第七章 共形映射分式线性映射

的参数分别为t0 , t，
y
割线p0 p对应于参数t增大的
方向。
(z) C : z z(t)
P
则割线的方向向量p0 p与向量
P0
z(t0 t ) z(t0 ) 方向相同. t
o
x
割线方向p0 p 的极限位置：
z'(t0
)
lim
t 0
z(t0
t ) t
z(t0
)
—曲线C在p0处的切向量且方向与C正向一致.
w' (az b)' a 0 是共形映射.
由于分式线性映射是由三种特殊映射复合
而成的, 有以下结论 :
定理1 分式线性映射在扩充复平面上是一一 对 应 的, 且 具 有 保 角 性.
(2)保圆性
w az b是平移,旋转, 伸缩的合成映射.
w az b
z平面上的圆周C w平面上的圆周
将z x iy代入w 1 得 z
x
y
u x2 y2 v x2 y2
或
u x u2 v2
v y u2 v2
C : a( x2 y2 ) bx cy d 0
w1z : d (u2 v 2 ) bu cv a 0
a,d 0 a 0, d 0 a 0, d 0 a 0, d 0
由(1)式仅与映射w f (z)及点z0有关,则
② 转动角的大小及方向与曲线C的形状
与方 向无 关, 这种 性质 称为 映射 具有转
~~~~~~~~~~~
动角的不变性.
~~~~~~~~~~~~~
设Ci (i 1,2)在 点z0的 夹 角 为 , Ci (i 1,2)
在 变 换w f (z)下 映 射 为 相 交 于 点w0 f (z0 )
w f (z)在区域D内是共形映射.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
由定义及以上分析有:
定理 若w f (z)在z0点解析且f '(z0 ) 0, w f (z)是共形(保角)映射，
~~~~~~~~~~~~~~~~
且 Argf '(z0 )为转动角, f '(z0 )为伸缩率。
第七章 共形映射 分式线性映射
§1 共形映射的概念
1. 曲线的切线 2. 导数的几何意义 3. 共形映射的概念
1. 曲线的切线
设连续曲线 C : z z(t) t [ , ]
它的正向取t增大时点z移动的方向.
若z'(t0 ) 0, t0 ( , ),取P0 , P C, P0 , P对应
(ii)w az
设z re i a ei ,则w rei( )
把z先转一个角度再将z 伸长(或缩短) a
倍后就得w, w az是旋转和伸缩合成的映射.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
名词介绍: 关于圆的对称点(见图） y
定义 若在半直线上有两点p, p'
(i) w z b (ii) w az(a 0) (iii)w 1 z
称为： 平移
整线性
反演
事实上，
( A, B复 常 数)
当c 0时，w az b w a z b Az B
cz d
dd
当c 0时，w
a(z d ) b ad
c
c
c(z d )
a c
bc ad c
w az b
z平面上的直线l w平面上的直线L
若把直线看作是半径无穷大的圆周, 那么 w az b在扩充复平面上把圆周映射成 圆 周,即 具 有 保 圆 性.
~~~~~~~
对于(iii)w 1 , z
z 0 w1/ z , z w1/ z 0
令z x iy w 1 u iv, z
z0
C2
:
z
z2
(t
)
x
2. 解析函数导数的几何意义(辐角和模)
设w f (z)在区域D内解析, z0 D,且f '(z0 ) 0,
在D内 过z0引 一 条 有 向 光 滑 曲 线:
C : z z(t) t [ , ] 取t0 ( , ) z0 z(t0 ) z'(t0 ) 0 则
若上述共形映射定义中，仅保持角度绝对
值不变，而旋转方向相反，此时称第二类共形映
射。从而，定义中的共形映射称为第~一~~~类~~共~~形~~映~~
射~~。
~~~~~~~~~~~~
~~
设w f (z) z D
z0 D w0 f (z0 ) f '(z0 ) 0
又 w z
f (z)
f (z0 )
因此映射w 1 通常称为反演变换
w f (z)
z
w f (z)
z 0 w ; z w 0(见第一章§2)
又
w' Байду номын сангаас
1 z2
(z 0)
适当规定处夹角的定义后,映射w 1
z
在扩充复平面上处处共形的,即为一共形映射.
~~~~~~~~~
（详见P195）
对(i), (ii)的复合映射w az b(a 0)
1)作出点z关于圆周z 1的对称点w1.
2)作出点w1关于实轴对称的点即得w(见图).
2. 分式线性映射的性质
先讨论以上三种特殊映射的性质, 从而得
出一般分式线性映射的性质.
(1)保角性
对于(iii)w 1 的情况 z
z 1 w 1 z 1 w 1
z 1 w 1;
若arg z , arg w
z0的~转~~动~~~角~, 记作 .
T'
z0
w0
T
x
u
即Argf '(z0 ) Argw'(t0 ) Argz'(t0 )
(1)导数幅角Argf'(z)的几何意义 ①Argf '(z0 )( f '(z0 ) 0)是曲线C经过w f (z)
映射后在点z0的~~转 ~~~动~~~角~.
1. 分式线性映射的定义
定义 映射w az b (ad bc 0) (1) cz d
称为分 ~~~式~~线 ~~~性~~映~~~射,其中a, b, c, d是复常数.
ad bc (1) w' (cz d )2
ad bc 0是必要的。
否则w' 0 w c(复常数).
(2)补充定义使分式线性函数在整个扩充平面
上有定义: 当c 0时，w a / c
z d / c z
当c 0时，在z 时，定义w .
(3)w az b z dw b (d )(a) bc 0
cz d
cw a
则,逆映射仍为分式线性的,
故又称w az b 为双线性映射. cz d ~~~~~~~~~~
分式线性映射(1)总可以分解成下述三种特殊 映射的复合：
圆 周C 圆 周 圆 周C 直 线 直 线C 圆 周 直 线C 直 线
把直线看成是半径为的圆, 那么反演变换就 具有保圆性.
定理2 分式线性映射将扩充z平面上圆周映射
成扩充w平面上的圆周,即具有保圆性.
(3)保对称性
定理3
设
点z1
,
z
是
2
关
于z平
面
上
圆
周C的
一
对对称点 在分式线性映射下,它们的象
o
P
P'
那 么p与p'即 互 为 对 称 点.
(iii)w 1 z
令
1 w1 z ,
w w1
设z rei r(cos i sin )
z rei r(cos i sin )
w1
1 z
1 ei r
w
w1
1 ei r
y,v
1 w1
z
o
x,u
w
w 1的几何作图
z
z
w1
r1 r
1, z与w1在同一射线上; z, w1关于 z 1对称.
1 cz d
c
A 1 B ( A bc ad B a )
cz d
c
c
w
az cz
b d
由1
cz
d,2
1
1
和w
A 2
B
复 合 而 成.
(i)w z b
设w u iv z x iy b b1 ib2
故
u v
x b1 y b2
w z b是一个平移映射.
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
r
P
满足op op' r 2 ,则称p与p'关
~~~~~~~~
o P' x
于圆周 z r对称.
~~~~~~~~~~~~~~~~~
规定无穷远点的对称点为圆心o
如何由p找到关于圆周z r的对称点p'呢?
设p在 圆 外,从p作 圆 周 的
T
切 线pT , 连 接op,由T作op
的 垂 线Tp',与op交 于p',
z z0
z z0
f '(z0 )
w f '(z0 ) z（忽略高阶无穷小）
w f (z)
那么圆: z z0 w w0 f '(z0 )
（忽略高阶无穷小）
这 就 是 为 什 么 称 共 形 映射 的 原 因 .
§2 分式线性映射
1. 分式线性映射的定义 2. 分式线性映射的性质
的 曲 线i (i 1,2),1 , 2的 夹 角 为.
y (z) C2
v (w)
2
2 1
C1
z0
2 1
w f (z)
w0
o 1
2
x
o
1 1 2
u
由式(1)有， i i (i 1,2)
2 1 2 1
——保角性
由上述讨论我们有
w f (z)
过z0的C1 , C2 过w0的1 , 2 (C1 , C2 ) (1 , 2 ),
若~~z~'~(~t~0~)~~~0~,~t~0 ~~~(~~,~~~),
y (z) C : z z(t)
则~~~曲~~线~~C~~在~~z~0~有~~~切~~线~~,~z~'~(~t0~)
P
就 是 切 向 量, 它 的 倾 角
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
P0
T
~~~~a~r~g~~z~'~(~t0~)~.
w f (z)
z平面上C : z z(t) w平面上 : w f [z(t)]
~~~~~~~~~~
~~~~~~~~~~~~~~
— 过点w0 f (z0 )，正向取t增大方向的曲线.
w'(t0 ) f '(z0 )z'(t0 ) 0
Argw'(t0 ) Argf '(z0 ) Argz'(t0 )
点z0处A f '(z0 ) 均不变 伸缩率不变性.
3. 共形映射的概念
定义 设w f (z)在 z0的 邻 域 内 有 定 义 ， 且 在z0 具有保角性和伸缩率不变 性,则称映射w f (z)
在z0为
共形的
~~~~~~
，
或
称w
f (z)在~~z~0~是~~共~~~形~~映~~~射~.
若w f (z)在D内每一点都是共形的，则称
记
即 Argf '(z0 ) Argw'(t0 ) Argz'(t0 )
即 (1)
y (z) C : z z(t)
v
(w)
: w f [z(t)]
z0
o
w f ( z )
T
w0
x
o
T'
u
若视x轴与u轴和y轴与v轴的正向相同, 称曲线C的切线正向与映射后曲线正向之 间的夹角为(原曲线C经映射w f (z))在点
点w1与w2是关于象圆的一对对称点.
在分式线性映射下，圆周或直线上没有点 趋于无穷点，则它映射成半径为有限的圆周；若 有一点映射成无穷远点，它映射成直线。
作业
• P245 1,7,8(1)(5)
o
x
定义 切线随切点的移动而连续转动的有向曲线 称为有向光滑曲线.
~~~~~~~~~~
(1)Argz'(t0 ) 曲线C在点z0处切线的 正向与x轴正方向之间的夹角.
(2)若曲线C1与曲线 y
C
相
2
交
于
点z0
,
在交
点
处
两曲线正向之间的夹角
就是它们的两条切线正
向之间的夹角.
o
(z) C1 :z z1(t)
w f (z)
w
w0
o
x
o
u
z
w
lim 1 lim
1
z0 s
0
w
f
'(z0 )
lim
z0
s
s z
lim
z0 s
(3)
f '(z0 ) 称之为曲线C在z0的伸缩率.
易见, f '(z0 ) 与映射w f (z)及z0有关,而与曲线 的 形 状 方 向 无 关, 沿 任 何 曲 线 作 映 射f时, 在 同 一
这种映射具有保持两曲线间夹角的大小与方向 不变的性质 保角性
(2)模 f'(z) 的几何意义
设z z z0 re i , w w w0 ei且
用s表 示C上 的 点z0与z之 间 的 一 段 弧 长;
表 示上 的 对 应 点w0与w之 间 的 弧 长.
y (z)
v
(w)
C
z
w
z z0 s