顶点式法求二次函数解析式1

顶点式法求二次函数解析式1

①二次函数y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0)用配方法可化成：y=a(x-h)2+k ，顶点是(h,k)

配方: y=ax 2+bx+c=____________=_______________=______________＝（x+a b 2）2+a

b a

c 442-,对称轴是x=a b 2，顶点坐标是（a b 2-，a b ac 442-）, h=-a

b 2，k=a b a

c 442-, 所以，我们把y=a(x-h)2+k 叫做二次函数的顶点式 ②已知二次函数图象的顶点坐标（h ，k ）或者对称轴方程x=h 或者最大值k ，最小值k ，当然还要知道抛物线上

的一个一般点时，通常设函数解析式为y=a(x-h)2+k(a ≠0)，再将那个一般点的坐标带入，求出a 的值，最后写

出函数解析式再化成一般式就行了，有时可能需要两个一般点列方程组求出a 的值或h 或k 的值。

例：已知抛物线的顶点为（－1，－3），与y 轴交点为（0，－5），求抛物线的解析式

解：设所求的二次函数为 y=a 〔x-（-1）〕2-3=a （x+1）2

-3，由条件得：点( 0,-5 )在抛物线上，a-3=-5, 得a=-2，故所求的抛物线解析式为 y=－2(x ＋1)2-3，即：y=－2x 2-4x －5

例：已知二次函数y=ax2+bx+c 的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6），求此二次函数的解析式

解：∵二次函数的最大值是2∴抛物线的顶点纵坐标为2又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上，∴当y=2时，

x=1。 故顶点坐标为（ 1 ， 2），所以可设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2，又∵图象经过点（3，-6），∴-6=a

(3-1)2+2 ，得a=-2，故所求二次函数的解析式为：y=-2(x-1)2+2，即：y=-2x 2+4x

例：如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB•的宽为20m,如果水位上升3m 时,水面CD 的宽是10m.(1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式;(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km 的速度开往乙地,当行驶1小时时,•忽然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以每小时0.25m 的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD 处,当水位达到桥拱最高点O 时,禁止车辆通行),试问:如果货车按原来速度行驶,能否完全通过此桥?若能,请说明理由;若不能,•要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米?

解：因为抛物线的顶点为（0,0），所以可设抛物线解析式为y=a （x-0）2+0，即y=ax 2，桥拱最高点O 到水面

CD 的距离为hm,则D(5,-h),B(10,-h-3). ∴25,100 3.a h a h =-⎧⎨=--⎩ 解得1,251.a h ⎧=-⎪⎨⎪=⎩

抛物线的解析式为y=-125x 2. (2)水位由CD 处涨到点O 的时间为:1÷0.25=4(小时). 货车按原来速度行驶的路程为:40×1+40×4=200<280, ∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥. 设货车速度提高到xkm/h.当4x+40×1=280时,x=60. ∴要使货车完全通过此桥,货车的速度应超过60km/h.

练一练：

①抛物线顶点P(－1，－8)，且过点A(0，－6)，求这个二次函数的解析式

②二次函数的图象的顶点在原点，且过点(2，4)，求这个二次函数的关系式

③已知抛物线的顶点坐标为(－1，－3)，与y轴交点为(0，－5)，求二次函数的关系式

④已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式

⑤已知二次函数的图象经过原点，且当x=3时，有最小值-4，求这个二次函数的解析式

⑥已知抛物线顶点（1,16），且抛物线与x轴的两交点间的距离为8

⑦已知二次函数当x＝－3时，有最大值－1，且当x＝0时，y＝－3，求二次函数的关系式