第六章 空间解析几何 第二节 空间曲面及其方程
解析几何中的空间曲面方程
解析几何中的空间曲面方程是曲面研究的一个重要内容。
曲面是空间中的一类特殊图形，它与平面、直线等几何图形一样，具有自己的数学特性和研究方法。
在这篇文章中，我们将介绍如何求解空间曲面方程以及曲面在三维空间中的表示和性质。
一、空间曲面的表示空间曲面可以通过方程或者参数式的形式表示，这两种方法都能够真实地反映曲面在三维空间中的性质。
1、方程式表示空间曲面可以用一般式或标准式来表示。
一般式为：F(x,y,z)=0其中，F(x,y,z)是关于x、y、z的一个函数，它表示在三维空间中任意一点(x,y,z)所对应的函数值为0，即(x,y,z)满足上述方程式。
例如，一个球体的方程式可以表示为：(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2其中，(a,b,c)是球心坐标，r是球的半径。
曲面的标准式为：(x/a)^2 + (y/b)^2 + (z/c)^2 = 1其中，a、b和c分别是x、y和z方向上的缩放因子，它们的取值范围都是正实数。
例如，一个椭球体的标准式可以表示为：(x/2)^2 + (y/3)^2 + (z/4)^2 = 1其中，椭球体的长半轴、短半轴和半径分别为4、3和2。
2、参数式表示空间曲面可以用参数式来表示，参数式表示的曲面是通过参数方程来描述的，其中参数是一个变量，通常用t来表示。
通常参数式表示的曲面可以用向量形式表示，具体如下：r(t) = (x(t), y(t), z(t))其中x(t)、y(t)、z(t)是三个关于t的函数，它们表示曲线上每一个点的坐标。
例如，一个圆锥的参数式可以表示为：r(t) = (tcosθ, tsinθ, t)其中，θ是圆锥的半顶角，t是从圆锥顶点到底面上一点的距离。
二、空间曲面方程的求解知道了如何表示空间曲面，接下来我们将介绍如何求解空间曲面的方程。
1、圆锥曲面的方程圆锥曲面是由一个位于顶点上的圆，沿一定直线反复旋转而成的曲面。
我们可以通过对圆锥的切割来获取圆锥曲面的方程。
空间解析几何的曲线与曲面的方程表示
空间解析几何的曲线与曲面的方程表示在空间解析几何中，曲线与曲面的方程表示是非常重要的概念。
通过方程，我们可以描述和研究曲线和曲面的特性、性质以及它们与其他几何对象之间的关系。
本文将介绍空间解析几何中曲线与曲面的方程表示方法。
一、曲线的方程表示在空间中，曲线可以通过参数方程、一般方程和轨迹方程进行表示。
1. 参数方程：曲线的参数方程表示为：x = f(t), y = g(t), z = h(t)其中，x，y和z分别是曲线上某一点的坐标，f(t)，g(t)和h(t)是参数方程。
通过改变参数t的取值范围，我们可以得到曲线上的各个点坐标。
2. 一般方程：曲线的一般方程表示为：F(x, y, z) = 0其中，F(x, y, z)是曲线上的点(x, y, z)所满足的关系式。
3. 轨迹方程：曲线的轨迹方程表示为：F(x, y, z, k) = 0其中，(x, y, z)是曲线上的点，k是参数。
二、曲面的方程表示在空间中，曲面可以通过隐式方程、一般方程和参数方程进行表示。
1. 隐式方程：曲面的隐式方程表示为：F(x, y, z) = 0其中，F(x, y, z)是曲面上的点(x, y, z)所满足的关系式。
2. 一般方程：曲面的一般方程表示为：Ax + By + Cz + D = 0其中，A，B，C和D是常数，(x, y, z)是曲面上的点。
3. 参数方程：曲面的参数方程表示为：x = f(u, v), y = g(u, v), z = h(u, v)其中，(u, v)是参数，f(u, v)，g(u, v)和h(u, v)是参数方程。
通过改变参数u和v的取值范围，我们可以得到曲面上的各个点坐标。
总结：通过以上介绍，我们了解了空间解析几何中曲线与曲面的方程表示方法。
曲线可以通过参数方程、一般方程和轨迹方程描述，而曲面可以通过隐式方程、一般方程和参数方程描述。
这些方程可以帮助我们研究曲线与曲面的性质、特性以及它们与其他几何对象之间的关系。
线性代数与解析几何—曲面及其方程
F1 F2
x, x,
y, y,
z z
0, 0,
1
旋转轴为直线 l : x x0 y y0 z z0 , 2
X
Y
Z
分析： M1 x1, y1, z1 母线 M1 S M1 纬圆
＝平 球面 面 F x, y, z 0
3 方程F (y, z) =0 表示: 母线平行于 x 轴的柱面, 准线为yoz面上的曲线C: F (y, z) = 0.
椭圆柱面
z
x2 y2 1
a2 b2
o
y
x
双曲柱面 x
x2 a2
y2 b2
1
o
z
y
抛物柱面
z
y 2 2 px
o
y x
3. 旋转面及其方程
l
C
3. 旋转面及其方程
注: 同理可得曲线在yOz面或xOz面上的投影曲线方程.
锥面的准线不
唯一，
z
和一切母线
都相交的每
准线
一条曲线都
母线
可以作为它 母线
的准线.
顶点 A
0
y
设锥面的准线为
F1 ( F2 (
x, x,
y, y,
z) z)
0 0
顶点为A(x0, y0, z0)，试建立锥面的方程.
设点M1(x1,y1,z1)为锥面准线上任一点，则锥面过
点M1的母线为： x x0 y y0 z z0
旋转曲面又可看作以轴 l 为连 心线的一族纬圆生成的曲面
l M1
当M1遍历整个母线Γ 时，得出旋转曲
面的所有纬圆，这些纬圆生成旋转曲面.
空间曲面及其方程
旋转面的方程 z
f ( y, z ) 0 曲线 C 绕 z轴 x 0
C
o
y
旋转面的方程 z
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
.
绕 z轴
C
o
y
x
旋转面的方程 z
f ( y, z ) 0 曲线 C x 0
旋转一周得旋转曲面 S
绕 z轴
顶点在原点的圆锥面称为正圆锥面。
试建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为 的圆锥面方程.
z
L
解: 在yoz面上直线L 的方程为
绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为
M (0, y, z )
y
两边平方
x
z2 a2 ( x2 y2 )
正圆锥面：
x2 y2 z2
x2 y2 z2 2 2 2 a b c
过球面一点，且与过这点的半径垂直的平面 成为切平面，该点称为切点。
例 求过点 (1,2,5) 且与3个坐标面相切的球面方 程。
解： 显然整个球面在同一卦限， 又由于(1,2,5)在第一卦限，故该球面在 第一卦限。
设球心为 ( u, v , w )，则球面到3个坐标面的距离 为 u, v , w .由条件知 uvw
2
2
y2 x2 z2 绕 y 轴的曲面方程为： 2 1 2 b c x y z 2 1 绕 z 轴的曲面方程为： 2 b c
2 2 2
3 锥面 以直线通过一定点， 一条固定曲线移动所
z
产生的曲面成为锥面。
动直线 定点 固定线 母线 顶点
x 顶点 0 y
准线
准线
准线为圆周的锥面称为圆锥面。
空间解析几何的曲线与曲面曲线方程曲面方程的性质
空间解析几何的曲线与曲面曲线方程曲面方程的性质空间解析几何是研究几何空间中曲线和曲面的性质和关系的一门学科。
在空间解析几何中，我们经常使用曲线方程和曲面方程来描述和分析几何对象。
本文将探讨曲线方程和曲面方程的性质以及它们在空间解析几何中的应用。
一、曲线方程曲线是空间中的一条连续的弯曲线段，可以用参数方程或者一般方程来表示。
在空间解析几何中，常用的曲线方程形式有点斜式和一般式。
1. 点斜式对于空间中的一条曲线，如果已知曲线上一点的坐标和曲线在该点的切线的斜率，就可以使用点斜式来表示该曲线。
点斜式的一般形式为：(x-x₁)/a = (y-y₁)/b = (z-z₁)/c其中(x₁, y₁, z₁)是曲线上的一点，a、b、c分别表示曲线在该点处的切线在x、y、z轴上的斜率。
2. 一般式一般式是指空间中曲线方程的一般形式，即使用x、y和z的关系式来表示曲线。
一般式的形式如下：F(x, y, z) = 0其中F(x, y, z)是关于x、y和z的多项式函数，代表了曲线上的点满足的条件。
曲线方程的性质在空间解析几何中具有重要的意义。
曲线的性质可以通过方程的形式和参数方程等来确定，包括曲线的形状、方向、长度等。
二、曲面方程曲面是空间中的一个二维平面，可以用一般方程或者双曲线、抛物线和椭圆等几何图形的方程来表示。
在空间解析几何中，常见的曲面方程有一般方程、一般球面方程和柱面方程以及圆锥曲线的方程。
1. 一般方程一般方程是指空间中曲面方程的一般形式，使用x、y和z的关系式来表示曲面。
一般方程的形式如下：F(x, y, z) = 0其中F(x, y, z)是关于x、y和z的函数，代表了曲面上的点满足的条件。
2. 一般球面方程和柱面方程一般球面方程和柱面方程是描述曲面的特殊形式。
一般球面方程的形式为：(x-a)² + (y-b)² + (z-c)² = R²其中(a, b, c)是球心的坐标，R是球的半径。
大学高数空间解析几何2.
曲西方程；F （xj,z ）=O空同解祈/L 何一・曲面方程的概念定义：如果曲面s 与三元方程F (x,j,z) = O 满足:(1)曲面s 上任一点的坐标都满足方程F (xj^z) =O(2)不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程.二、平面及其方程例1设有点A (1,2,3)与B (2,-1,4),求与线段AB垂直平分的平面方程・所求平面就是与A和B等距离的动点的轨迹设平面上任一点为A/(x,j,z)AM\ = \MnI (X・ 1)2 + (y ・ 2)2 + (z - 3)2 = V(x-2y+6 + iy +(z-4)2化简得2x-6j + 2z-7 = 0 —所求平面方程Ax + By+ Cz + D = O平面的一般方程■特殊半廁XOYlfri z = 0YOZ 而x =()zox 而y=o适合下列条件的平面方程Ax + B\+Cz^D = 0仃什么特征？I.过原点0 = 02•平行于他标轴 3 •包含坐标轴平行于X4 = 0包含X4 = 0Q = 0v/? = o>^B = 0 D = 02C = 0zC = 0Q = ()4•平行于坐标平面平行于XOY面4=0 B=Q zox®4=0C=0YOZifii B = 0 C = 04例2作Z-2的图形.三、球面及其方程例3建立球心在点Mo (myo, z…)半径为R的球而的方程.设是球面上的任一点\M A M = RJ (X-Xo) 2 + Cv-几)'+ (z・zj 承(尤-X J+ (y - y 0 y+ (z - z J=j 11+ZH OXZ ——HA THP GWOZZ XHXZ(o n )吕舍sHJ+X•I \7 卜 乙——K \—/ 丟逗迂膜低丫OHd +Xz IJ+ wZ = JQ■宀b上半部例5求与原点O及M❶（2,3,4）的距离之比为1:2 点的全体所组成的曲面方程•解设M （兀jsz）是曲面上任一点根据题意有-=1恨俯惣恵月IMMJ 2J(X・2), + (y - 3)2 +(Z - 4), 2所求方程为卜+I卜0+1）并+寻」四•旋转曲面定义以一条平曲线纟翹平面上的一条直线旋黔一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴.旋转面的方程曲线C卩（”Z）=0lx = 0曲线C〔八”乙）二。
《高等数学》各章知识点总结——第6章
《高等数学》各章知识点总结——第6章第6章《向量代数与空间解析几何》是高等数学中的重点章节之一，主要讲述了向量及其运算、空间直线与平面方程、空间曲线及其切线等内容。
以下是该章节的知识点总结：一、向量及其运算1.向量的定义：具有大小和方向的量，用有向线段表示。
2.向量的运算：(1)向量的加法：满足交换律和结合律。
(2)向量的数乘：向量乘以一个实数。
(3)向量的数量积：等于两个向量的模的乘积与它们的夹角的余弦值的乘积。
(4)向量的向量积：等于两个向量模的乘积与它们夹角的正弦的乘积。
(5)向量的混合积：等于三个向量的向量积与第三个向量的数量积。
二、空间直线及其方程1.空间直线的定义：两点确定一条直线。
2.空间直线的方程：(1) 参数方程：x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct(2)对称方程：(x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c(3)一般方程：Ax+By+Cz+D=0三、空间平面及其方程1.空间平面的定义：三点共面确定一个平面。
2.空间平面的方程：(1)一般方程：Ax+By+Cz+D=0(2)点法式方程：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0(3)法线方程：(x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n四、空间曲线及其切线1.切线的定义：曲线上特定点的切线是通过该点且与曲线相切的直线。
2.参数方程表示的曲线的切线方程：(1)曲线上一点的切线方程：x=x0+h,y=y0+k,z=z0+l(2)曲线的切线方程：(x-x0)/h=(y-y0)/k=(z-z0)/l以上是《高等数学》第6章《向量代数与空间解析几何》的主要知识点总结。
通过学习这些知识点，我们可以了解并掌握向量的定义和运算、空间直线和平面的方程、曲线的切线方程等内容，为后续的学习打下坚实的基础。
[理学]§61空间解析几何简介
![[理学]§61空间解析几何简介](https://img.taocdn.com/s3/m/5b2d11e36f1aff00bed51e72.png)
积
分
教
案
第六章 多元函数微积分
中 山 大 学 南 方 学 院
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微
§6.1空间解析几何简介
积
分
教
案
一、空间直角坐标系
中
二、空间两点间的距离
山
大
学
南 方
三、曲面及其方程
学
院
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一、空间直角坐标系
微
积 分
三个坐标轴的正方向
教 案
符合右手系.
z 竖轴
即以右手握住z 轴，
中
山 大
（1）曲面S 上任一点的坐标都满足方程；
学 南
（2）不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程；
方 学
那么，方程F ( x, y, z) 0 就叫做曲面S 的方程，
院 而曲面S 就叫做方程的图形．
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微 积
例 2 建立球心在点M0 ( x0 , y0 , z0 )、半径为 R 的球面方程.
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2、平面
微
积
分 教
平面的一般方程为：
案
Ax By Cz D 0
中
山
大
学
南
其中 A，B，C，D 是不全为0的常数
方
学
院
即
A2 B2 C 2 0
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Ax By Cz D 0 ( A2 B2 C 2 0)
微 积
到点 P2(0,1,1)的距离的两倍，求点P 的坐标.
分
教 案
解 因为P 在x 轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
空间曲面及其方程
空间曲面的研究方法
解析几何方法
空间曲面的表示：参数方程、隐式方程、显式方程 空间曲面的性质：光滑性、连续性、可微性 空间曲面的变换：旋转、平移、缩放 空间曲面的分类：球面、柱面、锥面、扭面等
微积分方法
微积分的基本概念：极限、导数、积分等 空间曲面的微分几何：曲面的切平面、法线、曲率等 空间曲面的积分方程：高斯公式、斯托克斯公式等 空间曲面的微分方程：拉普拉斯方程、热传导方程等
汽车工业：空间 曲面在汽车工业 中的应用，如汽 车车身设计、汽 车内饰设计等。
船舶工业：空间 曲面在船舶工业 中的应用，如船 舶设计、船舶内 饰设计等。
物理中的应用
光学：空间曲面在光学系统中的应用，如透镜、反射镜等 力学：空间曲面在力学系统中的应用，如弹性曲面、塑性曲面等 电磁学：空间曲面在电磁学中的应用，如电磁波传播、电磁场模拟等 量子力学：空间曲面在量子力学中的应用，如量子纠缠、量子信息处理等
圆锥面：所有点与原点距离 相等，且平行于某个平面， 且与某个平面相交
双曲面：所有点与原点距离 相等，且平行于某个平面， 且与两个平面相交
抛物面：所有点与原点距离 相等，且平行于某个平面， 且与一个平面相交
旋转曲面：所有点与原点距 离相等，且平行于某个平面， 且与一个平面相交，且绕某 个轴旋转
曲面的方向
代数几何方法
空间曲面的代数表 示：通过方程来描 述空间曲面
空间曲面的代数性 质：研究空间曲面 的代数性质，如光 滑性、正则性等
空间曲面的代数变 换：通过代数变换 来研究空间曲面的 性质
空间曲面的代数分 类：根据代数性质 对空间曲面进行分 类
THNK YOU
汇报人：XX
空间曲面的应用
几何学中的应用
空间解析几何与向量代数》知识点、公式总结
空间解析几何与向量代数》知识点、公式总结空间解析几何与向量代数是数学中非常重要的分支，它们在物理、工程、计算机科学等领域得到了广泛的应用。
以下是一些知识点和公式的总结:一、向量的数量积与向量积1. 向量的数量积：两个向量 a 和 b 的数量积 (也叫数量积或点积) 定义为一个新的向量，记作 a·b，其大小为|a|·|b|，方向遵循右手法则，即对于任意的向量 c,(a·b)·c=a·(b·c)。
2. 向量积：两个向量 a 和 b 的向量积 (也叫向量积或叉积)定义为一个新的向量，记作 a×b，其大小为|a|·|b|，方向遵循右手法则，即对于任意的向量 c,(a×b)·c=a·(b×c)。
二、向量的混合积1. 向量的混合积：三个向量的混合积 (也叫叉积) 定义为一个新的向量，记作 (ab)c，其大小为|a|·|b|，方向遵循右手法则，即对于任意的向量 d,(ab)c·d=a·(b·c)d。
2. 向量共面的条件：三个向量 a、b、c 共面的条件是它们对应的三条法向量共面。
三、空间平面及其方程1. 空间平面的方程：空间中两个不共线的平面的方程分别为Px+My+Nz=C 和 Px+My+Nz=D，其中 P、M、N 为平面上的任意三个点，C 和D 为已知常数。
2. 平面的点法式方程：设 M(x0,y0,z0) 为平面上的已知点，n(A,B,C) 为法向量，M(x,y,z) 为平面上的任一点，则平面的点法式方程为 A(x-x0)B(y-y0)C(z-z0)=0。
四、空间直线及其方程1. 空间直线的方程：空间中一条直线的方程为 x+My+Nz=C，其中 P、M、N 为直线上的任意三个点，C 为已知常数。
2. 空间直线的参数方程：空间中一条直线的参数方程为x=f(t),y=g(t),z=h(t),其中 t 为参数，f、g、h 分别为直线上的点的 x、y、z 坐标。
第六章-多元函数微分学基础
z
V
O
y
V
V
V
x
图6-3 八卦限示意图
下面将平面上两点间的距离公式推广到空间（证明从略）
设M
1
(
x1
,
y1
,
z1
)和M
2
(
x2
,
y2
,
z2
)为空间两点,
则点M
1与M
间的
2
距离为
M1M 2 (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2 (6-1)
例1 在x轴上求一点P,使它到点A(3,2, 2)的距离为3.
0和G(x, y, z) 0是两个曲面方程,它们交线上的每一点的坐标
都同时满足上述两个曲面方程;反过来,曲时满足上述两个曲面
方程的点都在这条交线上.因此,联立方程组
z
F(x, y, z) 0
L
F(x, y, z) 0 G(x, y, z) 0
G(x, y, z) 0
叫做空间曲线L的一般方程
由两点距离公式知
M1M (x a1)2 ( y b1)2 (z c1)2 M 2M (x a2 )2 ( y b2 )2 (z c2 )2 又因为 M1M M 2M ,故知
(x a1)2 ( y b1)2 (z c1)2 (x a2 )2 ( y b2 )2 (z c2 )2
称上式为平面的一般方程,式中,A, B,C, D分别为变量x, y, z的系数; D为常数 Nhomakorabea.z
p3 c
例2 求过点P1(a, 0, 0), P2 (0,b, 0),
P3 (0, 0, c)的平面方程(其中a,b, c 0)
(见图6 5)
p1 a
曲面曲线方程
例5. 将下列曲线化为参数方程表示:
解: (1)
根据第一方程引入参数 ,
(2) 将第二方程变形为
故所求为
得所求为
七、空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线 C 的一般方程为
消去 z 得投影柱面
则C 在xoy 面上的投影曲线 C´为
消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程
消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程
半径为 3 的圆
以 z 轴为中心轴的圆柱面
平行于 z 轴的平面
思考与练习
1. 指出下列方程的图形:
(2)
(1)
2.画出图形
(3)
(4)
思考:
交线情况如何?
交线情况如何?
(5)
3.画出下列各曲面影曲线方程为
又如,
所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:
上半球面
和锥面
在 xoy 面上的投影曲线
二者交线
所围圆域:
二者交线在
xoy 面上的投影曲线所围之域 .
斜率为1的直线
平面解析几何中
空间解析几何中
方 程
平行于 y 轴的直线
平行于 yoz 面的平面
圆心在(0,0)
下面仅
就几种常见标准型的特点进行介绍 .
研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法
其基本类型有:
椭球面、抛物面、双曲面、锥面
的图形通常为二次曲面.
(二次项系数不全为 0 )
1. 椭球面
(1)范围：
(2)与坐标面的交线：椭圆
与
的交线为椭圆：
(4) 当 a＝b 时为旋转椭球面;
同样
的截痕
及
也为椭圆.
曲面曲线方程
z
在 xoy 面上的投影曲线 所围圆域: x y 1, z 0 .
2 2
C
x
o
1
y
思考与练习
1. 指出下列方程的图形:
方 程
x5
x y 9
y x 1
2 2
平面解析几何中
空间解析几何中
平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0) 半径为 3 的圆 斜率为1的直线 以 z 轴为中心轴的 圆柱面 平行于 z 轴的平面
2.画出图形
x 1 (1) y2
z 4 x y (2) yx0
z
2
2
z
2 y
1
o o
o x
2y
x
(3)
x z a
2
2
2
x2 y2 a2
z
a
o
a
y
x
y 5x 1 (4) y x3
z
y 5x 1 y x3
o
y
z
x2 y2 1 (5) 4 9 y3
及 x 1.
z
(1,1)
x
y2 x
o 1
(1,1)
y
x2 y2 z
x 1 z0
(1)范围：
2
2
2
x a,
y b,
z c
y2 z2 1 , b2 c2 x0 x2 z 2 1 a 2 c 2 y0
(2)与坐标面的交线：椭圆
x2 y2 1, 2 2 a b z0
x y z 2 2 1 ( a, b, c 为正数) 2 a b c
空间解析几何的曲线与曲面的方程表示实例分析
空间解析几何的曲线与曲面的方程表示实例分析空间解析几何是研究空间中点、直线、平面、曲线和曲面等几何对象及其性质和关系的数学分支。
在空间解析几何中，曲线和曲面的方程表示是研究的重点之一。
本文将通过几个实例来分析空间解析几何中曲线和曲面的方程表示方法。
一、曲线的方程表示实例分析1. 直线的方程表示直线是最基本的曲线之一，在空间解析几何中，直线通常由一个点和一个方向向量来确定。
假设直线上有一点P(x, y, z)，方向向量为a （a1, a2, a3）。
那么直线上任意一点Q(x, y, z)都满足如下关系：\( \frac{{x - x_0}}{a_1} = \frac{{y - y_0}}{a_2} = \frac{{z -z_0}}{a_3} \)其中，(x0, y0, z0)是直线上已知的点P的坐标。
2. 圆的方程表示圆是一种闭合的曲线，它在平面上由一定半径r和圆心坐标(x0, y0, z0)来确定。
假设圆上有一点M(x, y, z)，那么点M到圆心的距离为r，可以得到如下方程表示：\( (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2 \)3. 椭圆的方程表示椭圆是平面上的一种闭合曲线，它在坐标系中的方程一般形式为：\( \frac{{(x - x_0)^2}}{{a^2}} + \frac{{(y - y_0)^2}}{{b^2}} +\frac{{(z - z_0)^2}}{{c^2}} = 1 \)其中，(x0, y0, z0)为椭圆的中心点坐标，a、b、c分别为在x轴、y 轴、z轴上的半长轴长度。
二、曲面的方程表示实例分析1. 球的方程表示球是一种由三维空间中所有距离某一点（球心）固定距离的点所组成的曲面。
球的方程表示一般形式为：\( (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2 \)其中，(x0, y0, z0)为球心坐标，r为球的半径。
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2014-3-7
O
y
x
z
l3
准线 xOz 面上的曲线 l3
O
x
y6
以下是几个母线平行于 z 轴的柱面方程
表示抛物柱面
曲线C上的动点坐标x, y, z分别表示为参数t的函数 :
x x(t ); y y (t ); z z (t )
可以得到当给点一个t值，则就给定了曲线上的一 点。当t在某一范围内连续不断地变动时 ，动点就 描绘出了空间曲线。 2014-3-7 9
内容小结
一、空间曲面及其方程
二、空间曲线及其方程
z
S1
l
y
显然我们可以得到：
曲线l的方程为：
F ( x, y , z ) 0 G ( x, y, z ) 0
2014-3-7
x
O
S2
8
思考： 空间曲线的表示法是否唯一？ 2、参数方程 在平面解析几何中，将曲线用参数方程表示有 时候更为方便，同时，空间曲线作为空间一点的 运动轨迹，也可以用参数方程来表示。
2014-3-7 3
(2) 球面方程 动点到定点 解： 设轨迹上动点为
距离为 R 的轨迹的方程。
依题意
即
( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 R
z
故所求方程为 ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 R 2 特别,当 M 0 在原点时,球面方程为
y
的坐标都满足方程 x周 C 平行于z 轴的一切直线所形成的曲面称为
圆柱面。其上所有点的坐标都满足此方程, 故在空间 z 2 2 2 x y R 表示圆柱面。 (1) 方程 F ( x, y ) 0 表示 柱面， O y 母线平行于 z轴； x l1 z l 2 准线 xOy 面上的曲线 l1
M0
x y z R
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2
2
2
2
M
x
表示上(下)球面。
O
y
4
(3) 母线与坐标轴平行的柱面方程
定义
平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成
C 叫做准线, l 叫做母线。 的轨迹叫做柱面。 z
引例. 分析方程 表示怎样
M
的曲面。
O C 解:在 xOy 面上， 表示圆 C , M1 x 在圆 C 上任取一点 M 1 ( x, y,0) , l z , 点 M ( x , y , z ) 对任意 平行 z 轴的直线 l ，
此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程) 说明: 某些分母为零时, 其分子也理解为零. z 例如, 当 m n 0, p 0 时, 直线方程为 x x0 O x 2014-3-7 x 0 y y0
y0
11
y
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计算机教研室 付志青
12
x2 a
2
y2 b
2
1表示椭圆柱面
x2 y2 2 1 表示双曲柱面 2 a b
2014-3-7 7
二、空间曲线及其方程
1、空间曲线的一般方程 空间曲线 l可以看成是两个曲面S1, S2的交线。
设曲面S1的方程为F ( x, y, z ) 0; 曲面S2的方程为G ( x, y, z ) 0。
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10
备
注：
对称式方程 已知直线上一点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 和它的方向向量 设直线上的动点为 M ( x, y, z ) s 则
故有
x x0 y y 0 z z 0 m p n
M ( x, y , z )
M 0 ( x0 , y 0 , z 0 )
第六章
空间解析几何
第二节 空间曲面与曲线 一、空间曲面及其方程
二、空间曲线及其方程
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1
一、空间曲面及其方程
1、空间曲面的定义：
如果空间一曲面 S 与三元方程 F ( x, y, z ) 0 满足条件：
(1) 曲面 S 上任一点的坐标都满足方程 F ( x, y, z ) 0
(2) 不在曲面 S 上的点的坐标都不满足方程 F ( x, y, z ) 0 则称方程 F ( x, y, z ) 0 为曲面 S 的方程 曲面 S 为方程 F ( x, y, z ) 0的图形
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z
S
x
O
y 2
2、 常见的曲面方程 (1) 坐标面及平行于坐标面的平面 由于 xOy 面上任意一点的竖坐标都等于0
故满足方程： z 0 同时， 不在 xOy 面上的点其竖坐标都不等于0 也即是不满足方程： z 0
因此 z 0 是 xOy 面的方程 同理：yOz面的方程为x 0，xOz面的方程为y 0。