ux( x ux)dx dydzdtuxdydzdt
(ux)dxdydzdt
x
同理，dt时间中在y、z方向通过相应控制面净流出的流体质
量分别为
(uy)dxdydzdt
y
(uz)dxdydzdt
z
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3.2 连续性方程
(3) 流体流动的连续性方程
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3.3.2 牛顿流体的本构方程
牛顿提出了关于粘性流体作直线层状运动时，
两流体层间的切应力的假设。认为切应力与层间
速度梯度成正比，即
yx du
y
dy
μ为动力粘性系数，
u+du
其值取决于流体的 dy
u
物理性质。通常称
x
上式为牛顿内摩擦
o
定律。
z
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3.3.2 牛顿流体的本构方程
根据变形率张量和应力张量，上式左边对应于 平面直线运动特殊情况下的应力张量的一个切向分 量，右边的导数项对应于变形率张量的一个分量。 因此，可以理解为τyx与εyx成正比例
根据质量守恒定律，由上述分析可得出
td x d y d z d t ( x u x ) ( y u y) ( z u z) d x d y d z d t
对于单位时间单位体积空间而言
(ux)(uy)(uz)0
t x y z
这就是直角坐标系中的连续性方程式，将之写成向量形式
将标量b的表达式代入应力张量与变形率张量线性关系 式中，得
τ 2 ε [ b 1 (x x y y z ) z b 2 u b 3 ] I
取等式两边主对角线上三个分量之和，可得 x x y y z z 2 u 3 b 1 ( x x y y z ) z 3 b 2 u 3 b 3 归并同类项后，得
yx 2 yx
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3.3.2 牛顿流体的本构方程
斯托克斯将牛顿内摩擦定律推广到粘性流体的 任意流动情形中去，假设：
1) 流体是连续的，其应力张量是变形率张量的 线性函数。
2) 流体是各向同性的，即它的性质与方向无关。 因此，无论坐标系如何选取，它的应力与变形率的 关系是相同的。
3) 当流体静止，即变形率为零时，流体中的应 力就是流体静压力。
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3.1.2 控制体
控制面有如下待点：①控制体的边界(控 制面)相对于坐标系是固定的；②在控制面上 可以有质量交换，即有流体跑进或跑出控制 面；③在控制面上受到控制体以外物体加在 控制体之内物体上的力；④在控制面上可以 有能量交换，即可以有能量(内能、动能、热 或功)跑进或跑出控制面。
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3.2 连续性方程
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3.1.1 系统
如果我们使用系统来研究连续介质的流 动，那就意味着采用拉格朗日观点，即以确 定的流体质点所组成的流体团作为研究的对 象。但是对大多数实际的流体力学问题来说， 采用欧拉观点更为方便，与此相应，必须引 进控制体的概念。
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3.1 系统和控制体的概念
3.1.2 控制体 被流体所流过的相对于某个坐标系来说 是固定不变的任何体积称之为控制体。控制 体的边界面，称之为控制面。它总是封闭表 面。占据控制体的诸流体质点是随着时间而 改变的。
高等流体力学
第三章 流体力学基本方程
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3 流体力学基本方程
流体的运动规律遵循物理学三大守恒定律， 即：质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定 律。流体动力学基本方程组就是这三大定律对流 体运动的数学描述。但是，流体力学基本方程组 是不封闭的，要使其封闭还需增加辅助的物性关 系，如：密度、比热、粘性系数和热传导系数随 温度、压强的变化关系等。目前尚不能求得这一 方程组的解析解，但研究这一方程组的性质却具 有极其重要的意义，因为实际流体的流动过程遵 循这一基本方程组。
有
τ2εp2uI
3
如果待定常数b2记为λ，则
τ 2 ε p u I
通常称上式为广义牛顿内摩擦定律，λ称为膨胀粘性系数。
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3.3.2 牛顿流体的本构方程
如以ui和xi (i＝1,2,3)分别代替ux,uy,uz和x,y,z， 则可以写出在直角坐标系中应力张量与变形率张量