微分方程总结word版
(完整word版)微分方程及其应用
第九章 微分方程及其应用§9.1 微分方程及其相关概念所谓微分方程，就是含有自变量、自变量的未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程。
例如，以下各式都是微分方程：⑴ 2x dxdy =. ⑵ ).(22t f kx dt dx hx dt x d m =++ ⑶)()(x Q y x P dxdy =+. ⑷0sin 22=++θθθl g dt d h dt d . ⑸0)',,()(=n y y y x F .只含一个自变量的微分方程,称为常微分方程,自变量多于一个的称为偏微分方程。
本章只研究常微分方程，因而以后各节提到微分方程时均指常微分方程。
微分方程中所含有的未知函数最高阶导数的阶数，称为该微分方程的阶。
例如，⑴、⑶为一阶方程，⑵、⑷为二阶方程，而⑸为n 阶方程。
微分方程中可以不含有自变量或未知函数，但不能不含有导数，否则就不成为微分方程。
微分方程与普通代数方程有着很大的差别，建立微分方程的目的是寻找未知函数本身。
如果P196有一个函数满足微分方程，即把它代入微分方程后，使方程变成（对自变量的）恒等式，这个函数就叫做微分方程的解。
例如331x y =显然是⑴的解，因为23)31(x dxx d =。
若方程解中含有独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数，则称此解为微分方程的通解，例如π+=331x y 就是⑴的通解。
从通解中取定任意常数的一组值所得到的解，称为微分方程的特解。
例如π+=331x y 就是⑴的一个特解。
用来确定通解中任意常数值的条件称为定解条件，当自变量取某个值时，给出未知函数及其导数的相应值的条件称为初始条件。
在本章中，我们遇到的用来确定任意常数值的条件一般为初始条件。
例如，如果⑴的初始条件为()π=0y ，则在代入到通解c x y +=331后，可以求得π=c ，从而得到特解π+=331x y 。
一般的，因为n 阶微分方程的通解中含有n 个独立的任意常数。
二阶常系数线性微分方程的解法word版
第八章 讲第四节 二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念形如 )(x f qy y p y =+'+'' 1的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数.如果0)(≡x f ,则方程式 1变成0=+'+''qy y p y 2我们把方程2叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式1叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法.二、二阶常系数齐次线性微分方程1．解的叠加性定理1 如果函数1y 与2y 是式2的两个解, 则2211y C y C y +=也是式2的解,其中21,C C 是任意常数.证明 因为1y 与2y 是方程2的解,所以有0111=+'+''qy y p y 0222=+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程2的左边,得)()()(221122112211y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(22221111=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程2的解.定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式2的通解.2.线性相关、线性无关的概念设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关.例如 x x 22sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为0sin cos 122≡--x x又如2,,1x x 在任何区间a,b 内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k必须0321===k k k .对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠21y y 常数, 则1y ,2y 线性无关.3.二阶常系数齐次微分方程的解法定理 2 如果1y 与2y 是方程式2的两个线性无关的特解,则212211,(C C y C y C y +=为任意常数是方程式2的通解.例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且≠=x y y tan 21常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+=21,C C 是任意常数是方程0=+''y y 的通解.由于指数函数rxe y =r 为常数和它的各阶导数都只差一个常数因子,根据指数函数的这个特点,我们用rx e y =来试着看能否选取适当的常数r ,使rxe y =满足方程2.将rx e y =求导,得 rx rx e r y re y 2,=''='把y y y ''',,代入方程2,得0)(2=++rx eq pr r 因为0≠rx e , 所以只有 02=++q pr r 3只要r 满足方程式3,rx e y =就是方程式2的解.我们把方程式3叫做方程式2的特征方程,特征方程是一个代数方程,其中r r ,2的系数及常数项恰好依次是方程2y y y ,,'''的系数. 特征方程3的两个根为 2422,1q p p r -±-=, 因此方程式2的通解有下列三种不同的情形. (1) 当042>-q p 时,21,r r 是两个不相等的实根. 2421q p p r -+-=,2422q p p r ---= x r x r e y e y 2121,==是方程2的两个特解,并且≠=-x r r e y y )(2121常数,即1y 与2y 线性无关.根据定理2,得方程2的通解为 x r x r e C e C y 2121+=(2) 当042=-q p 时, 21,r r 是两个相等的实根. 221p r r -==,这时只能得到方程2的一个特解x r e y 11=,还需求出另一个解2y ,且≠12y y 常数,设)(12x u y y =, 即 )(12x u e y x r =)2(),(21121211u r u r u e y u r u e y x r x r +'+''=''+'='. 将222,,y y y '''代入方程2, 得 []0)()2(12111=++'++'+''qu u r u p u r u r u e x r 整理,得0])()2([12111=+++'++''u q pr r u p r u e x r由于01≠x r e , 所以 0)()2(1211=+++'++''u q pr r u p r u 因为1r 是特征方程3的二重根, 所以02,01121=+=++p r q pr r从而有 0=''u因为我们只需一个不为常数的解,不妨取x u =,可得到方程2的另一个解 x r xe y 12=.那么,方程2的通解为x r x r xe C e C y 1121+=即 xr e x C C y 1)(21+=.(3) 当042<-q p 时,特征方程3有一对共轭复根 βαβαi r i r -=+=21, 0≠β于是 x i x i e y ey )(2)(1,βαβα-+== 利用欧拉公式 x i x e ix sin cos +=把21,y y 改写为)sin (cos )(1x i x e e e e y x x i x x i ββαβαβα+=⋅==+)sin (cos )(2x i x e e e e y x x i x xi ββαβαβα-=⋅==-- 21,y y 之间成共轭关系,取-1y =x e y y x βαcos )(2121=+, x e y y i y x βαsin )(2121_2=-= 方程2的解具有叠加性,所以-1y ,-2y 还是方程2的解,并且≠==--x x e x e y y x x βββααtan cos sin 12常数,所以方程2的通解为 )sin cos (21x C x C e y x ββα+=综上所述,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下:1写出方程2的特征方程02=++q pr r2求特征方程的两个根21,r r3根据21,r r 的不同情形,按下表写出方程2的通解.例1求方程052=+'+''y y y 的通解.解: 所给方程的特征方程为0522=++r ri r i r 21,2121--=+-=所求通解为 )2sin 2cos (21x C x C e y x +=-.例 2 求方程0222=++S dt dS dtS d 满足初始条件2,400-='===t t S S 的特解.解 所给方程的特征方程为0122=++r r121-==r r通解为 te t C C S -+=)(21 将初始条件40==t S 代入,得 41=C ,于是 t e t C S -+=)4(2,对其求导得te t C C S ---=')4(22 将初始条件20-='=t S 代入上式,得 22=C所求特解为t e t S -+=)24(例3求方程032=-'+''y y y 的通解.解 所给方程的特征方程为 0322=-+r r其根为 1,321=-=r r所以原方程的通解为 x x e C e C y 231+=-二、二阶常系数非齐次方程的解法1.解的结构定理3 设*y 是方程1的一个特解,Y 是式1所对应的齐次方程式2的通解,则*+=y Y y 是方程式1的通解.证明 把*+=y Y y 代入方程1的左端:)()()(*++*'+'+*''+''y Y q y Y p y Y=)()(*+*'+*''++'+''qy py y qY Y p Y=)()(0x f x f =+*+=y Y y 使方程1的两端恒等,所以*+=y Y y 是方程1的解. 定理4 设二阶非齐次线性方程1的右端)(x f 是几个函数之和,如 )()(21x f x f qy y p y +=+'+'' 4 而*1y 与*2y 分别是方程 )(1x f qy y p y =+'+''与 )(2x f qy y p y =+'+''的特解,那么**+21y y 就是方程4的特解, 非齐次线性方程1的特解有时可用上述定理来帮助求出.2.)()(x P e x f m x λ=型的解法 )()(x P e x f m x λ=,其中λ为常数,)(x P m 是关于x 的一个m 次多项式. 方程1的右端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数x e λ乘积的导数仍为同一类型函数,因此方程1的特解可能为x e x Q y λ)(=*,其中)(x Q 是某个多项式函数.把 x e x Q y λ)(=*x e x Q x Q y λλ)]()(['+=*'x e x Q x Q x Q y λλλ)]()(2)([2''+'+=*''代入方程1并消去xe λ,得)()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ 5以下分三种不同的情形,分别讨论函数)(x Q 的确定方法:1 若λ不是方程式2的特征方程02=++q pr r 的根, 即02≠++q p λλ,要使式5的两端恒等,可令)(x Q 为另一个m 次多项式)(x Q m :m m m x b x b x b b x Q ++++= 2210)(代入5式,并比较两端关于x 同次幂的系数,就得到关于未知数m b b b ,,,10 的1+m 个方程.联立解方程组可以确定出),,1,0(m i b i =.从而得到所求方程的特解为x m e x Q y λ)(=*2 若λ是特征方程02=++q pr r 的单根, 即02,02≠+=++p q p λλλ,要使式5成立, 则)(x Q '必须要是m 次多项式函数,于是令)()(x xQ x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数),,1,0(m i b i =.3 若λ是特征方程02=++q pr r 的重根,即,02=++q p λλ 02=+p λ.要使5式成立,则)(x Q ''必须是一个m 次多项式,可令)()(2x Q x x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数.综上所述,若方程式1中的x m e x P x f λ)()(=,则式1的特解为x m k e x Q x y λ)(=*其中)(x Q m 是与)(x P m 同次多项式,k 按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4 求方程x e y y 232-='+''的一个特解.解 )(x f 是x m e x p λ)(型, 且2,3)(-==λx P m对应齐次方程的特征方程为 022=+r r ,特征根根为2,021-==r r . λ=-2是特征方程的单根, 令xe xb y 20-=*,代入原方程解得230-=b故所求特解为 xxe y 223--=* .例5 求方程x e x y y )1(2-='-''的通解.解 先求对应齐次方程02=+'-''y y y 的通解.特征方程为 0122=+-r r , 121==r r齐次方程的通解为 xe x C C Y )(21+=.再求所给方程的特解1)(,1-==x x P m λ由于1=λ是特征方程的二重根,所以x e b ax x y )(2+=*把它代入所给方程,并约去x e 得126-=+x b ax比较系数,得61=a 21-=b于是 xe x x y )216(2-=*所给方程的通解为 x e x x x C C y y y )6121(3221+-+=+=* 3.x B x A x f ϖϖsin cos )(+=型的解法 ,sin cos )(x B x A x f ωω+=其中A 、B 、ω均为常数.此时,方程式1成为x B x A q y p y ωωsin cos +=+'+'' 7这种类型的三角函数的导数,仍属同一类型,因此方程式7的特解*y 也应属同一类型,可以证明式7的特解形式为)sin cos (x b x a x y k ωω+=*其中b a ,为待定常数.k 为一个整数.当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取0;当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取1;例6 求方程x y y y sin 432=-'+''的一个特解.解 1=ω,ω±i i ±=不是特征方程为0322=-+r r 的根,0=k .因此原方程的特解形式为x b x a y sin cos +=* 于是 x b x a y cos sin +-=*'x b x a y sin cos --=*''将*''*'*y y y ,,代入原方程,得⎩⎨⎧=--=+-442024b a b a 解得 54,52-=-=b a原方程的特解为: x x y sin 54cos 52--=* 例7 求方程x e y y y x sin 32+=-'-''的通解.解 先求对应的齐次方程的通解Y .对应的齐次方程的特征方程为0322=--r r3,121=-=r rx x e C e C Y 321+=-再求非齐次方程的一个特解*y .由于x e x x f -+=2cos 5)(,根据定理4,分别求出方程对应的右端项为,)(1x e x f =x x f sin )(2=的特解*1y 、*2y ,则 **+=*21y y y 是原方程的一个特解.由于1=λ,ω±i i ±=均不是特征方程的根,故特解为)sin cos (21x c x b ae y y y x ++=+=*** 代入原方程,得x e x c b x c b ae x x sin sin )42(cos )24(4=-++--比较系数,得14=-a 024=+c b 142=-c b解之得 51,101,41-==-=c b a . 于是所给方程的一个特解为 x x e y x sin 51cos 10141-+-=* 所以所求方程的通解为x x e e C e C y Y y x x x sin 51cos 10141321-+-+=+=-*.。
高数微分方程总结
５、二阶常系数齐次线性方程解法
形如 y(n) P1 y(n1) Pn1 y Pn y f ( x)
n阶常系数线性微分方程
y py qy 0 二阶常系数齐次线性方程 y py qy f ( x) 二阶常系数非齐次线性方程
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法.
解 （１） 由题设可得：
2 p( x)2x 0,
2 x3
p( x)( 1 ) x2
f ( x),
解此方程组，得
p( x) 1 , x
f
(x)
3 x3
.
（２） 原方程为 y 1 y 3 .
x
x3
显见 y1 1, y2 x2 是原方程对应的齐次方 程 的两个线性无关的特解 ，
又 y* 1 是原方程的一个特解， x
dt 2
即 x g x g , 99
x(0) 0, x(0) 0.
10m
o x
解此方程得
x(t)
1
(e
1 3
gt
1
e3
gt
) 1,
2
整个链条滑过钉子 ,即 x 8,
代入上式得
t 3 ln(9 80). (秒) g
最好的，不一定是最合适的；最合适的，才是真正最好的。 最大的挑战和突破在于用人，而用人最大的突破在于信任人。——马云 快乐的人帮助别人，积极人的肯定自己。——王修强 对于每一个不利条件，都会存在与之相对应的有利条件。 人必须有自信，这是成功的秘密。 人一旦觉悟，就会放弃追寻身外之物，而开始追寻内心世界的真正财富。 这世间最可依赖的不是别人，而是你自己。不要指望他人，一定要坚强自立。 懂得感恩，感谢帮助你的每一个人。 不要因为小小的争执，远离了你至亲的好友，也不要因为小小的怨恨，忘记了别人的大恩。
【总结】常微分方程知识总结
（1） 概念微分方程：一般，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量的之间关系的方程。
微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。
如： 一阶：2dyx dx= 二阶：220.4d sdt=-三阶：32243x y x y xy x ''''''+-=四阶：()4410125sin 2y y y y y x ''''''-+-+=一般n 阶微分方程的形式：()(),,,,0n F x y y y'= 。
这里的()ny 是必须出现。
（2）微分方程的解设函数()y x ϕ=在区间上有阶连续导数，如果在区间上，()()()(),,0n F x x x x ϕϕϕ⎡⎤'≡⎢⎥⎣⎦则()y x ϕ=称为微分方程()(),,,,0n F x y y y '= 的解。
注：一个函数有阶连续导数→该函数的阶导函数也是连续的。
函数连续→函数的图像时连在一起的，中间没有断开（即没有间断点）。
导数→导函数简称导数，导数表示原函数在该点的斜率大小。
导函数连续→原函数的斜率时连续变化的，而并没有在某点发生突变。
函数连续定义：设函数()y f x =在点的某一邻域内有定义，如果()()00lim x x f x f x →=则称函数()f x 在点连续。
左连续：()()()000lim x x f x f x f x --→==左极限存在且等于该点的函数值。
右连续：()()()000lim x x f x f x f x ++→==右极限存在且等于该点的函数值。
在区间上每一个点都连续的函数，叫做函数在该区间上连续。
如果是闭区间，包括端点，是指函数在右端点左连续，在左端点右连续。
函数在点连续()()()()00lim lim lim x x x x x x f x f x f x f x -+→→→=== 1、()f x 在点有定义 2、()0lim x x f x →极限存在3、()()00lim x x f x f x →=（3）微分方程的通解如果微分方程中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫微注：任意常数是相互独立的：它们不能合并使得任意常数的个数减少。
第六章微分方程小结
第六章微分方程小结一、 掌握微分方程的几个概念1.微分方程：凡含有自变量、未知函数及未知函数的导数的关系式，称为微分方程．这个方程必须含有未知函数的导数。
2.微分方程的阶：微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶．3.通解：如果微分方程的解中含有独立的任意常数，且任意常数的个数与方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解．注意，通解需要三个条件：（1）这个函数是方程的解；（2）解中含有独立的任意常数；（3）任意常数的个数与方程的阶数相同。
所以要验证一个函数是否是通解，要从以上三点一一验证。
二、 熟练求解微分方程微分方程这一章最重要的是要能求它的解。
我们知道并不是每个微分方程都能把它的解表达出来。
我们只要能够针对教材上介绍的几种类型的微分方程会求解就可以了。
所以我们拿到一个微分方程后首先就要能够知道它是什么类型的方程，然后用相应的办法求解就可以了。
下面我们把每类微分方程和求解方法列在下面供参考。
三、 微分方程的类型与求解方法1. 一阶微分方程（1） 可分离变量的微分方程：求解方法：分离变量，两边积分。
（2）齐次微分方程求解方法：作变量代换 化为可分离变量的微分方程。
（3）一阶线性微分方程求解方法：常数变易法，它实质上是作一个变量代换求出通解为 ()()dy f x g y dx =()dy y dx x ϕ=,y u x =()()dy P x y Q x dx +=()()P x dx y c x e -⎰=()()()P x dx P x dx y e Q x e dx c -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰（4）贝努利方程求解方法：作一个变量代换 化为一个阶非齐次线性微分方程。
2. 可降阶的高阶微分方程（1）求解方法：接连积分n 次。
（2）这种方程特点是不含未知函数只含有未知函数的高阶导数.。
求解方法：作变量代换原方程化为一阶微分方程求出通解 得高阶微分方程：它是一个n -1阶微分方程，上式两边接连积分n -1次，可得到原方程的含有n 个任意常数的通解．（3）这种方程特点是不含右边不含自变量求解方法：作变量代换 利用复合函数的求导法则求二阶导数：将方程化为一阶微分方程求出通解 得另一个可分离变量的微分方程3.二阶线性微分方程（1）二阶常系数齐次线性微分方程()()(0,1)n dy P x y Q x y n dx+=≠1,n u y -=令()()n y f x =()(1)((1, ))n n y f x y n ->=(1),n u y -=(,)u f x u '=1(,),u x c =ϕ(1)1(,)n y x c ϕ-=(,)y f y y '''=(),dy p y dx =dp dp dy dp y p dx dy dx dy ''=== (,)dp p f y p dy =1(,),p y c ϕ=1(,)dy y c dx ϕ=0y py qy '''++=求解方法：先求特征方程的根根据根的三种情形写出它的通解 特征根的情况通解的表达式 实根12λλ≠实根12λλ=复根12,i λαβ=± 1212x x y C e C e λλ=+ 112()x y C C x e λ=+ )sin cos (21x C x C e y x ββα+=（2）二阶常系数非齐次线性微分方程第一种情形： 有特解：第二种情形有特解：其中 20p q λλ++=()y py qy f x '''++=()(),rx m f x e P x =()(),k rx m Y x x Q x e =012,k λλλ⎧⎪=⎨⎪⎩不是根是根，但不是重根是重根()[()cos ()sin ],x n l f x e A x x B x x αββ=+[()cos ()sin ];k x m m y x e P x x Q x x αββ=+{,}.m max n l =0;i k αβ±当不是特征值时,取i k αβ±当是特征值时,取1.(),m m P x Q x m 其中()为次多项式,。
微分方程总结
第七章 微分方程1.一阶微分方程（1）微分方程的基本概念：①、微分方程：含有未知函数、未知函数的导数即自变量的等式叫做微分方程。
未知函数是一元函数，叫做常微分方程；未知函数是多元函数，叫做偏微分方程。
②、微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶数，叫做微分方程的阶。
③、微分方程的解：若某个函数代入微分方程能使该方程成为恒等式，这个函数就叫做该微分方程的解。
④、微分方程的通解：若微分方程的解中所含相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。
⑤、微分方程的初始条件、特解：用来确定微分方程通解中任意常数的条件叫做初始条件。
确定了通解中任意常数的解称为微分方程的特解。
（2）可分离变量方程：形如)()(dxdy x g x f =的方程称为可分离变量微分方程。
设g(y)≠0,则可将方程化为dx )()(dy x f y g ，其特点是方程的一端只含有y 的函数dy ，另一端只含有x 的函数dx ，即将两个变量分离在等式两端，其接法是分离变量后两边积分得到通解。
（3）齐次方程：形如)(y x y f =＇的方程称为齐次方程。
其解法是做变换x y u =，则y=ux,dxdu dx dy x u +=,代入方程化为可分离变量的微分方程。
（4）一阶线性微分方程：形如)()(dxdy x Q y x P =+的方程称为一阶线性微分呢方程，其特点是方程中的未知函数及其导数为一次的。
如果0)(≡x Q ，则称为一阶线性齐次微分方程；如果Q(x)不恒等于零 ，则称为一阶线性非齐次微分方程，其通解为C dx e x Q e y dx x P dx x P +⎰=⎰⎰-)()()((。
（5）伯努利方程：形如)1,0()()('≠=+n y x Q y x P y n 的方程称为伯努利方程。
次方程的特点是未知函数的导数仍是一次的，但未知函数出现n 次方幂。
其解法是做变量替换n y z -=1，则：,dxdz 11dx dy ,dx dy )1(dx dz 11n y y n n n -=-=--即 代入原方程，得： ),()1()()1(dx dz x Q n z x P n -=-+ 这是一个线性非齐次微分方程，再按线性非齐次微分方程的解法求出通解；最后以n y z -=1换回原变量，即为所求。
Word可编辑_常微分方程理论知识与算法 解的存在唯一性定理与逐步逼近法
第三章一阶微分方程的解的存在定理微分方程来源于生产实际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动地解释所出现的各种现象并预料未来的可能情况。
对于反映某一运动规律的微分方程,如果能找出其通解的表达式，一般来说，就能按给定的一定条件相应地选定其中的任意常数，获得所需要的特解并通过其表达式了解它对某些参数的依赖情况，从而适当地选择这些参数，使得对应的解——“运动”具有所需的性能。
在第二章里，我们已经介绍了能用初等解法的一阶方程的若干类型，但同时指出，大量的一阶方程一般是不能用初等解法求出它的通解的，而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。
因此，对初值问题的研究被提到了重要的地位。
自然要问：初值问题的解是否存在？如果存在是否唯一呢？容易举出解存在而不唯一的例子。
例如方程过点的解就不是唯一的。
事实上，易知是方程的过点的解。
此外，容易验证或更一般地,函数都是方程的过点而定义与区间上的解，这里的满足的任一数。
本章介绍的存在唯一定理完满地回答了上面提出的问题，它明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性，它是常微分方程理论中最基本的定理，有其重大的理论意义。
另一方面，由于能求得精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有十分重大的实际意义，而解的存在和唯一又是进行近似计算的前提。
因为如果解根本不存在，却要去近似地求它，显然问题本身是没有意义的；如果有解存在而不唯一，由于不知道要确定是哪一个解，却要去近似地确定它，问题也是不明确的。
解的存在唯一性定理保证了所要求的解的存在和唯一，因此它也是近似求解法的前提和基础。
此外，我们将看到在定理的证明过程中还具体地提供了求近似解的途径，这就更增添了存在唯一性定理的实用意义。
由于种种条件的限制，实际测出的初始数据往往是不精确的，它只能近似地反映初始状态。
因此我们以它作为初始条件所得到的解是否能用做真正的解呢？这就产生了了解对初始值的连续依赖性问题，即当初始值微小变动时，方程的解的变化是否也是很小呢？如果不然的话，这样所求得的解就失去实用的意义，因它可能与实际情况产生很大的误差。
04第四讲_微分方程word精品文档12页
第四讲 微分方程考纲要求1.了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解等概念.2.掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法.3.会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程.4.会用降阶法解下列微分方程：()()n y f x =，(,)y f x y '''=和(,)y f y y '''=.5.理解线性微分方程解的性质及解的结构.6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程.7.会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程.8.会解欧拉方程.9.会用微分方程解决一些简单的应用问题.问题1 何谓微分方程、微分方程的阶、解、通解、初始条件、特解、初值问题和微分方程的积分曲线？答 微分方程：含有自变量、未知函数、未知函数的导数的等式. 微分方程的阶(order)：微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数.微分方程的解：满足微分方程的函数.微分方程的通解：微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数.初始条件：确定微分方程通解中任意常数的值的条件. 微分方程的特解：确定了通解中任意常数的值后所得到的解. 初值问题（Cauchy 问题）：微分方程连同初始条件. 一阶微分方程初值问题：(,,)0F x y y '=，00()y x y =.二阶微分方程初值问题：(,,,)0F x y y y '''=，00()y x y =，00()y x y ''=. 微分方程的积分曲线：微分方程的解的图形（通解的图形是一族曲线）.问题2 如何求解一阶微分方程？答 一阶微分方程的一般形式是：(,,)0F x y y '=，解出y '：(,)dyf x y dx=，考纲要求掌握变量可分离的微分方程、一阶线性微分方程、.齐次微分方程、伯努利方程的解法.1可分离变量的微分方程：()()dyg x h y dx= 解法 分离变量：()()dy g x dx h y =；两端积分：()()dyg x dx h y =⎰⎰. 2 齐次微分方程：dy y dx x ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭解法 令y u x =，则y xu =，dy du u x dx dx =+，代入方程，得()duu x u dxϕ+=并求解.3 一阶线性微分方程：()()dyP x y Q x dx+= 若()0Q x ≡，则称它是齐次的，否则，称它为非齐次的. 解法（常数变易法） 先解对应齐次线性微分方程()0dyP x y dx+=，求得通解()P x dx y Ce -⎰=； 再令非齐次线性微分方程的解为()()P x dxy C x e -⎰=，代入方程求出()C x .通解公式：()()(())P x dx P x dxy e Q x e dx C -⎰⎰=+⎰ 解的结构：一阶非齐次线性微分方程的通解=对应的齐次线性微分方程的通解+非齐次线性微分方程的特解.4 伯努利方程：()()(0,1)dyP x y Q x y dxαα+=≠.（与一阶线性微分方程比较）解法 方程两边乘以y α-，再令1z y α-=，将方程化为一阶线性微分方程.求解微分方程的步骤是：判断方程的类型并用相应的方法求解. 例 求解下列一阶方程：1.y y x y x +-='22 【C x xy x +=>ln arcsin ,0】 2.)ln (ln x y y y x -=' 【1+=Cx xe y 】3.e e y y x dxdyxy2)(,22=+= 【2ln 2+=x x y 】 4.1)0(,0)cos 2()1(2==-+-y dx x xy dy x 【11sin 2--=x x y 】5.02)(3=--ydx dy y x 【y C y x +-=351】6.ln dy y dx y x=- 7.0)2(2=+-xdy dx y xy 【Cx xy +=2】 问题3 如何求解可降阶的二阶微分方程？答 二阶微分方程(,,,)0F x y y y '''=，解出(,,)y f x y y '''=，考纲要求掌握下列三种类型可降阶方程的解法：1. ()y f x ''=、()()n y f x =型的微分方程 特点：右端仅含x . 解法：积分两次.2. (,)y f x y '''=型的微分方程 特点：右端不显含未知函数y .解法：换元，化为一阶方程求解. 步骤如下： ⑴令y p '=，则dpy p dx'''==，方程化为(,)p f x p '=（这是关于变量x ，p 的一阶方程）；⑵解出p ；⑶再由y p '=解出y . 3.(,)y f y y '''=型的微分方程 特点：右端不显含x .解法：换元，化为一阶方程求解. 步骤如下： ⑴令y p '=，则dp dp dy dp y p dx dy dx dy ''===，方程化为(,)dpp f y p dy=（这是关于变量y ，p 的一阶方程）；⑵解出p ；⑶再由y p '=解出y . 例1. 解方程20yy y '''-=.【12C x y C e =】2.求微分方程2()y x y y ''''+=满足初始条件(1)(1)1y y '==的特解.3.求初值问题221,(1)1,(1)1yy y y y ''''=+==-的解. 解 令y p '=，则dp dp dy dpy p dx dy dx dy''===， 方程化为221dp ypp dy =+，分离变量，得221pdp dy p y=+，两边积分，得 21ln(1)ln ln p y C +=+，即211p C y +=.将初始条件1,1,1x y y p '====-代入，得12C =，故212p y +=，解得p =p =.再解y '=dx =-，两边积分，得2x C =-+，将初始条件1,1x y ==代入，得22C =，2x =-，即21(45)2y x x =-+.注意 二阶可降阶方程求特解过程中，任意常数出现一个，确定一个，有利于下一步求解.问题4 叙述二阶线性微分方程解的性质、解的结构. 答 二阶线性微分方程的一般形式：()()()y P x y Q x y f x '''++= 若()0f x ≡，则称方程是齐次的，否则称方程是非齐次的. 1.线性微分方程解的性质⑴如果1y 与2y 是齐次方程()()0y P x y Q x y '''++=的两个解，则1122y C y C y =+是此齐次方程的解.⑵如果1y 与2y 是非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的两个解，则12y y -是对应齐次方程()()0y P x y Q x y '''++=的解.⑶（解的叠加原理）设*k y 是线性方程()()()k y P x y Q x y f x '''++=的特解，则*1n k k y =∑是1()()()nk k y P x y Q x y f x ='''++=∑的特解.2线性微分方程解的结构定理1（齐次方程解的结构）如果1y 与2y 是齐次方程()()0y P x y Q x y '''++=的两个线性无关的特解，则1122y C y C y =+是此齐次方程的通解.定理2（非齐次方程解的结构）设*y 是非齐次方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解，1122y C y C y =+是对应的齐次方程()()0y P x y Q x y '''++=的通解，则*1122y y C y C y =++是此非齐次方程的通解.例 设123,,y y y 是)()()(x f y x Q y x P y =+'+''的三个线性无关的解，则其通解为 .【1121231()()y C y y C y y +-+-】问题5 如何求解二阶常系数线性齐次方程0y py qy '''++=？答 先求出它的特征方程20r pr q ++=的两个根，再根据特征根的三种不同情形写出通解（见下表）.特征方程20r pr q ++=的根 方程0y py qy '''++=的通解 两个不等实根12,r r 1212e e r x r x y C C =+两个相等实根12r r = 112()e r x y C C x =+两个共轭复根1,2r i αβ=± 12e [cos sin ]x y C x C x αββ=+ 问题6 如何求二阶常系数线性非齐次方程()y py qy f x '''++=的特解？答 考纲要求会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程，由非齐次方程解的结构，只要求出它的一个特解和对应的齐次方程的通解，而齐次方程的通解已经解决，关键是求它的一个特解.1.若()()e x m f x P x λ=，则令*()e k x m y x Q x λ=，其中0,12k λλλ⎧⎪=⎨⎪⎩不是特征根；，是单特征根；，是二重特征根.2.若()e [()cos ()sin ]x m l f x P x x P x x λωω=+，则令**e [()cos ()sin ]k x n n y x Q x x Q x x λωω=+，其中{}max ,n m l =，0,1i k i λωλω+⎧=⎨+⎩不是特征根；，是单特征根.将它们代入非齐次方程，求出多项式中的待定系数，从而求出特解. 例1.求022=-'-''x e y y 满足1)0(,1)0(='=y y 的解.【x e x y 2)21(4143++=】 2.求x x y y cos +=+''的通解.【x x x x C x C y sin 21sin cos 21+++=】3.x x y y sin 12++=+''的特解形式可设为 . 问题7 如何求解欧拉方程2()x y pxy qy f x '''++=？ 答 令t x e =，则dy xy Dy dt'==， 222(1)d y dyx y D D y dt dt''=-=-，欧拉方程化为二阶常系数线性方程.例 欧拉方程)0(0242>=+'+''x y y x y x 的通解为 .【221x C x C y +=】 问题8 如何求解含变限积分的方程（积分方程）？答 积分方程通过求导可化为微分方程，这种方程通常含有初始条件（令积分上限等于积分下限）.例1.设⎰--=xdt t f t x x x f 0)()(sin )(，)(x f 为连续函数，求)(x f . 解 00()sin ()()xxf x x x f t dt tf t dt =-+⎰⎰，⑴ 两边对求导，得()cos ()()()cos ()xxf x x f t dt xf x xf x x f t dt '=--+=-⎰⎰，⑵两边再对求导，得()sin ()f x x f x ''=--，故)(x f 满足微分方程sin y y x ''+=-，由⑴，⑵得初始条件(0)0,(0)1f f '==.2.函数)(x f 在[0,)+∞上可导，(0)1f =，且满足等式01()()()01xf x f x f t dt x '+-=+⎰， 求()f x '.【e ()1xf x x -'=-+】解 由01()()()01xf x f x f t dt x '+-=+⎰，得 ()1f x '=-，(1)()(1)()()0xx f x x f x f t dt '+++-=⎰，()(1)()()(1)()()0f x x f x f x x f x f x ''''+++++-=， (1)()(2)()0x f x x f x '''+++=，令()f x p '=，(1)(2)0dpx x p dx+++=，21dp x dx p x +=-+， ln ln(1)ln p x x C =--++，即e ()1xC p f x x -'==+， 又()1f x '=-，得1C =-，故e ()1xf x x -'=-+.问题9 如何用微分方程求解应用问题？ 答 关键是建立微分方程（包括初始条件）. 例题3 应用题1.设)(x f y =是第一象限连接)0,1(),1,0(B A 的一段连续曲线，),(y x M 为该曲线上任意一点，点C 为M 在x 轴上的投影，O 为坐标原点，若梯形OCMA 的面积与曲边三角形CBM 的面积之和为3163+x ，求)(x f 的表达式.【2)1()(-=x x f 】2.设位于第一象限的曲线()y f x =过点1)22，其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分.⑴求曲线()y f x =的方程；（2221x y +=）⑵已知曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为l ，试用l 表示()y f x =的弧长s .【4l 】 解 ⑴曲线()y f x =在点(,)P x y 处的法线方程为1()Y y X x y -=--'， 令0X = ，得x Y y y =+'，故点Q 的坐标为(0,)x y y +'. 由题设知，0xy y y ++='，即20xdx ydy +=，解得222x y C +=，将1)22代入上式，得1C =，故曲线()y f x =的方程为2221x y +=. ⑵曲线sin y x =在[0,]π上的弧长2022l πππ-===⎰⎰⎰，()y f x =的参数方程为cos ,,2x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩弧长s θ==⎰.4===⎰. 3.设)(x f 在[1,)+∞上连续，若由曲线()y f x =，直线1,(1)x x t t ==>与x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体体积为2()[()(1)]3V t t f t f π=-，求()y f x =所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件229x y ==的解.【2232x y y xy '=-；3(1)1xy x x=≥+】 4.现有一质量为9000kg 的飞机，着陆的水平速度为700km/h 经测试，飞机所受的总阻力与飞机的速度成正比（比例系数为6100.6⨯=k ），问从着陆点算起，飞机滑行的最长距离是多少？【1.05km 】解 【利用22dv d sF ma m m dt dt===建立方程，关键是受力分析】质量9000kg m =，水平速度()v v t =，(0)700km/h v =，飞机所受的总阻力f kv =-，依题意dv kv mdt -=，dv k dt v m =-，两边积分，得ln ln kv t C m=-+，即ekt mv C -=，将(0)700v =代入上式，得700C =，故700ekt mv -=，飞机滑行的最长距离000700()700e e 1.05k k t t mmms v t dt dt k+∞--+∞+∞===-=⎰⎰（km ）问题10（数学三） 何谓差分、差分方程、差分方程的阶？如何求解一阶常系数线性差分方程？答 函数()t y f t =的差分1t t t y y y +∆=-.二阶差分2121()2t t t t t t t y y y y y y y +++∆=∆∆=∆-∆=-+. 差分方程：含有差分的等式. 差分方程的阶：下标差的最大值.第 58 页 求解一阶常系数线性差分方程1()t t y py f t +-=的步骤是：⑴先求对应齐次方程10t t y py +-=通解：求出特征方程0r p -=的根r p =，10t t y py +-=通解为t t y Cp =，⑵再求非齐次方程1()t t t m y py P t b +-=的特解*()k t t m y t Q t b =，0,1,b p k b p ≠⎧=⎨=⎩⑶非齐次方程1()t t t m y py P t b +-=通解为*t t t y Cp y =+，例1.设,2t y t =则差分=∆t y .【21t +】2.设t t a y =则差分=∆t y .【(1)t a a -】3.差分方程t t t t y y 21=-+的通解为 .【(2)2t t y C t =+-】4.差分方程1t t y y t +-=的通解为 .【(2)2t t y C t =+-】5.差分方程051021=-++t y y t t 的通解为 .【51(5)()126t t y C t =-+-】 6.某公司每年的工资总额在比上一年增加20％的基础上再追加2百万元，若以t W 表示第t 年的工资总额，则t W 满足的差分方程是 .【1 1.22t t W W +=+】希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、理想的路总是为有信心的人预备着。
第七章 微分方程总结
第七章 微分方程 总结一、基本概念1．微分方程的定义： ．2．微分方程的阶的定义： ．3．微分方程的解的定义： ．4．微分方程的通解的定义： ．5．微分方程的初始条件： ． 一阶微分方程的初始条件形式为 ； 二阶微分方程的初始条件形式为 ．6．微分方程的特解： ．7．积分曲线： ．8．积分曲线族： ．9．两个函数)(1x y 与)(2x y 线性相关的定义： ． 两个函数)(1x y 与)(2x y 线性无关的定义： ．二、性质与结论1．二阶齐次线性微分方程的通解结构： ．2．二阶非齐次线性微分方程的通解结构： ．3．二阶非齐次线性微分方程特解的叠加性： ．三、类型与解法1．一阶微分方程的计算（1）可分离变量的微分方程的形式： ，求解方法： ．（2）齐次型微分方程的形式： ， 求解方法： ．（3）一阶线性微分方程的形式： ， 当 时，上式称为一阶线性齐次微分方程，否则称为一阶线性非齐次微分方程， 求解方法：（1）先求一阶线性齐次微分方程的通解为 ；（2）再使用常数变易法求就可求得一阶线性非齐次微分方程通解，其通解公式为： ．2．可降阶的高阶微分方程的计算（1）()()n y f x =型微分方程的解法是 ．（2）(,)y f x y '''=型微分方程的解法是 ．（3）),(y y f y '=''型微分方程的解法 ．3．二阶线性微分方程的计算（1）二阶常系数齐次线性微分方程的形式： ． 其通解： （1） ；（2） ；（3） ．（2）二阶常系数非齐次线性微分方程的形式： ． 当()e ()x m f x P x λ=时，其特解可设*y = ．①若λ不是02=++q pr r 的根，则k = ； ②若λ是02=++q pr r 的一个单根，则k = ； ③若λ是r pr q 20++=的二重根，则k = ． 当()e x f x λ=[)()1(x P l x ωcos +]sin )()2(x x P n ω时，其特解可设*y = ．①当ωλi +不是特征根时，k = ； ②当ωλi +是特征根时，k = ． 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为： ．。
常微分方程讲义word版
常微分方程讲义（三）常微分方程的初等积分解法：1、可分离变量方程⎰⎰=⇒=dx x g dy y h y h x g dx dy )()(1)()( 2、齐次方程（一般含有xyy x 或的项） ),(y x f dxdy=，令ux y =，可消去右边的x 则)(),(u f ux x f u dxdux ==+例：xyxtg y xy =-'例：344322xy x y y x dx dy --=例：222y x xy dx dy +=例：1)0(,3222=-=y y x xy dx dy 例：22y x y dxdyx-+=3、一阶线性非齐次方程⇒+=)()(x b y x a dxdy常数变易法或])([)()(⎰+⎰⎰=-C dx e x b e y dxx a dxx a例：e y e y dxdyxx ==-+)1(,0 例：1)1()1(++=-+n x x e ny dx dyx例：211'x xyy --=例：21222sin 22sin 1x e y x dxdy y x ++=+4、贝努利方程n y x b y x a dxdy)()(+= 令n y z -=1，则dxdy y n dx dz n --=)1(，代入得：)()1()()1()()(1x b n z x a n dxdz x b y x a dx dy y n n +++=⇒+=-- 可将伯努力方程化成一阶线性非齐次例：)1(22y x xy dxdy+= 例：xyy x dx dy -=sin 12例：0)]ln 1([3=++-dx x xy y xdy 例：0)sin (cos 4=+-dx y x y xdy 例：211y y x dx dy -+-= 当)(x b 为常数时，可直接运用常数变易法，该贝努利方程已变为一种一阶线性非齐次的特例 5、全微分方程0),(),(=+dy y x N dx y x M第一种情况：若xNy M ∂∂=∂∂则⎰⎰+=yy xx d x N d y M y x u 0),(),(),(0ηηξξ或⎰⎰+=yy xxd x N d y M y x u 0),(),(),(0ηηξξ方程解为C y x u =),(，其中),(00y x 在定义域内任取 例：0=+xdy ydx 、0=±ydy xdx 例：022=+-yx ydx xdy例：0)1()1(=-++dy yx e dx e yx y x例：0112222=+-+-xdx dy y x xdx y x y 例：dx y x dy y x dx y x )()()(22+=++- 例：0)()(5445=-+-dy y x x dx y x y 例：0)22()522(32=++++dy x x dx y y x 第二种情况：若xNy M ∂∂≠∂∂则找积分因子1、只存在与x 有关的积分因子的充要条件是)()(1x xNy M N φ=∂∂-∂∂，积分因子⎰=dxx e x )()(φμ2、只存在与y 有关的积分因子的充要条件是)()(1y yMx N M ψ=∂∂-∂∂，积分因子⎰=dyy e y )()(ψμ例：0)12(4322=-+dy y x dx y x 例：0)(344=-+dy xy dx y x 例：0)52()34(324=+++dy xy x dx y xy ＊ 微分方程解法的不确定性与灵活性：xydx dy = ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧方程“凑”的思路：全微分贝努力方程一阶线性非齐次方程齐次方程可分离变量方程“分”的思路：6、可降阶的二阶微分方程第一类：)(22x f dxyd =例：1)0(',1)0(,1'')1(2-===+y y y x第二类：),(22dx dy x f dxy d =，令dx dpdx y d p dx dy ==22,则例：xy y xy 'ln '''=例：01)'('')1(22=+++y y x 例：x e y y =-'''第三类：),(22dx dyy f dxy d =，令dy dp p dx y d p dx dy ==22,则例：1)0(',0)0(,0''2===-y y e y y 例：2)0(',0)0(,0'''===-y y e y y y例：求方程0''2)'(2=+yy y 的在点)1,1(与直线x y =相切的积分曲线 可降阶微分方程解法的灵活性：例：0)'('''3=++y y y ，令dy dpp dxy d p dx dy ==22,则例：0)'(1''2=-+y y ，令dx dydxy d p dx dy ==22,则微分方程的近似解：Picca 序列给定微分方程⎪⎩⎪⎨⎧===00|),(y y y x f dx dyx x ，则有 在),(00y x 处的第1次近似：⎰+=xx dx y x f y y 0),(001在),(00y x 处的第2次近似：⎰+=xx dx y x f y y 0),(102…………在),(00y x 处的第n 次近似：⎰-+=xx n n dx y x f y y 0),(10例：求微分方程⎪⎩⎪⎨⎧==1)1(y x ydx dy ，当2=x 时，y=？精确方法Picca 近似：精度与误差例：求微分方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==2)1()ln(sin πy y dxdy的Picca 逼近数列微分方程的初值问题解的存在唯一性：⎪⎩⎪⎨⎧==00),(y y y x f dx dyx定理1：设函数),(y x f 在矩形区域},:),{(:00b y y a x x y x R ≤-≤-上连续；且对R 上任意两点),(),,(21y x y x ，满足Lipschitz 条件：2121),(),(y y L y x f y x f -≤-。
微分方程期末总结
微分方程期末总结第一章微分方程的基本概念与理论基础微分方程作为数学的一个分支，在不同领域应用广泛。
它是描述自然界或社会现象中变量之间关系的数学工具。
微分方程的研究过程需要涉及到微积分、代数、几何等数学知识，并且需要运用数学分析、几何分析等方法。
1.1 微分方程的定义与分类微分方程是描述函数未知函数及其各导数之间关系的方程。
常见的微分方程类型包括常微分方程、偏微分方程和积分方程。
常微分方程是自变量只有一个的微分方程，通过对未知函数及其导数的各阶求导得到。
偏微分方程是自变量有多个的微分方程，对未知函数及其各偏导数求导得到。
积分方程是通过对微分方程整体进行积分得到。
1.2 微分方程的解与解的存在唯一性微分方程的解是满足方程的函数，可以包含一个或多个参数。
微分方程的解可以是显式解或隐式解。
解的存在唯一性是指在一定条件下，对于给定的初值问题，当解存在时，解是唯一的。
1.3 微分方程的初值问题与边值问题初值问题是指给定了微分方程在某点的解值和导数值，要求求解整个方程解的问题。
边值问题是指在某一区间的两个端点处给定了微分方程的解值，要求求解在整个区间上的解的问题。
第二章一阶微分方程的解法一阶微分方程是指包含未知函数的一阶导数的方程，可以通过变量分离、齐次方程、线性方程等方法求解。
2.1 可分离变量方程可分离变量方程是指可以使方程的两边关于未知函数和自变量分离的方程。
通过对方程两边分离变量，再分别积分可以得到方程的解。
2.2 齐次方程齐次方程是指当方程右侧为零时，可以通过替换未知函数的形式，将方程转化为可分离变量方程。
通过变量替换和分离变量的方法可以求得齐次方程的解。
2.3 线性方程线性方程是指当方程右侧为一次函数时，可以通过积分因子法将方程转化为可分离变量方程。
通过确定积分因子和乘法积分可以求得线性方程的解。
2.4 恰当微分方程恰当微分方程是指可以通过判断方程的某种性质，从而直接找到方程的解。
判断恰当微分方程的方法包括齐次性条件和恰当条件。
数学分析知识点总结（微分方程）
2.7．微分方程初步2.7.1 概说涉及到量的变化率满足的制约关系，通常是含有导数的方程——微分方程。
涉及到量的变化率满足的制约关系，通常是含有导数的方程——微分方程。
简单例子：（1）放射性物质，在每一时刻t ，衰变的速率d m d t-（由于是减少，因此0d m d t<，速率为标量，是正值）正比于该放射性物质尚存的质量，因此质量应满足一下微分方程。
标量，是正值）正比于该放射性物质尚存的质量，因此质量应满足一下微分方程。
d m km d t-=（2）质量为m 的物体自由落体，取坐标轴沿竖直方向指向地心，下落距离()y y t =应该满足牛顿第二定律F m a =，即，即22d y m g mdt=（3）质量为m 的跳伞员下落，所受空气阻力正比下降的速度，取坐标轴沿竖直方向指向地心，则t 时刻下降距离()y y t =满足满足22dyd y m g kmdtdt-=（1）如下图所示，钢球在以水平光滑杆上，受到弹力而来回整栋，原点位置为O，钢球在t 时刻的坐标()x x t =满足微分方程满足微分方程()22d x kx mdt-=如果钢球还受到一个与速度成正比，方向与速度相反的阻尼力的作用，那么它所满足的微分方程是方程是22dxd x kx h m dtdt--=总结：最简单的一阶微分方程是最简单的一阶微分方程是()d x f t d t=其中t 是自变量，上述方程的一般解应该是是自变量，上述方程的一般解应该是()x f t dt C =+ò最简单的n 阶方程阶方程()nnd xf t dt=它等价于说11n nn d x dt--是()f t 的原函数，即的原函数，即11()n n ndxf t dt C dt --=+ò则再次积分，一直积分下去得到则再次积分，一直积分下去得到111()(1)!n nn n t x f t dt dt C C t C n --=++++-òò2.7.2 一阶线性微分方程考察下面的方程考察下面的方程()()d x a t x b t d t+=方程中有未知函数的一阶导数，且其一阶导数的系数为常数，其余部分未知函数最高层次数为一次，称为线性，上述方程为一阶线性微分方程。
高数-微分方程总结
若是k重共轭 复根 i
17
６、二阶常系数非齐次线性微分方程解法
y py qy f ( x )
二阶常系数非齐次线性方程
2 1 1 1 x x x x x y [ ( ) x ]e e e . e 6 2 e 6 2
35
3
2
例８ 设 y p( x ) y f ( x ) 有一特解为 1 ，对应 x 的齐次方程有一特解为 x 2，试求：
（１） p( x ), f ( x ) 的表达式； （２） 此方程的通解.
x3 x x2 x 原方程的一个特解为 y* e e , 6 2 x3 x x2 x y (C1 C 2 x )e x e e . 故原方程的通解为 6 2 1 y(1) 1, (C1 C 2 )e 1, 3 3 x x y [ (C1 C 2 ) (C 2 1) x ]e , 6
32
例6
求特解 y 2 y y xe x e x , y(1) y(1) 1.
特征方程 r 2 2r 1 0, 特征根
r1 r2 1,
解
对应的齐次方程的通解为 Y (C1 C2 x )e x . 设原方程的特解为 y x (ax b)e ,
3
(3) 一阶线性微分方程
形如
dy P ( x ) y Q( x ) dx
上方程称为齐次的． 上方程称为非齐次的.
P ( x ) dx
当Q( x ) 0,
当Q( x ) 0,
解法 齐次方程的通解为 y Ce
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第十章：微分方程总结姓名：刘桥学号：40905237班级：工商49班小组：第八小组组长：刘洪材一、 微分方程的基本概念 1. 微分方程及其阶的定义微分方程：凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 分类1：常微分方程（未知函数为一元函数的微分方程）()(),dyaxy a dxdyp x y Q x dx=+=为常数 偏微分方程（未知函数为多元函数，从而出现偏导数的微分方程）()22,22242u uf x y x y u u y x ∂∂+=∂∂∂∂=∂∂微分方程的阶.：微分方程中出现的未知函数导数或微分的最高阶数. 分类2：一阶微分方程(,,)0,(,);F x y y y f x y ''==高阶(n )微分方程()(,,,,)0,n F x y y y '=()(1)(,,,,).n n y f x y y y -'=分类3：线性与非线性微分方程.()(),y P x y Q x '+=2()20;x y yy x ''-+=分类4：单个微分方程与微分方程组.32,2,dyy z dxdz y z dx⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 2. 微风方程的解微分方程的解：代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.微分方程解的分类：通解（微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.）,y y '=例;x y ce =通解0,y y ''+=12sin cos ;y c x c x =+通解特解（ 确定了通解中任意常数以后的解.）初始条件：用来确定任意常数的条件.初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.积分曲线：微分方程的任一特解的图形都是一条曲线,称为微分方程的积分曲线二、 一阶微分方程 1. 可分离变量的方程可分离变量的微分方程：形如： ()()g y dy f x dx =的一阶微分方程. 例题回味：求方程()290ydyx dy ye ++=的通解 分离变量得，219y ye dy dx x =+ 两边同时积分得， 219y ye dy dx x =-+⎰⎰于是得到通解为，()11arctan 33y xy e c -=+2. 齐次方程如果一阶微分方程可化为()dy yf dx x=形如的方程，那么久称之为齐次方程. 解法：作变量代换,yu x=,y xu =或 两边分求微分得， ,dy udx xdu =+ 代入原式得，(),du u xf u dx +=().du x f u u dx=-即 ()0,f u u -≠若则对上式分离变量得，()du dxf u u x=-.两边分别积分得，()du dxf u u x=-⎰⎰求出积分后，将yu x=代入，就求得了原微分方程的通解. 例题回味：求解微分方程(cos )cos 0.y yx y dx x dy x x-+=解，yu x=令，dy xdu udx =+则， (cos )cos ()0,x ux u dx x u udx xdu -++=cos ,dxudu x=-sin ln ,u x C =-+ 微分方程的解为sin ln .yx C x =-+3. 一阶线性微分方程形如()()dyp x y q x dx+=的方程称为一阶线性微分方程 ()0,Q x ≠当称方程式为非齐次线性微分方程 ()0,Q x =当称方程()()dyp x y q x dx+=为齐次线性微分方程 解法：1. 线性齐次方程（分离变量法） 2. 线性非齐次方程例题回味：1sin .xy y x x '+=求方程的通解解1(),P x x = sin (),xQ x x=11sin dx dx x x x y e e dx C x -⎛⎫⎰⎰=⋅+ ⎪⎝⎭⎰ ln ln sin x x x e e dx C x -⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭⎰ ()1sin xdx C x=+⎰ ()1cos .x C x=-+ 4. 伯努利方程形如()()n dyP x y Q x y dx+=（n 为常数）的方程称为伯努利方程. 三、 高阶微分方程1. n 阶线性微分方程解的结构n 阶线性微分方程的一般形式：()(1)11()()()().n n n n y a x y a x y a x y f x --'++++=()0f x ≠当时，称方程式为非齐次线性方程， ()0f x =当时，称方程式为齐次线性方程。
定义：对于定义在区间（a,b ）上的函数组()()()12,,,k y x y x y x ⋅⋅⋅，如果存在不全为0的常数12,,,k c c c ⋅⋅⋅，使得等式()()()11220k k c y x c y x c y x ++⋅⋅⋅+=在区间（a,b ）上恒成立，则称函数()()()12,,,k y x y x y x ⋅⋅⋅在区间（a,b ）上线性相关，否则，则称线性无关.定理：①.如果函数()()()12,,,n y x y x y x ⋅⋅⋅都是其次线性方程式的解，则他们的线性组合()()()()1122n n f x c y x c y x c y x =++⋅⋅⋅+也是齐次线性方程式的解，其中12,,,n c c c ⋅⋅⋅是n 个任意常数。
②. 如果()()()12,,,n y x y x y x ⋅⋅⋅是n 阶齐次线性方程式的两个线性无关的特解, 则方程式的通解为()()()()1122c n n y x c y x c y x c y x =++⋅⋅⋅+.其中12,,,n c c c ⋅⋅⋅是n 个任意常数，而且方程式的任意解都可以表示成这个形式。
③. 设()y x 是n 阶非齐次线性方程()(1)11()()()().n n n n y a x y a x y a x y f x --'++++=的一个特解, ()c y x 是对应的齐次方程式()()()11220k k c y x c y x c y x ++⋅⋅⋅+=的通解, 则非齐次线性微分方程的通解为()()()c y x y x y x =+. ④. 设非齐次方程(2)的右端 是几个函数之和, 如12()()()()y P x y Q x y f x f x '''++=+而*1y 与*2y 分别是方程，1()()()y P x y Q x y f x '''++=，2()()()y P x y Q x y f x '''++=的特解, 那么**12y y +就是原方程的特解.2. 二阶常系数线性方程n 阶常系数线性微分方程的标准形式：()(1)11()n n n n y P yP y P y f x --'++++=二阶常系数齐次线性方程的标准形式：0y py qy '''++= 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式：()y py qy f x '''++= 特征根情况：(1)特征方程有两个不相等的实根(0)∆>特征根为1r = 2r =两个线性无关的特解11,r x y e = 22,r x y e =得齐次方程的通解为1212;r xr xy C e C e =+ (2)特征方程有两个相等的实根(0)∆=特征根为12,2pr r ==-一特解为11,r x y e = 12(),r x y u x e =设另一特解为222y y y '''将，，代入原方程并化简， 2111(2)()0,u r p u r pr q u '''+++++= 0,u ''=知 (),u x x =取 12,r x y xe =则得齐次方程的通解为112();r x y C C x e =+3)特征方程有一对共轭复根(0)∆<特征根为1,r i αβ=+ 2,r i αβ=- ()1,i x y e αβ+= ()2,i x y e αβ-=重新组合1121()2y y y =+ cos ,x e x αβ= 2121()2y y y i =- sin ,x e x αβ=得齐次方程的通解为12(cos sin ).x y e C x C x αββ=+特征方程法步骤：(1) 写出所给方程的特征方程； (2) 求出特征根；(3) 根据特征根的三种不同情况，写出对应的特解，并写出其通解.例题回味：250.y y y '''++=求方程的通解特征方程为2250,r r ++= 解得1212,r i =-±，其对应的两个线性无关的特解为y 1 = e-x cos2x ， y 2 = e-x sin2x故所求通解为12(cos 2sin 2).xy e C x C x -=+四、 微分方程在经济中的应用（略）（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
请预览后才下载，期待您的好评与关注！）。