5、万能杆件内力计算
杆件的内力
例 题：
• 例1 设一杆轴线同时受力P1,P2,P3的作用，其作用点 分别为A、C、B,求杆的轴力。
P1=2kN A 1
P2=3kN
C 2
P3=1kN B P2 =3kN B P3 =1kN B 2 B 轴力图
P1=2kN A
P1 =2kN A
2kN
FN1
1
FN1 ´=2kN
P3 =1kN
1 C
P2 =3kN C 1 2 C
Q0
Q0
均布载荷（q=c）
q0
q0
q0
q0
P
C
突变P C
尖角 突变m
m
C
无变化
5
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：
根据载荷及约束力的作用位置，确定控 制面。
应用截面法确定控制面上的剪力和弯 矩数值。 建立 Q一x 和 M一x 坐标系，并将控制面上 的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。
D
B
4a
FAy FBy
a
qa
9qa/4 Q （+）
3．从 A 截面左侧开始画 剪力图。
（-）
qa
7qa/4
5
A
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
q
B
D
4a
FAy FBy
a
9qa/4 Q （+）
9a / 4
（-）
qa
7qa/4
81qa2/32 M
（ +）
qa2
4．求出剪力为零的点 到A的距离。 qa 5．从A截面左侧开始画弯 矩图 AB段为上凸抛物线。且有 极大值。该点的弯矩为 1/2×9qa/4×9a/4 =81qa2/32 B点的弯矩为 qa×a=qa2
第五章杆件的内力
求CD段内的轴力
R
A 55KN 25KN 20KN
40KN
B
C
D
E
3
N3
25KN
20KN
N3 25 20 0
N3 5KN ( )
求DE段内的轴力
R
A
40KN
55KN
25KN
20KN
B
C
D
E
4
N4
20KN
N4 20KN ( )
40KN
55KN
25KN
20KN
A
600
(3) 可动铰支座 （c , f )
R
(f)
2. 工程中常用到的静定梁
(a)
悬臂梁
(b)
简支梁
(C)
外伸梁
梁在两支座之间的部分称为跨，其长度称为梁的跨长。
3. 几种超静定梁
(d)
(e)
例题1
计算图 (a) 所示悬臂梁的支反力
q (a) A
l 2
P B
C
l 2
l
例题1图
3l 4
（b）
RA
mR
A C l
负的画在下侧。
N
x
例题 ：一等直杆其受力情况如图所示，作杆的轴力图。
40KN
55KN
25KN
20KN
A
600
B
300
C
500
D
E
400
解：求支座反力
X 0
R 40 55 25 20 0
R 10KN
55KN 25KN 20KN
40KN
A
600
B
300
5杆件内力分析
FQ x ＝ql / 2 qx 0 x l
0 x l
62
3.依方程画出剪力图和弯矩图。
§5-8
载荷集度、剪力和弯矩间的关系
FQ (x)
FQ (x)+ dFQ (x)
F
y
0 ：FQ ( x) FQ ( x) dFQ ( x) q( x) dx 0 dFQ ( x) dx q( x)
x
简支梁受均布载荷作用。试 写出剪力和弯矩方程，并画 出剪力图和弯矩图。
解：1．确定约束力
FBy
FQ ql / 2
M ＝0， M ＝0
A B
FAy＝ FBy＝ ql/2
x
ql / 2
x
2．写出剪力和弯矩方程
M
ql 2 / 8
3ql 2 / 32
3ql 2 / 32
M x ＝qlx / 2 qx / 2
P Me 9.549 (kN m) n
P Me 7.024 (kN m) n
其中：P — 功率，千瓦（kW） n — 转速，转/分（rpm） 其中：P — 功率，马力（PS） n — 转速，转/分（rpm）
31
2.扭矩和扭矩图
32
Mx
Mx
Mx = Me
33
扭矩正负规定
Mx
Mx
右手螺旋法则 右手拇指指向外法线方向为 正(+),反之为 负(-)
63
FQ (x)
FQ (x)+ dFQ (x)
1 2 M 0 ： M ( x ) d M ( x ) M ( x ) F ( x ) dx q ( x ) ( dx ) 0 C Q 2 dM ( x ) FQ ( x) dx
杆件的内力计算
第三章 杆件的内力计算杆件在外力（载荷和约束力）作用下产生变形时，内部相连两部分之间产生相互的作用力，以抵抗变形。
这种在外力作用下，杆件内部相连两部分之间的相互作用力，称为内力。
根据材料的连续性，内力在截面上是连续分布的，组成一个分布内力系。
通常所说的内力是指该分布内力系的合力（或合力偶）。
内力的大小及其分布方式与杆件的变形与破坏密切相关，因此内力分析是解决构件承载能力的基础。
§３－１ 拉压杆的内力与内力图 一、轴向拉伸与压缩的概念轴向拉伸与压缩是工程中常见的一种基本变形，例如图３－１ａ所示支架中，AB杆受到拉伸、BC杆受到压缩（图３－１ｂ）。
其受力特点是外力或外力的合力与杆的轴线重合，变形特点是沿杆件轴线方向伸长或缩短（图３－２）。
杆件的这种变形形式称为轴向拉伸或轴向压缩。
发生轴向拉伸或压缩变形的杆件，称为拉压杆。
图３－１ 二、拉压杆的内力———轴力如图３－３ａ所示拉杆，为了确定m—m截面的内力，可以假想地用截面m—m把拉杆截为图３－２左、右两段（图３－３ｂ、ｃ），取其中任一段作为研究对象。
杆件在外力作用下平衡时，其任一部分也处于平衡。
因拉压杆的外力沿杆的轴线，根据平衡条件，其任一截面的内力也必与杆的轴线重合，这种与杆轴线重合的内力称为轴力，用F Ｎ表示。
图３－３轴力的大小由平衡方程求解，若取左段为研究对象，则钞F ｘ＝０， F Ｎ－F ＝０F Ｎ＝F若取右段为研究对象，同理可求得m —m 截面上的轴力F ′Ｎ＝F 。
F Ｎ与F ′Ｎ是一对作用力与反作用力，等值、反向、共线。
拉压杆的轴力F Ｎ规定拉力（背离截面）为正，压力（指向截面）为负（图３－４）。
图３－４以上求内力的方法称为截面法。
截面法是计算内力的基本方法，其基本步骤为（１）截———沿欲求内力的截面将杆件截为两段；（２）取———取出任一段（左段或右段）为研究对象；（３）代———用欲求的内力代替另一部分对研究对象的作用；（４）平———由平衡方程确定内力的大小和方向。
杆件的内力
求轴力的简便方法：
FN P轴向外力
一侧
背离截面的外力为正； 指向截面的外力为负。
P1＝10kN
1
1
P2＝15kN 2 2
P3＝5kN
FN 1 ＋ 10 = 10kN 左侧
FN 1 ＋ 15 － 5 = 10kN 右侧 FN 2 － 5 = －5kN
右侧
7
FN 2 ＋10 － 15 = －5kN 左侧
2、支座的简化 活动铰支座 固定铰支座 集中载荷 3、载荷的简化 固定端
分布载荷（常见的为均布载荷） 集中力偶
23
按力学观点
静定梁
主要讨论
工程中常见的梁
静不定梁
简支梁
按支座情况
静定梁
外伸梁
悬臂梁
24
5.3.2梁的内力——切力和弯矩
P1
纵向对称面
A
a
P1
m m
P2 C
P3
B
x
RA RA P1 RB
左侧
1 qa 2
1 qa2 2
左侧
1 ＋YA qa 2
2
M3
左侧
＋ YAa
左侧
＋YAa — qa2 1 qa2
集中力偶作用点的左、右邻截面上的弯矩不相等，相差力
Fs P横向外力 左上右下错动外力为正 偶矩的大小；切力相等。所以，不考虑集中力偶作用点的弯矩。 一侧 1 Fs6 +q ＝0 Fs5 ＋ YA qa 左侧 2 M＝ mO ( P ) 右 侧 上凹弯曲 一侧 -q ) 矩为正 31 M6 外力( 偶/2 ＝0 0 M5 Y ＝0 A O为截面的形心 右 侧
符号规定：四指屈向与扭矩转向一致，拇指背离截面扭矩为正；
杆件的内力计算
线重合的内力称为轴力，用FN表示。
1.2.3 轴力图
用平行于杆件轴线的x轴 表示横截面的位置，垂直于x
求约束力 分段 求各段轴力 逐段画出轴力图
轴的FN表示横截面上轴力的大小，在x—FN坐标系中按选定的比例画出轴 力沿轴线方向变化的图形，称为轴力图。
杆件的内力计算
1.3 梁的内力与内力图
返回
3.1.1 弯曲的概念
杆件的内力计算
1.2 轴向拉压杆的内力与内力图
返回
1.2.1 轴向拉压杆件的受力与变形特征
杆件是直杆，作用于杆件上的外力合力作用线与杆件轴线重合，杆件
变形是沿轴线方向的伸长或缩短。这种变形形式称为轴向拉伸或轴向压缩，
这类杆件称为拉杆或压杆。
1.2.2 拉压杆横截面上的内力——轴力
杆件轴向拉伸或压缩时，横截面上的内力与轴线重合，这种与杆件轴
式中，Me为外力偶矩（N·m）；P为功率（kW）；n为转速（r/min）。
杆件的内力计算
1.4 受扭圆轴的内力与内力图
1.4.3 扭矩与扭矩图
受扭圆轴横截面上的内力偶矩称为轴的扭矩，用T表示。通常用右手 螺旋法则确定扭矩的正负号：用右手四指沿扭矩的转向握着轴，大拇指的 指向（扭矩的矢量方向）背离截面时，扭矩为正；反之，扭矩为负，如下 图所示。
(1)对于无分布载荷作用的梁段，剪力等于常数，剪力图是一条水平直 线；弯矩图是一条斜直线，其斜率等于剪力。
(2)对于均布载荷作用的梁段，剪力图是一条斜直线，其斜率等于载荷 集度，弯矩图为二次抛物线。
(3)在剪力等于0的截面上，弯矩取极值。 (4)在集中力作用的截面上，剪力发生突变，突变值等于集中力的大小， 自左向右突变的方向与集中力的指向相同，弯矩图出现尖点。 (5)在集中力偶作用的截面上，剪力图无变化，弯矩图发生突变，突变 值等于集中力偶矩的大小。
杆件的内力及其求法
o
0, P 1 3 YA 1 M1 0 矩心o—1-1截面形心
M
3、求2-2截面上的内力：取右半段研究 Y 0, Q2 YB 0 Q2 YB 9kN
o'
0, YB 1.5 M 2 0 矩心o’—2-2截面形心 M 2 1.5YB 13.5kN m
例3-6 作图示简支梁的内力图。 解：1.列内力方程： 求支座反力： 由整体平衡 V A Pb (), VB Pa (); 校核无误。
l
l
因P作用，内力方程应分AC和CB两段建立。 Pb Pb Q ( x ) V , M ( x ) V x x; (0 x a) A A AC段： l l Pa Pa Q ( x ) V , M ( x ) V ( l x ) (l x1 ); CB段： 1 B 1 B 1 l l (a x1 l ) Pa Pa Q ( x2 ) , M ( x2 ) x2 ; ( 0 x2 b ) l l
例3-5 作图示简支梁的内力图。 解：1.列内力方程：先求支座反力 1 利用对称性： V A VB ql ()
2 1 Q( x) VA qx ql qx , (0 x l ) 2 1 2 1 2
M ( x) VA x qx q(lx x ), (0 x l ) 2 2
为避免符号出错,要求：
未知内力均按符号规定的正向 假设。
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例3-1：悬臂梁如图所示。求1-1截面和2-2截 面上的剪力和弯矩。 解：1）求1-1截面上的内力 1 1 Q P ql 1 Y 0 P 2 ql Q1 0 2
M0 0
双桥大桥T梁纵移万能杆件支架力学计算(详细)
双桥大桥T梁纵移万能杆件支架力学计算一、荷载参数1.单片T梁最大安装重量：由双桥大桥施工图可知，T梁较大的安装重量为边跨边梁的安装重量，其值为109.2吨，以其作为整桥边梁安装重量的平均值，则单片T梁的最大安装重量为109.2÷[(33.89+34.17+34.35+34.47+34.55+35.52+34.62+34.65+34.58+35.19+35.02+34.75)÷12]×35.19=111.2吨，即P1=1112KN。
2.单台运量平车重0.5吨，即P2=5KN。
3.钢轨延米重50Kg，即q1=0.5KN/m。
4.工字钢延米重95Kg，即q2=0.95KN/m。
5.万能杆件支架延米重136÷(30×3+47×2)=0.739吨，即q3=7.39KN/m。
6.其他荷载: q4=2KN/m。
二、荷载传递路径T梁—平车—钢轨和工字钢—上支撑靴—万能杆件支架纵梁—万能杆件支架立柱—下支撑靴—支架基础三、验算T梁纵移过程中万能杆件纵梁最不利截面1.在T梁两端安置平车经顺桥向轨道将梁体纵移，当前平车到达万能杆件支架纵梁端头，此时纵梁端头需承受1/2的安装重量，因纵梁端头为悬臂且此处杆件数量最少，故此时纵梁端头截面为最不利截面；当前平车经过万能杆件立柱到达纵梁跨中，此时跨中截面需承受1/2的安装重量和和纵梁体系自重，且在跨中截面产生最大弯矩，故此时纵梁跨中为最不利截面。
因每跨万能杆件支架结构形式(两跨)相同且跨径(12米)相等，故T梁纵移万能杆件支架纵梁的力学性能验算上述两个最不利截面即可。
2.由双桥支架构造图可知，1#~2#跨万能杆件支架的立柱最大高度为18米，因此该跨的万能杆件支架为全桥最不利支架，故全桥万能杆件支架的纵梁力学性能验算该跨纵梁的上述两个最不利截面即可。
3. 作用于支架纵梁的荷载(安全系数取1.3)：集中荷载P=1.3(0.5P 1+P 2)，即P=1.3×(0.5×1112+5)=729.3KN均布荷载q=1.3(2q 1+2q 2+q 3+q 4)，即q=1.3×(2×0.5+2×0.95+7.39+2)=15.98KN/m(一)、验算纵梁端头此时纵梁端头的荷载为集中荷载P ，其受力简图如下所示：将P 按力的平行四边形法则进行分解，则 N AC (压力)=1.414P ，N AB (拉力)= P ；实际上示意图中的AB 杆件为支架中的2根(4N4) 万能杆件， AC 杆件为支架中的2根(4N3)万能杆件。
第8章 杆件结构的内力及计算
例8-3 图示的简支梁在C点处受集中荷载 F作用。
试作此梁的剪力图和弯矩图.
解 (1)求梁的支反力
FA
F
FB
FA
Fb l
FB
Fa l
A
C
B
a
b
l 因为AC段和CB段的内力方程不同，
所以必须分段写剪力方程和弯矩方程.
将坐标原点取在梁的左端
将坐标原点取在梁的左端Biblioteka FAFFB
AC段
A
C
B
FS (
x)
Fb l
由(2)，(4)式可知，AC，CB 两段梁的弯矩图各是一条斜 直线.
FA
F
FB
A
C
B
a
b
x
x
l
+
Fba
l
FA
F
FB
在集中荷载作用处的左，右 两
侧截面上剪力值(图)有突变 。
A
C
a
b
B
突变 值等于集中荷载F。弯矩
x x
图形成尖角，该处弯矩值最大。
l
Fb l
+
Fa l
+
Fba
l
例8-4 图示的简支梁在 C点处受矩为Me的集中力偶作用。
(0 x a)
(1)
a
b
x
M ( x) Fb x (0 x a) (2)
x
l
l
CB段
FS ( x)
Fb l
F
F(l l
b)
Fa l
(a x l)
(3)
M ( x) Fb x F ( x a) Fa (l x) (a x l) (4)
l
万能杆件书资料
万能杆件万能杆件是施工中的一种常备式杆件，或称拆装式杆件。
可以用来拼装各种临时性的辅助钢结 构，容易拆装，运输方便，反复使用利用率高；用万能杆件可节约大量用于辅助结构的材料、劳力， 可以缩短工期。
一、万能杆件的类型目前我国使用的万能杆件有三种，M 型为老式万能杆件，该型杆件共有25种构件组成，其中 用角钢10种，节点板和缀板12件，两种不同直径的螺栓和一个支承靴。
各构件的编号M1、M2 等。
在此基础上又制造了 NH 型和N 型万能杆件。
与M 型万能杆件相比，加大了杆件角钢的肢宽， 减薄了角钢的厚度，受力更为理想，并且为适应组拼各种不同辅助结构的需要，构件的种类和数量 有所扩充，其构件编号为N1H 、N2H....以及N1、N2….等(见附表1-3)。
三类万能杆件中的一号构 件是所有构件中最重的构件，其截面情况分别为：M 杆N 100X 100X 12, N1H 杆N 120XN 120X 10, N1杆N 100XN 100X 10,与之相对应的重量为714N 、731N 、603N 。
N 型万能杆件，由于采用高 强度钢,显然更为轻便。
因此，在万能杆件的计算中，按规定：弦杆、立柱(或横撑)的自由长度L0近似等于其几何 长度L1;对斜杆，可认为其杆端的约束在桁架平面内基本相同，并且当斜杆不与其他杆交叉时， L0= L1;与一杆相交时，L0=0.65L1。
继以用2M5号杆为例，所示斜杆的几何长度有三种情况：(1) L1=283cm (无交叉) L0=283cm 、(2) L1=566cm (与一杆相交) L0=0.65X 566=368cm (3) L1=849cm (与两杆相交) L0=0.55X 849=467cm 二、相应长细比计算L 0 283(1)T3687^=124; 一①=0.504 2.287^=162； 一①=0.3522.28 467 T-TT =204 ；-0 =0.2002.28I2 ImT=，J--，查型钢表：1 个N 75X 75X 8 之 Iz=60cm 4, Am=11.5cm 2,工=f ——I Am2Am:由115 =2.283.2M5号杆的容许压力：[N ]压=6 Am [o ](1) [N ]压=0.504X 2X 11.5X ：02X 170=19706N=197KN (2) [N ]:=0.352X 2X 11.5X 102X 170=137632N=137.6KN (3)[N ] =0. 200X 2X 11.5X 102X 170=78200N=78.2KN桁架中的各种不同的杆件，弦杆、斜杆、立柱或横撑，不同截面、不同杆长的容许承载力，[N ] > [N ]「及[N ] *,均可用同法推出，例如万能杆件应力表中。
5 杆件的内力分析与内力图
内力
2 —2 2F -Fa
FS M
3、在集中力作用处，剪力值发生突变，突变值= 集中力大小；
在集中力偶作用处，弯矩值发生突变，突变值 = 集中力偶矩大小。
Ⅱ、剪力方程和弯矩方程•剪力图和弯矩图 剪力方程
FS FS ( x)
M M ( x)
弯矩方程
反映梁的横截面上的剪 力和弯矩随截面位置变 化的函数式
解：支反力为
M F
y
A
0
FB 2a 3Fa F a 0
FB 2 F ()
0
FB FA F
FA 3F ()
y
F a 1A2 1 2 FA
Me =3Fa
3 4 3 4 B a
y
x FB
2a
FS1 F M1 F a 0 M1 C1 M 1 Fa ( 顺 ) 1 FS1 截面2—2 Fy 0 FS2 FA F 0 F FS2 FA F 2 F C2 2 M 2 MC2 0 M2 F a 0 FA 2 F S2 M 2 Fa ( 顺 )
内力的三个概念： （1）附加内力：只研究由外力作用而引起的那部分内力。
（2）连续分布：在研究物体内处处存在，无间断即是分布内力。
（3）截面上分布内力的合力：我们指的内力是指分布内力的合力。
3. 暴露内力的方法------- 截面法
用截面法求内力的三步骤：
（1）截开； （2）代替； （3）平衡
求内力的三步骤：截开、代替、平衡
横截面2-2：
FR A
F1 2 FN2
B 2
FN2 50kN(拉）
FR
F1=40kN
1 2
F2=55kN F3=25kN
工程力学：杆件的内力
1
5-1 内力的概念、截面法
一.内力
物体受外力后分子会偏离原来的平衡位
置,为了保持新的位置上的平衡状态在分子
间产生的附加力
内力分析是解决构件强度，刚度与稳定性问题的基础。
2
二 截面法
截面法（内力分析的方法）：将杆件假想地切开以显示内力， 并由平衡条件建立 内力与外力间的关系或由外力确定 内力的方法。
22
用截面法求出内力 mA=1170 N· m mB= mC= 351 N· m mD= 468 N· m
23
mB= mC= 351 N· m mD= 468 N· m
画出内力图
24
改变齿轮放置位置
• 把主动轮A置于右端，最大扭矩
增长67％
T T
25
5-4 弯曲时的内力
当作用在杆件上的载荷和支反力都垂直于杆件轴线
5kN
8kN
3kN
5kN
+ 8kN – 3kN
12
一 拉压杆横截面上的应力
拉压杆的平面假设：在轴向载荷作用下，变形后，横 截面仍保持平面，且仍与杆轴垂直，只是横截面间沿杆轴 作了相对平移。
13
5-3 扭转时的内力
扭转工程实例
14
• 受扭转构件的受力特点
——在垂直于杆轴的两平面内分别作用两 个等值，反向的力偶。
（2）画所选杆段的受力图，为计算简便，可将轴力假设为 拉力，即采用所谓设正法；
（3）建立所选杆段的平衡方程，由已知外力计算切开截面 7 上的未知轴力。
截面法求内力举例：求杆AB段和BC段的内力
B 2P A 1 1 P 2 C P
2
8
三 轴力图 为了形象地表示轴力沿杆轴（即杆件轴线）的变化情况， 并确定最大轴力的大小及所在截面的位置，常采用图线 表示 法。作图时，以平行于杆轴的坐标表示横截面的位置，垂直 于杆轴的另一坐标表示轴力，这种表示轴力沿杆轴变化情况 的图线称为轴力图。
杆件内力的一种计算方法
杆件内力的一种计算方法张宏学;姚卫粉【摘要】为了让学生能够更好的理解各种变形条件下杆件的内力,将杆件截面上的分布内力系向形心简化得到主矢和主矩,主矢和主矩分别沿三个坐标轴分解得到三个分力和三个分力偶矩矢.基于空间任意力系的平衡方程,确定各种变形条件下杆件的内力.教学实践证明,该方法能够较好的帮助学生理解杆件内力的概念,从而提高教学质量和教学效果.【期刊名称】《大众科技》【年(卷),期】2017(019)005【总页数】4页(P56-59)【关键词】内力;变形;截面法;主矢;主矩【作者】张宏学;姚卫粉【作者单位】安徽理工大学力学与光电物理学院,安徽淮南 232001;安徽理工大学,安徽淮南 232001【正文语种】中文【中图分类】O31在《材料力学》课程中，各种变形杆件的内力计算是作内力图的基础，这就要求学生必须能够正确地理解杆件内力的概念、快速准确地求解杆件的内力。
内力是指物体在外力作用下，其内部各部分之间因相对位置改变而引起的附加相互作用力[1-2]。
内力连续分布于杆件横截面上各点处，随着杆件所受外力的变化而变化。
通常采用截面法显示并确定杆件横截面上的内力，其步骤为：（1）在待求内力的截面处，假想地把杆件截开，取任一部分为研究对象（取脱离体）；（2）用内力代替弃去部分对取出部分的作用；（3）列平衡方程，求解杆件横截面上的内力。
目前针对杆件内力计算的研究寥寥无几，文献[3]在截面法的基础上，提出了杆件内力求解的同一简单算法。
材料力学教材中，关于杆件内力的概念，叙述的简单明了，学生不易理解和掌握。
本文根据空间任意力系的平衡方程，介绍一种杆件内力的计算方法，在此基础上给出内力的概念。
2.1 轴向拉压杆横截面上的内力计算[1-2]直杆在外力F作用下发生轴向拉伸变形，为了求解杆件横截面上的内力，沿截面m-m假想地把杆件截开，如图1(a)所示。
取截面m-m左侧为研究对象，弃去部分对脱离体的作用力是一个分布内力系，其合力为FN，如图1(b)所示。