二维形式的柯西不等式
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此外，柯西对力学和天文学也有许多贡献。著作甚 丰，共出版了七部著作和 800多篇论文， 1882年开始出 版他的全集，至 1970年已达27卷之多。
有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值，
人们称它们为经典不等式 .
如均值不等式 :
a1 ? a2 ? n
? an ≥ n a1a2
an (ai ? R? , i ? 1, 2,
例 2:设 a , b ? R? , a ? b ? 1, 求证: 1 ? 1 ≥ 4 . ab
证明:由于 a , b ? R? ,根据柯西不等式 ,得
(a
?
1 b)(
?
1)≥(
a?
1
?
b ? 1 )2 ? 4
ab
a
b
又a ? b ? 1,
∴ 1 ? 1≥4 ab
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到 位，简洁明了！
3
变例式31: 求函数y ? x ? 1 ? 10 ? x的最大值.
（发现）定理 3(二维形式的三角不等式 ) 设 x1 , y1 , x 2 , y2 ? R , 那么
(x12 ? y12) ? (x22 ? y22)≥ (x1 ? x2)2 ? (y1 ? y2)2 . 当 且 仅 当 x1 y2 ? x2 y1 时,等号成立 .
你能写出这个定理的证明？
定理 3 (二维形式的三角不等 ) 设x1 , y1 , x2 , y 2 ? R
那么
x12 ? y12 ?
x
2 2
?
y22
?
( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2
证明 : ( x12 ? y12 ? x22 ? y22 )2
? x12 ? y12 ? 2 x12 ? y12 x22 ? y22 ? x22 ? y22
? x12 ? y12 ? 2 x1 x2 ? y1 y2 ? x22 ? y22
பைடு நூலகம்
? x12 ? y12 ? 2( x1 x2 ? y1 y2 ) ? x22 ? y22
? x12 ? 2 x1 x2 ? x22 ? y12 ? 2 y1 y2 ? y22
? (x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2
?
x12 ? y12 ?
x
2 2
?
y22
?
( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2
二维形式的柯西不等式
大数学家柯西（Cauchy)
法国数学家、力学家。 1789年8月 21日生于巴黎， 1857 年5月23日卒于 索镇。曾为巴黎综合工科学校教授， 当选为法国科学院院士。曾任国王查 理十世的家庭教师。
柯西在大学期间，就开始研读拉格朗日和拉普拉斯 的著作。柯西最重要的数学贡献在微积分、复变函数和 微分方程等方面。
2? 1?1
ab ? a ? b ? 2
a2 ? b2 2
ab
,n).
调 和 平 均 数
几
算
何
术
平
平
均
均
数
数
平 方 平 均 数
我们来学习数学上两个有名的经典不等式 :柯西
不等式与排序不等式 ,知道它的意义、背景、证明 方法及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养 .
思考:阅读课本第31页探究内容
由 a 2 ? b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的大小关系 ,类比考虑与下面式子有关的有什 么不等关系 :
??? ? ??
当且仅当 ? 是零向量,或存在实数k , 使 ? ? k? 时,等号成立.
观y 察
0
P1(x1,y1)
y P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
x
0
x P2(x2,y2)
根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系:
x12 ? y12 ? x22 ? y22 ? (x1 ? x2)2 ? (y1 ? y2)2
上面两个不等式等号何时取到
探究：柯西不等式的几 何意义是什么
? 如图，设在平面直角坐标系xOy中有向量 ? ?a,b?,
? ? ? ? ? ?c, d ?, 与 之间的夹角为 .
y
?
?
??
?
O
x
(a 2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2
定理2: （柯西不等式的向量形式） 设 ? ,? 是两个向量,则
二维形式的三角不等式
x
2 1
?
y12
?
x
2 2
?
y22
?
( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2
三维形式的三角不等式
x12 ? y12 ? z12 ?
x
2 2
?
y22
?
z22
? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 )2 ? ( z1 ? z2 )2
一般形式的三角不等式
x 12
?
x
2 2
??
?
x
2 n
?
y12 ? y22 ? ? ? yn2
? ( x1 ? y1 )2 ? ( x2 ? y2 )2 ? ? ( xn ? yn )2
二、二维柯西不等式应用
例1 已知a ,b为实数, 证明(a 4 ? b4 )(a 2 ? b2 ) ? (a 3 ? b3 )2
变式1: a,b ? R? ,证明 (a ? b)(a 2 ? b2) ? a a ? b b 变式2: a,b ? R? ,证明 (a ? b)(a 2 ? b2) ? b a ? a b
变例式3 1 :求函数y ? 5 x ? 1 ? 10 ? 2x的最大值
解：函数的定义域为【1，5】，且y>0
y ? 5? x?1? 2? 5? x
? 52 ? ( 2)2 ? ( x ? 1)2 ? ( 5 ? x)2
? 27 ? 4 ? 6
时，等号成立，即 x ?
3127
27
时，函数取最大值为 6
设 a, b, c, d为任意实数.
(a 2 ? b2 )(c2 ? d 2 )
联想
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d 都是实数 ,则 (a 2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd) 2
当且仅当ad=bc 时,等号成立.
你能证 明吗？
证明 : (a 2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? a 2c2 ? b2d 2 ? a 2d 2 ? b2c2 ? (ac ? bd) 2 ? (ad ? bc)2 ? (ac ? bd )2
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d 都是实数,则 (a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac +bd )2
当且仅当ad =bc 时,等号成立.
二维形式的柯西不等式的变式:
(1) a 2 ? b2 ? c2 ? d 2 ? ac ? bd
(2) a 2 ? b2 ? c2 ? d 2 ? ac ? bd
有些不等式不仅形式优美而且具有重要的应用价值，
人们称它们为经典不等式 .
如均值不等式 :
a1 ? a2 ? n
? an ≥ n a1a2
an (ai ? R? , i ? 1, 2,
例 2:设 a , b ? R? , a ? b ? 1, 求证: 1 ? 1 ≥ 4 . ab
证明:由于 a , b ? R? ,根据柯西不等式 ,得
(a
?
1 b)(
?
1)≥(
a?
1
?
b ? 1 )2 ? 4
ab
a
b
又a ? b ? 1,
∴ 1 ? 1≥4 ab
可以体会到，运用柯西不等式，思路一步到 位，简洁明了！
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变例式31: 求函数y ? x ? 1 ? 10 ? x的最大值.
（发现）定理 3(二维形式的三角不等式 ) 设 x1 , y1 , x 2 , y2 ? R , 那么
(x12 ? y12) ? (x22 ? y22)≥ (x1 ? x2)2 ? (y1 ? y2)2 . 当 且 仅 当 x1 y2 ? x2 y1 时,等号成立 .
你能写出这个定理的证明？
定理 3 (二维形式的三角不等 ) 设x1 , y1 , x2 , y 2 ? R
那么
x12 ? y12 ?
x
2 2
?
y22
?
( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2
证明 : ( x12 ? y12 ? x22 ? y22 )2
? x12 ? y12 ? 2 x12 ? y12 x22 ? y22 ? x22 ? y22
? x12 ? y12 ? 2 x1 x2 ? y1 y2 ? x22 ? y22
பைடு நூலகம்
? x12 ? y12 ? 2( x1 x2 ? y1 y2 ) ? x22 ? y22
? x12 ? 2 x1 x2 ? x22 ? y12 ? 2 y1 y2 ? y22
? (x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2
?
x12 ? y12 ?
x
2 2
?
y22
?
( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2
二维形式的柯西不等式
大数学家柯西（Cauchy)
法国数学家、力学家。 1789年8月 21日生于巴黎， 1857 年5月23日卒于 索镇。曾为巴黎综合工科学校教授， 当选为法国科学院院士。曾任国王查 理十世的家庭教师。
柯西在大学期间，就开始研读拉格朗日和拉普拉斯 的著作。柯西最重要的数学贡献在微积分、复变函数和 微分方程等方面。
2? 1?1
ab ? a ? b ? 2
a2 ? b2 2
ab
,n).
调 和 平 均 数
几
算
何
术
平
平
均
均
数
数
平 方 平 均 数
我们来学习数学上两个有名的经典不等式 :柯西
不等式与排序不等式 ,知道它的意义、背景、证明 方法及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养 .
思考:阅读课本第31页探究内容
由 a 2 ? b2 ≥ 2ab 两个实数的平方和与乘积 的大小关系 ,类比考虑与下面式子有关的有什 么不等关系 :
??? ? ??
当且仅当 ? 是零向量,或存在实数k , 使 ? ? k? 时,等号成立.
观y 察
0
P1(x1,y1)
y P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
x
0
x P2(x2,y2)
根据两点间距离公式以及三角形的 边长关系:
x12 ? y12 ? x22 ? y22 ? (x1 ? x2)2 ? (y1 ? y2)2
上面两个不等式等号何时取到
探究：柯西不等式的几 何意义是什么
? 如图，设在平面直角坐标系xOy中有向量 ? ?a,b?,
? ? ? ? ? ?c, d ?, 与 之间的夹角为 .
y
?
?
??
?
O
x
(a 2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? (ac ? bd )2
定理2: （柯西不等式的向量形式） 设 ? ,? 是两个向量,则
二维形式的三角不等式
x
2 1
?
y12
?
x
2 2
?
y22
?
( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2
三维形式的三角不等式
x12 ? y12 ? z12 ?
x
2 2
?
y22
?
z22
? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 )2 ? ( z1 ? z2 )2
一般形式的三角不等式
x 12
?
x
2 2
??
?
x
2 n
?
y12 ? y22 ? ? ? yn2
? ( x1 ? y1 )2 ? ( x2 ? y2 )2 ? ? ( xn ? yn )2
二、二维柯西不等式应用
例1 已知a ,b为实数, 证明(a 4 ? b4 )(a 2 ? b2 ) ? (a 3 ? b3 )2
变式1: a,b ? R? ,证明 (a ? b)(a 2 ? b2) ? a a ? b b 变式2: a,b ? R? ,证明 (a ? b)(a 2 ? b2) ? b a ? a b
变例式3 1 :求函数y ? 5 x ? 1 ? 10 ? 2x的最大值
解：函数的定义域为【1，5】，且y>0
y ? 5? x?1? 2? 5? x
? 52 ? ( 2)2 ? ( x ? 1)2 ? ( 5 ? x)2
? 27 ? 4 ? 6
时，等号成立，即 x ?
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时，函数取最大值为 6
设 a, b, c, d为任意实数.
(a 2 ? b2 )(c2 ? d 2 )
联想
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d 都是实数 ,则 (a 2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd) 2
当且仅当ad=bc 时,等号成立.
你能证 明吗？
证明 : (a 2 ? b2 )(c2 ? d 2 ) ? a 2c2 ? b2d 2 ? a 2d 2 ? b2c2 ? (ac ? bd) 2 ? (ad ? bc)2 ? (ac ? bd )2
定理1（二维形式的柯西不等式）:
若a,b,c,d 都是实数,则 (a2 +b2)(c2 +d2)≥(ac +bd )2
当且仅当ad =bc 时,等号成立.
二维形式的柯西不等式的变式:
(1) a 2 ? b2 ? c2 ? d 2 ? ac ? bd
(2) a 2 ? b2 ? c2 ? d 2 ? ac ? bd